Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGÂN HÀNG PHẢT TRIÈN CHÂU Á MOET ADB Dự VINH ■ ÁN PHÁT TRIÉN GIÁO VIÊN THPT & TCCN - TRƯỜNG ĐẠI ■ HỌC ■ NGUYỄN THÀNH QUANG - LÊ QUỐC HÁN OẠI SỐ TIIYẼN TÍNH ■ (Lưu hành nội bộ) BỌ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGÂN HÀNG PHÁT TRIẾN CHÂU Á MOET ADB Dự ÁN PHÁT TRIẾN GIÁO VIÊN THPT & TCCN - TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THÀNH QUANG - LÊ QUỐC HÁN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH ■ (Lưu hành nội bộ) Hà Nội -2013 Đại số tuyến tính M ỤC LỤC LỜI NÓI Đ Ầ U CHƯƠNG 1: TẬP HỢP - QUAN HỆ - ÁNH XẠ SÓ PHỨC - MỘT SỐ CÁU TRÚC ĐẠI SỐ 11 Tập hợp .7 1.2 Q uan hệ hai 12 1.3 Á nh x 16 1.4 Phép t h ế .22 1.5 Sổ phức .25 1.6 M ột số cấu trúc đại số tổng q u t 30 H ướng dẫn tự học chư ơng 36 Bài tập chương 37 CHƯƠNG 2: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨ C 45 2.1 M a t r ậ n 45 2.2 Đ ịnh thứ c 53 2.3 C ông thức khai triển định th ứ c 58 2.4 M a trận nghịch đảo v hạng m a tr ậ n 63 H ướng dẫn tự học chư ơng 68 Bài tập chương 69 CHƯƠNG 3: KHÔNG GIAN VECTƠ VÀ ÁNH XẠ TUYẾN T ÍN H 73 3.1 Đ ịnh nghĩa v tính chất khơng gian v ectơ 73 3.2 C sở số chiều không gian v e c t 76 3.3 K hông gian v ectơ c o n 83 3.4 Á nh xạ tuyến t í n h 87 3.5 M a trận ánh xạ tuyến t í n h 93 3.6 Giá trị riêng v v ectơ r iê n g 97 3.7 Chéo hóa m a tr ậ n 100 Hướng dẫn tự học chư ơng 103 Bài tập chương .105 Đại số tuyến tính CHƯƠNG 4: HỆ PH Ư Ơ N G TR ÌN H TUN TÍNH 111 4.1 Các khái niệm hệ phương trình tuyến tính tổng qt 111 4.2 Hệ phương trình tuyến tính C r a m e r 113 4.3 Điều kiện có nghiệm cách giải hệ phương trình tuyến tính tổng q u t 118 4.4 Hệ phương trình tuyến tính n h ấ t .123 Hướng dẫn tự học chương 127 Bài tập chương 128 CHƯƠNG 5: DẠNG TOÀN PHƯƠNG PHÂN LOẠI ĐƯỜNG VÀ MẶT BẬC HAI 131 5.1 Dạng song tuyến tín h 131 5.2 Dạng toàn p h n g 133 5.3 K hông gian vectơ Euclid 142 5.4 Chéo hoá trực g ia o 150 5.5 Đ ường m ặt bậc hai không gian E u c lid 159 5.6 M ặt bậc hai không gian E Ư C L ID 166 Hướng dẫn tự học chương 173 Bài tập chương 174 CHƯƠNG 6: TH ựC HÀNH TÍNH TỐN ĐẠI SĨ TUN TÍNH TRÊN MÁY T ÍN H 179 6.1.Sơ lược M A P L E 179 6.2.M ột vài lệnh toán học phổ th ô n g 181 6.3 Thực hành tính tốn Đại số tuyến tính M A P L E 183 6.4 Vẽ m ột số đường m ặt bậc hai M A PLE 195 TÀI LIỆU TH AM K H Ả O 200 Đại sơ tun tính MỞ ĐẦU Khởi đầu lịch sử, Đại số tuyển tính gắn liền với việc giải phương trình tuyến tính Để nghiên cứu sâu sắc cấu trúc tập nghiệm điều kiện để hệ phương trình tuyến tính có nghiệm, người ta xây dựng khái niện trừu tượng khơng gian vectơ, ánh xạ tuyến tính Ngày nay, Đại số tuyến tính ứng dụng vào nhiều lĩnh vực khác từ Giải tích, Hình học vi phân, Lý thuyết biểu diễn nhóm tới Cơ học, Vật lý, Kỹ thuật, Kinh tế Vì vậy, trở thành môn học sờ cho việc đào tạo cử nhân, kỹ sư thuộc ngành khoa học tự nhiên công nghệ, kỹ thuật kinh tế tất cà trường đại học giới Trong chương trình khung đào tạo giáo viên tốn trung học phổ thơng theo hệ thống tín nhiều trường đại học, Học phần Toán AI với thời lượng tín chỉ, có nội dung chủ yếu kiến thức mơn học Đại sổ tuyến tính Các nội dung chủ yếu sách bám sát theo đề cương chi tiết Học phần Toán AI (Đại số tuyến tính) chưomg trình đào tạo giáo viên trung học phổ thơng mơn tốn theo hệ thống tín thuộc khuôn khổ Dự án phát triển giáo viên trung học phổ thông trung cấp chuyên nghiệp (2007 - 2013) Cuốn sách làm giáo trình sách tham khảo mơn học Đại số tuyến tính cho giảng viên sinh viên ngành: sư phạm toán học, sư phạm vật lý, sư phạm hóa học, sư phạm tin học, khoa học tự nhiên, công nghệ thông tin, xây dựng, kỹ thuật điện tử viễn thông, kinh tế trường đại học Với tất lý nói trên, cố gắng hệ thống lại số khái niệm kết bàn có liên quan đến mơn học Đại số tuyến tính với ứng dụng khác nhiều phương diện Ngoài phần mở đầu tài liệu tham khảo, sách gồm có chương bao gồm nội dung về: Tập hợp, quan hệ, ánh xạ, số phức, số cấu trúc đại số; Ma trận định thức; Khơng gian vectơ ánh xạ tuyến tính; Hệ phương trình tuyến tính; Dạng tồn phương phân loại đường mặt bậc hai; Thực hành tính tốn đại số tuyến tính phần mềm Maple Phần cuối chương có số tập mang tính chất luyện tập tính tốn thực hành mở rộng lý thuyết Đại số tuyến tính Thực hành tính tốn giáo trình thực phần mềm Maple, chương trình tính tốn xem phổ biến nghiên cứu giảng dạy trường đại học giới Với khả tính tốn mạnh, Maple cho phép làm việc khái niệm trừu tượng Tốn học nói chung Đại số tuyến tính nói riêng Đây phương hướng nghiên cứu kết hợp Toán học với Tin học nhiều nhà toán học quan tâm, nhằm sử dụng rộng rãi máy tính nghiên cứu Tốn học Các tác già trân trọng cảm ơn PGS.TS Vũ Quốc Chung, PGS.TS Phạm Khắc Ban, PGS.TS Khuất Văn Ninh, PGS.TS Nguyễn Gia Định, PGS.TS Ngơ Sỹ Tùng, TS Lê Đình Định, TS Nguyễn Thị Hồng Loan, TS Đào Thị Thanh Hà, CN Vũ Thị Bình đọc thảo đóng góp nhiều ý kiến quý báu Các tác giả biết ơn Bộ mơn Đại số Khoa Tốn học, Trường Đại học Vinh tạo điều kiện thuận lợi để tham gia giảng dạy Học phần Toán AI cho sinh viên nhiều năm biên soạn sách sở nội dung giảng Do nhiều nguyên nhân, sách khơng tránh khỏi thiểu sót, chúng tơi mong muốn nhận góp ý đồng nghiệp bạn đọc Tác giả Đại sổ tuyển tính CHƯƠNG TẬP HỢP - QUAN HỆ - ÁNH XẠ - SỐ PHỨC * MỘT SỐ CẤU TRÚC ĐẠI SỐ 1.1 TẬP HỢP 1.1.1 Khái niệm chung Chúng ta trình bày lý thuyết tập hợp theo quan điểm "ngây thơ" nhà toán học B Bolzano, G Cantor R Dedekind đưa vào cuối kỷ XIX Cụ thể, tập hợp khái niệm toán học xem khái niệm gốc xuất phát (nguyên thuỷ), không định nghĩa mà chi mơ tả ví dụ cụ thể Chẳng hạn, tập họp điểm; tập hợp đường thẳng; tập hợp số; tập hợp bốn mùa xuân, hạ, thu, đông năm Trong thực tế, ta thường dùng từ đồng nghĩa với từ tập: lớp, họ, bộ, toàn thể Tập hợp thường gọi ngán gọn tập: tập A, tập đóng, tập số Để biểu thị tập hợp ta dùng chữ viết in hoa A, B, c, „ X, Y, z Các đối tượng hợp thành tập hợp gọi phần tử Nếu X phần tử A ta viết XE A nói X thuộc A Nếu phần tử y khơng phần tử A ta viết y Ể A nói y khơng thuộc A Các phần tử tập hợp đối tượng cụ thể trừu tượng người, vật thể hàm số, số tự n hiên, Một tập hợp coi hoàn toàn xác định ta phân biệt đối tượng thuộc đối tượng khơng thuộc Í1Ĩ Thơng thường đưa tập hợp hai cách sau: a) Liệt kê phần tử tập, ví dụ A = {av a2,o3,a4\ b) Chỉ số tính chất chung cho phần tử thuộc tập, ví dụ [ - a o ; 1] = | x e l | X < l j ; ( - ; l ) = |jc G K | - < X < l| Tập X phần tử X có tính chất P(x) ký hiệu là: X = {x| P(x)} Một tập gồm số hữu hạn phần từ gồm vô hạn phần tử, tương ứng gọi tập hữu hạn tập vó hạn Nếu X tập hợp hữu hạn số phần tử X thường ký hiệu # X Đại số tuyến tính Ví dụ: # { ứ 1,ứ 2,ứ 3, a 4} = Tập hợp rỗng, ký hiệu , tập hợp không chứa phần tử Tập có phần từ gọi tập đơn tử Ví dụ: ị(2ị tập đơn tử 1.1.2 Tập con, tập, họ tập Ta nói tập A tập tập B phần tử A phần tử B nghĩa x e A x e B , ký hiệu,4 c B B A Ta gọi A c B bao hàm thức Ta quy ước tập rỗng tập tập: c A Với quy ước này, ta có tập hợp rỗng (bạn đọc tự giải thích) Nếu đồng thời A q B \ ầ B c A , ta nói A B ký hiệu: A = B Như vậy, ta có: A = B(x€ẢxeB) Ta nói tập A tập thực tập B A tập B A B , ký hiệu A a B Chẳng hạn: {*,>>} c { x ,y ,z } ; { * ,-ằ ,â } c= { * ,-> , đ , □} Tập hợp mà phần từ tập tập hợp A gọi họ tập hợp A, ký hiệu Ta ký hiệu { x t Ỵ hay 2Ả họ phần tử X tập A đảnh số tập số I Nếu phần tử X A tập tập X ta gọi ( JC ) I họ tập cùa tập X đảnh sổ tập sổ I Nhộn xét Nếu tập A gồm n phần tử tập Ẩ) gồm 2" phần tử (chứng minh nhận xét dành cho bạn đọc tập) 1.1.3 Sơ đồ Venn Để thể tập hợp A cách trực quan, người ta vẽ đường cong phẳng đơn kín (cỏ thể đường tròn hay elip) coi tập A miền phăng giới hạn đường cong Các điểm bên ngồi biểu diễn cho phần tử khơng thuộc tập A Tập B A biểu thị miền A Tập hợp N số tự nhiên: N = Ị ,1 ,2 , Ị Tập hợp N*các số tự nhiên khác 0: N* = {1,2, } Đại số tuyến tính Tập hợp z số nguyên: z = |0 ,± ,± , Ị Tập hợp z* số nguyên khác 0: 7L' = { ± l , ± , j Tập hợp Q số hữu tỉ: Q = Ị — I a,b € z ,b * o | Tập hợp Q+ số hữu tỉ dương: Q + = Ị — I a,b € z ,a b > o | Tập hợp R số thực Tập hợp R* số thực khác Tập hợp c số phức: c = ịa + bi a,b G M |, i2 = - Tập hợp c* số phức khác 0: c = Ịa+Ò/Ị a,ÒE R;a2 + b2 ^ o |, i2 = —1 1.1.5 Các phép toán liên kết tập hợp Từ tập hợp cho trước tạo nên tập hợp nhờ phép toán sau: 1.1.5.1 Phép hợp Hợp tập A B, ký hiệu A k j B , tập hợp gồm phần tử thuộc A thuộc B, tức là: A ^ j B = {x \ x s A x e B} Từ định nghĩa ta suy tính chẩt sau phép hợp: a) Ẩ( JA = A, A'U = ẩ ; b) A X € A ;X e c x e B ;x e c => X e ( ẩ n C ) x e ( B n C ) = > xe(AnC )u(BnC ) • X e ( A n C ) u ( B P tC ) = > x e Ẩ n C x e B n C => X e A ;x € c X e B ;x e c => X e ( Ắ U B y , X g c = > xe(^u5)nC ■ Có thể mở rộng định nghĩa phép giao từ hai sang họ tập tuỳ ý Giao cùa họ tập { A ị, i G / } tập hợp gồm phần tử chung họ Ạ , tức là: = Ị x | Jt € A ị,V i / Ị Nếu A n B = ta nồi tập A, B rời không giao Họ tập { , / e / } gọi rời đôi hai tập chúng rời Đại sổ tuyến tính 185 A:= * băng hàm array Ví dụ Tạo ma trận B = [> B:=array([[aA2 - a + , a + , a],[ a A3 + 1, a A3 + , 4]]); J r \ Có thê trực tiêp tạo ma trận băng lệnh linalg[matrix] Ví dụ Nhập ma trận X y z a b c [> linalg[matrix] (2 ,3 , [x, y, z, a, b, c]); X y z a b c 2) So sánh hai m a trậ n Muốn so sánh hai ma trận xem chúng có hay khơng (tức tất phần tử vị trí tương ứng chúng phải nhau), ta dùng lệnh equal C hú ý: Hai ma trận phải cấp so sánh Ví dụ [> A:= array([[2,l],[l,2]]); A:= 1 [> B: = array([2, 1, ,2 ]); B:= [2 ,1 ,1 ,2 ] [> equal (A, B); Eưor, (in equal) arguments muts be both matrices or both vectors 186 Đại số tuyến tính Máy báo lỗi: equal hai đối số phải ma trận vectơ So sánh A với c [> c := m atrix(2,2, [2,1,1,2]); C:= 1 [> equal (A, C]; True 3) Tính tổng hai ma trận (lệnh đáng giá ma trận tổng) r CN CO 1_ Ví dụ Tính tổng hai ma trận A = -4 B = '2 Bước Nhập A [> A:= array ([[1, -3, ], [3, -4,1]]); -3 -4 Bước Nhập B [> B:= matrix (2, 3, [2, ,6 ,1 ,2 , 5]); B= Bước Tính tổng A B lệnh evalm (đánh giá ma trận) [> A + B; A+B [> evalm(%); ”3 8' -2 4) Nhân ma trận Ví dụ Nhân hai ma trận lệnh multiply Bước Khai báo ma trận A Đại số tuyến tính 187 [> A:=array([[2, -1 ,3 , ] , [3, -2, 4, -3 ], [5, -3, -2,1]]); - A: = - 4' - - - Bước Khai báo ma trận B [> B:= matrix(4, 3, [7, 8, 6, 5, 7, 4, 3, 4, 5, 2, 1, 1]); B:= 4 1 Bước Nhân A với B lệnh multiply [> multiply(A, B); 26 25 27 17 23 27 16 12 Ta nhân nhiều ma trận lệnh, máy tính thực phép nhân từ trái sang phải Ví dụ [> A := array ( [[1,2], [3 ,4]]): [> B := array ([[0 , ], [1 ,0]]): [> c := array ([[1,2], [4 ,5]]): [> multiply (A, B, C); ~6 16 23 5) Tính tích vơ hướng hai vectơ (lệnh dotprod) Cú pháp lệnh: dotprod (u,v); Hoặc: dotprod (u, V, ‘orthogonal’); Trong u,V phải vectơ có độ dài 188 Đại số tuyến tính Tích vơ hướng hai vectơ trường số phức tổng tích u[i] liên hợp cùa v[i] (với i chạy theo độ dài cùa vectơ) Nếu lệnh dotprod có thêm biến ‘orthogonal’ tích vơ hướng tính tổng tích u[i]*v[i] Trên trường số thực hai định nghĩa tích vơ hướng trùng nhau, liên hợp số thực ln Ví dụ [> u := vector([l, X, y ] ) ; u:=[l, [> V X, y ] := vector([l, 0, 0]); v:=[l, 0, 0] [> dotprod(u,v); 6.3.2 Tính giá trị riêng vectơ riêng ma trận ỉ) Tính đa thức đặc trumg Lấy ma trận đặc trưng lệnh charmat Ví dụ [> A := matrix(3, 3, [1, 2, 3, 1,2, 3,1, 5,6]); A:: '1 3 -2 -3 to -3 Ầ-6 ỉ Ắ-l [> charmat(A, lambda); Lập đa thức đặc trưng ma trận bàng lệnh charpoly [> charpoly(A, lambda); Ã3 - Ầ 2) Tính giá trị riêng vectơ riêng ma trận '1 Ví dụ Tính vectơ riêng ma trận M = -3 - -6 3' Đại số tuyến tính 189 Bước Xác định ma trận M bàng lệnh [>A:= matrix(M: = matrix (3, 3, [1, -3, 3, 3, -5, 3, 6, -6, 4]); '1 -3 3' M:= -5 -6 Bước Xác định vectơ lệnh [> eigenvects (M ); [4,1, {[1,1,2]}], [-2,2, {[-1,0,1], [1,1,0]}); Kết lệnh eigenvects xếp sau: số móc vng dòng giá trị riêng, số thứ hai bội đại số giá trị riêng, cuối tập vectơ sở không gian vectơ riêng ứng với giá trị riêng Mỗi móc vng ứng với giá trị riêng ma trận 6.3.3 Tính hạng, tính định thức tính ma trận nghịch đảo Tính hạng ma trận A bàng lệnh rank(A) Tính định thức ma trận A lệnh det(A); Tính ma trận nghịch đảo cùa A lệnh inverse(A) Ví dụ [> A := matrix(3, 3, [x, 1,0, ,0 , 1, x*y, y, 1]); A:= X 0 XV y 1 [> rank(A); Ví dụ Bước Khai báo ma trận [> A := matrix(3, 3, [1/2, -1/3, 2, -5, 14/3, 9, 0,11, -5/6]); 190 Đại số tuyến tính -1 14 -5 T 11 -5 ~6 Bước Tính định thức ma trận lệnh det [> det(A); -2881 18 Bước Tính ma trận nghịch đảo lệnh inverse [> inverse(A); 1852 -3 222 2881 75 2881 15 2881 261 2881 990 5762 99 2881 -1 2881 2881 2881 6.3.4 Giải hệ phương trình tuyến tính 1) T hiết lập m a trậ n từ phương trìn h ngược lại Tên hàm: linalg [geneqns] - Lập phương trình từ hệ số cùa ma trận linalg [genmatrix] - Lập ma trận từ hệ số hệ phương trình Cú pháp lệnh: geneqns(A, x) gcneqns(A, X, b) gencmatrix( eqns, vars) genematrỉx( eqns, vars, flag) genematrix( eqns, vars, b) Tham số: A, B - ma trận X - Tên danh sách tên ẩn b - vectơ vế phải phương trình eqns - tập hợp danh sách phương trình vars - Tập hợp danh sách biến Đại số tuyến tính 191 flag - Tên (tự chọn) “fỉag” Mô tả: Hàm geneqns sinh họ phương trình từ hệ số ma trận Nếu có biến thứ ba biểu thị vectơ vế phải b đưa vào phương trình Ngược lại, vế phải coi bàng Hàm genematrix sinh ma trận từ hệ số hệ phương trình tuyến tính Nếu có biến thứ ba “flag” vectơ “vế phải” đưa vào cột cuối ma trận Ví dụ [> eqns : = {x + 2*y = 0, 3*x - 5*y = 0}; eqns: = {x + 2y = 0, 3x - 5y = 0} Ị> A := genm atrix(eqns, [x, y]); A:: -5 Ị> geneqns(A, [x, y]); { X + 2y = , 3x - 5y = 0} [> geneqns(A, x); {xt + 2X2 - 0, 3xi - 5x2 = 0} [> eqns := {x + 2*z = a, 3*x - 5*y = - z}; eqns:= {x + 2z = a, 3x - 5y = - z} [> A := genmatrix(eqns,[x, y, z Ị , flag); A:= - Ị> A := genmatrỉx(eqns,Ịx, y, z ] , ‘b’); A: = -5 [> print(b); [8,6] Ị> geneqns(A, [x, y, z], b); {x + 2z = a, 3x - 5y + z = 6} 2) Giải hệ phương trình tuyến tính 192 Đại số tuyến tính Ví dụ: Giải phương trình đại số tuyến tính Ax = u Bước Khai báo ma trận A [> A := array([3,-2,-5,l], [2, - ,1 ,5 ] , [1, ,0 , -4 ], [1, -1, -4, 9]]); A: = - - - - - - Bước Khai báo vectơ u [> u:= vector (Ị3, -3, -3, 22]; u:=[3, -3, -3, 22] Bước Giải phương trình Ax = u [> Iinsolvc(A,u); [-1,3,-2, 2] Trong nhiều tốn giải phương trình, ta phải làm phép biến đổi ma trận MAPLE có nhiều phép biến đổi ma trận Dưới ví dụ minh họa cách dùng phép biến đổi Từ phép toán ma trận ta hiểu lệnh đây: Ví dụ Giải phương trình Ax = u, [> A:= array (Ị4, -3, 2, -1 ], [3, -2,1, -3 ], [2, -1 ,0 , -5 ], [5, -3 ,1 , -8]]); A:= -3 -1 -2 -3 - - 5 - - Ị> u:= vector ([8,7,6,1]) u:= [8, ,6 ,1 ] Bằng lệnh [> linsolve (A, u); Máy không cho kết Phương trình cho khơng có nghiệm, ma trận A suy biến: [> det(A); Đại số tuyến tính 193 Kiểm tra rằng, hạng ma trận A bàng 2, ma trận mở rộng có hạng Ví dụ Giải hệ phương trình tuyếil^úịil^vp^hạ pn • 3x + y = bàng lệnh: X - 2ỵ - z - [> solve ({ X + y + = , 3*x + y = 3, X - 2* y - z = 0}, {x, y, z}); Maple cho kết X y = - z = — 5 Ví dụ Giải hệ phương trình tuyến tính với ba ẩn với tham số ax + j + 3z = 10 x - y + az - 3x-2y +z =6 lệnh: Ị> solve ({a* X + 3* y + 3* z=10, X - y + a* z = ,3 * X - 2* y + z= 6}, {x, y, z}); Maple cho kết X = ( - + 9a) / ứ(ứ + 4), y = ( - a A2 + 3a + 15) / ữ (4 + a), z = ( - + 9a) / ứ (a + )| 6.3.5 Tìm sở khơng gian vectơ 1) Tìm họ vectơ sở: Tìm họ vectơ sở hệ vetơ, lệnh basỉs Ví dụ: Cho họ V vectơ, tìm sở V [vl := vector ([1,0,0]); [v2 := vector ([0 ,1 , 0]^ [v3 := vector ([0, 0,1 ]) [v4 := v ecto r([l, 1,1]; [> basis ({v l, v2, v3}) {Vl,v2,v3} [> basis ({v3, v2, v l }); [V3,v2,vl] [> basis ({v l, v2, v3, v4}); 194 Đại số tuyến tính [Vl,v2, v3] Ví dụ: [> basis ({vector ([1, 1, 1]), vector ([2, 2, 2]), vector ([1,-1, 1]), vector ([2,-2, 2]), vector ([1,0, 1]), vector ([0, 1, 1])}); {[2, 2, 2], [2, -2, 2], [0,1,1]} 2) Tìm sở khơng gian vectơ sinh hàng (cột) ma trận Ví dụ: Tìm sờ khơng gian vectơ sinh dòng (cột) ma trận ì 0 0 1 1 [>A:= aưay([[l, 0, ], [0,1, ], [0, 0, 1], [1, 1, 1]]); A= 0 0 1 1 [> basis (A,’rowspace’); [[1,0, ], [0, ,0 ], [0,0,1]]; [> basis (A,’colspace’); [[ 1, 0, 0, 1], [0, 1, 0, 1], [0, 0, 1, 1]]; 3) Tìm sở hạt nhân ánh xạ tuyến tỉnh (ma trận) Tìm sở cho hạt nhân ánh xạ tuyến tính có ma trận A lệnh kernel(A) Ví dụ Tìm hạt nhân ánh xạ tuyến tính có ma trận 'l A:= 3' X3 0 [> A := aưay ([[1,2, ], [1, X , ], [0, 0, 0]]); [> kemel (A); {[-3,0,1]} Đại số tuyến tính 195 d) Tìm sở trự c chuẩn khơng gian sinh m ột họ vectơ Tìm sờ trực chuẩn bàng lệnh G ram Schm idt Ví dụ Tìm sở trực chuẩn khơng gian sinh bời họ vectơ [> u l :=vector ([2, 2, 2]); ul:= [2, 2, 2] [> u2:=vector ([0, 2, 2]); u2:= [0, 2, 2] [> u3:=vector (f0, 0, 2]); u3:= [0, 0, 2] [> GramSchmidt ([ul, u2, u3]); [2, 2, 2ị "-4 2 3 , [0, - 1, 1] 6.3.6 Đưa dạng tồn phương dạng tắc Sử dụng phần mền Maple giúp cho việc nghiên cứu dạng toàn phương dễ dàng hiệu Giả sử Vn không gian n chiều s sở Trong sờ s n dạng tồn phương biểu thức có dạng Q (x ,x ) = ]T aijx tx J = x A x , ma trận '.7=1 A = [ữ,; ] ma trận đối xứng Nếu Q ( x , x ) chi chứa số hạng bình phương nói Q ( x , x ) có dạng tắc sở s Rút gọn dạng tồn phương tìm sở S' ứong Q ( x , x ) có dạng tắc Để đưa dạng tồn phương dạng tắc thường dùng cách: Phương pháp chéo hoá trực giao, phương pháp Lagrange phương pháp Jacobi Sử dụng phần mền Maple ta đưa dạng tồn phương dạng tắc theo phương pháp chéo hoá trực giao 6.4 VẼ M ỘT SỎ ĐƯỜNG VÀ MẶT BẬC HAI BỞI MAPLE Chúng ta thực hành vẽ số đường mặt bậc hai phần mềm Maple Muốn vẽ đồ thị phần mềm Maple ta dùng lệnh vẽ (plot) với cú pháp ngôn ngữ thông thường Sau số củ pháp cụ thể: 196 Đại số tuyến tính Vẽ đồ thị không gian chiều hàm số biến Vẽ đồ thị không gian chiều hàm số biến y = / ( x) miền hình chữ nhật X E \ữ ,b \ X \c,d ] câu lệnh: [ > plot (f, x=a b,y=c d) Vẽ đồ thị không gian chiều mặt chiều câu lệnh: [ > plot (f, x=a b,y=c d) Để hình vẽ có màu sắc đẹp ta gán thêm câu lệnh color để chi định màu Ví dụ Vẽ đồ thị hàm số sau miền > 12) ; X e [-4,5],_y e [-5,12] Maple: plot(abs(xA3-xA2-2*x)/3-abs(x+1),x=-4 5,y=- v s mặt trụ eliptic Maple > with(plottools): with(plots) : , display(cylinder([1,1 1], 1, 3), orientation=[45, 70 ], scal±ng=constrained); Vẽ mặt nón Maple Đại số tuyến tính > v rith (p lo ts ) > a n im a te ( p lo t3 d ,[ y /3 - ,x=- 197 : t , y = t , c o lo r= re d ,sty le = P A T C H N O G R ID ],t= ,a x e s = f r a m e d ,b a c k g ro u n d = p lo t3 d ([z * c o s (t),z * s in (t),z ], z = 0 , t= P i P i ) ) ; Kết hình vẽ chiều mà đặc biệt ta xoay quan sát theo nhiều góc độ Bằng cách thay đổi thích hợp phưomg trình mặt phẳng cắt nó, thu thiết diện đường conic Vẽ m ặt yên ngựa (paraboloỉd hyperbolic) M aple > p l o t d ( x A2 + x * y - y A2 , x = - , y = - , v i e v r = , s t y l e = P A T C H C O N T O U R , a x e s = F R A M E D , t i t l e = ' Z = X A2 + X * y - Ya2 ' ) ; > im p lic itp lo t3 d (z = x * y ,x = -2 ,y = - 2 ,z = - 3 ); z = xA2+x*y-yA X 198 Đại số tuyến tính Vẽ hình nón ngửa M aple > p l o t d ( [ r * c o s ( p h i ) , r * s i n ( p h i ) , r ] , r = l , p h i = 2* P i) t= 18 v s hình nón úp vẽ Maple > p l o t d ( [ r * c o s ( p h i ) , r * s i n ( p h i ) , r ] , r = l , p h i = * P i , ([ r* co s(p h i),r* sin (p h i),r ] ,r = -l,p h i= 2*P i); Đại số tuyến tính 199 Vẽ hai hình trụ lồng nhau: > with(plots) : J:=cylinderplot(l,theta=0 2*Pi,z=-l 1,color=yellow): K:=plot3d( {sqrt (l-yA2),-sqrt(l-yA2)},y=-l 1,x=2 2,color=gold): display3d({J,K}); V v s hình nón kem Maple >icecream:=cone([0,0,2],0.7,2,color=tan),sphere([0,0,0 2],0.75,color=pink,stylo=patchnogrid): display(icecream,scaling=constrained,orientation=[45,70 ]) ; ... bậc hai; Thực hành tính tốn đại số tuyến tính phần mềm Maple Phần cuối chương có số tập mang tính chất luyện tập tính tốn thực hành mở rộng lý thuyết 6 Đại số tuyến tính Thực hành tính tốn giáo... PHÁT TRIẾN GIÁO VIÊN THPT & TCCN - TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THÀNH QUANG - LÊ QUỐC HÁN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH ■ (Lưu hành nội bộ) Hà Nội -2013 Đại số tuyến tính M ỤC LỤC LỜI NĨI Đ Ầ U ... ựC HÀNH TÍNH TỐN ĐẠI SĨ TUN TÍNH TRÊN MÁY T ÍN H 179 6.1.Sơ lược M A P L E 179 6.2.M ột vài lệnh tốn học phổ th n g 181 6.3 Thực hành tính tốn Đại số tuyến tính