Mục lục Một số vấn đề nghiệm đa thức Các toán số phương 16 Ý tưởng chuyển đổi mơ hình tốn hình học 26 Tứ giác điều hòa số ứng dụng 37 Đề thi thử 10 Chuyên Toán 48 Đề thi thử THPT Quốc gia 2019 53 NGUYỄN TĂNG VŨ - NGUYỄN NGỌC DUY - VƯƠNG TRUNG DŨNG LÊ PHÚC LỮ - LƯƠNG XUÂN VINH - VÕ HỮU LÊ TRUNG - ĐÀO SƠN TRÀ TẬP SAN TOÁN HỌC STAR EDUCATION Số 02, tháng 05 - 2019 Tập san Toán học STAR EDUCATION lần đầu mắt vào tháng 01/2019 đơng đảo bạn đọc đón nhận Đó tiền đề động lực để tiếp tục đầu tư biên soạn giới thiệu tập hai Trong số này, đối tượng chủ yếu hướng đến em lớp chuẩn bị thi lớp 10 Chuyên bạn lớp 12 chuẩn bị THPT quốc gia Bên cạnh hai đề thi thử theo cấu trúc đáp án chi tiết viết chuyên đề dành cho bạn lớp lên 10, bạn học sinh THPT chuyên, giúp bạn dần làm quen với kiến thức, kĩ giai đoạn chuyển tiếp Như tập trước, toàn viết thời thực giáo viên trẻ STAR EDUCATION, người có nhiều đam mê gắn bó với cơng việc giảng dạy chia sẻ kiến thức Tốn phổ thơng Rất mong nhận đóng góp bạn đọc gần xa cho tập san để ngày phong phú hơn, phục vụ tốt cho cộng đồng dạy học Toán Dự kiến số tiếp theo, Tập san số 03, xuất vào tháng 11 tới với nội dung chủ yếu dành cho bạn chuẩn bị thi HSG quốc gia, xin đón nhận viết gửi cho Ban biên tập Mọi đóng góp xin gửi địa nguyentangvu@gmail.com lephuclu@gmail.com Bản quyền thuộc trung tâm STAR EDUCATION, đăng tải miễn phí mạng Mong tài liệu đón nhận chia sẻ rộng rãi Xin chân thành cảm ơn BAN BIÊN TẬP Tập san Toán học STAR EDUCATION Một số vấn đề nghiệm đa thức Vương Trung Dũng (GV trường PTNK TPHCM) Giới thiệu sơ lược Trong kì thi học sinh giỏi tốn đa thức thường xuyên xuất Tuy nhiên chương trình THCS kiến thức đa thức chủ yếu dừng lại khái niệm phép toán Do vừa lên lớp 10 kĩ em học sinh chưa cao Bài viết nhằm trình bày vấn đề nhỏ nghiệm đa thức mà nội dung Định lý Bézout Định lý Viète, đối tượng hướng đến em học sinh cuối năm lớp đầu năm lớp 10 Trong viết ta kí hiệu [x] tập tất đa thức có hệ số thực Cơ sở lý thuyết Định lý (Bézout) Cho f (x) ∈ [x] a ∈ Số dư chia đa thức f (x) cho đa thức x − a f (a) Chứng minh Theo thuật toán chia Euclide, tồn đa thức g(x) ∈ [x] số thực r cho f (x) = (x − a)g(x) + r Trong đẳng thức thay x = a vào hai vế ta f (a) = r Từ ta có điều phải chứng minh Hệ Đa thức f (x) có nghiệm x = a f (x) chia hết cho x − a Hệ Nếu a1 , a2 , , an nghiệm f (x) (x−a1 )(x−a2 ) (x−an )| f (x) Đặc biệt deg f = n f (x) = c(x − a1 )(x − a2 ) (x − an ), c ∈ Hệ Một đa thức bậc n có nhiều n nghiệm Đặc biệt deg f ≤ n có q n nghiệm f (x) = VƯƠNG TRUNG DŨNG Hệ Nếu deg f < n, deg g < n mà tồn n giá trị phân biệt biến x cho f (x) = g(x) f (x) = g(x) Ví dụ Biết đa thức P(x) = x + x + có nghiệm phân biệt x , x , x , x , x Đặt Q(x) = x − Tính Q(x )Q(x )Q(x )Q(x )Q(x ) Lời giải P(x) có dạng P(x) = (x − x )(x − x )(x − x )(x − x )(x − x ) Ta có 5 Q(x i ) = i=1 i=1 5 (x i2 ( − xi) − 2) = i=1 (− − x i ) = P( 2)P(− 2) = −23 i=1 Ví dụ Cho P(x) ∈ [x] cho |P(a)| = |P(b)| = |P(c)| = 1, với a, b, c số nguyên đôi khác Chứng minh đa thức P(x) khơng có nghiệm ngun Lời giải Giả sử P(x) có nghiệm nguyên x Theo định lý Bézout P(x) = (x − x )Q(x), (1) với Q(x) ∈ [x] Từ suy = |P(a)| = |a − x ||Q(a)| (2) Do |a − x | = 1, lập luận tương tự ta |b − x | = |c − x | = Như a − x , b − x , c − x ∈ {−1, 1} Theo nguyên lý Dirichlet tồn hai ba số từ tồn hai ba số a, b, c nhau, mâu thuẫn Vậy P(x) khơng có nghiệm ngun Định lý (Viète thuận) Cho đa thức f ∈ [x], f (x) = an x n + an−1 x n−1 + + a1 x + a0 , ∈ an = Giả sử x , x , , x n nghiệm (không thiết phân biệt) f (x) Khi ta có  an−1  x + x + + x n = −   an     x x + x x + + x x = an−2 n−1 n an     a0    x x x n = (−1)n an Tập san Toán học STAR EDUCATION VƯƠNG TRUNG DŨNG Chứng minh Định lý Viète có ứng dụng lớn toán nghiệm đa thức chứng minh khơng khó Thật vậy, x , x , , x n nghiệm f nên ta viết lại đa thức dạng f (x) = an (x − x )(x − x ) (x − x n ) Khai triển vế phải nhóm dạng chuẩn tắc, sau so sánh hệ số số mũ tương ứng hai vế ta điều phải chứng minh Lưu ý định lý Viète trường hợp f không đủ n nghiệm thực, đối tượng bạn đọc nên nội dung viết không đề cập đến Ví dụ Tìm tất giá trị a để nghiệm x , x , x đa thức x −6x +ax +a thỏa mãn (x − 3)3 + (x − 3)3 + (x − 3)3 = Lời giải Đặt y = x − 3, y1 = x − 3, y2 = x − 3, y3 = x − nghiệm đa thức ( y + 3)3 − 6( y + 3)2 + a( y + 3) + a = y + y + (a − 9) y + 4a − 27 Theo định lý Viète 3 yi = −3, yi y j = −9, 1≤i< j≤3 i=1 i=1 Mặt khác theo giả thiết yi3 = Mà yi3 = i=1 yi = 27 − 4a i=1 yi −3 yi + yi y j 1≤i< j≤3 i=1 i=1 yi i=1 Dơ điều kiện cần đủ a = (−3)3 − 3(a − 9)(−3) + 3(27 − 4a) = −27 − 3a ⇔ a = −9 Ví dụ Chứng minh đa thức P(x) = x n + 2nx n−1 + 2n2 x n−2 + + 2nn−1 x + 2n khơng thể có đủ n nghiệm thực Lời giải Giả sử P(x) có đủ n nghiệm thực x , x , , x n Theo định lý Viet x i = −2n, i x i x j = 2n2 i< j Khi i< j xi x j = ( x i )2 − i x i2 ≤ i n−1 ( 2n x i )2 = 2n(n − 1) < 2n2 , i vơ lí Vậy ta có điều phải chứng minh Tập san Tốn học STAR EDUCATION VƯƠNG TRUNG DŨNG Ta ký hiệu n n an−1 an−2 σ1 = xi = − , σ2 = xi x j = , , an an i=1 1≤i< j≤n an−k σk = x i1 x i2 x ik = (−1)k an 1≤i Xem thêm: TẬP SAN TOÁN HỌC