QUỸ TÍCH PHƯƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ GIẢI BÀI TỐN QUỸ TÍCH I) Định nghĩa: Một hình H gọi tập hợp điểm ( Quỹ tích) điểm M thỏa mãn tính chất A chứa chứa điểm có tính chất A II) Phương pháp giải tốn: Để tìm tập hợp điểm M thỏa mãn tính chất A ta thường làm theo bước sau: Bước 1: Tìm cách giải: + Xác định yếu tố cố định, không đổi, tính chất hình học có liên quan đến toán + Xác định điều kiện điểm M + Dự đốn tập hợp điểm Bước 2: Trình bày lời giải: A Phần thuận:Chứng minh điểm M thuộc hình H B Giới hạn: Căn vào vị trí đặc biệt điểm M để chứng minh điểm M thuộc phần B hình H ( Nếu có) C Phần đảo: Lấy điểm M thuộc B Ta chứng minh điểm M thoả mãn tính chất A D Kết luận: Tập hợp điểm M hình B (Nêu rõ hình dạng cách dựng hình B ) http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word III) MỘT SỐ DẠNG QUỸ TÍCH CƠ BẢN TRONG CHƯƠNG TRÌNH THCS I) TẬP HỢP ĐIỂM LÀ ĐƯỜNG TRUNG TRỰC Tập hợp điểm M cách hai điểm A, B cho trước đường trung trực đoạn thẳng AB Ví dụ 1: Cho góc xOy cố định điểm A cố định nằm tia Ox B điểm chuyển động tia Oy , Tìm tập hợp trung điểm M AB a) Phần thuận: + Xét tam giác vuông OAB ta có : OM = MA = MB nên tam giác OAM cân M Mặt khác OA cố định suy M nằm đường trung trực đoạn thẳng OA b) Giới hạn: + Khi B trùng với O M ≡ M trung điểm OA + Khi B chạy xa vô tận tia OB M chạy xa vơ tận tia M z c) Phần đảo http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Lấy M thuộc tia M z , AM cắt Oy B Suy · · · · Mặt khác OBM (cùng phụ với MO = MA ⇒ MAO = MOA = BOM · · góc MAO ) ⇒ MO = MB Suy MO = MA = MB Hay M = MOA trung điểm AB d) Kết luận: Tập hợp trung điểm M AB đường trung trực đoạn OA II) TẬP HỢP ĐIỂM LÀ TIA PHÂN GIÁC Tập hợp điểm M nằm góc xOy khác góc bẹt cách hai cạnh góc xOy tia phân giác góc xOy Ví dụ 1) Cho góc xOy tia Ox lấy điểm A cố định B điểm chuyển động tia Oy Tìm tập hợp điểm C cho tam giác ABC vuông cân C Giải: a) Phần thuận: Dựng CH , CK vng góc với Ox, Oy ∆vCAH = ∆vCBK ⇒ CH = CK http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Mặt khác góc xOy cố định suy C ∈ tia phân giác Oz góc xOy b) Giới hạn, Phần đảo: Dành cho học sinh c) Kết luận:Tập hợp điểm C tia phân giác Oz góc xOy III) TẬP HỢP ĐIỂM LÀ ĐƯỜNG THẲNG , ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG Ta thường gặp dạng tập hợp sau: Tập hợp điểm M nằm đường thẳng qua điểm cố định A, B đường thẳng AB Tập hợp điểm M nằm đường thẳng qua điểm cố định A tạo với đường thẳng (d ) góc khơng đổi Tập hợp điểm M cách đường thẳng (d ) cho trước đoạn không đổi h đường thẳng song song với (d ) cách đường thẳng (d ) khoảng h Ví dụ 1: Cho tam giác ABC Tìm tập hợp điểm M cho S MAB = a > cho trước S MAC Hướng dẫn: Phần thuận: Gọi D giao điểm AM BC Vẽ BH , CK vng góc với AM , H , K ∈ AM http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Ta có: S MAB BH S ABD DB = = = =a S MAC CK S ACD DC Suy BD a +1 a +1 = ⇔ DB = BC ⇒ D điểm cố định CD a a +1 Vậy điểm M nằm đường thẳng (d ) cố định qua A, D Phần lại dành cho học sinh Ví dụ 2: Cho tam giác ABC điểm K chuyển động cạnh AC , P điểm chuyển động trung tuyến BD tam giác ABC cho S APK = S BPC Gọi M giao điểm AP, BK Tìm tập hợp điểm M Hướng dẫn: Bài tốn liên quan đến diện tích nên ta dựng đường cao MF ⊥ AC , BE ⊥ AC , AH ⊥ BD, CI ⊥ BD Ta dễ chứng minh được: S ABK MK MF S ABD AH AD = = , = = =1 S AMK BK BE S BDC CI DC Mặt khác ta có: S APK = S APB Nhưng S APB AH = = Từ giả thiết ta suy S BPC CI S APK MK = = ⇒ BM = BK S APB BM http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Vậy tập hợp điểm M đường trung bình song song với cạnh AC tam giác ABC trừ hai trung điểm M , M tam giác ABC điểm I Ví dụ 3: Cho đường tròn (O) có hai đường kính AB,CD vng góc với Một điểm M chuyển động đoạn thẳng AB ( M không trùng với O,A ,B) Đường thẳng CM cắt (O) giao điểm thứ N Đường thẳng vng góc với AB M cắt tiếp tuyến N (O) điểm P Chứng minh điểm P chạy đoạn thẳng cố định: Hướng dẫn: Điểm M ,N nhìn đoạn OP góc vng nên tứ giác MNPO nội · · · tiếp suy MNO Từ = MPO = MDO suy MODP hình chữ nhật Do MP = OD = R Vậy điểm P nằm đường thẳng song song với AB cách AB khoảng không đổi R Giới hạn: P thuộc đoạn thẳng nằm hai tiếp tuyến A ,B (O) Ví dụ 4: Cho đường tròn đường kính BC đường tròn lấy điểm A ( Khác B,C ) Kẻ AH vuông góc với BC(H ∈ BC) Trên cung AC lấy điểm D (khác A ,C) Đường thẳng BD cắt AH điểm I Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AID ln nằm http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word đường thẳng cố định D thay đổi cung AC Hướng dẫn: · · · Ta có: BDC = 900 , BAH = ACB · · µ Mặt khác ADB phụ với góc B = ACB (cùng chắn cung AB ) Suy · · suy AB tiếp tuyến BAI = ADI đường tròn ngoại tiếp tam giác ADI Mặt khác AC cố định AC ⊥ AB nên tâm K đường tròn ngoại tiếp tam giác ADI ln thuộc đường thẳng AC IV TẬP HỢP ĐIỂM LÀ ĐƯỜNG TRÒN, CUNG CHỨA GĨC Nếu A, B cố định Thì tập hợp điểm M cho ·AMB = 900 đường tròn đường kính AB ( Khơng lấy điểm A, B ) Nếu điểm O cố định tập hợp điểm M cách O khoảng khơng đổi R đường tròn tâm O bán kính R Tập hợp điểm M tạo thành với đầu mút · đoạn thẳng AB cho trước góc MAB = α khơng đổi ( < α < 180 ) hai cung tròn đối xứng qua AB Gọi tắt ‘’cung chứa góc ‘’ http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Ví dụ Cho tam giác cân ABC ( AB = AC ) D điểm cạnh BC Kẻ DM / /AB ( M ∈ AC ) DN / /AC ( N ∈ AB) Gọi D' điểm đối xứng D qua MN Tìm quỹ tích điểm D' điểm D di động cạnh BC Hướng dẫn giải: Phần thuận: Từ giả thiết đề ta thấy NB = ND = ND' , ba điểm B,D,D' nằm đường tròn tâm N Từ 1· 1· · BD'D = BND = BAC (1) Tương tự ta có ba điểm D',D,C nằm 2 1· 1· · = DMC = BAC đường tròn tâm M Nên DD'C (2) Từ (1) 2 · · (2) suy BD'C = BAC (khơng đổi) Vì BC cố định, D' nhìn · BC góc BAC khơng đổi, D' khác phía với D (tức phía với A so với MN ) nên D' nằm cung chứa góc http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word · vẽ đoạn BC (một phần đường tròn ngoại tiếp BAC tam giác ABC ) Phần đảo: Bạn đọc tự giải Kết luận: Quỹ tích điểm D' cung chứa góc BAC ¼ đoạn BC Đó cung BAC đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Ví dụ Cho đường tròn ( O ) dây cung BC cố định Gọi A điểm di động cung lớn BC đường tròn ( O ) ( A khác B , A · khác C ) Tia phân giác ACB cắt đường tròn ( O ) điểm D khác điểm C Lấy điểm I thuộc đoạn CD cho DI = DB Đường thẳng BI cắt đường tròn ( O ) điểm K khác điểm B a) Chứng minh tam giác KAC cân b) Chứng minh đường thẳng AI qua điểm J cố định c) Trên tia đối tia AB lấy điểm M cho AM = AC Tìm quỹ tích điểm M A di động cung lớn BC đường tròn ( O) Hướng dẫn giải: http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word ( ) ( ) 1 · ¼ + sđAK ¼ ;sđDIB · » + sđKC » = sđDA = sđBD a) Ta có DBK 2 » + sđDA ¼ ∆DBI cân D nên sđKC » + sđAK ¼ Suy Vì sđBD AK = CK hay ∆KAC cân K (đpcm) b) Từ kết câu a, ta thấy I tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC nên đường thẳng AI qua điểm J (điểm » khơng chứa A ) Rõ ràng J điểm cố định cung BC 1· · = BAC c) Phần thuận: Do ∆AMC cân A , nên BMC Giả sử · số đo BAC 2α (khơng đổi) A di động cung lớn BC M thuộc cung chứa góc α dựng đoạn BC phía điểm O Phần đảo: Tiếp tuyến Bx với đường tròn ( O ) cắt cung chứa góc α vẽ đoạn BC điểm X Lấy điểm M » (một phần cung chứa góc α vẽ đoạn Cx BC ( M #X;M #C ) Nếu MB cắt đường tròn ( O ) A rõ ràng A thuộc cung lớn BC đường tròn ( O ) · · Vì BAC = 2α;AMC = α suy ∆AMC cân A hay AC = AM » , phần Kết luận: Quỹ tích điểm M cung Cx cung chứa góc α vẽ đoạn BC phía O trừ hai điểm C X Ví dụ Cho đường tròn ( O;R ) dây BC cố định A điểm di động đoạn thẳng BC D tâm đường tròn qua A, B tiếp xúc với ( O;R ) B ; E tâm đường tròn qua A,C tiếp xúc với ( O;R ) C Tìm tập hợp http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word c) Phần đảo: Lấy điểm K thuộc đoạn thẳng K 1K Vẽ đường tròn ( K ;K A ) cắt AB, AC D E Vẽ DM / / AC ( M Ỵ AC ) Cần chứng minh ME / / AB Ta có: K A = K O ị O ẻ ( K ) ( ) · · · · · Xét D OAE D OBD có: OAE = OBD = OAD ;AEO = ODB (tứ giác AEOD nội tiếp) Do D OAE : D OBD Þ AE OA = = Þ AE = BD BD OB · · · · ( D ABC cân A ), DMB = ACB ( DM / / AC ) Do DBM = ACB · · DBM = DMB Þ D DBM cân D Þ DM = BD Ta có AE = DM mà AE / / DM nên tứ giác MDAE hình bình hành, suy ME / / AB d) Kết luận: Tập hợp điểm K đoạn thẳng K 1K thuộc đường trung trực đoạn thẳng AO Câu 14 Cho tam giác ABC , H trực tâm Hai đương thẳng song song ( d) ( d ') qua A H Các điểm M , N hình chiếu B C ( d) ; điểm Q, P hình chiếu B,C ( d ') MP cắt NQ I Tìm tập điểm I ( d) ( d ') di động Hướng dẫn: http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word a) Phần thuận: ìï BM ^ ( d) ï Þ BM / / CN í ïï CN ^ ( d) (gt) ïỵ ìï BM / / CN ï Þ MNPQ í ïï MN / / QP (gt) ỵ hình bình hành · Mà QMN = 900 (gt) nên MNPQ hình chữ nhật Þ I trung điểm đoạn thẳng MP NQ Gọi D E trung điểm AH BC , ta có D, E cố định ANHQ hình thang, DI đoạn thẳng nối trung điểm hai đường chéo, suy DI / / MN MPCB hình thang, IE đường trung bình hình thang, suy I E / / NC · · E = 900 DI / / MN , IE / / NC mà MNC = 900 nên DI · DI E = 900, DE cố định Vậy I thuộc đường tròn đường kính DE b) Giới hạn: ( d) quay quanh A nên điểm I chuyển động đường tròn đường kính DE http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word c) Phần đảo: Lấy điểm I thuộc đường tròn đường kính DE Nối DI Qua A, H kẻ đường thẳng ( d) ,( d ') song song với DI Gọi M ,Q hình chiếu B ( d) ,( d ') MI cắt ( d ') P ; QI cắt ( d) N ; PQ cắt IE K MN / / DI / / QP , DA = DH Þ I M = IP , IN = IQ IM = IP , IN = IQ Þ MNPQ hình bình hành ¶ = 900 nên MNPQ hình chữ nhật Mà M D PMB có IM = IP , IK / / MB Þ K B = K P ; D BPC có K B = K P , EB = EC Þ EK / /CP · E = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), DI DI / / MN Þ EI ^ MN , EI ^ MN , PN ^ MN Þ C , P , N thẳng hàng d) Kết luận: Tập hợp điểm I đường tròn đường kính DE Câu 15 Cho đường tròn ( O;R ) , M điểm ( O ) , vẽ hai tiếp tuyến MA, MB đến ( O ) ( A, B tiếp điểm) đường trung trực đường kính BC cắt CA D 1) Tìm tập hợp điểm M cho D MAB 2) Tìm tập hợp điểm D cho D MAB Hướng dẫn: 1) a) Phần thuận: http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word · D MAB Þ AMB = 600 ; 1· · OMA = AMB = 300 ( MA, MB tiếp tuyến ( O ) ) · · D OMA có OAM = 900,OAM = 300 suy D OMA nửa tam giác đều, OA = OM Þ OM = 2OA = 2R OM = 2R , O cố định, suy M thuộc đường tròn cố định (O;2R ) b) Giới hạn: M điểm tùy ý ( O;2R ) vẽ D MAB Vậy M chuyển động ( O;2R ) c) Phần đảo: Lấy M thuộc (O;2R ) vẽ hai tiếp tuyến MA, MB đến (O;R ) ( A, B tiếp điểm) Þ MA = MB Þ D MAB cân M µ = 900;OA = 1OM = R , suy D OMA Tam giác OMA có A ( ) · · · nửa tam giác nên OMA = 300 , suy AMB = 2.OMA = 600 · D MAB cân có AMB = 600 Þ D MAB d) Kết luận: Tập hợp điểm M đường tròn ( O;2R ) http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word · 2) a) Phần thuận: D MAB Þ AMB = 600 Mà · · · AMB + AOB = 1800 nên AOB = 120 ; 1· · ACB = AOB = 600 µ = 900, DCO · D DOC có O = 600 suy D DOC nửa tam giác ta có DO = OC = R ( ) DO = R , O cố định nên D thuộc đường tròn O;R ( ) b) Giới hạn: D điểm tùy ý O;R ( ) c) Phần đảo: Lấy điểm D thuộc O;R Vẽ đường kính BC vng góc OD, DC cắt ( O ) A M giao điểm hai tiếp tuyến A, B ( O ) ( ) µ D DOC có O = 90 ;DO = OC = R Þ D DOC nửa tam giác · · Þ DCO = 600 Þ MAB = 600 · D MAB cân ( MA = MB ) có MAB = 600 Þ D MAB ( ) d) Kết luận: Tập hợp điểm D đường tròn O;R Câu 16 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn bên ngồi tam giác vẽ hai nửa đường tròn có đường kính AB, AC Một http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word đường thẳng ( d) quay quanh A cắt hai nửa đường tròn theo thứ tự M , N (khác A ) Tìm tập hợp trung điểm MN Hướng dẫn: · a) Phần thuận: AMB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường · tròn), ANC = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), suy BCNM hình thang vng Gọi O trung điểm BC ta có O cố định; gọi K trung điểm MN OK đường trung bình hình thang BCNM suy OK / / BM ìï OK / / BM ïï · O = 900 Þ AK í· ïï AMB = 900 ïỵ · O = 900 , OA cố định, AK K thuộc đường tròn đường kính OA b) GIới hạn: Khi ( d) º ( d1) ( ( d1) tiếp tuyến đường tròn đường kính AB )thì K º K ( K hình chiếu ( O ) ( d1) ) Khi ( d) º ( d2 ) ( ( d2 ) tiếp tuyến đường tròn đường kính AC )thì K º K ( K hình chiếu ( O ) ( d2 ) ) http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word ¼ K đường tròn đường Vậy K chuyển động cung K kính OA c) Phần đảo: Lấy điểm K thuc cung ẳ K ị OKA ã K = 900 AK cắt đường tròn đường kính AB, AC M , N · AMB = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) · ANC = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) Suy BCNM hình thang vng OK ^ MN OK / / BM Þ K M = K N ¼ K đường d) Kết luận: Tập hợp điểm K cung K tròn đường kính OA Câu 17 Cho đường tròn ( O;R ) cố định BC dây cung cố ¼ Trên tia đối định, A điểm chuyển động cung lớn BC tia AB lấy điểm D cho AD = AC Tìm tập hợp điểm D Hướng dẫn: ¼ , a) Phần thuận: Gọi J trung điểm cung lớn BC ta có I cố định xét điểm A thuộc cung I»C · · IAC + IBC = 1800 http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word (tứ giác BI AC nội tiếp); · · IAD + IAB = 1800 (hai góc kề bù), ( ) · · » = ID º · · IBC = IAB IC Suy IAC = IAD Xét D IAC D IAD có IA (cạnh chung), · I·AC = IAD , AC = AD Do D I AC = D IAD (c.g.c), suy IC = ID I ,C cố định Þ IC khơng đổi Vậy D chuyển động đường tròn ( I ;I C ) b) GIới hạn: Khi A º B D º D1 ( D1 giao điểm ( I ;I C ) với tiếp tuyến ( O ) B ) Khi A º C D º C ¼ C đường tròn ( I ;IC ) Vậy D chuyển động cung D ẳ C ị IC = ID c) Phần đảo: Lấy điểm D cung D BD cắt ( O ) A ( A ¹ B ) · C = ABC · ¼ ( O ) ; (hai góc nội tiếp chắn cung AC AI 1· · ABC = DIC http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word 1· · · · A Suy AIC , AIC = DIC = DI · C = DIA · , IA cạnh chung Xét D IAC D IAD có IC = I D, AI Do D I AC = D IAD (c.g.c), suy AC = AD ¼ C đường tròn d) Kết luận: Tập hợp điểm D cung D ( I ,I C ) (với D1 giao điểm đường tròn ( I , IC ) với tiếp tuyến đường tròn ( O ) B , I trung điểm cung lớn ¼ ( O ) ) BC Câu 18 Cho AB dây cung cố định đường tròn (O;R ) » Trên tia CA lấy C điểm chuyển động cung lớn AB điểm D cho CD = CB Tìm tập hợp điểm D Hướng dẫn: » a) Phần thuận: Gọi I trung điểm AB ( ) · · » º Xét D DCI D BCI có CD = CB, DCI = BCI AI = IB , CI (cạnh chung) Do (c.g.c), suy ID = I B (khơng đổi); I cố định D thuộc đường tròn cố định ( I ; IB ) b) Giới hạn: http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Khi C º A D º E ( E giao điểm tiếp tuyến A với ( O ) ( I ;IB ) ) ¼ Khi C º B D º B Vậy D chuyển động cung BAE ( I ; IB ) ¼ c) Phần đảo: Lấy điểm D BAE ( I ; IB ) , ta có · B cắt ( O ) C I D = IB Vẽ phân giác DI · · Xét D DCI D BCI (c.g.c), suy DCI = BCI ,CD = CB » » » · · · Mà BCI nên DCB ACB Do = sđ BI = sđ AB = sđ AB 2 A, D,C thẳng hàng ¼ d) Kết luận: Tập hợp điểm D BAE ( I ;I B ) ( I » trung điểm AB Chú ý: » 1) Xét toán tương tự C chuyển động AB 2) Nhận xét tốn Câu 19 Cho đường tròn (O;R ) , A điểm cố định (O ) Kẻ tiếp tuyến AB với (O ) Đường thẳng ( d) quay quanh A cắt ( O ) hai điểm C , D Tìm tập hợp trọng tâm G tam giác BCD http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Hướng dẫn: a) Phần thuận: Gọi E , F trung điểm CD,OA ta có F cố định (vì OA cố định); K điểm BF cho BK = , suy K BF cố định (vì BF cố định) D BEF có: BG BK = = Suy BE BF GK / / EF Þ GK 2 = Þ GK = EF mà EF = OA , EF 3 GK = OA (không đổi) K cố định Vậy G thuộc đường tròn cố định K bán kính OA b) Giới hạn: Khi d tiến dần đến tiếp tuyến AB G ® B Khi d tiến dần đến tiếp tuyến AB1 G ® G1 (với G1 giao ỉ ữ ỗK ; OAữ im ca ng trũn ỗ vi BB1 ) ữ ữ ỗ ố ứ ổ ẳ ca ng trũn ỗ ữ K ; OAữ ỗ Vy G chuyn ng trờn BG (tr ữ ç ÷ è ø hai điểm B G1 ) http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word ¼ ( trừ B G c) Phần đảo: Lấy điểm G BG 1 ổ ỗ ữ ỗK ; OAữ ), suy GK = OA Trên tia BG ly im E cho ữ ữ ỗ ố ø BG = BE AE cắt ( O ) D,C D BEF có: BG BK GK 1 = = Þ GK / / EF Þ = GK = OA = OA BE BF EF 3 · Þ E thuộc đường tròn đường kính OA Þ OAE = 900 OE ^ CD Þ E trung điểm CD D BCD có BE trung tuyến BG = nên G trọng tâm D BCD BE ¼ đường tròn d) Kết luận: Tập hợp điểm G BG ổ ỗ ữ ỗK ; OA÷ (với K thuộc đoạn BF , BK = BF , G1 l giao im ữ ữ ỗ ố ứ ổ ữ ỗK ; OAữ ca BB1 v ỗ (tr B v G1 )) ữ ữ ç è ø ¼ cố định Câu 21 Cho điểm A chuyển động cung lớn BC đường tròn (O;R ) Tìm tập hợp tâm I đường tròn nội tiếp tam giác ABC Hướng dẫn: http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Cách 1.a) Phần thuận: ¼ cố định, Cung BC ¼ = a (không đổi) đặt sđ BC ¼ · sđ BAC = sđ BC = a 2 1· · ( BI phân giác IBC = ABC 1· · · ); ICB = ACB ABC · (CI phân giác ACB ); ( ) ( · · · · · BIC = 1800 - IBC + ICB = 1800 ABC + ACB ) 1· = 900 + BAC = 900 + a, BC cố định Do I thuộc cung 2 chứa góc 900 + a dựng đoạn thẳng BC b) Giới hạn: Khi A º B I º B Khi A º C I º C Vậy I chuyển động cung chứa góc 900 + a dựng đoạn thẳng BC nằm nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm O http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word ¼ cung c) Phần đảo: Lấy điểm I thuộc cung BC chứa góc 900 + a dựng đoạn thẳng BC Vẽ điểm A ¼ đường tròn ( O;R ) cho BI phân cung lớn BC · giác ABC · 1· · BIC = 900 + a;IBC = ABC 2 ( ) ( ) · 1· · · · · ICB = 1800 - BIC + IBC = 900 BAC + ABC = ACB Þ CI 2 · phân giác ACB D ABC có BI CI phân giác Þ I tâm đường tròn nội tiếp D ABC d) Kết luận: Tập hợp tâm I đường tròn nội tiếp tam giác ABC cung chứa góc 900 + a dựng đoạn thẳng BC nằm nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm O Cách · · a) Phần thuận: AI cắt ( O ) D , ta có BAD suy = DAC ằ = DC ẳ ị DB = DC (khụng đổi) DB · · · · ( BID góc D ABI ) BID = ABI + BAI ổ ã ã ã ã ằ ẳ ỗ IBD = IãBC +CBD ;BAI = CBD ữ ỗDB = DC ÷ è ø · ABI = I·BC ( I tâm đường tròn nội tiếp D ABC ) · D Þ DB = DI Suy I·BD = BI http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word DI = DB không đổi D cố định Vậy I thuộc đường tròn ( D, DB ) b) Giới hạn: Khi A º B I º B , Khi A º C I º C ¼ đường tròn ( D, DB ) Vậy I chuyển động BC ¼ đường tròn c) Phần đảo: Lấy điểm I thuộc BC · · ( D, DB ) , ta có DI = DB = DC DB = DI Þ IBD = BID , DI cắt · · · · đường tròn A ( A D ) ị BAI , CBD Do = DAC = DAC · · BAI = CBD · D = ABI · · · · · · Suy ABI BI + BAI ;IBD = IBC +CBD = I·BC Vậy I tâm đường tròn nội tiếp D ABC ¼ đường tròn c) Kết luận: Tập hợp điểm I BC ( D, DB ) nằm nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm O http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word ... tròn ( O ') d) Kết luận: Tập hợp điểm I đường tròn đường kính OM (phần nằm đường tròn ( O ) MỘT SỐ BÀI TẬP TỔNG HỢP http://dethithpt.com – Website chuyên tài liệu đề thi file word Câu Cho đường... đảo: Dành cho học sinh c) Kết luận :Tập hợp điểm C tia phân giác Oz góc xOy III) TẬP HỢP ĐIỂM LÀ ĐƯỜNG THẲNG , ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG Ta thường gặp dạng tập hợp sau: Tập hợp điểm M nằm đường thẳng... MO = MA = MB Hay M = MOA trung điểm AB d) Kết luận: Tập hợp trung điểm M AB đường trung trực đoạn OA II) TẬP HỢP ĐIỂM LÀ TIA PHÂN GIÁC Tập hợp điểm M nằm góc xOy khác góc bẹt cách hai cạnh