Đang tải... (xem toàn văn)
Luận văn thạc sĩ toán học phương pháp 60.46.01.13 Một số biến đổi các yếu tố trong tam giác do học viên cao học Võ Hoàng Thân thực hiện dưới sự hướng dẫn khoa học của tiến sĩ Trịnh Đào Chiến. Luận văn gồm 83 chương dưới dạng pdf, thực hiện qua chương trình latex, trình bày đẹp. Luận văn gồm ba chương chính và một số phần phụ
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN VÕ HOÀNG THÂN MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI CÁC YẾU TỐ CỦA TAM GIÁC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định - 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN VÕ HOÀNG THÂN MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI CÁC YẾU TỐ CỦA TAM GIÁC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRỊNH ĐÀO CHIẾN Bình Định - 2012 Mục lục Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt iii Mở đầu iv Chương Một số kiến thức liên quan 1.1 Phương trình hàm Pexider 1.2 Một số hệ thức lượng giác tam giác 1.2.1 Các định lí tam giác 1.2.2 Một số hệ thức tam giác Chương Phép biến đổi bảo tồn yếu tố góc tam giác 2.1 Một số phép biến đổi bảo toàn yếu tố góc tam giác 2.2 Một số ví dụ áp dụng 22 Chương Phép biến đổi bảo toàn yếu tố cạnh tam giác 29 3.1 Một số phép biến đổi bảo toàn yếu tố cạnh tam giác 29 3.2 Một số tốn liên quan đến bảo tồn yếu tố cạnh tam giác 36 3.2.1 Một số toán liên quan 36 3.2.2 Áp dụng 61 3.3 Phương trình bậc ba hệ thức liên quan đến cạnh tam giác 68 Kết luận 74 ii iii Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt • N: tập số tự nhiên • Z: tập số nguyên • R: tập số thực • A, B, C : góc tam giác ABC • a, b, c : tương ứng độ dài cạnh BC, CA, AB tam giác ABC • P = a+b+c : nửa chu vi tam giác ABC • S hay SABC : diện tích tam giác ABC • , hb , hc : tương ứng đường cao hạ từ A, B, C tam giác ABC • ma , mb , mc : tương ứng đường trung tuyến hạ từ A, B, C tam giác ABC • R, r, : tương ứng bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp, bàng tiếp cạnh a tam giác ABC • • : tích hốn vị Ví dụ: a = abc, sin A = sin A sin B sin C : tổng hốn vị Ví dụ: sin A = sin A + sin B + sin C, • BĐT : Bất đẳng thức bc = bc + ca + ab iv MỞ ĐẦU Các toán liên quan đến yếu tố tam giác quen thuộc chương trình tốn phổ thơng Nó thường xun có mặt đề thi, từ thi tốt nghiệp Trung học phổ thông đến thi đại học đặc biệt đề thi chọn học sinh giỏi cấp Olympic toán quốc tế Cho đến nay, tài liệu nước vấn đề xuất nhiều nguồn tài liệu tham khảo phong phú cho giáo viên học sinh Trong tài liệu hành này, có số tài liệu đề cập đến phép biến đổi liên quan đến yếu tố tam giác, đặc biệt cạnh góc, chẳng hạn [1], [6] [7] Với phép biến đổi đó, số tốn cảm sinh số tập tự sáng tác từ toán biết hình thành gấp bội Trong dạng tốn này, có dạng tốn đặt cách tự nhiên: “Giả sử A, B, C góc tam giác cho trước Với phép biến đổi f f (A), f (B ), f (C ) góc tam giác?” Nếu phép biến đổi f tìm thấy, số hệ thức cảm sinh từ hệ thức biết tăng lên gấp bội Chẳng hạn: “Nếu A, B, C góc tam giác, A1 = f (A) = π−A , B1 = f (B ) = π−B , C = f (C ) = π−C góc tam giác.” Rõ ràng nhờ phép biến đổi mà, giả sử ta chứng minh bất đẳng thức √ sin A + sin B + sin C ≤ 3 , (1) ta có bất đẳng thức sau sin π−A + sin π−B + sin π−C √ 3 ≤ , hay √ 3 cos + cos + cos ≤ 2 2 A B C (2) Bất đẳng thức (2) cảm sinh từ bất đẳng thức (1), nhờ vào phép biến đổi nêu Số bất đẳng thức cảm sinh thêm gấp bội ta tiếp tục trình nhờ vào tìm kiếm phép biến đổi khác v Những phép biến đổi f gọi phép biến đổi bảo toàn yếu tố góc tam giác Vấn đề bảo tồn tiếp tục đặt tương tự yếu tố cạnh tam giác Câu hỏi đặt là: “Giả sử a, b, c cạnh tam giác cho trước Với phép biến đổi f f (a) , f (b) , f (c) cạnh tam giác?” Nếu phép biến đổi f tìm thấy, số hệ thức cảm sinh từ hệ thức biết tăng lên gấp bội Chẳng hạn: “Nếu a, b, c cạnh tam giác, a1 = f (a) = 2012a + 2013, b1 = f (b) = 2012b + 2013, c1 = f (c) = 2012c + 2013 cạnh tam giác.” Rõ ràng nhờ phép biến đổi mà, giả sử ta chứng minh bất đẳng thức cạnh tam giác, ta có bất đẳng thức khác cạnh tam giác Số bất đẳng thức cảm sinh thêm gấp bội ta tiếp tục trình nhờ vào tìm kiếm phép biến đổi khác Những phép biến đổi f thế, tương tự, gọi phép biến đổi bảo toàn yếu tố cạnh tam giác Rõ ràng, việc tìm kiếm phép biến đổi bảo tồn yếu tố góc cạnh tam giác nêu có ý nghĩa khoa học mang tính thực tiễn cao, phương pháp tốt trình nghiên cứu yếu tố tam giác, đặc biệt việc giáo viên học sinh phổ thơng tự đề xuất tập Tuy nhiên, nay, số tài liệu có xu hướng đề cập vấn đề khơng nhiều việc tìm kiếm phép biến đổi q Luận văn phần đề cập đến vấn đề cách toàn diện hơn, với nhiều phép biến đổi bảo toàn áp dụng phong phú đề xuất Do đó, nội dung luận văn có ý nghĩa khoa học có giá trị thực tiễn giảng dạy học tập phổ thông, đặc biệt hệ Chun Tốn Với mục đích nghiên cứu đó, ngồi phần Mục lục, Lời mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, luận văn đề cập đến nội dung chính, chia chương sau: Chương Một số kiến thức chuẩn bị Luận văn đề cập đến số kiến thức chuẩn bị cho việc nghiên cứu chương tiếp theo, có kiến thức dùng việc chứng minh kết vi Chương hữu hiệu thú vị, Phương trình hàm Pexider dạng f (x + y ) = g (x) + h (y ) dạng tổng quát n n xi f i=1 = fi (xi ) i=1 Thú vị chỗ, cho ta minh họa đẹp việc vận dụng kiến thức toán cao cấp vào nghiên cứu tốn phổ thơng Chương Phép biến đổi bảo tồn yếu tố góc tam giác Chương trình bày cách tồn diện, đầy đủ tổng quát phép biến đổi bảo toàn yếu tố góc tam giác đề cập phần với áp dụng cụ thể để sáng tác toán cảm sinh giải nhiều tập khó kỳ thi học sinh giỏi Nội dung phần chủ yếu tham khảo tài liệu [8] Tuy nhiên, kết tài liệu hầu hết khơng có chứng minh, nguồn tham khảo trích dẫn tài liệu lại khó tìm Tất chứng minh chương chứng minh độc lập tác giả, có phần khơng phải q dễ dàng Đó xem nỗ lực tác giả luận văn Như nêu Chương 1, đóng góp luận văn chương thể chỗ, áp dụng kiến thức tốn cao cấp (Phương trình hàm Pexider) vào chứng minh cho kết lượng giác, hoàn toàn sơ cấp Rất nhiều bất đẳng thức lượng giác góc tam giác cảm sinh, với áp dụng nó, luận văn đề cập Chương Phép biến đổi bảo toàn yếu tố cạnh tam giác Chương đề cập cách toàn diện, đầy đủ tổng quát phép biến đổi bảo toàn yếu tố cạnh tam giác đề cập phần trên, với áp dụng cụ thể để sáng tác toán cảm sinh giải nhiều tập khó kỳ thi học sinh giỏi Ngoài Mục 3.1, chủ yếu tham khảo tài liệu [1], áp dụng kiến thức toán cao cấp (phương trình hàm) để chứng minh số kết phép biến đổi bảo toàn yếu tố cạnh, việc tìm kiếm cách đầy đủ phép biến đổi bảo toàn khác Mục 3.2 nỗ lực tác giả luận văn Một số lời giải Mục 3.2 (chẳng hạn Bài toán 3.2.24, Bài toán 3.2.29, ) lời giải độc lập tác giả, điều kiện khơng tìm thấy lời giải thức toán tài liệu tìm Một số kết mục cho ta cảm sinh “chéo” thú vị Chẳng hạn kết Bài toán 3.2.29: vii A A A “Nếu A, B, C góc tam giác, cosλ , cosλ , cosλ cạnh λ λ λ tam giác” Rất nhiều bất đẳng thức lượng giác cạnh tam giác cảm sinh, với áp dụng nó, luận văn đề cập Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học Tiến sỹ Trịnh Đào Chiến, người thầy nghiêm khắc tận tâm công việc, người Thầy không giúp đỡ, cung cấp tài liệu, gợi mở cho tác giả nhiều ý tưởng hay truyền đạt nhiều kiến thức quí báu, kinh nghiệm nghiên cứu khoa học mà bảo cho tác giả phong cách làm việc, thơng cảm, khuyến khích tác giả vượt qua khó khăn, vướng mắc chuyên mơn sống Chính mà tác giả ln tỏ lòng biết ơn sâu sắc kính phục thầy giáo hướng dẫn - Tiến sỹ Trịnh Đào Chiến Nhân đây, tác giả bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến Ban Giám hiệu Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Sau đại học, Khoa Tốn học, Thầy giáo trực tiếp giảng dạy lớp cao học khóa 13 tạo điều kiện tốt thời gian tác giả tham gia khóa học Đồng thời tác giả bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến UBND tỉnh Gia Lai, Sở Giáo dục Đào tạo tỉnh Gia Lai, Ban Giám hiệu Trường THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai động viên tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả tham gia khóa học hồn thành đề tài Để hoàn thành luận văn, tác giả cố gắng tập trung nghiên cứu khoa học, song nhiều, thời gian lực có hạn nên luận văn nhiều vấn đề chưa đề cập khó tránh khỏi thiếu sót định Tác giả mong nhận bảo quý Thầy cô góp ý bạn đọc để luận văn hoàn thiện Chương Một số kiến thức liên quan 1.1 Phương trình hàm Pexider Bài tốn 1.1.1 Nghiệm tổng qt phương trình f (x + y ) = g (x) + h(y ), (1.1) hàm f, g, h xác định liên tục R, f (x) = ax + α + β với a, α, β ∈ R g (x) = ax + β h(x) = ax + α Bài tốn 1.1.2 Nghiệm phương trình f (x + y ) = g (x)h(y ), (1.2) hàm f, g, h xác định liên tục R, f ≡0 f ≡0 f (x) = αβeγ x γ hoặc h≡0 g≡0 g (x) = αe x γ g ∈ CR h ∈ CR h(x) = βe CR tập hợp hàm số liên tục R; α, β, γ ∈ R Bài tốn 1.1.3 Nghiệm phương trình f (xy ) = g (x) + h(y ), hàm số f, g, h xác định liên tục R+ , (1.3) f (x) = a ln x + α + β với a, α, β ∈ R g (x) = a ln x + α h(x) = a ln x + β Bài tốn 1.1.4 Nghiệm phương trình f (xy ) = g (x)h(y ), (1.4) hàm số f, g, h xác định liên tục R+ , f (x) = αβxγ với α, β, γ ∈ R g (x) = αxγ γ h(x) = βx Bài toán 1.1.5 Nghiệm phương trình n n f xi fi (xi ), = i=1 ∀x, xi ∈ R (1.5) hàm số f, fi (i = 1, 2, n) xác định liên tục R, n f (x) = ax + 1.2 , f (ai ) = ax + ; a, ∈ R Một số hệ thức lượng giác tam giác 1.2.1 Các định lí tam giác Định lý 1.2.1 (Định lí sin tam giác) Trong tam giác ABC ta ln có a sin A = b sin B = c sin C = 2R Định lý 1.2.2 (Định lí côsin tam giác) Trong tam giác ABC ta có a2 = b2 + c2 − 2bc cos A, b2 = c2 + a2 − 2ca cos B, c2 = a2 + b2 − 2ab cos C Định lý 1.2.3 (Công thức đường trung tuyến) Trong tam giác ABC ta ln có m2a = 2(b2 + c2 ) − a2 2(c2 + a2 ) − b2 2(a2 + b2 ) − c2 , m2b = , m2c = 4 61 π Ta có g ′ (x) = x(1 + tan2 x) > 0, ∀x ∈ (0, ) Do đó, hàm g tăng nghiêm ngặt g (x) > g (0) = Suy f ′ (λ) > Nên f hàm tăng nghiêm ngặt [2, +∞) Từ đó, ta có F = cosλ A B C A B C + cosλ − cosλ ≥ cos2 + cos2 − cosλ λ λ λ 2 λ = cos( A+B ).cos( A−B C λ ) + (1 − cosλ ) > Vậy, ta có điều phải chứng minh 3.2.2 Áp dụng 3.2.2.1) Theo Bài tốn 3.2.1 thì, tồn tam giác ∆1 với cạnh a1 = √ a, b1 = √ b, c1 = √ c Khi đó, theo Bài tốn 3.2.2, ta có diện tích tam giác ∆1 thỏa mãn √ 16S12 = =2 √ ( b) ( c)2 − S1 = a2 = 4r (4R + r ), bc − tức √ ( a) r (4R + r ) Từ đó, ta có R1 = a1 b1 c1 = S1 h1a = r (4R + r ) pR √ , r1 = √ √ 4R + r a+ b+ c r 1√ 2b + 2c − a (4R + r), m1a = a Vì thế, từ bất đẳng thức có dạng I (a, b, c, S, R, r, , hb , hc , ma , mb , mc ) ≥ 0, tồn bất đẳng thức đối ngẫu có dạng √ √ √ I ( a, b, c, S1 , R1 , r1 , h1a , h1b , h1c , m1a , m1b , m1c ) ≥ 62 Từ số kết nêu trên, ta áp dụng số phép biến đổi "đối ngẫu" để tạo hệ thức khác, vô phong phú Dưới số ví dụ: a) Từ bất đẳng thức a2 + b2 + c2 ≤ 9R2 , Suy - BĐT 3.2.1 : 2r ≤ R b) Từ bất đẳng thức √ 4S + (b − c)2 + (c − a)2 + (a − b)2 ≤ a2 + b2 + c2 , Suy - BĐT 3.2.2: p + √ 3r(4R + r) ≤ 3.2.2.2) Theo Bài tốn 3.2.11, ta có giác Do + hb > hc bc + , √ hb , ca + hc lập thành ba cạnh tam + ≤ hb hc thành ba cạnh tam giác Chẳng hạn, chọn = 1, hb = ab Vậy ta chọn , hb , hc cho √ √ = + + hb hc √ √ , , hb , hc lập √ 5, hc = + 5, √ 5−1 5−5 = 4r Hơn nữa, kết hợp toán áp dụng công thức trên, ta thu nhiều kết khác, chẳng hạn, từ Bài toán 3.2.12, (∗), ta có bất đẳng thức sau - BĐT 3.2.4: m2a + m2b + m2c < 2(ma mb + mb mc + mc ma ) Một cách phối hợp khác, chẳng hạn, từ Bài toán 3.2.11 ta biết lập thành ba cạnh tam giác Do đó, theo tốn 3.2.10, ta có 1 + hb , 1 hb + hc , 1 hc + hay hc ha hb hb hc , , + hb hb + hc hc + lập thành ba cạnh tam giác Từ nhận xét trên, ta thiết lập hb hh hh - BĐT 3.2.5: + b c > c a + hb hb + hc hc + , , hb , hc 64 3.2.2.4) Theo Bài toán 3.2.16 thì, tồn tam giác ∆2 có cạnh a2 = sin A, b2 = sin B, c2 = sin C Trong trường hợp ta có: A2 = A, B2 = B, C2 = C A B C (sin A + sin B + sin C ) = cos cos cos 2 2 1 S2 = a2 b2 sin C2 = sin A sin B sin C 2 a2 sin A R2 = = = sin A2 sin A sin A sin B sin C A S2 B C = sin sin sin r2 = = B C A p2 2 2 cos cos cos 2 sin A sin B sin C S2 = = sin B sin C ha2 = a2 sin A A B C ra2 = sin cos cos 2 p2 = Vì thế, từ bất đẳng thức có dạng I (a, b, c, A, B, C, p, S, R, r, , hb , hc , , rb , rc ) ≥ 0, tồn bất đẳng thức đối ngẫu có dạng I (sin A, sin B, sin C, A2 , B2 , C2 , p2 , S2 , R2 , r2 , h2a , h2b , h2c , r2a , r2b , r2c ) ≥ Sau ta xét số ví dụ: a) Từ bất đẳng thức √ p< √ p−a+ p−b+ √ p−c< 3p, suy - BĐT 3.2.6: 1< tan B tan C + tan b) Từ bất đẳng thức 2r ≤ R, suy - BĐT 3.2.7: < sin A sin B sin C ≤ C tan A + tan A tan B < √ 65 c) Từ bất đẳng thức a(p − a) + b(p − b) + c(p − c) ≤ 9Rr, suy - BĐT 3.2.8: < cos2 A + cos2 B + cos2 C ≤ 2 3.2.2.5) Theo Bài tốn 3.2.17 thì, tồn tam giác ∆3 có cạnh a3 = cos B C A , b3 = cos , c3 = cos 2 Trong trường hợp ta có: A3 = S3 = π − A , B3 = π − B , C3 = π − C A B C A B C cos cos cos , p3 = (cos + cos + cos ), 2 2 2 2 R3 = , r3 = A B C cos cos 2 A B C cos + cos + cos 2 cos Từ đó, ta xét ví dụ sau: a) Từ bất đẳng thức √ a + b + c ≤ 3R 3, suy √ A B C 3 - BĐT 3.2.9: < cos + cos + cos ≤ 2 2 b) Từ bất đẳng thức a4 + b4 + c4 ≥ 16S , suy - BĐT 3.2.10: cos4 A + cos4 A 2 c) Từ bất đẳng thức 2r ≤ R, + cos4 A A A A ≥ 4cos2 cos2 cos2 2 suy A B C A B C + cos + cos ≥ 4cos cos cos 2 2 2 3.2.2.6) Theo Bài toán 3.2.29 ý b) tồn tam giác ∆4 có cạnh - BĐT 3.2.11: cos A λ B λ cosλ , cosλ , cosλ C , với λ ≥ λ 66 Từ đó, ta xét ví dụ sau: a) Từ bất đẳng thức 3(bc + ca + ab) ≤ (a + b + c)2 ≤ 4(bc + ca + ab), suy B C (cos cos )λ ≤ ( - BĐT 3.2.12: λ A cosλ ( ))2 < λ λ B C (cos cos )λ λ λ b) Từ bất đẳng thức a2 + b2 + c2 ≤ < , ( a + b + c) 2 suy -BĐT 3.2.13: A cos ( ) λ λ A cos ( ) < λ A cos ( ) λ λ 2λ ≤ 3.2.2.7) Theo Bài toán 3.2.29 ý a) tồn tam giác ∆5 có cạnh B C A a5 = cos2 , b5 = cos2 , c5 = cos2 2 Khi đó, ta có A cos , S5 = (uv ) 2 p5 = u R5 = −1 v (uv ) , r5 = ( ) u cos cos Trong u= tan A , v= tan A Từ đó, ta xét ví dụ sau: a) Từ bất đẳng thức 8(p − a)(p − b)(p − c) ≤ abc, suy -BĐT 3.2.14: < sin A sin B sin C ≤ b) Từ bất đẳng thức p−a + p−b + p−c ≥ p , A A 67 suy -BĐT 3.2.15: tan A ≥9 tan A c) Từ bất đẳng thức p2 ≥ 27r , suy -BĐT 3.2.16: ( tan A )3 ≥ 27 tan A 2 3.2.2.8) Theo Bài toán 3.2.12 tồn tam giác ∆6 có cạnh a6 = ma , b6 = mb , c6 = mc Khi ta có S6 = ma 3S , S, R6 = , r6 = 3S ma Từ đó, ta xét ví dụ sau: a) Từ bất đẳng thức (abc) ≥ 4S √ 3 , suy √ -BĐT 3.2.17: ( 3S )3 ≤ ( ma ) b) Từ bất đẳng thức 8mb mc ≤ 4a2 + b2 + c2 , suy -BĐT 3.2.18: p(p − a) ≤ m2a 68 3.3 Phương trình bậc ba hệ thức liên quan đến cạnh tam giác Bài toán 3.3.1 Phương trình (3.56) t3 + ut2 + vt + w = với hệ số thực u, v, w có ba nghiệm thực t1 , t2 , t3 độ dài ba cạnh tam giác Giải − 4u3 w + u2 v + 18uvw − 4v − 27w ≥ u < 0, v > 0, w < u − 4uv + 8w > 1) Trước hết ta chứng minh rằng: Phương trình (3.56) có ba nghiệm thực t1 , t2 , t3 (3.57) − 4u3 w + u2 v + 18uvw − 4v − 27w ≥ Thật vậy: Nếu ba nghiệm số thực, ta có (t1 − t2 )2 (t2 − t3 )2 (t3 − t1 )2 = − 4u3 w + u2 v + 18uvw − 4v − 27w ≥ hiển nhiên Ngược lại, giả sử (3.57) (3.56) có nghiệm thực t1 hai nghiệm phức t2 = A + Bi, t3 = A − Bi, (B = 0) nghiệm phân biệt ta có (t1 − t2 )(t2 − t3 )(t3 − t1 ) = 2Bi (t1 − A)2 + B , nghĩa (t1 − t2 )2 (t2 − t3 )2 (t3 − t1 )2 = −4B (t1 − A)2 + B điều này, mâu thuẩn với (3.57) Do đó, (3.57) ba nghiệm số thực 2) Tiếp theo, ta chứng minh rằng: 0, w < (3.58) Thật Nếu ba nghiệm dương chúng phải nghiệm thực, nên ta có (3.57) Ngồi ra, ta có t1 + t2 + t3 = −u > t1 t2 + t2 t3 + t3 t1 = v > t1 t2 t3 = −w > Điều chứng tỏ (3.58) thỏa mãn Ngược lại, (3.58) thỏa mãn theo chứng minh nghiệm (3.56) phải số thực Hơn nữa, có nghiệm t1 ≤ theo (3.58) ta phải có t31 + ut21 + vt1 + w < Điều chứng tỏ t1 ≤ không nghiệm (3.56), vô lí Vậy tất nghiệm phải số dương 3) Sau cùng, ta chứng minh rằng: Phương trình (3.56) có ba nghiệm t1 , t2 , t3 độ dài ba cạnh tam giác thỏa mãn (3.57), (3.58) u3 − 4uv + 8w > (3.59) Thật Ta biết (t1 + t2 − t3 )(t2 + t3 − t1 )(t3 + t1 − t2 ) = u3 − 4uv + 8w Nếu nghiệm phương trình (3.56) độ dài cạnh tam giác chúng số thực dương t1 + t2 − t3 > 0, t2 + t3 − t1 > 0, t3 + t1 − t2 > Điều chứng tỏ (3.57), (3.58) (3.59) thỏa mãn Ngược lại, (3.57), (3.58) thỏa mãn nên nghiệm (3.56) số thực dương Vì (3.59) thỏa mãn nên t1 + t2 − t3 > 0, t2 + t3 − t1 > 0, t3 + t1 − t2 > 70 Thật vậy, ba bất đẳng thức có dấu ngược lại, chẳng hạn t1 + t2 − t3 ≤ theo (3.59) phải có bất đẳng thức có dấu ngược lại, ví dụ t2 + t3 − t1 ≤ 0, từ suy t2 ≤ 0, vơ lí Điều chứng tỏ ba nghiệm dương thỏa (3.59) độ dài ba cạnh tam giác Vậy, toán chứng minh hoàn toàn Từ kết Bài tốn 3.1.1, dựa vào tính chất nghiệm phương trình bậc chứa yếu tố R, r, p tam giác, ta thiết lập kết khác điều kiện tồn tam giác Bài toán 3.3.2 Các cạnh a, b, c tam giác nghiệm phương trình t3 − 2pt2 + (p2 + r + 4Rr )t − 4pRr = (3.60) Giải Giả sử a, b, c ba cạnh tam giác Khi theo định lí sin tam giác, ta có a = 2R sin A = 4R sin Ta lại có A cos A A p − a = r cot an = r A sin A cos Lấy (3.61) chia cho (3.62) theo vế ta sin2 A = ar 4R(p − a) Lấy (3.61) nhân cho (3.62) theo vế ta cos2 A = a(p − a) 4Rr suy A A ar a(p − a) = sin2 + cos2 = + 4Rr 2 4R(p − a) ⇔ ar2 + a(p − a)2 = 4Rr(p − a) ⇔ a3 − 2a2 p + (r + p2 4Rr )a − 4Rrp = Vậy a nghiệm phương trình (3.60) Tương tự, cạnh b, c nghiệm phương trình (3.60) (3.61) (3.62) 71 Vậy a, b, c nghiệm phương trình bậc ba (3.60) Bằng cách tương tự Bài toán 3.3.2 áp dụng kết Bài toán 3.3.1 ta thiết lập nhiều toán khác sau Bài toán 3.3.3 1 a , b , nghiệm phương trình c 4pRrt3 − (p2 + r2 + 4Rr)t2 + 2pt − = Bài toán 3.3.4 1 a , b , lập thành ba cạnh tam giác c (p2 + r2 + 4Rr)3 < 32p2 Rr(p2 + r2 ) Bài toán 3.3.5 p − a, p − b, p − c nghiệm phương trình t3 − pt2 + r (4R + r )t − pr = Bài toán 3.3.6 p − a, p − b, p − c lập thành ba cạnh tam giác p2 < 4r (4R − r ) Bài toán 3.3.7 1 , , p−a p−b p−c nghiệm phương trình pr t3 − r (4R + r )t2 + pt − = Bài toán 3.3.8 p−a , p−b , p−c lập thành ba cạnh tam giác (4R + r)3 < 4p2 (4R − r) Bài toán 3.3.9 , hb , hc nghiệm phương trình 2Rt3 − (p2 + r2 + 4Rr)t2 + 4p2 rt − 4p2 r2 = Bài toán 3.3.10 , hb , hc lập thành ba cạnh tam giác (p2 + r2 + 4Rr)3 < 32p2 Rr(p2 + r2 ) Bài toán 3.3.11 , hb , hc nghiệm phương trình 4p2 r2 t3 − 4p2 rt2 + (p2 + r2 + 4Rr)t − 2R = 72 Bài toán 3.3.12 , rb , rc nghiệm phương trình t3 − (4R + r )t2 + p2 t − p2 r = Bài toán 3.3.13 , rb , rc lập thành ba cạnh tam giác (4R + r)3 < 4p2 (4R − r) Bài toán 3.3.14 , rb , rc nghiệm phương trình p2 rt3 − p2 t2 + (4R + r )t − = Bài toán 3.3.15 , rb , rc lập thành ba cạnh tam giác p2 < 4r (4R − r ) Bài toán 3.3.16 sin A, sin B, sin C nghiệm phương trình 4R2 t3 − 4Rpt2 + (p2 + r2 + 4Rr)t − 2pr = Bài tốn 3.3.17 cosA, cosB, cosC nghiệm phương trình 4R2 t3 − 4R(R + r)t2 + (p2 + r2 − 4R2 )t + (2R + r)2 − p2 = Bài toán 3.3.18 cosA, cosB, cosC lập thành ba cạnh tam giác 2R + r < p p2 (R − r) < R2 (3R + r) Bài toán 3.3.19 tan A, tan B, tan C nghiệm phương trình (p2 − (2R + r)2 )t3 − 2prt2 + (p2 − r2 − 4Rr)t − 2pr = Bài toán 3.3.20 tan A, tan B, tan C lập thành ba cạnh tam giác 2R + r < p p2 r < (8R2 + 4Rr + r − p2 )(p2 − (2R + r )2 ) 73 Bài toán 3.3.21 cot A, cotB, cotC nghiệm phương trình 2prt3 − (p2 − r2 − 4Rr)t2 + 2prt + (2R + r)2 − p2 = Bài toán 3.3.22 cot A, cotB, cotC lập thành ba cạnh tam giác 2R + r < p (p2 − 4Rr − r2 )3 < 16p2 r2 (8R2 + 4Rr + r2 − p) A Bài toán 3.3.23 tan , tan B , tan C nghiệm phương trình pt3 − (4R + r )t2 + pt − r = B C A lập thành ba cạnh tam giác Bài toán 3.3.24 tan , tan , tan 2 4R + r)3 < 4p2 (4R − r) Bài toán 3.3.25 cot A B C , cot , cot nghiệm phương trình 2 rt3 − pt2 + (4R + r )t − p = Bài toán 3.3.26 cot A B C , cot , cot lập thành ba cạnh tam giác 2 p2 < 4r (4R − r ) Bài toán 3.3.27 sin2 A , sin2 B , sin2 C nghiệm phương trình 16R2 t3 − 8R(2R − r)t2 + (p2 + r2 − 8Rr)t − r2 = A B C Bài toán 3.3.28 sin2 , sin2 , sin2 lập thành ba cạnh tam giác 2 8R3 + 4R2 r < p2 (2R − r) B C A Bài toán 3.3.29 cos2 , cos2 , cos2 nghiệm phương trình 2 16R2 t3 − 8R(4R + r)t2 + (p2 + (4R + r)2 )t − p2 = 74 KẾT LUẬN Luận văn đề cập vấn đề sau đây: Một số dạng tổng quát phương trình hàm Pexider áp dụng Một số phép biến đổi bảo toàn yếu tố góc tam giác áp dụng chúng Một số phép biến đổi bảo toàn yếu tố cạnh tam giác áp dụng chúng Khá nhiều dạng toán đẳng thức, bất đẳng thức tự sáng tác Luận văn tài liệu cho giáo viên dùng cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi dùng cho học sinh giỏi phổ thông Trung học 75 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn văn Mậu (2005), Bất đẳng thức định lý áp dụng, NXB Giáo dục [2] Nguyễn Văn Mậu, Trần Nam Dũng, Nguyễn Vũ Lương, Nguyễn Minh Tuấn (2008), Chuyên đề chọn lọc lượng giác áp dụng, NXB Giáo dục [3] Nguyễn Văn Mậu, Trịnh Đào Chiến, Trần Nam Dũng (2008), Chuyên đề chọn lọc đa thức áp dụng, NXB Giáo dục [4] Phan Huy Khải (1998), 10.000 toán sơ cấp, bất đẳng thức hình học, NXB Hà Nội [5] Trần Phương (2010), Tuyển tập chuyên đề luyện thi đại học môn Toán - Hệ thức lượng giác, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội [6] Tạ Duy Phượng (2006), Phương trình bậc ba hệ thức tam giác, NXB Giáo dục [7] Tạ Duy Phượng, Lê Thị Thu Huyền, Phùng Thị Oanh(2011) Sáng tạo chứng minh hệ thức lượng giác tam giác nhờ phép biến đổi tuyến tính góc, THTT số 405, 406 [8] D.S Mitrinovic, J.E Pecaric and V.Olenec (1989), Recent advances in geometric inequalities, Mathematics and its application( East Euro - pean series), Published by Kluwer Academic Publishers, the Nether - lands [9] Pl Kannappan (2009), Functional Equations and Inequalities with Applicantions,Springer [10] R Z Djordjevic, R R Janic, Dragoslav S Mitrinovic, Petar M Vasic (1969), Geometric Inequalities ... Chương Phép biến đổi bảo toàn yếu tố cạnh tam giác 29 3.1 Một số phép biến đổi bảo toàn yếu tố cạnh tam giác 29 3.2 Một số toán liên quan đến bảo toàn yếu tố cạnh tam giác 36 3.2.1 Một số. .. Chương Phép biến đổi bảo toàn yếu tố góc tam giác Trong phép biến đổi liên quan đến yếu tố góc tam giác, câu hỏi tự nhiên đặt ra: phép biến đổi bảo tồn yếu tố góc tam giác? Trong chương này, luận văn. .. TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN VÕ HOÀNG THÂN MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI CÁC YẾU TỐ CỦA TAM GIÁC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS