Chủ đề 4.1 NGUYÊN HÀM A KIẾN THỨC CƠ BẢN I NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT Nguyên hàm Định nghĩa: Cho hàm số f ( x ) xác định K ( K khoảng, đoạn hay nửa khoảng) Hàm số F ( x ) gọi nguyên hàm hàm số f ( x ) K F ' ( x ) = f ( x ) với x ∈ K Định lí: 1) Nếu F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) K với số C , hàm số G ( x ) = F ( x ) + C nguyên hàm f ( x ) K 2) Nếu F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) K nguyên hàm f ( x ) K có dạng F ( x ) + C , với C số Do F ( x ) + C , C ∈ ¡ họ tất nguyên hàm f ( x ) K Ký hiệu ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C Tính chất nguyên hàm Tính chất 1: ( ∫ f ( x ) dx ) ′ = f ( x ) ∫ f ' ( x ) dx = f ( x ) + C Tính chất 2: ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx với k số khác Tính chất 3: ∫  f ( x ) ± g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx Sự tồn nguyên hàm Định lí: Mọi hàm số f ( x ) liên tục K có nguyên hàm K Bảng nguyên hàm số hàm số sơ cấp Nguyên hàm hàm số sơ cấp Nguyên hàm hàm số hợp ( u = u ( x ) ) ∫ dx = x + C ∫ du = u + C ∫x ∫u α dx = α+1 x + C ( α ≠ −1) α +1 ∫ x dx = ln x + C ∫ e dx = e + C x x ax + C ( a > 0, a ≠ 1) ln a ∫ sin xdx = − cos x + C α du = α+1 u + C ( α ≠ −1) α +1 ∫ u du = ln u + C ∫ e du = e + C u u au + C ( a > 0, a ≠ 1) ln a ∫ sin udu = − cos u + C x ∫ a dx = u ∫ a du = ∫ cos xdx = sin x + C ∫ cos udu = sin u + C ∫ cos x ∫ sin x dx = tan x + C ∫ cos dx = − cot x + C ∫ sin u u du = tan u + C du = − cot u + C II PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM Phương pháp đổi biến số Chuyên đề 4.1 Nguyên hàm 1|THBTN Định lí 1: Nếu ∫ f ( u ) du = F ( u ) + C u = u ( x ) hàm số có đạo hàm liên tục ∫ f ( u ( x ) ) u ' ( x ) dx = F ( u ( x ) ) + C Hệ quả: Nếu u = ax + b ( a ≠ ) ta có ∫ f ( ax + b ) dx = F ( ax + b ) + C a Phương pháp nguyên hàm phần Định lí 2: Nếu hai hàm số u = u ( x ) v = v ( x ) có đạo hàm liên tục K ∫ u ( x ) v ' ( x ) dx = u ( x ) v ( x ) − ∫ u ' ( x ) v ( x ) dx Hay ∫ udv = uv − ∫ vdu B KỸ NĂNG CƠ BẢN - Tìm nguyên hàm phương pháp biến đổi trực tiếp - Tìm nguyên hàm phương pháp đổi biến số - Tìm nguyên hàm phương pháp nguyên hàm phần C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Nguyên hàm hàm số f ( x ) = x + x + hàm số hàm số sau? A F ( x ) = x 3x + + 2x + C B F ( x ) = x4 + 3x + x + C C F ( x ) = x4 x2 + + 2x + C 2 D F ( x ) = x + x + C Hướng dẫn giải: Sử dụng bảng nguyên hàm Câu Hàm số F ( x ) = x + x − x + 120 + C họ nguyên hàm hàm số sau đây? A f ( x ) = 15 x + x − C f ( x ) = B f ( x ) = x + x + x x3 x + − 2 D f ( x ) = x + x − Hướng dẫn giải: Lấy đạo hàm hàm số F ( x ) ta kết Câu Họ nguyên hàm hàm số: y = x − 3x + x3 − x + ln x + C x3 C F ( x ) = + x + ln x + C A F ( x ) = 2|THBTN x x3 − x + ln x + C D F ( x ) = x − − + C x B F ( x ) = Chuyên đề 4.1 Nguyên hàm Hướng dẫn giải: Sử dụng bảng nguyên hàm Câu Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = ( x + 1) ( x + ) x3 2 + x + 2x + C 3 x3 C F ( x ) = x + + C D F ( x ) = − x + x + C 3 f x = x + x + = x + x + )( ) Hướng dẫn giải: ( ) ( Sử dụng bảng nguyên hàm A F ( x ) = Câu x3 + x + 2x + C B F ( x ) = Nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) = 2 + + hàm số nào? − 2x x x A F ( x ) = − ln − x + ln x − + C x C F ( x ) = ln − x + ln x − +C x B F ( x ) = − ln − x + ln x + +C x D F ( x ) = − ln − x − ln x + +C x Hướng dẫn giải: Sử dụng bảng nguyên hàm 4.1.2 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Câu Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) = sin x A ∫ sin xdx = − cos x + C B ∫ sin xdx = cos x + C C ∫ sin xdx = cos x + C D ∫ sin xdx = − cos x + C Hướng dẫn giải ∫ sin xdx = Câu π  Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = cos  3x + ÷ 6  π  A ∫ f ( x)dx = sin  3x + ÷ + C C ∫ f ( x)dx = − sin  3x + ÷ + C  Hướng dẫn giải: Câu 1 sin xd (2 x) = − cos x + C ∫ 2 π  ∫ f ( x).dx = sin  3x + ÷ + C D ∫ f ( x)dx = sin  3x + ÷ + C π  π π   π ∫ f ( x)dx = ∫ cos  3x + ÷ d  3x + ÷ = sin  3x + ÷+ C Tìm ngun hàm hàm số f ( x ) = + tan x A ∫ f ( x)dx = tan + C C ∫ f ( x)dx = tan + C π  B x Chuyên đề 4.1 Nguyên hàm x x B ∫ f ( x)dx = tan + C D ∫ f ( x)dx = −2 tan + C x 3|THBTN  x d ÷ dx x 2 ∫ x = 2∫ x = tan + C cos cos 2 x f ( x) = + tan = Hướng dẫn giải: cos x nên 2 Câu Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) = π  sin  x + ÷ 3  π  A ∫ f ( x)dx = − cot  x + ÷ + C C ∫ f ( x)dx = cot  x + ÷ + C π   π B ∫ f ( x)dx = − cot  x + ÷ + C D ∫ f ( x)dx = cot  x + ÷ + C  π π  dx+ ÷ dx π 3  =∫  = − cot  x + ÷+ C Hướng dẫn giải: ∫ π π 3    sin  x + ÷ sin  x + ÷ 3 3   Câu 10 Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) = sin x.cos x A C sin x +C ∫ f ( x )dx = ∫ sin x f ( x )dx = +C B D Hướng dẫn giải ∫ sin x.cos x.dx = ∫ sin x.d (sin x ) = sin x +C ∫ f ( x)dx = − ∫ sin x f ( x)dx = − +C sin x +C 4.1.3 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ, LƠGARIT Câu 11 Tìm ngun hàm hàm số f ( x ) = e x − e − x ∫ f ( x ) dx = e C ∫ f ( x ) dx = e A x + e− x + C x − e− x + C Hướng dẫn giải: ∫( e x ∫ f ( x ) dx = −e D ∫ f ( x ) dx = −e B − e − x ) dx = e x + e − x + C x + e− x + C x − e− x + C Câu 12 Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = x.3−2 x A C x ∫ 2 f ( x ) dx =  ÷ +C   ln − ln ∫ 2 f ( x ) dx =  ÷ +C   ln − ln B x Hướng dẫn giải: ∫ x −2 x D x x ∫ 9 f ( x ) dx =  ÷ +C   ln − ln ∫ 2 f ( x ) dx =  ÷ +C   ln + ln x x 2 2 dx = ∫  ÷ dx =  ÷ +C 9   ln − ln Câu 13 Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = e x (3 + e − x ) A F ( x) = 3e x + x + C 4|THBTN B F ( x) = 3e x + e x ln e x + C Chuyên đề 4.1 Nguyên hàm x C F ( x ) = 3e − +C ex D F ( x) = 3e x − x + C x −x x x Hướng dẫn giải: F( x ) = ∫ e (3 + e )dx = ∫ (3e + 1)dx = 3e + x + C x Câu 14 Hàm số F ( x ) = 7e − tan x nguyên hàm hàm số sau đây? e− x  x f x = e − A ( )  ÷ cos x   x B f ( x ) = 7e + x C f ( x ) = 7e + tan x −   x D f ( x ) =  e − ÷ cos x   Hướng dẫn giải: Ta có g '( x) = 7e x − cos x e− x x = e (7 − ) = f ( x) cos x cos x Câu 15 Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = e x − x −1 +C B ∫ f ( x ) dx = e x −2 +C D ∫ f ( x ) dx = A ∫ f ( x ) dx = e C ∫ f ( x ) dx = e x −1 +C e x −1 + C 2x −1 + C e x − dx = ∫ e x−1dx = e x −1 + C 4.1.4 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ CHỨA CĂN THỨC Câu 16 Nguyên hàm hàm số f ( x ) = 2x −1 Hướng dẫn giải: ∫ A ∫ f ( x ) dx = 2x −1 + C B ∫ f ( x ) dx = C ∫ f ( x ) dx = 2x −1 +C D ∫ f ( x ) dx = −2 2x −1 + C 1 d ( x − 1) dx = ∫ = 2x −1 + C 2x −1 2x −1 Câu 17 Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = 3− x Hướng dẫn giải: ∫ ∫ f ( x ) dx = −2 − x + C C ∫ f ( x ) dx = − x + C A Hướng dẫn giải: ∫ ∫ f ( x ) dx = − − x + C D ∫ f ( x ) dx = −3 − x + C B d ( − x) dx = − ∫ = −2 − x + C 3− x 3− x Câu 18 Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = x + A ∫ f ( x ) dx = ( x + 1) C ∫ f ( x ) dx = − 2x +1 + C 2x +1 + C B ∫ f ( x ) dx = ( x + 1) D ∫ f ( x ) dx = 2x + + C 2x + + C Hướng dẫn giải: Đặt t = x + ⇒ dx = tdt ⇒ ∫ x + 1dx= ∫ t dt = t3 + C = ( x + 1) x + + C 3 Chuyên đề 4.1 Nguyên hàm 5|THBTN Câu 19 Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = − 3x A ∫ f ( x ) dx = − ( − 3x ) C ∫ f ( x ) dx = ( − 3x ) − 3x + C − 3x Hướng dẫn giải: Đặt t = − 3x ⇒ dx = − ∫ − xdx = − B ∫ f ( x ) dx = − ( − 3x ) D ∫ f ( x ) dx = − − 3x − 3x + C 2tdt ( − 3x ) − 3x + C Câu 20 Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = x − A C ∫ f ( x ) dx = ( x − ) ∫ f ( x ) dx = x−2 +C B ( x − 2) x − D ∫ f ( x ) dx = − ( x − ) ∫ x−2 +C − ( x − 2) + C 3 x − 2dx = ( x − ) x − + C f ( x ) dx = Hướng dẫn giải: Đặt t = x − ⇒ dx = 3t dt Khi ∫ Câu 21 Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = − 3x A C ∫ f ( x ) dx = − ( − 3x ) ∫ f ( x ) dx = − 3x + C ( − 3x ) − 3x + C B ∫ f ( x ) dx = − ( − 3x ) D f ( x ) dx = − ( − x ) ∫ Hướng dẫn giải: Đặt t = − 3x ⇒ dx = −t dt Khi ∫ − xdx = − − 3 − 3x + C +C ( − 3x ) − x + C Câu 22 Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = e3 x A C ∫ e3 x f ( x ) dx = +C ∫ e3 x f ( x ) dx = +C Hướng dẫn giải: ∫ B ∫ f ( x ) dx = e3 x +C 3x+2 D ∫ 2e f ( x ) dx = +C 3x + 2 32x  x  32x e3 x e dx = ∫ e d  ÷ = e + C = +C 3   3x Câu 23 Hàm số F ( x ) = ( x + 1) x + + 2016 nguyên hàm hàm số sau đây? ( x + 1) x + 2 C f ( x ) = ( x + 1) x + A f ( x ) = Hướng dẫn giải: F ' ( x ) = B f ( x ) = ( x + 1) x + + C D f ( x ) = ( x + 1) x + + C ( x + 1) x + Câu 24 Biết nguyên hàm hàm số f ( x) = + hàm số F ( x ) thỏa mãn F ( −1) = − 3x Khi F ( x ) hàm số sau đây? 6|THBTN Chuyên đề 4.1 Nguyên hàm 2 − 3x + − 3x − B F ( x ) = x − 3 2 − 3x + 1 − 3x C F ( x ) = x − D F ( x ) = − 3 Hướng dẫn giải d ( − 3x )   F ( x) = ∫  + 1÷dx = − ∫ + x = x− − 3x + C 3 − 3x  − 3x  A F ( x ) = x − F ( −1) = 2 ⇒ C = ⇒ F ( x) = x − − 3x + 3 Câu 25 Biết F ( x) = − x nguyên hàm hàm số f ( x ) = A −3 B C a Khi giá trị a 1− x D −3 ⇒ a = −3 1− x 4.1.5 PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN ( Hướng dẫn giải: F '( x) = − x )′ = Câu 26 Tính F ( x) = ∫ x sin xdx A F ( x) = sin x − x cos x + C B F ( x) = x sin x − cos x + C C F ( x) = sin x + x cos x + C D F ( x) = x sin x + cos x + C Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm phần Phương pháp trắc nghiệm: d Cách 1: Dùng định nghĩa, sử dụng máy tính nhập ( F ( x) ) − f ( x) , CALC ngẫu nhiên dx số điểm x0 thuộc tập xác định, kết xấp xỉ chọn Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng u đạo hàm u dv nguyên hàm v x ++ sin x − cos x -+ − sin x Vậy F ( x ) = sin x − x cos x + C Câu 27 Tính ∫ x ln xdx Chọn kết đúng: 2 x ln x − ln x + + C B x ln x − ln x + + C 2 2 C x ln x + ln x + + C D x ln x + ln x + + C Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm phần lần Phương pháp trắc nghiệm Cách 1: Sử dụng định nghĩa F '( x) = f ( x ) ⇔ F '( x) − f ( x) = d Nhập máy tính ( F ( x) ) − f ( x) CALC x số giá trị ngẫu nhiên x0 tập xác định, dx kết xấp xỉ chọn A ( ) ( ) ( ) ( ) Chuyên đề 4.1 Nguyên hàm 7|THBTN Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng: u đạo hàm u + ln x ln x x ln x (chuyển qua dv ) x x 1 (chuyển qua dv ) + x dv nguyên hàm v x x2 2 x (nhận từ u ) x x2 x (nhận từ u ) x x2 2 2 2 Do ∫ x ln xdx = x ln x − x ln x + x + C = x ln x − ln x + + C 2 4 ( ) Câu 28 Tính F ( x) = ∫ x sin x cos xdx Chọn kết đúng: x A F ( x) = sin x − cos x + C x C F ( x) = sin x + cos x + C Hướng dẫn giải: x cos x − sin x + C −1 x D F ( x) = sin x − cos x + C B F ( x) = Phương pháp tự luận: Biến đổi sin x cos x = sin x sử dụng phương pháp nguyên hàm phần Phương pháp trắc nghiệm: Cách 1: Sử dụng định nghĩa F '( x) = f ( x ) ⇔ F '( x) − f ( x) = d ( F ( x) ) − f ( x) CALC x số giá trị ngẫu nhiên x0 tập xác định, dx kết xấp xỉ chọn Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng Nhập máy tính x Câu 29 Tính F ( x) = xe dx Chọn kết ∫ x x A F ( x) = 3( x − 3)e + C B F ( x) = ( x + 3)e + C x − 3x C F ( x) = e +C Hướng dẫn giải: x + 3x D F ( x) = e +C x Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm phần với u = x, dv = e dx Phương pháp trắc nghiệm: Cách 1: Sử dụng định nghĩa F '( x) = f ( x ) ⇔ F '( x) − f ( x) = d Nhập máy tính ( F ( x) ) − f ( x) CALC x số giá trị ngẫu nhiên x0 tập xác định, dx kết xấp xỉ chọn Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng 8|THBTN Chuyên đề 4.1 Nguyên hàm x dx Chọn kết cos x A F ( x) = x tan x + ln | cos x | +C Câu 30 Tính F ( x) = ∫ C F ( x) = − x tan x + ln | cos x | +C Hướng dẫn giải: B F ( x) = − x cot x + ln | cos x | +C D F ( x) = − x cot x − ln | cos x | +C Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm phần với u = x, dv = dx cos x Phương pháp trắc nghiệm: Cách 1: Sử dụng định nghĩa F '( x) = f ( x ) ⇔ F '( x) − f ( x) = d Nhập máy tính ( F ( x) ) − f ( x) CALC x số giá trị ngẫu nhiên x0 tập xác định, dx kết xấp xỉ chọn Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng Câu 31 Tính F ( x) = ∫ x cos xdx Chọn kết A F ( x) = ( x − 2)sin x + x cos x + C B F ( x) = x sin x − x cos x + sin x + C C F ( x) = x sin x − x cos x + 2sin x + C D F ( x) = (2 x + x ) cos x − x sin x + C Hướng dẫn giải: Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm phần lần với u = x ; dv = cos xdx , sau u1 = x; dv1 = sin xdx Phương pháp trắc nghiệm: Cách 1: Sử dụng định nghĩa F '( x) = f ( x ) ⇔ F '( x) − f ( x) = d Nhập máy tính ( F ( x) ) − f ( x) CALC x số giá trị ngẫu nhiên x0 tập xác định, dx kết xấp xỉ chọn Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng Câu 32 Tính F ( x) = ∫ x sin xdx Chọn kết 1 A F ( x) = − (2 x cos x − sin x) + C B F ( x) = (2 x cos x − sin x) + C 4 1 C F ( x) = − (2 x cos x + sin x) + C D F ( x) = (2 x cos x + sin x) + C 4 Hướng dẫn giải: Sử dụng phương pháp nguyên hàm phần với u = x; dv = sin xdx Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng sử dụng máy tính: Nhập d ( F ( x )) − f ( x ) , CALC ngẫu nhiên số điểm x0 bất kỳ, kết xấp xỉ dx chọn đáp án Câu 33 Hàm số F ( x) = x sin x + cos x + 2017 nguyên hàm hàm số nào? A f ( x ) = x cos x B f ( x ) = x sin x C f ( x ) = − x cos x D f ( x) = − x sin x Hướng dẫn giải: Phương pháp tự luận: Tính F '( x) có kết trùng với đáp án chọn Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng định nghĩa F '( x) = f ( x ) ⇔ F '( x) − f ( x) = Chuyên đề 4.1 Nguyên hàm 9|THBTN d ( F ( x) ) − f ( x) CALC x số giá trị ngẫu nhiên x0 tập xác định, dx kết xấp xỉ chọn + ln( x + 1) dx Khẳng định sau sai? Câu 34 Tính ∫ x2 −1 + ln( x + 1) x + ln( x + 1) x + ln +C + ln +C A B − x x +1 x x +1 x +1 + ln( x + 1) − ln x + + ln x + C C − D − ( + ln( x + 1) ) + ln | x | +C x x Hướng dẫn giải: Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm phần với Nhập máy tính 1 dx biến đổi đặt u = ln( x + 1); dv == − dx x x Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng máy tính kiểm tra định nghĩa 4.1.6 ƠN TẬP Câu 35 Hãy chọn mệnh đề u = + ln( x + 1); dv = − A ∫ a x dx = ax + C ( < a ≠ 1) ln a B ∫ xα dx = C ∫ f ( x).g ( x) dx = ∫ f ( x) dx.∫ g( x)dx D ∫ xα +1 + C , ∀α ∈ R α +1 f ( x) ∫ f ( x)dx dx = g ( x) ∫ g( x)dx Hướng dẫn giải: A B sai thiếu điều kiện α =/ −1 ; C, D sai khơng có tính chất Câu 36 Mệnh đề sau sai? A ∫ sin xdx = cos x + C B ∫ dx = ln x + C , x ≠ x x a x x D ∫ a x dx = C ∫ e dx = e + C + C , (0 < a ≠ 1) ln a Hướng dẫn giải: ∫ sin xdx = − cos x + C Câu 37 Hàm số f ( x ) = x − x + + có nguyên hàm x x x3 − + x + ln x + C C F ( x) = x − x − + C x A F ( x) = B F ( x) = x − x3 + 3x + ln x + C D F ( x) = x − x + 3x + ln x + C x x3 Hướng dẫn giải: F ( x) = ∫ ( x3 − x + + )dx = − + x + ln x + C x Câu 38 Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = tan x A F ( x ) = tan x − x + C B F ( x ) = − tan x + x + C C F ( x ) = tan x + x + C D F ( x ) = − tan x − x + C  − 1÷dx = tan x − x + C x  Câu 39 Hàm số F ( x) = sin x − cos x + nguyên hàm hàm số sau đây? Hướng dẫn giải: 10 | T H B T N  ∫ f ( x)dx = ∫  cos Chuyên đề 4.1 Nguyên hàm Hướng dẫn giải: Câu 103 Tính ∫ 12 x +   dx = ∫  + ÷dx = x + ln x + + C 3x + 3x +   2x2 + x ∫ x − dx x2 + x + ln x − + C 2 x C + x + ln(2 x − 1) + C 2 A x2 + x + ln x − + C x2 D + x + ln(2 x − 1) + C B 2x2 + x  x2  dx = ∫  x + + Hướng dẫn giải: ∫ ÷dx = + x + x − + C 2x −1 2x −1  2  −x dx Câu 104 Tính ∫ ( x + 1) − ln x + + C x +1 + ln x + + C C − x +1 − ln x + + C x +1 − ln( x + 1) + C D − x +1  −x  dx = ∫  − − ln x + + C Hướng dẫn giải: ∫ ÷dx = − 2 ( x + 1) x +1  x +1  ( x + 1) A − B Câu 105 Tính ∫ sin x(2 + cos x)dx A −2 cos x − cos x + C C cos x + cos x + C B cos x − cos x + C D cos x + cos x + C 1 Hướng dẫn giải: ∫ sin x(2 + cos x)dx = ∫ (2sin x + sin x) dx = − cos x − cos x + C Câu 106 Tính ∫ x.2 dx bằng: x x.2 x 2x A − +C ln ln 2 C x ( x + 1) + C Hướng dẫn giải x ( x − 1) B +C ln D x ( x − 1) + C  du = dx u = x  x.2 x 2x x.2 x 2x x x ⇒ Đặt  Ta có x dx = − dx = − +C  x ∫ ln ∫ ln ln ln 2  dv = dx v =  ln Câu 107 Tính ∫ ln xdx bằng: A x ln x − x + C ln x − x + C x Hướng dẫn giải C Chuyên đề 4.1 Nguyên hàm x2 ln x + C D x ln x − + C x B x ln x − 25 | T H B T N  u = ln x du = dx ⇒ x Ta có ∫ ln xdx = x ln x − ∫ dx =x ln x − x + C Đặt   dv = dx v = x  Câu 108 Tính ∫ x ln( x − 1)dx bằng: x2 − x+C x2 C ( x + 1) ln( x − 1) − − x + C Hướng dẫn giải  dx u = ln( x − 1) du = ⇒ x −1 Đặt   dv = xdx v = x −  A ( x − 1) ln( x − 1) − x2 − x+C x2 D ( x − 1) ln( x − 1) − + x + C B x ln( x − 1) − Ta có ∫ x ln( x − 1)dx = ( x − 1) ln( x − 1) − ∫ ( x + 1) dx =( x − 1) ln( x − 1) −   Câu 109 Tính ∫  sin x + ÷dx bằng: cos x   A − cos x + tan x + C C cos x − tan x + C x2 − x+C B cos x + tan x + C +C D − cos x − cos x   Hướng dẫn giải: Ta có ∫  sin x + ÷dx = − cos x + tan x + C cos x   Câu 110 Hàm số F ( x) = ln sin x − cos x nguyên hàm hàm số A f ( x ) = sin x + cos x sin x − cos x C f ( x ) = sin x + cos x sin x − cos x sin x + cos x D f ( x ) = sin x − cos x B f ( x) = (sin x − cos x) ' cos x + sin x = sin x − cos x sin x − cos x Câu 111 Một nguyên hàm F ( x) hàm số f ( x) = x − x + thỏa mãn điều kiện F (−2) = là: Hướng dẫn giải: Ta có F '( x) = 37 x − x +x− 3 C F ( x) = x − x + x Hướng dẫn giải A F ( x) = x − x + x+C 3 37 D F ( x) = x − x + x + 3 B F ( x) = 37 Ta có F ( x) = ∫ (3 x − x + 1) = x − x + x + C F (−2) = ⇔ C = − 3 37 Vậy F ( x) = x − x + x − 3 VẬN DỤNG CAO 4.1.1 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ ĐA THỨC, PHÂN THỨC 26 | T H B T N Chuyên đề 4.1 Nguyên hàm Câu 112 Kết tính − x3 + 5x + ∫ − x dx x2 − ln − x + C x3 C − ln − x + C x2 + ln − x + C x3 D + ln x − + C A B Hướng dẫn giải − x3 + x + x3 − x − ( x + ) ( x − x − 1) = = = x− Sử dụng bảng nguyên hàm 2 4− x x −4 x−2 ( x + 2) ( x − 2) Câu 113 Họ nguyên hàm f ( x ) = x ( x + 1) A F ( x ) = x + 1) + C ( 18 B F ( x ) = 18 ( x + 1) + C 6 x + 1) + C ( Hướng dẫn giải: Đặt t = x + ⇒ dt = 3x dx Khi 6 3 x x + dx = t dt = t + C = x + +C ( ) ( ) ∫ 3∫ 18 18 C F ( x ) = ( x + 1) + C D F ( x ) = x + x + x3 + Câu 114 Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = hàm số nào? x3 A F ( x ) = ln x − C F ( x ) = 1 + x− +C x 2x x 3x − + ln x + C Hướng dẫn giải: f ( x ) = B F ( x ) = ln x + D F ( x ) = 1 + x− +C x 2x x 3x + + ln x + C x + x + x3 + 1 1 = + + + Sử dụng bảng nguyên hàm x x x x Câu 115 Giá trị m để hàm số F ( x ) = mx + ( 3m + ) x − x + nguyên hàm hàm số f ( x ) = 3x + 10 x − là: A m = B m = Hướng dẫn giải: ∫ ( 3x C m = D m = + 10 x − ) dx = x + x − x + C , nên m = Câu 116 Gọi F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = sin ( x ) thoả mãn F ( ) = Khi F ( x ) là: A F ( x ) = 1 ( x + 1) − sin x + sin x 8 64 1 C F ( x ) = x − sin x + sin x + 8 64 1 B F ( x ) = x − sin x + sin x 8 64 D F ( x ) = x − sin x + sin x + Hướng dẫn giải Chuyên đề 4.1 Nguyên hàm 27 | T H B T N 1 + cos8 x   − cos x  sin ( x ) =  ÷ = ( − cos x + cos x ) = 1 − cos x + ÷ 4    cos x cos8 x = − + 8 sin x sin x  cos x cos8 x  + + +C Nên ∫ sin ( x ) dx = ∫  − ÷dx = x −  8 64 8 Vì F ( ) = nên suy đáp án Câu 117 Biết hàm số f ( x) = (6 x + 1) có nguyên hàm F ( x) = ax + bx + cx + d thoả mãn điều kiện F (−1) = 20 Tính tổng a + b + c + d A 46 C 36 B 44 D 54 Hướng dẫn giải ∫ ( x + 1) dx = ∫ ( 36 x + 12 x + 1) dx = 12 x + x + x + C nên a = 12; b = 6; c = Thay F (−1) = 20 d = 27 , cộng lại chọn đáp án Câu 118 Hàm số f ( x ) = x x + có nguyên hàm F ( x ) Nếu F ( ) = F ( 3) A 146 15 B 116 15 C 886 105 D 105 886 Hướng dẫn giải: Đặt t = x + ⇒ 2tdt = dx ∫ x x + 1dx = ∫ ( 2t − 2t ) dt = t − t + C = Vì F ( ) = nên C = ( ) x +1 − ( ) x +1 + C 34 Thay x = ta đáp án 15 Câu 119 Gọi F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x) = x cos x thỏa mãn F ( ) = Khi phát biểu sau đúng? A F ( x ) hàm số chẵn B F ( x ) hàm số lẻ C Hàm số F ( x ) tuần hồn với chu kì 2π D Hàm số F ( x ) không hàm số chẵn không hàm số lẻ Hướng dẫn giải ∫ x cos xdx = x sin x + cos x + C F ( ) = nên C = Do F ( x ) hàm số chẵn 28 | T H B T N Chuyên đề 4.1 Nguyên hàm Câu 120 Một nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) = sin x A ln + sin x thỏa mãn F ( ) = sin x + B ln + sin x C ln + sin x D ln cos x Hướng dẫn giải: Đặt t = sin x + ⇒ dt = 2sin x cos xdx sin x dt dx = ∫ = ln t + C = ln sin x + + C x+3 t ∫ sin F ( ) = nên C = − ln Chọn đáp án 4m + sin x Tìm m để nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) thỏa mãn F ( ) = π π π   F  ÷ = 4 Câu 121 Cho f ( x ) = A − B C − D 4m x sin x  4m  + sin x ÷dx = x+ − + C F ( ) = nên C = Hướng dẫn giải: ∫  π  π  π  π F  ÷ = nên tính m = − 4 4.1.2 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Câu 122 Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = A ∫ f ( x)dx = ln sin x − ln − sin C ∫ f ( x)dx = ln sin x − ln − sin sin x.cos x x +C x +C B ∫ f ( x)dx = ln sin x + ln − sin D ∫ f ( x)dx = − ln sin x − ln − sin x +C x +C Hướng dẫn giải d ( sin x ) dx cos xdx d sin x d sin x d sin x = = ∫ sin x.cos x ∫ sin x.cos x ∫ sin x ( − sin x ) = 12 ∫ −( sin x) + ∫ (sin x ) − 12 ∫ +( sin x) = −1 1 ln − sin x + ln sin x − ln + sin x + C = ln sin x − ln − sin x + C 2 Câu 123 Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) = 2sin x + cos x 2 A ∫ f ( x)dx = cos x − cos x + C B ∫ f ( x)dx = cos C ∫ f ( x)dx = cos x + cos x + C D ∫ f ( x)dx = cos x − cos x + C x + cos x + C Hướng dẫn giải Chuyên đề 4.1 Nguyên hàm 29 | T H B T N 2sin x 2sin x cos x − dx = sin xdx = ∫ + cos x ∫ + cos x ∫ + cos x d ( cos x ) = ∫ ( cos x − 1) d ( cos x ) = cos x − cos x + C Câu 124 Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = A ∫ f ( x).dx = cos3 x sin x − cot x +C B ∫ f ( x).dx = cot x +C cot x tan x D ∫ f ( x).dx = + C ∫ f ( x).dx = + C cos3 xdx dx − cot x 3 Hướng dẫn giải ∫ = cot x = − cot x d cot x = +C ( ) ∫ ∫ sin x sin x C 4 Câu 125 Tìm nguyên hàm hàm số: f ( x ) = cos x ( sin x + cos x ) 1 A ∫ f ( x).dx = sin x − 12 sin C ∫ f ( x).dx = sin x − sin 3 2x + C 2x + C 1 1 B ∫ f ( x).dx = sin x + 12 sin D ∫ f ( x).dx = sin x − sin 3 2x + C 2x + C Hướng dẫn giải ∫ cos x ( sin x + cos x ) dx = ∫ cos x ( sin x + cos x ) − 2sin x.cos x  dx   = ∫ cos x 1 − sin 2 x ÷dx = ∫ cos xdx − ∫ sin 2 x.cos xdx   1 = ∫ cos xdx − ∫ sin 2 x.d ( sin x ) = sin x − sin x + C 12 2sin x Câu 126 Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = ( tan x + e ) cos x A ∫ f ( x)dx = − cos x + e C ∫ f ( x)dx = − cos x + e 2sin x 2sin x +C +C B ∫ f ( x)dx = cos x + e D ∫ f ( x)dx = − cos x − e 2sin x +C 2sin x +C Hướng dẫn giải ∫ ( tan x + e 2sin x ) cos xdx = ∫ sin xdx + ∫ e Câu 127 Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = ∫ f ( x)dx = − 30 | T H B T N d ( sin x ) = − cos x + e2sin x + C sin x + cos x +  x 3π  cot  + ÷+ C 2   x 3π  cot  + C ∫ f ( x)dx = − ÷+ C 2  Hướng dẫn giải A 2sin x  x 3π  cot  + ÷+ C 2   x 3π  f ( x)dx = − cot  − ÷+ C 2  B ∫ f ( x)dx = D ∫ Chuyên đề 4.1 Nguyên hàm dx dx ∫ π  2 sin  x + π  + sin  x + ÷+  ÷ 4 4   dx dx  x 3π = = =− cot  + ∫ ∫  x π 2sin  x + 3π  2  x π   ÷ sin + + cos +  ÷  ÷  ÷ 2     2 8 4.1.3 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ, LÔGARIT Câu 128 Hàm số F ( x) = ln sin x − cos x nguyên hàm hàm số ∫ sin x + cos x + dx =∫ = sin x + cos x sin x − cos x C f ( x ) = sin x + cos x  ÷+ C  sin x − cos x sin x + cos x D f ( x) = sin x − cos x A f ( x ) = B f ( x) = Hướng dẫn giải: F '( x) = (sin x − cos x) ' cos x + sin x = sin x − cos x sin x − cos x Câu 129 Kết tính ∫ x ln( x − 1)dx bằng: x2 − x+C x2 C ( x + 1) ln( x − 1) − − x + C Hướng dẫn giải  dx u = ln( x − 1) du = ⇒ x −1 Đặt   dv = xdx v = x −  x2 − x+C x2 D ( x − 1) ln( x − 1) − + x + C A ( x − 1) ln( x − 1) − B x ln( x − 1) − Ta có ∫ x ln( x − 1)dx = ( x − 1) ln( x − 1) − ∫ ( x + 1) dx =( x − 1) ln( x − 1) − e tan x ∫ cos2 xdx bằng: A e tan x + C B tan x.e tan x + C x2 − x+C Câu 130 Kết tính Hướng dẫn giải: C e − tan x + C D −e tan x + C e tan x tan x tan x ∫ cos2 xdx = ∫ e d (tan x) = e + C cos x Câu 131 Tính ∫ e sin xdx bằng: B e − sin x + C A −ecos x + C C e −2sin x + C D −esin x + C cos x cos x d (cos x) = − e cos x + C Hướng dẫn giải: ∫ e sin xdx = − ∫ e 2 sin x Câu 132 Tính ∫ e sin xdx bằng: B esin x + C A esin x + C C ecos x + C D e 2sin x + C sin x sin x d (sin x) = esin x + C Hướng dẫn giải: ∫ e sin xdx = ∫ e 2 cos x Câu 133 Kết ∫ e sin xdx bằng: A −e cos x + C B ecos x + C Chuyên đề 4.1 Nguyên hàm C −e − cos x + C D e − sin x + C 31 | T H B T N cos x cos x cos x Hướng dẫn giải: ∫ e sin xdx = − ∫ e d (cos x) = −e + C 4.1.4 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ CHỨA CĂN THỨC Câu 134 Biết hàm số F ( x) = − x − x + 2017 nguyên hàm hàm số f ( x) = tổng a b A B −2 C 3x − Hướng dẫn giải: F '( x) = − x − x + 2017 ' = 1− 2x ( ax + b Khi 1− 2x D ) ⇒ a + b = + ( −1) = Câu 135 Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = x − 8) x + + C ( 2 C F ( x ) = ( − x ) x + + C x3 − x x2 + A F ( x ) = ∫ Hướng dẫn giải: x3 − x x2 + dx = ∫ (x − ) xdx 2 B F ( x ) = x + x + + x + C 2 D F ( x ) = ( x − ) + x + C x2 + Đặt t = x + ⇒ x = t − ⇒ xdx = tdt Khi ∫ = x3 − x x2 + ( dx = ∫ x2 + ) (t − 3) ( tdt ) t = ∫ ( t − 3) dt = t3 − 3t + C 3 − x2 + + C = Câu 136 Tính F ( x ) = ∫ x − 8) x + + C ( sin x 4sin x + cos x + dx Hãy chọn đáp án A F ( x ) = − cos x + C B F ( x ) = − sin x + C C F ( x ) = + cos x + C D F ( x ) = − − sin x + C Hướng dẫn giải sin x ∫ 4sin x + cos x + dx = ∫ d ( − cos x ) sin x dx= ∫ = − cos x + C − cos x − cos x Câu 137 Biết hàm số F ( x) = ( mx + n ) x − nguyên hàm hàm số f ( x ) = 1− x Khi 2x −1 tích m n 2 A − B −2 C − D Hướng dẫn giải 1− x 2 2  dx =  − x + ÷ 2x − + C Suy m = − ; n = ⇒ m.n = − Cách 1: Tính ∫ 3 3 2x −  32 | T H B T N Chuyên đề 4.1 Nguyên hàm  m=−  3mx − m + n 3m = −1  ⇒ ⇒ m.n = − Cách 2: Tính F ' ( x ) = Suy  2x −1  n − m = n =  Câu 138 Biết hàm số F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x ) = ( e; 2016 ) Khi hàm số F ( 1) A ln x có đồ thị qua điểm x ln x + + 2014 + 2016 B C + 2014 D + 2016 Hướng dẫn giải: Đặt t = ln x + tính F ( x ) = ln x + + C F ( e ) = 2016 ⇒ C = 2014 ⇒ F ( x ) = ln x + + 2014 ⇒ F ( 1) = + 2014 4.1.5 PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN Câu 139 Tính ∫ x e dx = e x x (ax + bx + cx + d ) + C Giá trị a + b + c + d A −2 B 10 C Hướng dẫn giải: Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng Kết quả: ∫ x e dx = x e x x D −9 − 3x 2e x + xe x − 6e x + C = e x ( x − 3x + x − 6) + C Vậy a + b + c + d = −2 2 2 Câu 140 Tính F ( x) = ∫ x ln( x + 3)dx = A( x + 3) ln( x + 3) + Bx + C Giá trị biểu thức A + B A B C −1 D Hướng dẫn giải Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng u đạo hàm u dv nguyên hàm v x ln( x + 3) + 2x x2 + x2 + x 2x 2x (Chuyển qua dv ) (Nhận từ u ) x +3 x +3 x2 2 2 Do F ( x) = ∫ x ln( x + 3)dx = ( x + 3) ln( x + 3) − x + C 2 Vậy A + B = Câu 141 Tính ∫x cos xdx = ax sin x + bx cos x + c sin x + C Giá trị a + b + 4c A B C −3 D Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm phần lần Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng Chuyên đề 4.1 Nguyên hàm 33 | T H B T N ∫x Kết quả: cos xdx = 1 x sin x + x cos x − sin x + C 2 Vậy a + b + 4c = Câu 142 Tính ∫x ln xdx = x ( A ln x + B ) + C Giá trị A + B bằng: A B −1 C D −1 Hướng dẫn giải: Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm phần với u = ln x, dv = x 3dx Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng 4 1 41 Kết quả: ∫ x ln xdx = x ln x − x + C = x  ln x − ÷+ C 16 16  4 Vậy A + B = 1+ x dx Chọn kết đúng: Câu 143 Tính F ( x) = ∫ x ln 1− x x2 −1 + x x2 + 1 + x B F ( x) = ln + x+C ln + x+C 1− x 1− x x2 + 1 + x x2 −1 + x C F ( x) = D F ( x) = ln − x+C ln − x+C 1− x 1− x Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm phần nguyên hàm hàm số hữu tỉ Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng A F ( x) = Kết quả: 1+ x x2 −1 + x ∫ x ln − x dx = ln − x + x + C Câu 144 Cho hàm số F ( x) = ∫ x (1 − x) dx Biết F (0) = , F (1) bằng: 21 19 −21 −19 B C D 20 20 20 20 Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp đổi biến số với u = − x Sử dụng phương pháp phần với u = x; dv = (1 − x)3 dx A Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng với u = x; dv = (1 − x)3 dx − x (1 − x) (1 − x)5 Kết F ( x) = ∫ x (1 − x) dx = − +C 20 21 21 F (0) = suy C = Do F (1) = 20 20 Câu 145 Tính ∫ (2 x + 1)sin xdx = a x cos x + b cos x + c sin x + C Giá trị biểu thức a + b + c A −1 B C D −5 Hướng dẫn giải Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm phần Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng Kết F ( x) = ∫ (2 x + 1) sin xdx = −2 x cos x − cos x + 2sin x + C nên a + b + c = −1 34 | T H B T N Chuyên đề 4.1 Nguyên hàm Câu 146 Cho hàm số F ( x) = ∫ x ln( x + 1)dx có F (1) = Khi giá trị F (0) −1 −1 B C D 4 2 Hướng dẫn giải: Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp nguyên hàm phần với u = ln( x + 1), dv = xdx Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng 2 Kết F ( x) = ∫ x ln( x + 1)dx = ( x − 1) ln( x + 1) − ( x − x) + C −1 −1 Từ F (1) = suy C = Vậy F (0) = 4 −5 Câu 147 Hàm số F ( x) = ∫ ( x + 1) ln xdx thỏa mãn F (1) = A x3 x x3 x B ( x + x) ln x − − − ( x + x) ln x − − 18 18 3 x x 10 x3 x C ( x + x) ln x − − + D ( x + x) ln x − − + 18 18 Hướng dẫn giải: Phương pháp tự luận: Sử dụng phương pháp phần Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng phương pháp bảng x3 x Kết F ( x) = ∫ ( x + 1) ln xdx = ( x + x) ln x − − + C 18 −5 x3 x Với F (1) = suy C = nên F ( x) = ( x + 3x ) ln x − − 18 xe x Câu 148 Hàm số f ( x ) có đạo hàm f '( x ) = có đồ thị qua điểm A(0;1) Chọn kết ( x + 1) A ex x +1 ex C f ( x ) = −1 x +1 ex +1 x +1 ex D f ( x) = +2 x +1 A f ( x) = B f ( x) = dx ( x + 1) dv nguyên hàm v ( x + 1) x Hướng dẫn giải: Sử dụng phương pháp phần với u = xe , dv = u đạo hàm u xe x ( x + 1)e x + (Chuyển ( x + 1)e qua dv ) x Kết f ( x) = ∫ - −1 x +1 −e x (nhận ( x + 1)e x từ u ) −e x xe x ex ex f (0) = dx = + C Với suy C = Vậy f ( x ) = ( x + 1) x +1 x +1 Chuyên đề 4.1 Nguyên hàm 35 | T H B T N ( ) Câu 149 Một nguyên hàm F ( x) hàm số f ( x) = ln x + x + thỏa mãn F (0) = Chọn kết ( C F ( x) = x ln ( x + ) x +1) − 2 A F ( x) = x ln x + x + − x + + Hướng dẫn giải: ( ) x2 +1 +1 ( D F ( x) = x ln ( x + ) x +1) − 2 B F ( x) = x ln x + x + − x + − x2 +1 Đặt u = ln x + x + , dv = dx ta ( ) F ( x) = x ln x + x + − x + + C Vì F (0) = nên C = ( ) 2 Vậy F ( x) = x ln x + x + − x + + Câu 150 Một nguyên hàm F ( x) hàm số f ( x) = hàm số đây? A F ( x) = x tan x + ln | cos x | +2017 C F ( x) = x tan x + ln | cos x | +2016 Hướng dẫn giải: Đặt u = x, dv = x thỏa mãn F (π ) = 2017 Khi F ( x ) cos x B F ( x) = x tan x − ln | cos x | +2018 D F ( x) = x tan x − ln | cos x | +2017 dx ta du = dx, v = tan x cos x x dx = x tan x − ∫ tan xdx = x tan x + ln | cos x | +C cos x Vì F (π ) = 2017 nên C = 2017 Vậy F ( x) = x tan x + ln | cos x | +2017 Kết F ( x) = ∫ Câu 151 Tính F ( x) = ∫ x (1 + sin x)dx = Ax + Bx cos x + C sin x + D Giá trị biểu thức A + B + C 1 A B − C D − 4 4 Hướng dẫn giải: Cách 1: Sử dụng phương pháp nguyên hàm phần Cách 2: Sử dụng phương pháp bảng với u = x, dv = (1 + sin x)dx ta 1 1 F ( x) = x − x cos x + sin x + D Vậy A + B + C = 2 4 + x sin x dx Chọn kết Câu 152 Tính F ( x) = ∫ cos x x sin x − x sin x − + ln +C + ln +C A F ( x) = tan x + B F ( x) = tan x − cos x sin x + cos x sin x + C F ( x) = tan x + x sin x − − ln +C cos x sin x + D F ( x) = tan x − x sin x − − ln +C cos x sin x + Hướng dẫn giải dx x sin x +∫ dx = tan x + I ( x ) cos x cos x sin x x dx dx ta I ( x) = −∫ Tính I ( x) cách đặt u = x; dv = cos x cos x cos x Cách 1: Biến đổi F ( x) = ∫ 36 | T H B T N Chuyên đề 4.1 Nguyên hàm Tính J ( x) = − ∫ dx cos xdx d (sin x ) sin x − =∫ =∫ = ln +C cos x sin x − (sin x − 1)(sin x + 1) sin x + Kết F ( x ) = tan x + x sin x − + ln +C cos x sin x + Phương pháp trắc nghiệm: Sử dụng máy tính kiểm tra d ( F ( x )) − f ( x ) = số điểm dx ngẫu nhiên x0 4.1.6 ÔN TẬP Câu 153 Một nguyên hàm F ( x) hàm số f ( x ) = sin x + π  thỏa mãn điều kiện F  ÷ = cos x 4 A F ( x) = − cos x + tan x + − B F ( x) = cos x + tan x + − C F ( x) = − cos x + tan x + − D F ( x) = − cos x + tan x Hướng dẫn giải   Ta có ∫  sin x + ÷dx = − cos x + tan x + C ⇒ F ( x) = − cos x + tan x + C cos x   π  F  ÷= ⇔ C = − Vậy F ( x) = − cos x + tan x + − 4 Câu 154 Một nguyên hàm F ( x) hàm số f ( x) = 2sin x + x + thỏa mãn đồ thị hai hàm số F ( x) f ( x ) cắt điểm nằm trục tung 2 2 A F ( x) = − cos x + x x + x + B F ( x) = cos x + x x + x + 5 5 2 + x +1 C F ( x) = 10 cos x + D F ( x) = − cos x + x x + x x 5 Hướng dẫn giải 2 Ta có F ( x) = − cos x + x x + x + C F (0) = f (0) ⇔ C = 5 2 Vậy F ( x) = − cos x + x x + x + 5 Câu 155 Hàm số F ( x) = (ax + bx + c)e x nguyên hàm hàm số f ( x ) = x e x a + b + c bằng: A Hướng dẫn giải C B D −2 a = a =   Ta có F '( x) = f ( x ) ⇔ ax + (2a + b) x + b + c = x ⇔ 2a + b = ⇔ b = −2 b + c = c =   2 Vậy a + b + c = Chuyên đề 4.1 Nguyên hàm 37 | T H B T N Câu 156 Một nguyên hàm F ( x) hàm số f ( x) = a + b cos x thỏa mãn F (0) = π  π F  ÷ =  12  7π π sin x + A F ( x) = − x + 2 7π π sin x + C F ( x) = − x − Hướng dẫn giải π π  π , F  ÷= , 2 7π sin x B F ( x) = − x + 7π π sin x − D F ( x) = − x +  π  a=−  F (0) =     π  π 7π b  ⇔ b = Ta có F ( x) = ax + sin x + C  F  ÷ =  2  π  π  π  F  ÷= C =    12  7π π sin x + Vậy F ( x) = − x + Câu 157 Cho hàm số F ( x) = ax + bx + cx + nguyên hàm hàm số f ( x) thỏa mãn f (1) = 2, f (2) = 3, f (3) = Hàm số F ( x) x + x +1 2 C F ( x) = − x − x + Hướng dẫn giải A F ( x) = B F ( x) = − x + x + 2 D F ( x) = x − x + a =  f (1) = 3a + 2b + c =     Ta có f ( x) = F '( x) = 3ax + 2bx + c  f (2) = ⇔ 12a + 4b + c = ⇔ b =  f (3) = 27 a + 6b + c =    c = 1 Vậy F ( x) = x + x + π  Câu 158 Một nguyên hàm F ( x) hàm số f ( x ) = tan x.sin x thỏa mãn điều kiện F  ÷ = 4 1 π A F ( x) = x − sin x + − 2 2 C F ( x) = cos3 x + Hướng dẫn giải π B F ( x) = x + cos x + − π D x + sin x − 1 Ta có ∫ tan x.sin xdx = ∫ (1 − cos x) dx = x − sin x + C ⇒ F ( x) = x − sin x + C 2 π π  F  ÷ = ⇔ C = − 4 38 | T H B T N Chuyên đề 4.1 Nguyên hàm 1 π Vậy F ( x) = x − sin x + − 2 Câu 159 Cho hàm số f ( x) = tan x có nguyên hàm F ( x) Đồ thị hàm số y = F ( x ) cắt trục tung điểm A(0; 2) Khi F ( x) A F ( x) = tan x − x + C F ( x) = tan x + Hướng dẫn giải B F ( x) = tan x + D F ( x) = cot x − x + F ( x) = ∫ f ( x)dx = ∫ tan xdx = tan x − x + C Vì đồ thị hàm số y = F ( x ) qua điểm A(0; 2) nên C = Vậy F ( x) = tan x − x + π  Câu 160 Cho hàm số F ( x) nguyên hàm hàm số f ( x) = tan x Giá trị F  ÷− F (0) 4 A − π B π C + π D 3− π π π  Hướng dẫn giải: F ( x ) = tan x − x + C ⇒ F  ÷− F (0) = − 4 D ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM I ĐÁP ÁN 1.2 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 II –HƯỚNG DẪN GIẢI TÀI LIỆU THAM KHẢO NHÓM BIÊN SOẠN Chuyên đề 4.1 Nguyên hàm 39 | T H B T N ... biến đổi trực tiếp - Tìm nguyên hàm phương pháp đổi biến số - Tìm nguyên hàm phương pháp nguyên hàm phần C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu Nguyên hàm hàm số f ( x ) = x + x + hàm số hàm số sau? A F ( x )... +C x D F ( x ) = − ln − x − ln x + +C x Hướng dẫn giải: Sử dụng bảng nguyên hàm 4.1.2 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Câu Tìm nguyên hàm hàm số f ( x) = sin x A ∫ sin xdx = − cos x + C B ∫... ln x + C D F ( x ) = x − − + C x B F ( x ) = Chuyên đề 4.1 Nguyên hàm Hướng dẫn giải: Sử dụng bảng nguyên hàm Câu Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = ( x + 1) ( x + ) x3 2 + x + 2x + C 3 x3 C F