CHỦ ĐỀ PHƢƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG A TỔNG HỢP LÝ THUYẾT I Vectơ pháp tuyến mặt phẳng  Vectơ n  vectơ pháp tuyến (VTPT) giá n vng góc với mặt phẳng ( )  Chú ý:  Nếu n VTPT mặt phẳng ( ) k n (k  0) VTPT mặt phẳng ( )  Một mặt phẳng xác định biết điểm qua VTPT  Nếu u, v có giá song song nằm mặt phẳng ( ) n  [u, v] VTPT ( ) II Phƣơng trình tổng qt mặt phẳng  Trong khơng gian Oxyz , mặt phẳng có dạng phương trình: Ax  By  Cz  D  với A2  B2  C   Nếu mặt phẳng ( ) có phương trình Ax  By  Cz  D  có VTPT n( A; B; C )  Phương trình mặt phẳng qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) nhận vectơ n( A; B; C ) khác VTPT là: A( x  x0 )  B( y  y0 )  C( z  z0 )   Các trường hợp riêng Xét phương trình mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D  với A2  B2  C   Nếu D  mặt phẳng ( ) qua gốc tọa độ O  Nếu A  0, B  0, C  mặt phẳng ( ) song song chứa trục Ox  Nếu A  0, B  0, C  mặt phẳng ( ) song song chứa trục Oy  Nếu A  0, B  0, C  mặt phẳng ( ) song song chứa trục Oz  Nếu A  B  0, C  mặt phẳng ( ) song song trùng với  Oxy   Nếu A  C  0, B  mặt phẳng ( ) song song trùng với  Oxz   Nếu B  C  0, A  mặt phẳng ( ) song song trùng với  Oyz  HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang Chú ý:  Nếu phương trình ( ) khơng chứa ẩn ( ) song song chứa trục tương ứng x y z  Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn   :    Ở ( ) cắt trục tọa độ a b c điểm  a; 0;  ,  0; b;0  ,  0;0;c  với abc  III Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng  Trong không gian Oxyz , cho điểm M (x ; y0 ; z0 ) mặt phẳng    : Ax  By  Cz  D  Khi khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( ) tính: | Ax0 d ( M , ( )) IV Góc hai mặt phẳng Trong không gian Oxyz , cho By0 A hai mặt Cz0 B C phẳng D|    : A1 x  B1 y  C1 z  D1     : A2 x  B2 y  C2 z  D2  Góc       bù với góc hai VTPT n , n Tức là:   cos     ,      cos n , n  n n n n  A1 A2  B1 B2  C1C2 A12  B12  C12 A22  B22  C22 V Một số dạng tập viết phƣơng trình mặt phẳng Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng biết điểm vectơ pháp tuyến Phƣơng pháp giải Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng   qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  song song với mặt phẳng    : Ax  By  Cz  D  cho trước Phƣơng pháp giải Cách 1: Thực theo bước sau: VTPT    n   A; B; C    //    nên VTPT mặt phẳng   n  n   A; B; C  Phương trình mặt phẳng   : A  x  x0   B  y  y0   C  z  z0   Cách 2: Mặt phẳng   //    nên phương trình  P  có dạng: Ax  By  Cz  D  (*), với D  D Vì  P  qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  nên thay tọa độ M  x0 ; y0 ; z0  vào (*) tìm D  Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng   qua điểm A , B , C không thẳng hàng Phƣơng pháp giải Tìm tọa độ vectơ: AB, AC HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 2 Vectơ pháp tuyến   : n   AB, AC  Điểm thuộc mặt phẳng: A (hoặc B C ) Viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT n Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng   qua điểm M vuông góc với đường thẳng  Phƣơng pháp giải Tìm VTCP  u  Vì     nên   có VTPT n  u Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT n Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng   chứa đường thẳng  , vng góc với mặt phẳng    Phƣơng pháp giải Tìm VTPT    n Tìm VTCP  u VTPT mặt phẳng   là: n   n ; u  Lấy điểm M  Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng   qua hai điểm A , B vng góc với mặt phẳng    Phƣơng pháp giải Tìm VTPT    n Tìm tọa độ vectơ AB VTPT mặt phẳng   là: n   n , AB  Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT Dạng 7: Viết phương trình mặt phẳng   chứa đường thẳng  song song với   (  ,   chéo nhau) Phƣơng pháp giải Tìm VTCP    u u ' VTPT mặt phẳng   là: n  u , u  Lấy điểm M  Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT Dạng 8: Viết phương trình mặt phẳng   chứa đường thẳng  điểm M Phƣơng pháp giải Tìm VTCP  u , lấy điểm N  Tính tọa độ MN VTPT mặt phẳng   là: n  u ; MN  Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT Dạng 9: Viết phương trình mặt phẳng   chứa đường thẳng cắt   Phƣơng pháp giải Tìm VTCP    u u ' HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang VTPT mặt phẳng   là: n  u ; u '  Lấy điểm M  Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT Dạng 10: Viết phương trình mặt phẳng   chứa song song   Phƣơng pháp giải Tìm VTCP    u u , lấy M , N  VTPT mặt phẳng   là: n  u ; MN  3.Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT Dạng 11:Viết phương trình mặt phẳng   qua điểm M song song với hai đường thẳng    chéo cho trước Phƣơng pháp giải Tìm VTCP   ’ u u ' VTPT mặt phẳng   là: n  u ; u  3.Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT Dạng 12:Viết phương trình mặt phẳng   qua điểm M vng góc với hai mặt phẳng  P  ,  Q  cho trước Phƣơng pháp giải Tìm VTPT  P   Q  nP nQ VTPT mặt phẳng   là: n   nP ; nQ  3.Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT Dạng 13: Viết phương trình mặt phẳng   song song với mặt phẳng    cách    : Ax  By  Cz  D  khoảng k cho trước Phƣơng pháp giải Trên mặt phẳng    chọn điểm M Do    //    nên    có phương trình Ax  By  Cz  D  ( D  D ) Sử dụng công thức khoảng cách d     ,      d  M ,      k để tìm D  Dạng 14: Viết phương trình mặt phẳng   song song với mặt phẳng    : Ax  By  Cz  D  cho trước cách điểm M khoảng k cho trước Phƣơng pháp giải Do    //    nên    có phương trình Ax  By  Cz  D  ( D  D ) Sử dụng công thức khoảng cách d  M ,      k để tìm D  Dạng 15: Viết phương trình mặt phẳng   tiếp xúc với mặt cầu  S  Phƣơng pháp giải Tìm tọa độ tâm I tính bán kính mặt cầu  S  Nếu mặt phẳng   tiếp xúc với mặt cầu  S  M   S  mặt phẳng   qua điểm M có VTPT MI HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang Khi tốn khơng cho tiếp điểm ta phải sử dụng kiện toán tìm VTPT mặt phẳng viết phương trình mặt phẳng có dạng: Ax  By  Cz  D  ( D chưa biết) Sử dụng điều kiện tiếp xúc: d  I ,     R để tìm D Dạng 16: Viết phương trình mặt phẳng   chứa đường thẳng  tạo với mặt phẳng    : Ax  By  Cz  D  cho trước góc  cho trước Phƣơng pháp giải Tìm VTPT    n Gọi n ( A; B; C ) (n ; n )   Dùng phương pháp vô định giải hệ:  n  u  n Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng qua điểm có VTPT VI Các ví dụ Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( P) qua điểm A(1;0; 2) có vectơ pháp tuyến n(1; 1; 2) Lời giải Mặt phẳng ( P) qua điểm A(1;0; 2) có vectơ pháp tuyến n(1; 1; 2) có phương trình là: 1( x  1)  1( y  0)  2( z  2)   x  y  z   Vậy phương trình mặt phẳng ( P) là: x  y  2z   Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( P) qua điểm M (0;1;3) song song với mặt phẳng (Q) : x  3z   Lời giải Mặt phẳng ( P) song song với mặt phẳng (Q) : x  3z   nên mặt phẳng ( P) có phương trình dạng: x  3z  D  ( D  1) Mặt phẳng ( P) qua điểm M (0;1;3) nên thay tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng phải thỏa mãn Ta được: 2.0  3.3  D   D  (thỏa mãn D  ) Vậy phương trình mặt phẳng ( P) là: x  3z   Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A(1;0; 2), B(1;1;1), C(0; 1;2) Lời giải Ta có: AB  (0;1;3), AC  (1; 1: 4)   AB, AC   (7; 3;1) Gọi n vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( ABC ) ta có  n  AB nên n phương với  AB, AC   n  AC Chọn n  (7; 3;1) ta phương trình mặt phẳng ( ABC ) là: 7( x 1)  3( y  0)  1( z  2)   7x  3y  z   HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( ) qua điểm O vuông t x  góc với đường thẳng d :  y  1  2t  z   t  Lời giải Đường thẳng d có vectơ phương là: ud  (1; 2;1) Mặt phẳng ( ) vng góc với đường thẳng d nên ( ) có vectơ pháp tuyến là: n  ud  (1; 2;1) Đồng thời ( ) qua điểm O nên có phương trình là: x  y  z  Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng x t  d :  y  1  2t vng góc với    : x  y  z    z   t  Lời giải Đường thẳng d qua điểm A  0; 1;  có VTCP là: ud  (1; 2;1) Mặt phẳng    có VTPT n  1; 2; 1 Mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng d vng góc với    nên ( ) có vectơ pháp tuyến là: n  ud , n    4;0; 4   4 1;0;1 Phương trình mặt phẳng    là: x  z   Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( ) qua điểm A(1;2; 2), B(2; 1;4) vuông góc với    : x  y  z   Lời giải Có AB  1; 3;6  Mặt phẳng    có VTPT n  1; 2; 1 Mặt phẳng ( ) chứa A , B vng góc với    nên ( ) có vectơ pháp tuyến là: n   AB, n   15;7;1 Phương trình mặt phẳng    là: 15x  z   27  Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( P) chứa đường thẳng x 1  x 1 y z 1 d1 :  y   2t song song với đường thẳng d :   2  z 1  t  Lời giải Đường thẳng d1 qua điểm M1 (1;1;1) vectơ phương u1 (0; 2;1) Đường thẳng d qua điểm M (1;0;1) vectơ phương u2 (1; 2; 2) Ta có u1 , u2   (6;1; 2) Gọi n vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( P) , ta có: HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang  n  u1 nên n phương với u1 , u2   n  u2 Chọn n  (6;1; 2) Mặt phẳng ( P) qua điểm M1 (1;1;1) nhận vectơ pháp tuyến n  (6;1; 2) có phương trình:  6( x 1)  1( y 1)  2( z 1)   6 x  y  2z   Thay tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng ( P) thấy khơng thỏa mãn Vậy phương trình mặt phẳng ( P) là: 6 x  y  z   Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng x 1  d :  y   2t điểm M (4;3;2)  z 1  t  Lời giải Đường thẳng d qua điểm N (1;1;1) vectơ phương ud (0; 2;1) MN   5; 2; 1 Mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng d điểm M nên ( ) có vectơ pháp tuyến là: n  ud , MN    4;5;10  Phương trình mặt phẳng    là: x  y  10 z  19  Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( P) chứa đường thẳng  x   3t x 1   d1 :  y   2t d :  y   2t z  1 t  z 1  t   Lời giải Đường thẳng d1 qua điểm M1 (1;1;1) vectơ phương u1 (0; 2;1) Đường thẳng d qua điểm M (1;1;1) vectơ phương u2 (3; 2;1) Ta có u1 , u2    0;3;6  , M1M   0;0;0  Do M1M u1 , u2   nên đường thẳng d1 , d2 cắt Mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng d1 , d2 cắt nên ( ) có vectơ pháp tuyến là: n  u1 , u2    0;3;6    0;1;  Phương trình mặt phẳng    là: y  z   Ví dụ 10 Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng x 1  x4   d1 :  y   2t d :  y   4t  z 1  t  z 1  t   Lời giải Đường thẳng d1 qua điểm M1 (1;1;1) vectơ phương u1 (0; 2;1) Đường thẳng d qua điểm M  4;3;1 vectơ phương u2  0; 4;2  HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang Ta có u1 , u2   , M1M   3;2;0  Do u1 , u2   nên đường thẳng d1 , d2 song song Mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng d1 , d2 song song nên ( ) có vectơ pháp tuyến là: n  u1 , M1M    2;3;6     2; 3; 6  Phương trình mặt phẳng    là: x  y  z   Ví dụ 11 Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( P) qua điểm x 1  x 1 y z 1 A(1;0; 2) ( P) song song với hai đường thẳng d1 :  y   2t d :   2  z 1  t  Lời giải Đường thẳng d1 qua điểm M1 (1;1;1) vectơ phương u1 (0; 2;1) Đường thẳng d qua điểm M (1;0;1) vectơ phương u2 (1; 2; 2) Ta có u1 , u2   (6;1; 2) Gọi n vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( P) , ta có:  n  u1 nên n phương với u1 , u2   n  u  Chọn n  (6;1; 2) ta phương trình mặt phẳng ( P) là:  6( x 1)  1( y  0)  2( z  2)   6x  y  2z  10  Ví dụ 12 : Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( P) qua điểm vng góc với hai mặt phẳng (Q) : x  y  3z   M(1; 2; 5) ( R) : x  y  z   Lời giải VTPT (Q) nQ (1; 2; 3) , VTPT ( R) nR (2; 3;1) Ta có  nQ , nR   (7; 7; 7) nên mặt phẳng ( P) nhận n(1;1;1) VTPT ( P) qua điểm M(1; 2; 5) nên có phương trình là: x  y  z   Ví dụ 13: Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( P) song song với mặt phẳng (Q) : x  y  z   cách (Q) khoảng Lời giải Trên mặt phẳng (Q) : x  y  z   chọn điểm M(1; 0; 0) Do ( P) song song với mặt phẳng (Q) nên phương trình mặt phẳng x  y  2z  D  với D Vì d (( P),(Q)) (P) có dạng: d (M ,( P)) | D| 12 22 ( 2)2 | D| D D 10 Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu toán: x  y  z   x  y  z  10  Ví dụ 14 : Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( P) song song với mặt phẳng (Q) : x  y  z   ( P) cách điểm M(1; 2;1) khoảng Lời giải HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang Do ( P) song song với mặt phẳng (Q) nên phương trình mặt phẳng x  y  2z  D  với D Vì d (M ,( P)) |1 12 22 D| ( 2)2 | D D D| (P) có dạng: 14 Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu toán: x  y  2z   x  y  z  14  Ví dụ 15: Trong khơng gian Oxyz , viết phương trình mặt phẳng ( P) song song với mặt phẳng (Q) : x  y  z   tiếp xúc với mặt cầu (S) : x2  y2  z2  x  4y  2z   Lời giải Mặt cầu (S) có tâm I ( 1;2;1) bán kính R ( 1)2 22 12 3 Do ( P) song song với mặt phẳng (Q) nên phương trình mặt phẳng x  y  2z  D  với D Vì tiếp ( P) d ( I ,( P)) R xúc | 12 22 D| ( 2)2 với mặt cầu D D |1 D | (P) có dạng: (S) nên 10 Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu toán: x  y  z  10  x  y  z   Ví dụ 16 : Trong mặt phẳng Oxyz , cho mặt phẳng phương trình  P  : x  y  z   d :  Q  chứa đường thẳng P đường thẳng d có x 1  y   z  Viết phương trình mặt phẳng d tạo với mặt phẳng  P  góc 600 Lời giải Giả sử mặt phẳng (Q) có dạng Ax  By  Cz  D   A2  B  C   Chọn hai điểm M  1; 1;3 , N 1; 0;   d  A  1  B  1  C.3  D  C  2 A  B  Mặt phẳng  Q  chứa d nên M , N   Q     A.1  B.0  C.4  D   D  A  4B Suy mặt phẳng có phương trình Ax  By   2 A  B  z  A  B  có VTPT nQ   A; B; 2 A  B   Q  tạo 60  với mặt A  2B  A  B A  B  (2 A  B) 2   (1) P phẳng 2  cos(600 )   A  (4  3) B Cho B  ta A  (4  3) Vậy có phương trình mặt phẳng   3) x  y   9   z  32  14 (4  3) x  y  9  z  32  14  (4  30 HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang góc B BÀI TẬP Câu Chọn khẳng định sai A Nếu n vectơ pháp tuyến mặt phẳng (P) kn (k  ) vectơ pháp tuyến mặt phẳng (P) B Một mặt phẳng hoàn toàn xác định biết điểm qua vectơ pháp tuyến C Mọi mặt phẳng khơng gian Oxyz có phương trình dạng: Ax  By  Cz  D  ( A2  B2  C  0) Câu Câu D Trong không gian Oxyz , phương trình dạng: Ax  By  Cz  D  ( A2  B2  C  0) phương trình mặt phẳng Chọn khẳng định A Nếu hai vectơ pháp tuyến hai mặt phẳng phương hai mặt phẳng song song B Nếu hai mặt phẳng song song hai vectơ pháp tuyến tương ứng phương C Nếu hai mặt phẳng trùng hai vectơ pháp tuyến tương ứng D Nếu hai vectơ pháp tuyến hai mặt phẳng phương hai mặt phẳng trùng Chọn khẳng định sai A Nếu hai đường thẳng AB, CD song song vectơ  AB, CD  vectơ pháp tuyến mặt phẳng (ABCD ) B Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng, vectơ  AB, AC  vectơ pháp tuyến mặt phẳng (ABC ) C Cho hai đường thẳng AB, CD chéo nhau, vectơ  AB, CD  vectơ pháp tuyến mặt phẳng chứa đường thẳng AB song song với đường thẳng CD D Nếu hai đường thẳng AB, CD cắt vectơ  AB, CD  vectơ pháp tuyến mặt phẳng (ABCD ) Câu Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng   : Ax  By  Cz  D  Tìm khẳng định sai mệnh đề sau: A A  0, B  0, C  0, D    song song với trục Ox B D    qua gốc tọa độ C A  0, B  0, C  0, D    song song với mặt phẳng  Oyz  D A  0, B  0, C  0, D    song song với mặt phẳng  Oxy  Câu Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho A  a; 0;  , B  0; b;  , C  0; 0; c  ,  abc   Khi phương trình mặt phẳng  ABC  là: x y z x y z    B    b a c a b c x y z x y z C    D    a c b c b a Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng   : x  z  Tìm khẳng định A Câu mệnh đề sau: A   / /Ox B   / /  xOz  HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 10 Sử dụng MTBT giải hệ bậc ẩn, nhập tọa độ điểm A, B, C vào hệ, chọn D  ta 1 A  , B  , C  (Trong trường hợp chọn D  vô nghiệm ta chuyển sang chọn D  ) 9 Suy mặt phẳng (ABC ) có VTPT n  (1;1;1) Mặt phẳng qua D có VTPT n  (1;1;1) có phương trình: x  y  z  10  Thay tọa độ điểm A vào phương trình mặt phẳng thấy khơng thỏa mãn Vậy chọn A Câu 23 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm A(5;1;3), B(1;2;6), C(5;0;4), D(4;0;6) Viết phương trình mặt phẳng chứa AB song song với CD A x  y  z 18  B x  y  3z   D x  y  z   C x  y  z   Hƣớng dẫn giải Phƣơng pháp tự luận +) AB  (4;1;3), CD  (1;0; 2)   AB, CD   (2;5;1) +) Mặt phẳng qua A có VTPT n  (2;5;1) có phương trình là: x  y  z 18  +) Thay tọa độ điểm C vào phương trình mặt phẳng thấy khơng thỏa mãn Vậy phương trình mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu toán là: x  y  z 18  Phƣơng pháp trắc nghiệm +) Sử dụng MTBT kiểm tra tọa độ điểm A thỏa mãn phương trình hay khơng? thấy đáp án B, C không thỏa mãn +) Kiểm tra điều kiện VTPT mặt phẳng cần tìm vng góc với véctơ CD ta loại đáp D Vậy chọn A Câu 24 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , gọi (P) mặt phẳng chứa trục Ox vuông góc với mặt phẳng (Q) : x  y  z   Phương trình mặt phẳng (P) là: A y  z  C y  z   B y  z  D y  z  Hƣớng dẫn giải Phƣơng pháp tự luận +) Trục Ox véctơ đơn vị i  (1;0;0) Mặt phẳng (Q) có VTPT n(Q )  (1;1;1) Mặt phẳng (P) chứa trục Ox vng góc với (Q) : x  y  z   nên (P) có VTPT n  i, n(Q )   (0; 1;1) Phương trình mặt phẳng (P) là: y  z  Phƣơng pháp trắc nghiệm +) Mặt phẳng (P) chứa trục Ox nên loại đáp án C +) Kiểm tra điều kiện VTPT mặt phẳng (Q) vng góc với VTPT (P) ta loại tiếp đáp án B, D Vậy chọn A Câu 25 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz Phương trình mặt phẳng chứa trục Ox qua điểm I  2; 3;1 là: A y  z  B 3x  y  C y  3z  D y  3z  Hƣớng dẫn giải HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 24 Trục Ox qua A 1;0;0  có i  1;0;0  Mặt phẳng qua I  2; 3;1 có vectơ pháp tuyến n  i, AI    0;1;3 có phương trình y  3z  Vậy y  3z  Câu 26 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm A 2; 1;1 , B 1;0; C 0; 2; Phương trình mặt phẳng qua A vng góc với đường thẳng BC là: A x y z B x y 3z C x y 5z D x y 5z Hƣớng dẫn giải Ta có: CB 1; 2;5 Mặt phẳng qua A vng góc với đường thẳng BC có VTPT CB 1; 2;5 nên có phương trình là: x y 5z Vậy x y 5z Câu 27 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng   qua A  2; 1;  , B  3; 2; 1 vng góc với mặt phẳng  Q  : x  y  z   Phương trình mặt phẳng   là: A 5x  y  z   B x  y  5z  21  C x  y  2z   D 5x  y  4z  Hƣớng dẫn giải Phƣơng pháp tự luận AB  1;3; 5 , nQ  1;1;  Mặt phẳng   qua A  2; 1;  có vectơ pháp tuyến  AB, nQ    10; 6;8   2  5;3; 4  có phương trình: 5x  y  z     Vậy 5x  y  z   Phƣơng pháp trắc nghiệm Do     Q   n nQ  , kiểm tra mp   có n nQ  Vậy chọn A Câu 28 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , mặt phẳng   qua M  0; 2;3 , song song với đường thẳng d : x  y 1   z vuông góc với mặt phẳng    : x  y  z  có phương 3 trình: A x  y  5z   B x  y  5z   C x  y  5z   D x  y  5z   Hƣớng dẫn giải Phƣơng pháp tự luận Ta có ud   2; 3;1 , n  1;1; 1 Mặt phẳng   qua M  0; 2;3 có vectơ pháp tuyến n  ud , n    2;3;5    : x  y  z   Phƣơng pháp trắc nghiệm HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 25 n  k nQ   / /  d   Do  kiểm tra mp   thỏa hệ    Q     n n     Q Vậy chọn A Câu 29 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz Tọa độ giao điểm M mặt phẳng  P  : x  y  z   với trục Ox ?   B M  0, ,  C M  3, 0,  D M  2, 0,    Hƣớng dẫn giải: Gọi M  a, 0,  điểm thuộc trục Ox Điểm M   P   2a    a  A M  0, 0,  Vậy M  2, 0,  giao điểm  P  , Ox Phƣơng pháp trắc nghiệm 2 x  y  z    Giải hệ PT gồm PT (P) (Ox):  y  ; bấm máy tính z   Câu 30 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , gọi mặt phẳng qua hình chiếu A 5; 4;3 lên trục tọa độ Phương trình mặt phẳng A 12x 15 y 20z 60 x y z C là: B 12x 15 y 20z 60 x y z D 60 Hƣớng dẫn giải Gọi M , N , P hình chiếu vng góc điểm A trục Ox, Oy, Oz Ta có: M 5;0;0 , N 0; 4; , P 0; 0;3 Phương trình mặt phẳng x y z Vậy 12x 15 y qua M 5;0;0 , N 0; 4; , P 0; 0;3 là: 12 x 15 y 20 z 60 20z 60 Câu 31 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng    qua hai điểm A 5; 2;0 , B 3; 4;1 có vectơ phương a 1;1;1 Phương trình mặt phẳng    là: A 5x C 5x y 14z y 14z Ta có: AB B x y D 5x y 14 z Hƣớng dẫn giải 8;6;1 Mặt phẳng    qua hai điểm A 5; 2;0 , B nên có VTPT là: n AB, a 3; 4;1 có vectơ phương a 1;1;1 5;9; 14 Mặt phẳng    qua điểm A 5; 2;0 có VTPT n 5;9; 14 có phương trình là: 5x y 14z Vậy 5x y 14z Câu 32 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , có mặt phẳng song song với mặt phẳng ( P) : x  y  z   tiếp xúc với mặt cầu (S ) : x2  y  z  12 ? A B Khơng có C D HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 26 Hƣớng dẫn giải Phƣơng pháp tự luận +) Mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng ( P) có dạng: x  y  z  D  ( D  6) +) Do mặt phẳng (Q) tiếp xúc với mặt cầu (S ) : x2  y  z  12 nên d ( I ;(Q))  R với I tâm cầu, R bán kính mặt cầu Tìm D  D  6 (loại) Vậy có mặt phẳng thỏa mãn Câu 33 Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  : x  y  x   ,  Q   x  y  z   ,  R  : 3x  y  12 z  10  ,  W  : x  y  z  12  nhiêu cặp mặt phẳng song song với A.2 B C.0 Hƣớng dẫn giải: a b c d Hai mặt phẳng song song    a' b' c' d ' 2 3   P  Q  Xét  P   Q  :    2 8 2 3   P  R Xét  P   R  :    6 12 10  Q   R  Có bao D.1 2   8 2 8 Xét  Q  W  :   8 6 12  Xét  R  W  :  8 Vậy có cặp mặt phẳng song song Câu 34 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng   : x   m  1 y  z   , Xét  P  W  :    : nx   m   y  z   Với giá trị thực   A m  3; n  6 B m  3; n  m , n để   song song C m  3; n  D m  3; n  6 Hƣớng dẫn giải: m 1 4    m  3; n  Để   song song      n m  2 2 Vậy m  3; n  Câu 35 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng  P  : x  my   m  1 z   ,  Q  : x  y  3z   Giá trị số thực B m   A m  1 m để hai mặt phẳng  P  ,  Q  vuông góc C m  D m  Hƣớng dẫn giải: Để mặt phẳng  P  ,  Q  vng góc  n p nQ   1.2  m  1   m  1   m  Vậy m  HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 27 Câu 36 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz Cho hai mặt phẳng   : x  y  z   ,    : x  y  z   Khoảng cách hai mặt phẳng   ,    A d    ,      ? 11 C d    ,      Hƣớng dẫn giải: B d    ,      D d    ,      Lấy M 1, 0,1 thuộc mặt phẳng   Ta có d    ,      d  M ,        2   22  Vậy d    ,      Câu 37 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  : x  y  z   Gọi mặt phẳng  Q  mặt phẳng đối xứng mặt phẳng  P  qua trục tung Khi phương trình mặt phẳng  Q  ? A x  y  z 1  B x  y  z   C x  y  z   D x  y  z 1  Hƣớng dẫn giải: Gọi M ( x, y, z ) điểm thuộc mặt phẳng  P  Điểm M '   x, y,  z  điểm đối xứng M qua trục tung   Q  :  x  y  z   mặt phẳng qua M ' mặt phẳng đối xứng  P  Vậy x  y  z 1  Câu 38 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  : x  y  z   Gọi mặt phẳng  Q  mặt phẳng đối xứng mặt phẳng  P  qua mặt phẳng (Oxz ) Khi phương trình mặt phẳng  Q  ? A  P  : x  y  z   B  P  : x  y  z   C  P  : x  y  z   D  P  : x  y  z   Hƣớng dẫn giải Gọi M ( x, y, z ) điểm thuộc mặt phẳng  P  Điểm M '  x,  y, z  điểm đối xứng M qua trục tung   Q  : x  y  z   mặt phẳng qua M ' mặt phẳng đối xứng  P  Vậy  P  : x  y  z   Câu 39 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , với hai mặt phẳng P : 3x phẳng 2y z mặt phẳng qua điểm A 2; 1;5 vng góc Q : x 4y 3z Phương trình mặt là: A x y z C x y z 10 B x y z 10 D x y z Hƣớng dẫn giải Mặt phẳng (P) có VTPT nP   3; 2;1 Mặt phẳng (Q) có VTPT nQ   5; 4;3 HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 28 Mặt phẳng vng góc với mặt phẳng P : 3x 2y z , Q : 5x 4y 3z nên có VTPT nP   nP , nQ    2; 4; 2  Phương trình mặt phẳng là: x y z Câu 40 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,tọa độ điểm M nằm trục Oy cách hai mặt phẳng:  P  : x  y  z    Q  : x  y  z   là: A M  0; 3;  C M  0; 2;0  B M  0;3;  D M  0;1;0  Hƣớng dẫn giải Ta có M  Oy  M  0; m;0  Giả thiết có d  M ,  P    d  M ,  Q    m 1  m   m  3 Vậy M  0; 3;0  Câu 41 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , gọi   mặt phẳng qua G 1; 2;3  cắt trục Ox, Oy, Oz điểm A, B, C (khác gốc O ) cho G trọng tâm tam giác ABC Khi mặt phẳng   có phương trình: A 3x  y  2z  18  B x  y  z 18  C x  y  3z   D x  y  z   Hƣớng dẫn giải Phƣơng pháp tự luận Gọi A  a; 0;  , B  0; b;  , C  0; 0; c  giao điểm mặt phẳng   trục Ox, Oy, Oz x y z     a , b, c   a b c Ta có G trọng tâm tam giác ABC a 3 1 a   x y z b      b     :     x  y  z  18  3 c   c 3   Phương trình mặt phẳng   : Câu 42 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , gọi   mặt phẳng song song với mặt phẳng    : 2x  y  4z   phẳng   là: cách điểm A  2; 3;  khoảng k  Phương trình mặt A x  y  4z   2x  y  4z 13  B x  y  2z  25  C x  y  2z   D x  y  2z  25  x  y  2z   Hƣớng dẫn giải Vì   / /       : x  y  z  m   m  3 Giả thiết có d  A,      32  m  m  14 3   m  50 Vậy   : x  y  z   ,   : x  y  z  25  HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 29 Câu 43 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho hai đường thẳng d1 , d2 có phương trình x 2 y 2 z 3 x 1 y  z 1 , d2 : Phương trình mặt phẳng   cách hai     2 1 đường thẳng d1 , d2 là: d1 : A x  y  z  B x  y  z   C 2x  y  3z   D 14 x  y  8z   Hƣớng dẫn giải Ta có d1 qua A  2; 2;3 có ud1   2;1;3 , d qua B 1; 2;1 có ud   2; 1;  AB   1;1; 2  ; ud1 ; ud2    7; 2; 4  ;  ud1 ; ud2  AB  1  nên d1 , d2 chéo Do   cách d1 , d2 nên   song song với d1 , d2  n  ud1 ; ud2    7; 2; 4     có dạng x  y  z  d  Theo giả thiết d  A,     d  B,     d 2 69  d 1 69 d     :14 x  y  z   Câu 44 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho A 1;0;0  , B  0; b;  , C  0; 0; c  ,  b  0, c   mặt phẳng  P  : y  z   Xác định b c biết mặt phẳng  ABC  vng góc với mặt phẳng P khoảng cách từ O đến  ABC  A b  1 ,c  2 B b  1, c  1 C b  , c  2 D b  , c  Hƣớng dẫn giải x y z Phương trình mặt phẳng  ABC  có dạng     bcx  cy  bz  bc  b c c  b  bc   ABC    P     bc 1 Theo giả thiết:  b2 1   d  O,  ABC      2 3   b  2b   bc   c  b 1  3b  b  2b  8b  2b  b   c  2 Câu 45 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,mặt phẳng qua điểm M 5; 4;3 cắt tia Ox, Oy, Oz đoạn có phương trình là: A x y z 12 B x y z C 5x y 3z 50 D x y z Hƣớng dẫn giải Gọi A a;0;0 , B 0; a;0 , C 0;0; a  a   giao điểm mặt phẳng Ox, Oy, Oz x y z Phương trình mặt phẳng qua A, B, C là: a a a a 12 Mặt phẳng qua điểm M 5; 4;3 HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 30 tia x y z x y z 12 12 12 12 Câu 46 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , gọi (P) mặt phẳng chứa trục Oy tạo với mặt Ta có phẳng y  z   góc 600 Phương trình mặt phẳng (P) là: x  z  A  x  z  x  y  B  x  y  x  z   C  x  z  Hƣớng dẫn giải x  2z  D  x  z  Phƣơng pháp tự luận +) Mặt phẳng (P) chứa trục Oy nên có dạng: Ax  Cz  ( A2  C  0) +) Mặt phẳng (P) tạo với mặt phẳng y  z   góc 600 nên cos 600  n( P ) n( Q ) n( P ) n(Q )  AC A2  C  C  A  C    A2  C  A  C x  z  Phương trình mặt phẳng (P) là:  x  z    C  Phƣơng pháp trắc nghiệm +) Mặt phẳng (P) chứa trục Oy nên loại đáp án B, C +)Còn lại hai đáp án A, D chung phương trình thứ hai nên ta thử điều kiện góc phương trình thứ đáp án A thấy thỏa mãn  S  :  x  1   y     z  3 tiếp xúc với  S  B   : 3x  y  D   : x  y  Câu 47 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hình cầu Phương trình mặt phẳng   chứa trục Oz A   : x  y   C   : x  y  2  Hƣớng dẫn giải: Mặt phẳng   chứa trục Oz có dạng : Ax  By   A2  B   Ta có : d  I ,      A  2B A2  B 1  AB  B2   A  B  Chọn A  3, B  4    : 3x  y  Câu 48 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , tam giác ABC có A 1, 2, 1 , B  2,1,  , C  2, 3,  Điểm G trọng tâm tam giác ABC Khoảng cách từ A đến mặt phẳng  OGB  ? 174 29 174 29 Hƣớng dẫn giải 1 1 Do G trọng tâm tam giác ABC  G  , 2,  3 3 A B 174 29 C D 174 29  13  Gọi n vtpt mặt phẳng  OGB   n  OG  OB    ,  ,   3 3 Phương trình mặt phẳng  OGB  : x  y  13z   d  A,  OGB    174 29 HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 31 Câu 49 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hình cầu  S  :  x  1   y     z  3  16 2 Phương trình mặt phẳng   chứa Oy cắt hình cầu  S  theo thiết diện đường tròn có chu vi 8 A   : x  z  B   : x  z  C   : x  z   D   : x  z  Hƣớng dẫn giải: Phương trình mặt phẳng   : Ax  Cz   A2  C   Ta có : 2 r  8  r  Mà  S  có tâm I 1, 2,3 , R  Do R  r   I     A  3C  Chọn A  3, C  1    : x  z  Câu 50 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , gọi (P) mặt phẳng song song với mặt phẳng Oxz cắt mặt cầu ( x  1)2  ( y  2)2  z  12 theo đường tròn có chu vi lớn Phương trình (P) là: A x  y   B y   D y   C y   Hƣớng dẫn giải Phƣơng pháp tự luận Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu ( x  1)2  ( y  2)2  z  12 theo đường tròn có chu vi lớn nên mặt phẳng (P) qua tâm I (1; 2;0) Phương trình mặt phẳng ( P) song song với mặt phẳng Oxz có dạng : Ay  B  Do ( P) qua tâm I (1; 2;0) có phương trình dạng: y   Phƣơng pháp trắc nghiệm +) Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng Oxz nên lọai đáp án D +) Mặt phẳng (P) qua tâm I (1; 2;0) nên thay tọa độ điểm I vào phương trình loại đáp án B,C Câu 51 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm M (1;2;3) Gọi ( ) mặt phẳng chứa trục Oy cách M khoảng lớn Phương trình ( ) là: A x  3z  D x  B x  z  C x  3z  Hƣớng dẫn giải Phƣơng pháp tự luận +) Gọi H , K hình chiếu vng M góc M mặt phẳng ( ) trục Oy Ta có : K (0;2;0) d (M ,( ))  MH  MK Vậy khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( ) lớn mặt H K Oy phẳng ( ) qua K vng góc với MK Phương trình mặt phẳng: x  3z  HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 32 Câu 52 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho mặt cầu  S  :  x  1   y     z  3  , 2 điểm A  0; 0;  Phương trình mặt phẳng  P  qua A cắt mặt cầu  S  theo thiết diện hình tròn  C  có diện tích nhỏ ? A  P  : x  y  3z   B  P  : x  y  z   C  P  : x  y  z   D  P  : x  y  3z   Hƣớng dẫn giải: Mặt cầu  S  có tâm I 1, 2,3 , R  Ta có IA  R nên điểm A nằm mặt cầu Ta có : d  I ,  P    R  r Diện tích hình tròn  C  nhỏ  r nhỏ  d  I ,  P   lớn Do d  I ,  P    IA  max d  I ,  P    IA Khi mặt phẳng  P  qua A nhận IA làm vtpt   P : x  2y  z   Câu 53 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm N 1;1;1 Viết phương trình mặt phẳng  P  cắt trục Ox, Oy, Oz A, B, C (không trùng với gốc tọa độ O ) cho N tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC A  P  : x  y  z   B  P  : x  y  z   C  P  : x  y  z   D  P  : x  y  z   Hƣớng dẫn giải: Gọi A  a;0;0  , B  0; b;0  , C  0;0; c  giao điểm  P  với trục Ox, Oy, Oz x y z    1 a, b, c   a b c 1 1 a  b  c 1  N  P   Ta có:  NA  NB   a   b   a  b  c   x  y  z    NA  NC  a 1  c 1      P : Câu 54 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , viết phương trình mặt phẳng  P  qua hai điểm A(1;1;1) , B  0; 2;  đồng thời cắt tia Ox, Oy hai điểm M , N (không trùng với gốc tọa độ O ) cho OM  2ON A  P  : x  y  z   B  P  : x  y  z   C  P  : x  y  z   D  P  : x  y  z   Hƣớng dẫn giải: Gọi M  a;0;0  , N  0; b;0  giao điểm  P  với tia Ox, Oy  a, b   Do OM  2ON  a  2b  MN  2b; b;0   b  2; 1;0  Đặt u  2; 1;0  Gọi n môt vectơ pháp tuyến mặt phẳng  P   n  u, AB    1; 2;1 Phương trình măt phẳng  P  : x  y  z   HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 33 Câu 55 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD có đỉnh A 1; 2;1 , B  2;1;3  , C  2; 1;3  D  0;3;1 Phương trình mặt phẳng   qua A, B đồng thời cách C, D A  P1  : x  y  z  15  0;  P2  : x  y  z  10  B  P1  : x  y  z   0;  P2  : x  y  z  10  C  P1  : x  y  z   0;  P2  : x  3z   D  P1  : 3x  y  z  20  0;  P2  : x  y  3z  10  Trường hợp 1: CD Hƣớng dẫn giải:  P nP  AB  CD   6; 10; 14   2  3;5;7    P  : x  y  z  20  Trường hợp 2:  P  qua trung điểm I 1;1;  CD nP  AB  AI  1;3;3   P  : x  y  3z  10  D C C I P P D Câu 56 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho ba điểm A  2;1;3 ; B  3;0;  ; C  0; 2;1 Phương trình mặt phẳng  P  qua A, B cách C khoảng lớn ? A  P  : 3x  y  z  11  B  P  : 3x  y  z  13  C  P  : x  y  3z  12  D  P  : x  y   Hƣớng dẫn giải: C Gọi H , K hình chiếu C lên mp  P  doạn thẳng AB Ta có : CH  d  I ,  P    CK  d  C ,  P   lớn B H P K A H  K Khi mặt phẳng  P  qua A, B vuông với mặt phẳng  ABC  Ta có n p   AB, AC   AB   9, 6, 3   P  : x  y  z  11  Câu 57 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng qua điểm M 1; 2;3 cắt trục Ox, Oy, Oz A , B , C ( khác gốc toạ độ O ) cho M trực tâm tam giác ABC Mặt phẳng có phương trình là: x y z 1 HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 34 A x 2y 3z 14 B C 3x D x y 3z 14 Hƣớng dẫn giải Cách 1:Gọi H hình chiếu vng góc C AB , K hình chiếu vng góc B AC M trực tâm tam giác ABC M BK CH AB CH C AB COH AB OM (1) (1) Ta có : K AB CO Chứng minh tương tự, ta có: AC OM (2) M ABC Từ (1) (2), ta có: OM 2y z 10 Mặt phẳng A O Ta có: OM 1; 2;3 H qua điểm M 1; 2;3 có VTPT có phương trình là: x y z OM 1; 2;3 nên B x 2y 3z 14 Cách 2: +) Do A, B, C thuộc trục Ox, Oy, Oz nên A(a;0;0), B(0; b;0), C(0;0; c) ( a, b, c  ) Phương trình đoạn chắn mặt phẳng (ABC ) là: x y z   1 a b c  AM BC   +) Do M trực tâm tam giác ABC nên  BM AC  Giải hệ điều kiện ta a, b, c  M  ( ABC )  Vậy phương trình mặt phẳng: x  y  3z  14  Câu 58 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm G(1;4;3) Viết phương trình mặt phẳng cắt trục Ox, Oy, Oz A, B, C cho G trọng tâm tứ diện OABC ? x y z A    16 12 B x y x y z z    C    16 12 12 Hƣớng dẫn giải D x y z    12 Phƣơng pháp tự luận +) Do A, B, C thuộc trục Ox, Oy, Oz nên A(a;0;0), B(0; b;0), C(0;0; c) xO  xA  xB  xC   xG   y  y A  yB  yC  +) Do G trọng tâm tứ diện OABC nên  yG  O  yO  y A  yB  yC   zG   suy a  4, b  16, c  12 x y z    16 12 Câu 59 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm M (1;2;3) Mặt phẳng (P) qua M cắt +) Vậy phương trình đoạn chắn mặt phẳng (ABC ) là: tia Ox, Oy, Oz A, B, C cho thể tích khối tứ diện OABC nhỏ có phương trình là: A x  y  z  B x  y  z  18  C x  y  3z  14  D x  y  z   Hƣớng dẫn giải Phƣơng pháp tự luận HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 35 +) Mặt phẳng (P) cắt tia Ox, Oy, Oz A, B, C nên A(a;0;0), B(0; b;0), C(0;0; c) ( a, b, c  ) x y z    a b c +) Mặt phẳng (P) qua M nên    a b c Phương trình mặt phẳng (P) Ta có     33  abc  162 a b c abc +) Thể tích khối tứ diện OABC V  abc  27 Thể tích khối tứ diện OABC nhỏ    suy a  3, b  6, c  a b c x y z Phương trình mặt phẳng (P)    hay x  y  z  18  Câu 60 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng có phương trình  P  x  y  2z 1   Q  : x  y  z   mặt cầu  S  :  x  12   y  2  z  Mặt phẳng   vuông với mặt phẳng  P  ,  Q  đồng thời tiếp xúc với mặt cầu  S  A 2x  y 1  0;2x  y   B 2x  y 1  0;2x  y   C x  y   0; x  y   D x  y   0; x  y   Hƣớng dẫn giải Mặt cầu  S  :  x  1   y    z  có tâm I 1; 2;0  bán kính R  2 Gọi n vectơ pháp tuyến mặt phẳng   Ta có : n  nP  nQ  n   6;3;0   3  2; 1;0   3n1 Lúc mặt phẳng   có dạng : x  y  m  Do mặt phẳng   tiếp xúc với mặt cầu  S   d  I ,       m 1    m  9 m4 Vậy phương trình mặt phẳng   : x  y   x  y   Câu 61 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  : x  y  z   , điểm A 1;0;0  , B(1; 2;0)  S  :  x  1   y    z  25 Viết phương trình mặt phẳng   vng 2 với mặt phẳng  P  , song song với đường thẳng AB , đồng thời cắt mặt cầu  S  theo đường tròn có bán kính r  2 A x  y  3z  11  0; x  y  3z  23  B x  y  3z  11  0; x  y  3z  23  C x  y  3z 11  0; x  y  3z  23  D x  y  3z 11  0; x  y  3z  23  Hƣớng dẫn giải Mặt cầu  S  :  x  1   y    z  có tâm I 1; 2;0  bán kính R  2 Gọi n vectơ pháp tuyến mặt phẳng   Ta có : n   nP , AB   n   4; 4;6    2; 2;3  2n1 HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 36 Lúc mặt phẳng   có dạng : 2x  y  3z  m  Gọi J hình chiếu I lên mặt phẳng   Ta có : R2  r  IJ  IJ  17  d  I ,     17   m  17  m  11 m  23 Vậy phương trình mặt phẳng   : x  y  3z  11  x  y  3z  23  Câu 62 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz ,cho điểm A 1;1; 1 , B 1;1;  , C  1; 2; 2  mặt phẳng  P  : x  y  z   Lập phương trình mặt phẳng   qua A , vng góc với mặt phẳng  P  cắt đường thẳng BC I cho IB  2IC biết tọa độ điểm I số nguyên A   : x  y  z   B   : x  y  z   C   : x  y  z   D   : x  y  z   Hƣớng dẫn giải :  I  3;3; 6   IB  IC     Do I , B, C thẳng hàng IB  2IC    IB  2 IC  I   ; ;     3 3 Vì tọa độ điểm I số nguyên nên I  3;3; 6  Lúc mặt phẳng   qua A, I  3;3; 6  vuông góc với mặt phẳng  P     : x  y  z   P x  y  z 3  , A 1;0;1 chứa giao Câu 63 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho hai mặt phẳng  Q  : x  y  z   Lập phương tuyến hai mặt phẳng  P  ,  Q  ? A   : x  y  z   C   : x  y  z  17  trình mặt phẳng   qua B   : x  y  z  16  D   : x  y  z   Hƣớng dẫn giải: Gọi M , N điểm thuộc giao tuyến hai mặt phẳng  P  ,  Q   x y  z 3 M , N thỏa hệ phương trình :  2 x  y  z    y  z  4  y  3  Cho x     M (7; 3; 1) 3 y  z  13  z  1  y  z  3  y  1  N  6; 1; 2   Cho x    y  z   11 z     Lúc mặt phẳng   chứa điểm A, N , M    : x  y  z  16  Câu 64 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz ,cho đường thẳng x y 1 z x 1 y z    d2 :   Viết phương trình mặt phẳng   vng góc với d1 ,cắt 1 1 Oz A cắt d B ( có tọa nguyên ) cho AB  d1 : A   :10 x  y  z   B   : x  y  z   C   : x  y  z   D   : x  y  z   Hƣớng dẫn giải HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 37 Do mặt phẳng   vng góc với d1  x  y  z  m  Mặt phẳng   cắt Oz A  0;0; m  , cắt d B  m  1, 2m, m  1  AB   m  1, 2m, 2m  1  9m2  2m    9m2  2m    m  1, m   Vậy mặt phẳng   : x  y  z   Câu 65 Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz ,cho tứ diện ABCD có điểm A 1;1;1 , B  2;0;  , C  1; 1;0  , D  0;3;  Trên cạnh AB, AC, AD lấy điểm AB AC AD    Viết phương trình mặt phẳng  B ' C ' D ' biết tứ diện AB ' AC ' AD ' AB ' C ' D ' tích nhỏ ? A 16 x  40 y  44 z  39  B 16x  40 y  44z  39  B ', C ', D ' thỏa : D 16 x  40 y  44 z  39  C 16 x  40 y  44 z  39  Hƣớng dẫn giải: AB AC AD AB AC AD    33 AB ' AC ' AD ' AB ' AC ' AD ' AB ' AC ' AD ' 27 27    VAB 'C ' D '  VABCD AB AC AD 64 64 Áp dụng bất đẳng thức AM  GM ta có :   V AB ' AC ' AD ' 27   AB 'C ' D ' VABCD AB AC AD 64 Để VAB 'C ' D ' nhỏ AB ' AC ' AD ' 7 7     AB '  AB  B '  ; ;  AB AC AD 4 4 7 7 Lúc mặt phẳng  B ' C ' D ' song song với mặt phẳng  BCD  qua B '  ; ;  4 4   B ' C ' D '  :16 x  40 y  44 z  39  Câu 66 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz ,cho  P  : x  y  z   ,  Q  : x  y  z   Lập phương trình mặt phẳng   chứa giao tuyến  P  ,  Q  cắt trục tọa độ điểm A, B, C cho hình chóp O ABC hình chóp A x  y  z   B x  y  z   C x  y  z   D x  y  z   Hƣớng dẫn giải Chọn M  6;0;0  , N  2; 2;  thuộc giao tuyến  P  ,  Q  Gọi A  a;0;0  , B  0; b;0  , C  0;0; c  giao điểm   với trục Ox, Oy, Oz x y z    1 a, b, c   a b c  1  a   chứa M , N   2   1  a b c    : Hình chóp O ABC hình chóp  OA  OB  OC  a  b  c Vây phương trình x  y  z   HOCTAI.VN – Trang cung cấp tài liệu, đề + thi thử online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 38