ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Quan Hệ Vng Góc Nâng Cao Hoctai.vn – Webiste chun cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Quan Hệ Vng Góc Nâng Cao QUAN HỆ VNG GĨC A – LÝ THUYẾT CHUNG I - VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Định nghĩa phép toán:  Định nghĩa, tính chất phép tốn vectơ khơng gian xây dựng hoàn toàn tương tự mặt phẳng  Phép cộng, trừ vectơ:  Quy tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kì, ta có: AB  BC  AC  Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có: AB  AD  AC  Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' , ta có: AB  AD  AA '  AC '  Lưu ý:  Điều kiện để hai vectơ phương: Hai vectơ a b ( b  )  !k  : a  k.b  Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k ( k  ), điểm O tùy ý OA  kOB 1 k  Trung điểm đoạn thẳng: Cho I trung điểm đoạn thẳng AB, điểm O tùy ý Ta có: MA  k MB OM  OA  OB  2OI Ta có: IA  IB   Trọng tâm tam giác: Cho G trọng tâm  ABC, điểm O tùy ý Ta có: GA  GB  GC  Sự đồng phẳng ba vectơ: OA  OB  OC  3OG  Định nghĩa: Ba vectơ gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng  Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ a, b, c , a b khơng phương Khi đó: a, b, c đồng phẳng  !m, n  : c  m.a  n.b  Cho ba vectơ a, b, c không đồng phẳng, x tùy ý Khi đó: !m, n, p  : x  m.a  n.b  p.c Tích vơ hƣớng hai vectơ:  Góc hai vectơ khơng gian: Ta có: AB  u, AC  v Khi đó:  u, v   BAC (00  BAC  1800 )  Tích vơ hướng hai vectơ không gian:   Cho u, v  Khi đó: u.v  u v cos u, v  Với u  v  , quy ước: u.v   Với u, v  , ta có: u  v  u.v  II - GÓC GIỮA HAI ĐƢỜNG THẲNG Vectơ phƣơng đƣờng thẳng: Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Quan Hệ Vng Góc Nâng Cao Vectơ a  gọi vectơ phương đường thẳng d giá a song song trùng với đường thẳng d Góc hai đƣờng thẳng:     Cho a //a ' , b //b ' a ' , b ' qua điểm Khi đó: a, b  a ', b '     Giả sử u, v vectơ phương đường thẳng a, b u, v     Khi đó: a, b    180           90   90    180  0 0  Nếu a //b a  b a, b  00 Hai đƣờng thẳng vng góc:    a  b  a, b  900  Giả sử u, v vectơ phương đường thẳng a, b Khi đó: a  b  u.v   Cho a //b Nếu a  c b  c Lưu ý: Hai đường thẳng vng góc với cắt chéo III - ĐƢỜNG THẲNG VNG GĨC MẶT PHẲNG Định nghĩa: d  ( )  d  a, a  ( ) d  a d  b   d  ( ) Điều kiện để đƣờng thẳng vng góc với mặt phẳng:  a, b  ( ) a  b  I Tính chất:  Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng: mặt phẳng vng góc với đoạn thẳng trung điểm đoạn thẳng Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng tập hợp tất điểm cách hai đầu mút đoạn thẳng a  b       b    a a  b    a     a //b b         //       a      a               a    //         a Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Quan Hệ Vuông Góc Nâng Cao a //     ba b     a      a  b  a //     b   Định lý ba đƣờng vuông góc: Cho a    b    , b ' hình chiếu b lên   Khi đó: a  b  a  b ' Góc đƣờng thẳng mặt phẳng:  Nếu d vng góc với   góc d   900  Nếu d khơng vng góc với   góc d   góc d d ' với d ' hình chiếu d    Chú ý: góc d    00    900 IV - GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG, HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC Góc hai mặt phẳng:   a     Nếu  góc hai mặt phẳng      góc hai đường thẳng a b b       a  d , a  ( )  Giả sử ( )  ( )  d Từ điểm I  d , dựng  góc hai mặt phẳng b  d , b  (  )      góc hai đường thẳng a b  Chú ý: Gọi góc hai mặt phẳng         00 ;900  Diện tích hình chiếu đa giác: Gọi S diện tích đa giác ℋ nằm   S’ diện tích đa giác ℋ’ hình chiếu vng góc đa giác ℋ lên    Khi S '  S.cos  với  góc hai mặt phẳng      Hai mặt phẳng vng góc: Nếu hai mặt phẳng   vng góc mặt phẳng    góc hai mặt phẳng      900 a  ( )  ( )  (  ) a  (  ) Điều kiện để hai mặt phẳng vng góc với nhau:  Tính chất:               d  a       a    a  d  Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Quan Hệ Vng Góc Nâng Cao         A     a      A  a  a              d                    d V - KHOẢNG CÁCH Khoảng cách từ điểm tới đƣờng thẳng a) Cho điểm O đường thẳng  Hạ OH  ( H ) Khi khoảng cách từ O tới  độ dài đoạn OH Kí hiệu d  O,   b) d  O,    OA ,với A điểm thuộc  c) Cho hai đường thẳng a  cắt M Trên a lấy hai d  A,   MA điểm A, B Khi đó:  d  B,   MB d) Cho ABC vuông A Dựng đường cao AH , ta có: AH  d  A, BC  AH tính theo cơng thức: 1 AB AC   AH  2 AH AB BC AC Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng a) Định nghĩa Cho điểm O mặt phẳng   Dựng OH    ,  H     Khi khoảng cách từ O tới   độ dài đoạn OH kí hiệu d  O,    Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Quan Hệ Vng Góc Nâng Cao b) Giả sử đường thẳng  cắt   M Trên  lấy hai điểm A, B Khi đó: d  A,    d  B ,     AM BM c) (Tính chất tứ diện vng) Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc Gọi H hình chiếu O  ABC  Khi OH  d  O,  ABC   1 1    2 OH OA OB OC d) Cho đường thẳng  song song với mặt phẳng   Khi khoảng cách    định nghĩa khoảng cách từ điểm thuộc  tới   e) Cho hai mặt phẳng      song song Khi khoảng cách hai mặt phẳng      khoảng cách từ điểm thuộc   tới    Khoảng cách hai đƣờng thẳng chéo + Cho hai đường thẳng chéo a b Khi tồn đường thẳng  vng góc với hai đường thẳng a b cắt hai đường thẳng a b  gọi đường vng góc chung a b Đoạn thẳng AB gọi đoạn vuông góc chung hai đường thẳng chéo a b.Khi khoảng cách hai đường thẳng a b độ dài đoạn vng góc chung AB + Nếu gọi (P);(Q) hai mặt phẳng song song với chứa hai thẳng a b chéo AB=d(A;(Q))=d(b;(P))=d(( P);(Q) Nhận xét: Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Quan Hệ Vng Góc Nâng Cao - Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai đường thẳng mặt phẳng song song với chứa đường thẳng còn lại - Khoảng cách hai đường thẳng chéo khoảng cách hai mặt phẳng song song chứa hai đường thẳng Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Quan Hệ Vng Góc Nâng Cao B - BÀI TẬP VÉC TƠ - TÍNH VNG GĨC TRONG KHÔNG GIAN Câu Cho tứ diện ABCD Lấy điểm M , N , P, Q thuộc AB, BC, CD, DA cho AM  AB, BN  BC , AQ  AD, DP  k DC 3 Hãy xác định k để M , N , P, Q đồng phẳng A k  B k  C k  D k  Câu Cho hình hộp ABCD A1B1C1D1 M điểm cạnh AD cho AM  AD N điểm P đường thẳng BD1 điểm đường thẳng CC1 cho M , N , P thẳng hàng MN Tính NP A B C D Câu Giả sử M , N , P ba điểm nằm ba cạnh SA, SB, SC cỏa tứ diện SABC Gọi I giao điểm ba mặt phẳng  BCM  ,  CAN  ,  ABP  J giao điểm ba mặt phẳng  ANP  ,  BPM  ,  CMN  Ta S , I , J thẳng hàng tính đẳng thức sau đúng? MS NS PS JS     MA NB PC JI MS NS PS JS C     MA NB PC JI MS NS PS JS     MA NB PC JI MS NS PS JS D   1  MA NB PC JI A B Câu Cho tứ diện ABCD Gọi M, N, P trung điểm cạnh AB, CB, AD G trọng tâm tam giác BCD,  góc vectơ MG NP Khi cos có giá trị là: A 2 B C D Câu Cho tứ diện ABCD có DA  DB  DC BDA  600 , ADC  900 , BDC  1200 Trong mặt tứ diện đó: A Tam giác ABD có diện tích lớn B Tam giác BCD có diện tích lớn C Tam giác ACD có diện tích lớn D Tam giác ABC có diện tích lớn Câu Cho hình lăng trụ ABCD ABCD Hình chiếu vng góc A lên  ABC  trùng với trực tâm H tam giác ABC Khẳng định sau không đúng? A  AABB    BBC C  B  AAH    ABC   C BBCC hình chữ nhật D  BBC C    AAH  Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Quan Hệ Vng Góc Nâng Cao Câu Cho tứ diện OABC có OA , OB , OC đơi vng góc với Gọi H hình chiếu O mặt phẳng  ABC  Mệnh đề sau đúng? A 1 1    2 OH AB AC BC B 1 1    2 OA AB AC BC C 1 1    2 OA OB OC BC D 1 1    2 OH OA OB OC Câu Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B với AB  BC  a , AD  2a Cạnh SA  2a SA vng góc với mặt phẳng  ABCD  Gọi M trung điểm cạnh AB   mặt phẳng qua M vng góc với AB Diện tích thiết diện mặt phẳng   với hình chóp S ABCD A S  a B S  3a C , S  a2 D S  2a Câu Cho tứ diện SABC có hai mặt  ABC   SBC  hai tam giác cạnh a , SA  a M điểm AB cho AM  b   b  a   P  mặt phẳng qua M vng góc với BC Thiết diện  P  tứ diện SABC có diện tích bằng? 3  a b  A .   a   a b  B .   a  3  a b  C   16  a  3  a b  D    a  Câu 10 Cho lăng trụ đứng OAB.O ' A ' B ' có đáy tam giác vuông cân OA  OB  a, AA '  a Gọi M , P trung điểm cạnh OA, AA ' Tính diện tích thiết diện cắt lăng trụ  B ' MP  ? a 15 A 12 5a 15 B 12 5a 15 C a 15 D Câu 11 Cho tứ diện ABCD có AB  CD , AB  CD  ; M điểm thuộc cạnh BC cho MC  xBC   x  1 Mặt phẳng  P  song song với AB CD cắt BC , AC , AD , BD M , N , P , Q Diện tích lớn tứ giác MNPQ là: A B C 10 D 12 Câu 12 Cho hình chóp S.ABC có SA  a, SB  b, SC  c Một mặt phẳng   qua trọng tâm tam giác ABC , cắt cạnh SA, SB, SC A ', B ', C ' Tìm giá trị nhỏ 1   2 SA ' SB ' SC '2 A a  b2  c 2 B a  b2  c2 C a  b2  c 2 D a  b2  c 2 Câu 13 Cho tứ diện ABCD có BC  DA  a , CA  DB  b , AB  DC  c Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Quan Hệ Vng Góc Nâng Cao Gọi S diện tích tồn phần ( tổng diện tích tất mặt) Tính giá trị lớn 1  2 2 2 ab bc ca A S2 B S C S2 D S Câu 14 Cho tứ diện ABCD có DA, DB, DC đơi vng góc Gọi  ,  ,  góc đường thẳng DA, DB, DC với mặt phẳng  ABC  Tìm Giá trị nhỏ M    cot    cot    cot   A 64 B D 64 C Câu 15 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân B , AB  a, SA  a SA   ABC  Gọi M điểm cạnh AB AM  x   x  a  , mặt phẳng   qua M vng góc với AB Giả sử thiết diện hình chóp S ABC với   tứ giác MNPQ a) Hỏi tứ giác MNPQ hình A Hình chữ nhật B hình vng C hình thang D hình bình hành Câu 16 Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy a , đường cao SO  2a Gọi M điểm thuộc đường cao AA ' tam giác ABC Xét mặt phẳng   qua M vng góc với AA ' Đặt AM  x Giả sử tồn thiết diện hình chóp cắt   Giả sử tính diện tích thiết diện theo a x Xác định vị trí M để diện tích thiết diện lớn A x  a B x  3a C x  3a D x  3a Câu 17 Cho tứ diện OABC có cạnh OA, OB, OC đơi vng góc M điểm thuộc miền tam giác ABC MA2 MB MC   OA2 OB OC B T  C T  a) Tìm giá trị nhỏ T  A T  D T  Câu 18 Người ta cần trang trí kim tự tháp hình chóp tứ giác S ABCD cạnh bên 200 m , góc ASB  15 đường gấp khúc dây đèn led vòng quanh kim tự tháp AEFGHIJKLS Trong điểm L cố định LS  40m Hỏi cần dung mét dây đèn led để trang trí? Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  d  A;  SBC   d  I ;  SBC    Quan Hệ Vng Góc Nâng Cao EA 4 2a 15   d  A;  SBC    d  I ;  SBC    EI Câu 56 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A’B’C’D’ có AB  a; AD  2a, AA’  a Gọi M điểm chia đoạn AD với A 3a 2 AM  Đặt x  d  AD’; B’C  ; y  d  M ;  AB’C   Tìm x y MD B 5a a2 Hƣớng dẫn giải C D 3a Chọn C Ta có B ' C / /(AA' D ' D)  d(B'C;AD')  B'A'  a  x Goi I  BM  AC d ( M ;( AB ' C )) MI AM    d ( B;( AB ' C )) BI BC  d ( M ;( AB ' C ))  d ( B;( AB ' C )) Tứ diện BAB’C vuông B nên ta có 1 1  2 2  2 d ( B;( AB ' C )) a a 4a 4a 2a 2a a  d ( B;( AB ' C ))   d ( M ;( AB ' C ))    y 2 a a Vậy x y  a  2  Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 65 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Quan Hệ Vng Góc Nâng Cao KHOẢNG CÁCH GIỮA ĐƢỜNG - MẶT, MẶT- MẶT, ĐƢỜNG – ĐƢỜNG THẲNG Câu 57 Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh đáy a Gọi M , N , P trung điểm AD, DC, A ' D ' Tính khoảng cách hai mặt phẳng (MNP) ( ACC ') A a B a a Hƣớng dẫn giải C D a Chọn D Ta có: Trong tam giác ACD : MN / / AC (1) Trong hình vng AA ' D ' D :  AM  A ' P   AM / / A ' P  AMPA ' hình chữ nhật  AA '  AM   MP / / AA '  MP / /CC ' (2) Từ (1) (2) suy ra: (MNP) / /( ACC ')  d ((MNP),( ACC '))  d (I ,( ACC ')) (với I trung điểm MN ) Gọi O  AC  BD  IO  AC  IO  ( ACC ')  d ( I ,( ACC '))  IO Mặt khác:   IO  CC ' Mà: IO  1 a DO  BD  a  4 Suy ra: d (( MNP), ( ACC '))  a Câu 58 Cho hình lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có cạnh bên hợp với đáy góc 600 , đáy ABC tam giác cạnh a A ' cách A, B, C Tính khoảng cách hai đáy hình lăng trụ A a B a a Hƣớng dẫn giải C D 2a Chọn A Ta có: ( A ' B ' C ') / /( ABC)  d (( A ' B ' C '),( ABC))  d ( A ',( ABC)) Gọi M trung điểm BC Gọi H trọng tâm tam giác ABC Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 66 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Quan Hệ Vng Góc Nâng Cao Tam giác ABC đều, trọng tâm H A ' cách A, B, C Suy ra: A ' thuộc trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC  A ' H  ( ABC )  d ( A ',( ABC))  A ' H Mặt khác: góc cạnh bên đáy 600  A ' AH  600 Trong tam giác A ' AM : tan 600  A' H a  A ' H  AH tan 600   a AH Suy ra:  d (( A ' B ' C '),( ABC))  a Câu 59 Cho lăng trụ đứng ABC.ABC  có đáy ABC tam giác vuông A, AB  a , AC  a BBCC hình vng Khoảng cách hai đường thẳng AA BC  A a B a C a D 3a Hƣớng dẫn giải Chọn A Gọi H hình chiếu A lên BC Ta có :  AH  BC  AH   BBC C    AH  BB  Vì AA//  BBC C   d  AA, BC    d  AA,  BBC C    d  A,  BBC C    AH Xét tam giác vuông ABC vng A có : 1 a     AH  2 AH AB AC 3a Câu 60 Cho hình chóp S.ABC có SC  a 70 , đáy ABC tam giác vuông A, AB  2a, AC  a hình chiếu S lên mặt phẳng  ABC  trung điểm cạnh AB Tính khoảng cách hai đường thẳng BC SA A 3a B 4a C a D 2a Hƣớng dẫn giải Chọn B Tam giác AHC vuông cân cạnh a nên CH  a Tam giác SHC vuông H nên Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 67 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Quan Hệ Vng Góc Nâng Cao 2a Dựng AK  BC, HI  BC Đường thẳng qua A song song với BC cắt IH D SH  SC  CH   BC / /  SAD   d  BC , SA  d  BC ,  SAD    d  B,  SAD    2d  H ,  SAD   AD   SDH    SAD    SDH  Kẻ HJ  SD  HJ   SAD   d  H ,  SAD    HJ 1 2a a    AK   HD  2 AK AB AC 5 1 2a 4a Vậy d  BC , SA     HJ  2 HJ HD HS 5 Chọn B Ta có: Câu 61 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC cạnh 3a Chân đường cao hạ từ đỉnh S lên mặt phẳng  ABC  điểm thuộc cạnh AB cho AB  3AH , góc tạo đường thẳng SC mặt phẳng  ABC  600 Tính khoảng cách hai đường thẳng SA BC A a 25 B a 45 a 15 Hƣớng dẫn giải C D a Chọn A Nhận thấy SH   ABC   HC hình chiếu SC lên mặt phẳng  ABC   SCH  60o góc SC mặt phẳng  ABC  Ta có: HC  AC  AH  2AC.AH cos 60o  9a  a  2.3a.a  7a 2  HC  a  SH  HC.tan 60o  a 21 Dựng AD  CB  AD//CB  BC //  SAD   d  SA; BC   d  BC;  SAD    d  B;  SAD    3d  H ;  SAD   Dựng HE  AD E  AD   SHE    SAD    SHE  (theo giao tuyến SE) Dựng HF   SE  F  HF   SAD   HF  d  H ;  SAD   Ta có; HE  AH sin 60o  a Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 68 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Quan Hệ Vng Góc Nâng Cao 1 29 a 21 3a 21    2   HF   d  B;  SAD    2 2 HF HE SH 3a 21a 21a 29 29 Vậy d  SA; BC   3a 21 29 Chọn A Câu 62 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thoi, tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng  ABCD  Biết AC  2a, BD  4a Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng AD SC A 4a 13 91 B a 165 91 4a 1365 91 Hƣớng dẫn giải C D a 135 91 Chọn C Gọi O  AC  BD, H trung điểm AB, suy SH  AB Do AB   SAB    ABCD   SAB    ABCD  nên SH   ABCD  Ta có: OA  OB  AC 2a  a 2 BD 4a   2a 2  Ab  OA2  OB  a  4a  a SH  AB a 15 1  ; S ABCD  AC.BD  2a.4a  4a 2 2 Thể tích khối chóp S ABCD 1 a 15 2a 15 VS ABCD  SH S ABCD  4a  3 Ta có: BC / / AD  AD / /  SBC   d  AD, SC   d  AD;  SBC    d  A;  SBC   Do H trung điểm AB B  AH   SCB   d  A;  SBC    2d  H ;  SBC   Kẻ HE  BC, H  BC Do SH  BC  BC   SHE  Kẻ HK  SE, K  SE, ta có BC  HK  HK   SBC   HK  d  H ;  SBC   2S BCH S ABC S ABCD 4a 2a HE      BC BC BC 2a 5 1 91 2a 15 2a 1365    2   HK   2 2 HK HE SH 4a 15a 60a 91 91 Vậy d  AD , SC   2HK  4a 1365 91 Chọn C Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 69 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Quan Hệ Vng Góc Nâng Cao Câu 63 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A , AB  AC  2a , hình chiếu vng góc đỉnh S lên mặt phẳng  ABC  trùng với trung điểm H cạnh AB Biết SH  a , khoảng cách đường thẳng SA BC A 2a B 4a C a D a Hƣớng dẫn giải Chọn A Dựng Ax //BC  d  SA, BC   d  B; SAx  Dựng HK  Ax   SHK   Ax Dựng HE  SK  d  B, SAx   2d  H , SAx  Ta có: HK  AH sin HAK  a sin 56  SH HK d  H , SAx   HE  Do d  SA, BC   SH  HK  a a 2a Câu 64 Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng  ABCD  điểm H thuộc đoạn BD cho HD  3HB Biết góc mặt phẳng  SCD  mặt phẳng đáy 45 Khoảng cách hai đường thẳng A 3a 34 17 B 2a 13 C SA BD 2a 51 13 D 2a 38 17 Hƣớng dẫn giải Chọn A Dựng HK  CD  CD   SHK   SCD, ABCD   SKH  45 Ta có: HKD vuông cân K HK  KD  3a 3a  SH  HK tan 45  2 Dựng Ax //BD ta có: d  SA, BD   d  BD,  SAx    d  H ,  SAx   Dựng HE  Ax  HE  OA  a Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 70 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Quan Hệ Vng Góc Nâng Cao Dựng HF  SE  HF   SAx  Ta có: HF  SH HE SH  HE 2  3a 34 17 Câu 65 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Gọi M N trung điểm cạnh AB AD ; H giao điểm CN DM Biết SH vng góc với ABCD mặt phẳng SH  a Tính khoảng cách hai đường thẳng DM SC theo a A 3a 19 B 3a 19 2a Hƣớng dẫn giải C D a Chọn B Ta có: ADM  DCN nên ADM  DCN  DM  CN Có DM  SH  DM   SHC  Hạ HK  SC K  HK đoạn vng góc chung DM SC Do d  DM ; SC   HK Trong tam giác vuông CND ta có: CD a2 2a   CN a 5 Mặt khác HK SC  SH HC 2a a SH HC  2a  2a  HK   19 SH  HC 4a 19a 3a  5 CH CN  CD  CH  Câu 66 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B , AB  BC  2a ; hai mặt phẳng  SAB   SAC  vng góc với mặt phẳng  ABC  Gọi M trung điểm AB , mặt phẳng  ABC  qua SM song song với BC cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng  SBC   ABC  60 Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SN theo a A 2a 39 13 2a 11 13 B 2a 39 13 C 2a 11 13 Hƣớng dẫn giải D Chọn A Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 71 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Quan Hệ Vuông Góc Nâng Cao Ta có:  SAB   SAC  vng góc với mặt phẳng  ABC  nên SA   ABC  Từ AB  BC  SB  BC nên SBA góc  SBC   ABC  Từ SBA  60 ; SA  AB.tan SBA  2a Kẻ đường thẳng  qua N , song song với AB  SND   d  AB; SN   d  AB;  SND    d  A;  SND   H  AH   SND   d  A;  SND    AH Hạ AD    D     AB Dựng AH  SD Tam giác SAD vuông A , có AH  SD AD  d  AB; SN   AH  SA AD SA2  AD2  BC a 2a 39 13 Câu 67 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B , AB  BC  2a Tam giác SAC cân S có đường cao SO  a nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SC theo a A a B 2a C a D a Hƣớng dẫn giải Chọn C Tam giác SAC cân S có SO  AC  SAC    ABC  nên SO   ABC  Gọi D điểm đối xứng với B qua O , ABCD hình vng nên AB CD  AB  SCD   d  AB; SC   d  AB;  SCD   Gọi E trung điểm AB  d  AB;  SCD    d  E ;  SCD   Gọi F trung điểm CD Kẻ OH  SF  H  SF  OH   SCD   d  O,  SCD    OH Dựng EK OH  K  SF   EK   SCD   d  E;  SCD    EK EK  2OH mà  OH  1    2 2 OH OF OS 3a a  EK  d  AB; SC   2OH  a Câu 68 Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng  ABC  điểm H thuộc cạnh AB cho HA  HB Góc đường thẳng SC mặt phẳng  ABC  60 Tính khoảng cách hai đường thẳng SA A a 42 B a 42 C BC theo a a 42 12 D a 42 10 Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 72 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Quan Hệ Vng Góc Nâng Cao Hƣớng dẫn giải Chọn A Ta có: SCH   SC;  ABC    60 Kẻ Ax BC Gọi N K hình chiếu vng góc H Ax SN Ta có BC  SAN  BA  nên d  SA; BC   d  B,  SAN    d  H ,  SAN   Ta có Ax   SHN  nên Ax  HK Do HK   SAN   d  H ,  SAN    HK AH  2a a SH HN a 42 , HN  AH sin 60   HK   2 3 12 SH  HN Vậy d  SA; BC   a 42 Câu 69 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy mặt phẳng  SBD  tạo với mặt phẳng  ABCD  góc 60 Gọi M trung điểm AD Tính khoảng cách hai đường thẳng SC BM 6a 2a A B 11 11 C a 11 D 3a 11 Hƣớng dẫn giải Chọn A Gọi O tâm hình vng ABCD  AO  BD  BD   SAO  Do   SBD  ,  ABCD    SOA  60  SA  a Qua C vẽ đường thẳng song song với BM cắt AD E Khi BM //  SCE   d  BM , SC   d  M ,  SCE   Mà ME  2 AE  d  M ,  SCE    d  A,  SCE   3 Kẻ AH  CE H suy CE   SAH  AH CE  CD.AE Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 73 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Quan Hệ Vng Góc Nâng Cao Kẻ AK  SH K suy AK   SCE   d  A,  SCE    AK Mà AH  1 3a 3a nên    AK  2 AK AH SA 11 Do d  BM , SC   3a 2a  11 11 Câu 70 Cho hình chóp S.ABC có độ dài đường cao từ đỉnh S đến mặt phẳng đáy  ABC  a 21 Góc tạo mặt bên với mặt phẳng đáy 60 Gọi M , N trung điểm AB, SC Tính khoảng cách hai đường thẳng SA, MN A 9a 42 B 3a 42 C 6a 42 D 12a 42 Hƣớng dẫn giải Chọn A Gọi H tâm tam giác ABC, I trung điểm BC Suy   SBC  ,  ABC     SI , AI   SIA  60 Đặt AB  x  HI   x x AI   SH  tan 60.HI  x a 21 2a 21 3a  x  SABC  7 Gọi P trung điểm AC suy NP / / SA  SA / /  MNP   d  SA, MN   d  SA,  MNP    d  A,  MNP    • 3VA.MNP  d  N ,  ABC    S AMP  • SMNP  3VA.MNP SMNP 9a 392 1 a 21 a a 21 MP.NP   2 28 Do d  A,  MNP    9a 9a  d  SA, MN   42 42 Câu 71 Cho hình lập phương ABCD ABCD cạnh a Gọi K trung điểm DD Tính d  CK ; AD  Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 74 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A 2a B a C Quan Hệ Vng Góc Nâng Cao 3a D 4a Hƣớng dẫn giải Chọn B Gọi M trung điểm BB Ta có: AM KC nên d  CK ; AD   d  CK ;  AMD    d  K ;  AMD   Gọi N  AK  AD , P  AB  AM d  K ;  AMD   NK Khi   d  A;  AMD   NA  d  CK ; AD   1 d  A;  AMD    d  A;  ADP   2 Tứ diện AADP vuông A nên: 1 1 1     2 2 2 2 2 AD AP a a 4a 4a d  A;  ADP   AA  d  A;  ADP    2a a  d  CK ; AD   3 Câu 72 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành với AB  2a ; BC  a ; BD  a Hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng  ABCD  trọng tâm G tam giác BCD, biết SG  2a Khoảng cách hai đường thẳng AC SB theo a là: A a B 2a C a D a Hƣớng dẫn giải Ta có ABCD hình bình hành, AB  2a, BC  a 2, BD  a nên ABCD hình chữ nhật Dựng hình bình hành ACEB Ta có AC / / BE , AC   SBE   AC / /  SBE  mà  SBE   SB d  SB, AC   d  AC ,  SBE    d  G,  SBE   Dựng GK  BE, K  BE lại có SG  BE nên BE   SGK  Dựng GH  SK , H  SK lại có GH  BE nên GH   SBE   d  G,  SBE    GH Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 75 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Quan Hệ Vng Góc Nâng Cao Ta có GK  d  B, AC  Tam giác ABC vuông B suy GK  d  B, AC   1   d  B, AC  BA BC 2 2a Xét tam giác SGK vuông G , đường cao GH , SG  2a, GK  2a có 1    GH  a  d  SB, AC   a 2 GH GK GS Chọn A Câu 73 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông B, AB  4a; BC  3a, gọi I trung điểm AB, hai mặt phẳng  SIC   SIB  vng góc với  ABC  , góc hai mặt phẳng  SAC   ABC  60 Khoảng cách hai đường thẳng SB AC theo a là: 12a 5a 2a D Hƣớng dẫn giải Ta có  SIC  ,  SIB  vng góc với mặt phẳng  ABC  nên SI   ABC  A B 3a C Dựng hình bình hành ACBE Ta có AC / / BE , AC   SBE   AC / /  SBE  mà  SBE   SB d  SB, AC   d  AC ,  SBE    d  A,  SBE    2d  I ,  SBE   Dựng IK  BE, K  BE lại có SI  BE nên BE   SGK  Dựng IH  SK , H  SK lại có IH  BE nên IH   SBE   d  I ,  SBE    IH Kéo dài IK cắt AC D mà SI  AC   SID   AC Lại có  SAC    ABC   AC  SAD    ABC   AD  SAD    ASC   SD Góc  SAC   ABC  SDI suy SDI  600 Ta có ID  IK  d  B, AC  Mà tam giác ABC vuông B suy ID  IK  d  B, AC   1   d  B, AC  BA BC 2 12a Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 76 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Quan Hệ Vuông Góc Nâng Cao 12a 12a , SDI  600 suy SI  5 Xét tam giác SIK vng I , đường cao IH có Xét tam giác SID vuông I , ID  1 6a 12a    IH   d  SB, AC   5 IH IK IS Chọn A Câu 74 Cho hình thoi ABCD cạnh a, góc BAD  60 Gọi G trọng tâm tam giác ABD, SG  ( ABCD) SG  a Gọi M trung điểm CD Tính khoảng cách đường thẳng AB SM theo a A a a Hƣớng dẫn giải B C a D a Chọn A Ta có: Gọi J , K hình chiếu H lên DC, SJ d  AB, SM   d  AB,  SDC    d  A,  SDC    d  G,  SDC   3 SG.GJ SG.GC.sin GCJ  GK   2 SJ SG  GJ  SG.GC.sin GCJ  SG  GC.sin GCJ  a AC.sin 300 3  2  a 6 2 0  AC sin 30        3 a a a .sin 300 AO.sin 300 a 3 3    2 2  2   a 6 2 a a 6 2 0  .sin 30  AO.sin 30            3    3 Câu 75 hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB  a, AD  2a , tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy Khoảng cách từ D đến  SBC  2a Khoảng cách hai đường thẳng SB AC : A a 10 10 B a 10 2a 10 Hƣớng dẫn giải C D 2a Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 77 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Quan Hệ Vng Góc Nâng Cao Chọn B Ta có: Vẽ đường thẳng d qua A song song với AC Gọi K , I hình chiếu H lên d , SK d  D,  SBC    2a 2a  d  A,  SBc    3 a a  d  H ,  SBC     HI  3 1       2 2 HI a SH SH a HB HK HK sin KBH   sin CAB  HB HB a 2a CB HK HB.CB    HK    AC HB AC 5.a a   SH  SH a 5a d  AC , SB   d  A,  SBK    2d  H ,  SBK    HL =2 SH HK SH HK SH SH a 10 2  2  SK SH 2 SH  HK Câu 76 Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh a Gọi M, N trung điểm AB CD Khi đó, tỉ số A a d  MN , A ' C  VA A' B 'C ' D ' B 2 C D Hƣớng dẫn giải Ta có: VA A ' B 'C ' D '  1 AA '.S A ' B 'C ' D '  a.a  a 3 Vì MN / /  A ' BC   d  MN , A ' C   d  MN ,  A ' BC    d  M ,  A ' BC   Vì AM   A ' BC   B   d  M ,  A ' BC    d  M ,  A ' BC   d  A,  A ' BC    MB  AB d  A,  A ' BC   Trong  AA ' B ' B  , kẻ AH  A ' B,  H  A ' B  Vì   BC   AA ' B ' B   BC  AH  AH  AA ' B ' B     Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 78 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Quan Hệ Vng Góc Nâng Cao  AH  A ' B  AH   A ' BC   Vì  AH  BC  d  A,  A ' BC    AH  AB  BH 2 a 2 A' B a a   AH  a   Ta có: BH    2 2   Khi đó: d  MN , A ' C   d  M ,  A ' BC    1 a d  A,  A ' BC    AH  2 a a d  MN , A ' C  a   Vậy VA A' B' C' D' a Chọn C Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 79 ... Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A 40 67  40 mét mét B 20 111  40 mét Quan Hệ Vng Góc Nâng Cao C 40 31  40 mét D 40 111  40 Câu 19 Cho hình lập phương ABCD.EFGH Gọi  góc đường thẳng AG mặt... THPT Nho Quan A A 3a 21 11 B a 21 C Quan Hệ Vuông Góc Nâng Cao 3a 21 D a 21 Câu 52 Cho hình lăng trụ ABC A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, ACB = 300; M trung điểm cạnh AC Góc cạnh bên... ' Góc đƣờng thẳng mặt phẳng:  Nếu d vng góc với   góc d   900  Nếu d khơng vng góc với   góc d   góc d d ' với d ' hình chiếu d    Chú ý: góc d    00    900 IV - GÓC