Đạo hàm – ĐS> 11 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A VI PHÂN CỦA HÀM SỐ A – LÝ THUYẾT TĨM TẮT  Tích f '( x0 ).x gọi vi phân hàm số y  f ( x) điểm x0 (ứng với số gia x ) kí hiệu df ( x0 )  f '( x0 )x  Nếu hàm số f có đạo hàm f ' tích f '( x)x gọi vi phân hàm số y  f ( x) , kí hiệu là: df ( x)  f '( x)x Đặc biệt: dx  x ' x  x nên ta viết df ( x)  f '( x)dx B – BÀI TẬP Câu Cho hàm số y  f  x    x  1 Biểu thức sau vi phân hàm số f  x  ? A dy   x  1 dx C dy   x  1 Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có dy  f   x  dx   x  1 dx B dy   x  1 dx D dy   x  1 dx Câu Tìm vi phân hàm số y  x3  x2 A dy  (3x2  x)dx C dy  (3x2  x)dx Hướng dẫn giải: Chọn D dy  (3x2  x)dx B dy  (3x2  x)dx D dy  (3x2  x)dx Câu Tìm vi phân hàm số y  3x  A dy  B dy  dx dx 3x  2 3x  C dy  D dy  dx dx 3x  2 3x  Hướng dẫn giải: Chọn D dy  dx 3x  Câu Cho hàm số y  x3  9x2  12 x  Vi phân hàm số là: A dy   3x  18 x  12  dx C dy    3x  18 x  12  dx B dy   3x  18 x  12  dx D dy   3x  18 x  12  dx Hướng dẫn giải: Chọn A Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang Đạo hàm – ĐS> 11 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ta có dy   x3  x  12 x   dx   x  18 x  12  dx Câu Tìm vi phân hàm số y  (3x  1)10 A dy  10(3x  1)9 dx B dy  30(3x  1)10 dx C dy  9(3x  1)10 dx Hướng dẫn giải: Chọn D dy  30(3x  1)9 dx D dy  30(3x  1)9 dx Câu Tìm vi phân hàm số y  sin x  sin3 x A dy   cos x  3sin x cos x  dx C dy   cos x  sin x cos x  dx B dy   cos x  3sin x cos x  dx D dy   cos x  sin x cos x  dx Hướng dẫn giải: Chọn B dy   cos x  3sin x cos x  dx Câu Tìm vi phân hàm số y  tan x B dy  (1  tan 2 x)dx A dy  (1  tan 2x)dx D dy  2(1  tan 2 x)dx C dy  2(1  tan 2 x)dx Hướng dẫn giải: Chọn D dy  2(1  tan 2x)dx Câu Tìm vi phân hàm số y  x  1 A dy  dx ( x  1)2 C dy  dx ( x  1)2 Hướng dẫn giải: Chọn D dy  dx 3 ( x  1)2 B dy  D dy  ( x  1)2 dx 3 ( x  1)2 dx Câu Xét hàm số y  f  x    cos2 x Chọn câu đúng: A df ( x)   sin x dx  cos x cos x C df ( x)  dx  cos 2 x Hướng dẫn giải: Chọn B B df ( x)  D df ( x)   sin x  cos 2 x  sin x dx  cos 2 x dx Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang Đạo hàm – ĐS> 11 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ta có : dy  f   x  dx 1  cos  2 x  dx  4 cos x.sin x dx   cos 2 x  cos 2 x Câu 10 Cho hàm số y  x3  5x  Vi phân hàm số là:  sin x  cos 2 x dx B dy    3x   dx A dy   3x  5 dx D dy   3x  5 dx C dy   3x   dx Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có dy   x  x   dx   3x   dx Câu 11 Cho hàm số y  A dy  dx Hướng dẫn giải: Chọn C Vi phân hàm số là: 3x3 1 B dy  dx C dy   dx x x D dy  x4dx 3x     dx Ta có dy    dx  3 x  x  3x  Câu 12 Cho hàm số y  A dy  C dy  dx  x  1 3dx B dy  D dy   3dx  x  1 x2 Vi phân hàm số là: x 1  x  1 dx  x  1 Hướng dẫn giải: Chọn C  x   Ta có dy   dx  dx    x 1   x  1 Câu 13 Cho hàm số y  A dy   x2  x  dx ( x  1)2 2x 1 dx ( x  1)2 Hướng dẫn giải: Chọn D C dy   x2  x  Vi phân hàm số là: x 1 B dy  2x 1 dx ( x  1) D dy  x2  x  dx ( x  1)2 Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang Đạo hàm – ĐS> 11 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  x  1 x  1   x  x  1  x  x   x2  2x   dx Ta có dy   d x  d x  2  x  1  x  1  x 1  Câu 14 Cho hàm số y  sin x  3cos x Vi phân hàm số là: A dy    cos x  3sin x  dx B dy    cos x  3sin x  dx C dy   cos x  3sin x  dx Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có dy   sin x  3cos x  dx   cos x  3sin x  dx D dy    cos x  3sin x  dx Câu 15 Cho hàm số y  sin x Vi phân hàm số là: A dy  – sin x dx B dy  sin 2x dx C dy  sin x dx Hướng dẫn giải: Chọn B Ta có dy  d sin x  sin x  dx  cos x.2sin xdx  sin xdx     Câu 16 Vi phân hàm số y  A dy  D dy  2cosx dx tan x là: x x dx x x cos x B dy  sin(2 x ) dx x x cos x x  sin(2 x ) x  sin(2 x ) dx dx D dy   x x cos x x x cos x Hướng dẫn giải: Chọn D 1 x  tan x   tan x  x cos x x dx Ta có dy    dx = x x   C dy  1 sin x  x  sin x cos x =   dx  dx = 2 x x cos x  cos x cos x x  x x  sin x dx x x cos x Câu 17 Hàm số y  x sin x  cos x có vi phân là: A dy   x cos x – sin x  dx = B dy   x cos x  dx C dy   cos x – sin x  dx D dy   x sin x  dx Hướng dẫn giải: Chọn B Ta có dy   x sin x  cos x  dx   sin x  x cos x  sin x  dx   x cos x  dx Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang Đạo hàm – ĐS> 11 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 18 Hàm số y  x Có vi phân là: x 1  x2 2x B dy  dx dx 2 ( x  1) ( x  1)  x2 C dy  D dy  dx dx ( x  1)2 ( x  1) Hướng dẫn giải: Chọn A x2   2x2  x2  x   dx Ta có dy    dx  ( x  1) ( x  1)  x 1 Câu 19 Cho hàm số y  f  x    x  1 Biểu thức sau vi phân hàm số cho? A dy  A dy   x  1 dx B dy   x  1 C dy   x  1 dx D dy   x  1 dx Hướng dẫn giải: Chọn A y  f  x    x  1  y   x  1  dy   x  1 dx 2 Câu 20 Vi phân hàm số f  x   x  x điểm x  , ứng với x  0,1 là: A 0, 07 B 10 Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có: f   x   x   f     11 D 0, C 1,1 df    f    x  11.0,1  1,1 Câu 21 Vi phân y  cot  2017 x  là: A dy  2017 sin  2017 x  dx C dy   2017 dx cos  2017 x  B dy  2017 dx sin  2017 x  D dy   2017 dx sin  2017 x  Hướng dẫn giải: Chọn D y  cot  2017 x   y   2017 2017  dy   dx sin  2017 x  sin  2017 x  Câu 22 Cho hàm số y = x2  x  Vi phân hàm số là: x 1 A dy   x2  x  dx ( x  1)2 B dy  2x 1 dx ( x  1)2 Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang Đạo hàm – ĐS> 11 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 2x 1 dx ( x  1)2 Hướng dẫn giải: Chọn D  x  x   x2  2x  dy   d x  dx  ( x  1)  x 1  C dy   Câu 23 Cho hàm số y  D dy  x2  x  dx ( x  1)2 x3 Vi phân hàm số x  3 là: 1 2x B dy  7dx C dy   dx A dy  dx Hướng dẫn giải: Chọn A  y  3  Ta có y  1  x  Do dy  dx Câu 24 Vi phân y  tan 5x : 5x dx A dy  B dy   dx cos x sin x 5 dx dx C dy  D dy   cos x cos x Hướng dẫn giải: Chọn C y  tan x  y  cos x dx Do dy  cos x ( x  1) y  f ( x )  Câu 25 Hàm số Biểu thức 0,01 f '(0,01) số nào? x A B -9 C 90 D dy  7dx D -90 Hướng dẫn giải: Chọn D ( x  1) 1 y  f ( x)   y    y  0, 01  9000 x x x x Do 0,01 f '(0,01)  90 Câu 26 Cho hàm số y  sin(sin x) Vi phân hàm số là: A dy  cos(sin x).sin xdx B dy  sin(cos x)dx C dy  cos(sin x).cos xdx D dy  cos(sin x)dx Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang Đạo hàm – ĐS> 11 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có: y '  (sin x)'.cos(sin x)  cos x.cos(sin x) nên dy  cos x.cos(sin x)dx  x  x x  Câu 27 Cho hàm số f ( x)   Kết đúng? x  2 x x2  x A df (0)  dx B f  0  lim  lim ( x  1)  1 x 0 x 0 x   C f   lim x  x  D f   lim x    x 0       x 0 Hướng dẫn giải: Chọn B Ta có: f   0   lim x 0 x2  x  lim ( x  1)  1 ; x 0 x f   0   lim 2x  hàm số khơng có vi phân x  x 0 x Câu 28 Cho hàm số y  cos2 2x Vi phân hàm số là: A dy  4cos x sin xdx B dy  2cos x sin xdx C dy  2cos x sin xdx D dy  2sin xdx Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có : dy  d  cos 2 x   cos x.(cos x) 'dx  4 cos x.sin xdx  2sin xdx  x  x x  Câu 29 Cho hàm số f ( x)   Khẳng định sai? x  x A f   0   B f   0   C df (0)  dx Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có: f   0   lim x 0 D Hàm số khơng có vi phân x  x x2  x   lim ( x  1)  f     lim  df (0)  dx x 0 x x 0 x Câu 30 Cho hàm số y  f ( x)   cos2 x Chọn kết đúng:  sin x dx A df ( x)  B df ( x)   cos 2 x cos x dx C df ( x)  D df ( x)   cos 2 x Hướng dẫn giải: Chọn B  sin x  cos 2 x  sin x  cos 2 x dx dx Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang Đạo hàm – ĐS> 11 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Ta có : dy  df ( x)  d    cos 2 x  (1  cos2 x) '  cos 2 x dx  Câu 31 Cho hàm số y  tan x Vi phân hàm số là: A dy  B dx x cos x C dy  D dx x cos x Hướng dẫn giải: Chọn D   1 Ta có : dy  d tan x    ( x ) 'dx  2 x cos  cos x  2x  Câu 32 Vi phân hàm số y  : 2x 1 dx A dy   B  x  1  C dy     x  1 dx 2.2cos x.sin x  cos 2 x dy  dy  x x cos x  sin x dx   cos 2 x dx dx x cos x dx dx dy   x  1 D dy   dx  x  1 dx Hướng dẫn giải: Chọn A 8  2x   dx Ta có : dy  d    x   (2 x  1)  x2 Câu 33 Cho hàm số y  Vi phân hàm số là:  x2 4 4 x 4 dx dx dx A dy  B dy  C dy  2 2  x 1   x x     Hướng dẫn giải: Chọn A   x2 Ta có : dy  d  1 x D dy  dx 1  x2   4 x dx  2  (1  x ) Câu 34 Cho hàm số f ( x)  cos x Khi sin x dx A d  f  x    cos x  sin x dx C d  f  x    cos x Hướng dẫn giải: Chọn D B d  f  x    D d  f  x    sin x cos x  sin x cos x dx dx Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ta có : df ( x)  d   cos x  (cos x) ' cos x dx   sin x cos x Đạo hàm – ĐS> 11 dx Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang Đạo hàm – ĐS> 11 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A ĐẠO HÀM CẤP CAO CỦA HÀM SỐ A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT  Đạo hàm cấp hai: Cho hàm số f có đạo hàm f ' Nếu f ' có đạo hàm đạo hàm gọi đạo hàm cấp hai f kí hiệu là: f '' , tức là: f ''  ( f ') '  Đạo hàm cấp n : Cho hàm số f có đạo hàm cấp n  (với n  , n  ) f ( n1) Nếu f ( n1) có đạo hàm đạo hàm gọi đạo hàm cấp n f kí hiệu f ( n) , tức là: f ( n)  ( f ( n1) )' Để tính đạo hàm cấp n:  Tính đạo hàm cấp 1, 2, 3, , từ dự đốn cơng thức đạo hàm cấp n  Dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh công thức B – BÀI TẬP Câu Hàm số y  A y  x có đạo hàm cấp hai là: x2 B y   x  2 C y    x  2 D y   x  2 Hướng dẫn giải: Chọn D  2   x  2 x  2   Ta có y   ; y         x  2   x    x  2  x  2  x  2   Câu Hàm số y   x  1 có đạo hàm cấp ba là: A y  12  x  1 C y  24  x  3 B y  24  x  1 D y  –12  x  1 Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có y  x6  3x4  3x2  ; y  6x5  12x3  6x y  30x4  36x2  ; y  120 x3  72 x  24  x  3 Câu Hàm số y  x  có đạo hàm cấp hai bằng: 1 A y  B y  (2 x  5) x  2x  1 C y   D y   (2 x  5) x  2x  Hướng dẫn giải: Chọn C Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 10 Đạo hàm – ĐS> 11 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A y       2x    2x  2x   2x    2x    2x  2x   x  5 x  Ta có y   Câu Hàm số y  x2  x  có đạo hàm cấp bằng: x 1 120 ( x  1)6 C y (5)  ( x  1)6 Hướng dẫn giải: Chọn A 1 Ta có y  x   y   x 1  x  1 A y (5)    y   y3   x  1 C y 5   x  1  x  1  y  4  24  x  1  y (5)   120 ( x  1)6 x  x 1 có đạo hàm cấp : x 1 120  x  1 D y (5) Câu Hàm số y  A y 5   6 120 ( x  1)6  ( x  1)6 B y (5)  B y 5  120  x  1 D y 5    x  1 Hướng dẫn giải: Chọn A x2  x  1 Ta có: y   x x 1 x 1 120 24 ; y  ; y   ; y  4  ; y  5    y    x  1  x  1  x  1  x  1  x  1 Câu Hàm số y  x x  có đạo hàm cấp : A y   C y  x3  3x 1  x   x2 x3  3x 1  x   x2 B y  x2  D y    x2 x2  1  x2 Hướng dẫn giải: Chọn C Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 11 Đạo hàm – ĐS> 11 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Ta có: y  x   x x x2   2x 1 x2  ; y  x x    x  1 x2  x x 1  2 x3  3x 1  x   x2 Câu Hàm số y   x   có đạo hàm cấp : B y  480  x   A y  80  x  5 C y  480  x   D y  80  x   Hướng dẫn giải: Chọn B 4 Ta có: y   x     10  x   ; y  80  x   ; y  480  x  5 Câu Hàm số y  tan x có đạo hàm cấp : 2sin x 1 A y   B y  C y   cos x cos x cos x Hướng dẫn giải: Chọn D 2cosx  sinx  2sinx Ta có: y  y    cos x cos x cos3 x Câu Cho hàm số y  sinx Chọn câu sai   A y  sin  x   B y  sin  x    2  3   C y  sin  x  D y 4  sin  2  x     Hướng dẫn giải: Chọn D     Ta có: y  cosx  sin   x  ; y  cos   x   sin   x  2  2        y  cos   x   sin   x  ; y  4  cos   x   sin  2  x      2 x  3x Câu 10 Hàm số y  có đạo hàm cấp : 1 x 2 A y   B y  C y  3 1  x  1  x  1  x  Hướng dẫn giải: Chọn B 1 Ta có: y  x   ; y   y   1 x (1  x)3 1  x  D y  2sin x cos3 x D y  1  x      Câu 11 Hàm số y  f  x   cos  x   Phương trình f    x   8 có nghiệm x   0;  là: 3   2 Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 12 Đạo hàm – ĐS> 11 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A x   B x  x  C x  x   D x  x    Hướng dẫn giải: Chọn A         Ta có: y  2sin  x   y  4cos  x   y  8sin  x   y  4  16cos  x   3 3 3 3         Khi : f  4  x   8  16cos  x    8  cos  x     3 3    2       x    k 2  x   k x0;    2     x   x     2  k 2  x     k   3 Câu 12 Cho hàm số y  sin2x Chọn khẳng định A y  y  B y  y  C y  y tan 2x Hướng dẫn giải: Chọn B Ta có: y  2cos2x ; y  4sin2x  y  y  Câu 13 Cho hàm số y  f  x    Xét hai mệnh đề : x  II  : y  f   x     I  : y  f   x   x x Mệnh đề đúng? A Chỉ  I  B Chỉ  II  C Cả hai Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có: y  ; y   ; y  x x x 2sin x Câu 14 Nếu f   x   f  x  cos3 x 1 A B  C cot x cos x cos x Hướng dẫn giải: Chọn D   2cosx   sinx  2sinx  Vì:  tan x      cos3 x cos x  cos x  Câu 15 Cho hàm số y  f  x   D y   y   D Cả hai sai D tan x  x2  x  Xét hai mệnh đề : x 1 Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 13 Đạo hàm – ĐS> 11 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  I  : y  f   x   1   0, x  ( x  1)2  II  : y  f   x    0, x  ( x  1)2 Mệnh đề đúng? A Chỉ  I  B Chỉ  II  C Cả hai Hướng dẫn giải: Chọn A  x2  x  Ta có: y  f  x   ; y   x   y  1  x 1 x 1  x  1  x  1 D Cả hai sai Câu 16 Cho hàm số f  x    x  1 Giá trị f    A B C 12 Hướng dẫn giải: Chọn B Vì: f   x    x  1 ; f   x    x  1  f     D 24   Câu 17 Cho hàm số f  x   sin x  x Giá trị f    2 A B 1 C  Hướng dẫn giải: Chọn B D   Vì: f   x   3sin xcosx  x ; f   x   6sinxcos x  3sin x   f     1 2 Câu 18 Cho hàm số f  x    x  1   x  1 Tập nghiệm phương trình f   x   A  1;  B  ; 0 C 1 Hướng dẫn giải: Chọn C Vì: f   x   15  x  1  ; f   x   30  x  1  f   x    x  1 Câu 19 Cho hàm số y  D  Khi : x 3 3 A y 1  B y 1  C y 1   8 Hướng dẫn giải: Chọn C  y 1   Vì: y   ; y  ; y    x  3  x  3  x  3 D y 1   Câu 20 Cho hàm số y   ax  b  với a , b tham số Khi : A y  1  Hướng dẫn giải: Chọn A 10 B y 10 1  10a  b C y  10 1  5a D y 10 1  10a Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 14 Đạo hàm – ĐS> 11 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Vì: y  5a  ax  b  ; y  20a  ax  b  ; y  60a3  ax  b  ; y 4  120a  ax  b  ; y 5  120a5 ; y  6   y10  Do y 10 1    Câu 21 Cho hàm số y  sin 2x Tính y  4   bằng: 6 A 64 B 64 C 64 Hướng dẫn giải: Chọn C Vì: y  2sin2x  2cos2x   2sin4x ; y  8cos4x ; y  32sin4x ; D 64   y  4  128cos4x  y      64 6 Câu 22 Cho hàm số y  sin x Tính y '' A y ''   sin x B y ''  4sin x C y ''  sin 2x D y ''  4sin x Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có y '  2cos x  y ''  4sin x   Câu 23 Cho hàm số y  sin x Tính y '''( ) , y (4) ( ) A 16 B 17 C 18 Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có y '''  8cos x, y (4)  16sin x D 19  2    4; y (4) ( )  16sin  16 Suy y '''( )  8cos 3 Câu 24 Cho hàm số y  sin x Tính y( n)   B y ( n )  2n sin(2 x  ) A y ( n )  2n sin(2 x  n )  C y ( n )  2n sin( x  ) Hướng dẫn giải: Chọn D   D y ( n )  2n sin(2 x  n )   Ta có y '  2sin(2 x  ), y ''  22 sin(2 x  ) , y '''  23 sin(2 x  ) 2  Bằng quy nạp ta chứng minh y ( n )  2n sin(2 x  n ) Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 15 Đạo hàm – ĐS> 11 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A  Với n   y '  21 sin(2 x  ) Giả sử y ( k )  2k sin(2 x  k  ),    )  2k 1 sin  x  (k  1)  2  Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh suy y ( k 1)   y ( k )  '  2k 1 cos(2 x  k Câu 25 Tính đạo hàm cấp n hàm số y  2x 1 x2 (1)n 1.3.n ! ( x  2)n 1 (1)n1.3.n ! C y ( n )  ( x  2)n1 Hướng dẫn giải: Chọn D A y ( n )  (1)n1.n ! ( x  2)n1 (1)n1.3.n !  ( x  2)n1 B y ( n )  D y ( n ) ' ( x  2)  3.2 , y ''    Ta có y '  ( x  2) ( x  2) ( x  2)3 y '''  (1)n1.3.n ! 3.2.3 (n) Ta chứng minh y  ( x  2)4 ( x  2)n1 (1)0 3  Với n   y '   ( x  2) ( x  2)2 (1)k 1.3.k !  Giả sử y ( k )  ( x  2)k 1 (1)k 1.3.k ! ( x  2)k 1  ' (1)k 3.(k  1)! ( k 1) (k ) y   y '    ( x  2)2 k  ( x  2)k  Theo ngun lí quy nạp ta có điều phải chứng minh ,a  Câu 26 Tính đạo hàm cấp n hàm số y  ax  b (2)n a n n! (1)n a n n ! (n) A y ( n )  B y  (ax  b)n1 ( x  1)n1 (1)n n! (ax  b)n1 Hướng dẫn giải: Chọn D a a 2 a3 2.3 Ta có y '  , y ''  , y '''  (ax  b)2 (ax  b)3 (ax  b)4 C y ( n )  D y ( n )  (1)n a n n ! (ax  b)n1 Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 16 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Đạo hàm – ĐS> 11 (1)n a n n ! (ax  b)n1 (1)1.a1.1! a  Với n   y '   (ax  b) (ax  b)2 (1)k a k k ! (k )  Giả sử y  (ax  b)k 1 (1)k a k k ! (ax  b) k 1  ' (1)k 1.a k 1.(k  1)! ( k 1) (k ) y   y '    (ax  b)2 k  ( x  2) k  Theo ngun lí quy nạp ta có điều phải chứng minh 2x 1 Câu 27 Tính đạo hàm cấp n hàm số y  x  5x  n n (1)n1.7.n ! (1)n1.5.n ! (2) 7.n ! (1) 5.n! (n) A y ( n )  B y    ( x  2)n1 ( x  3)n1 ( x  2)n1 ( x  3)n1 (1)n 7.n ! (1)n 5.n! (1)n 7.n ! (1)n 5.n! (n) C y ( n )  D y    ( x  2)n1 ( x  3)n1 ( x  2)n ( x  3)n Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có: x   7( x  2)  5( x  3) ; x2  5x   ( x  2)( x  3)  Suy y  x 3 x 2 (n) ( n) (1)n 1n.n! (1)n n!   (1) n n!   Mà   ,     ( x  2)n1 ( x  2)n1  x   ( x  3)n1  x2 (1)n 7.n ! (1)n 5.n! Nên y ( n )   ( x  2)n1 ( x  3)n1 Câu 28 Tính đạo hàm cấp n hàm số y  cos x   n   A y ( n )   1 cos  x  n  B y ( n )  2n cos  x   2 2       C y ( n )  2n 1 cos  x  n  D y ( n )  2n cos  x  n  2 2   Hướng dẫn giải: Chọn D     Ta có y '  cos  x   , y ''  22 cos  x   , 2 2     y '''  23 cos  x   2    Bằng quy nạp ta chứng minh y ( n )  2n cos  x  n  2  Ta chứng minh: y ( n )  Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 17 Đạo hàm – ĐS> 11 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 29 Tính đạo hàm cấp n hàm số y  x  A y (n)  C y ( n )  (1) n 1.3.5 (3n  1) B y (2 x  1) n 1 (1) n 1.3.5 (2n  1) (n)  D y ( n )  (2 x  1) n 1 (1) n 1.3.5 (2n  1) (2 x  1) n 1 (1) n 1.3.5 (2n  1) (2 x  1) n 1 Hướng dẫn giải: Chọn D 1 Ta có y '  , y ''   , y '''  2x  (2 x  1) (2 x  1)5 Bằng quy nạp ta chứng minh được: y ( n )  (1) n 1.3.5 (2n  1) Câu 30 Tính đạo hàm cấp n hàm số y  (2 x  1) n 1 2x 1 x  3x  2 5.(1)n n ! 3.(1)n n!  ( x  2)n1 ( x  1)n1 5.(1)n n ! 3.(1)n n ! C y ( n )  : ( x  2)n1 ( x  1)n1 Hướng dẫn giải: Chọn D  Ta có: y  x  x 1 A y ( n )  Bằng quy nạp ta chứng minh được: y 5.(1)n n! 3.(1) n n!  ( x  2)n1 ( x  1)n1 5.(1)n n! 3.(1) n n!   ( x  2)n1 ( x  1)n1 B y ( n )  D y ( n ) (n) 5.(1)n n! 3.(1) n n!   ( x  2)n1 ( x  1)n1 Câu 31 Tính đạo hàm cấp n hàm số y  x x  5x  (1)n 3.n ! (1)n 2.n! (1)n 3.n ! (1)n 2.n! (n) A y  B y    ( x  3)n1 ( x  2)n1 ( x  3)n ( x  2)n (1)n 3.n ! (1)n 2.n! (1)n 3.n ! (1)n 2.n! (n) C y ( n )  D y    ( x  3)n1 ( x  2)n1 ( x  3)n1 ( x  2)n1 Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có: x  3( x  2)  2( x  3) ; x2  5x   ( x  2)( x  3)  Suy y  x3 x2 (n) ( n) (1)n 1n.n! (1)n n!   (1) n n!   Mà    ,     ( x  2)n1 ( x  2)n1  x   ( x)n1  x2 (n) Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 18 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nên ta có: y ( n )  Đạo hàm – ĐS> 11 (1)n 3.n ! (1)n 2.n!  ( x  3)n1 ( x  2)n1 Câu 32 Tính đạo hàm cấp n hàm số y  cos x     A y ( n )  2n 1 cos  x  n  B y ( n )  2n 1 cos  x  n  2 2       C y ( n )  2n cos  x   D y ( n )  2n cos  x  n  2 2   Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có :       y '  cos  x   , y ''  22 cos  x   , y '''  23 cos  x   2 2 2      Bằng quy nạp ta chứng minh y ( n )  2n cos  x  n  2  Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 19 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Đạo hàm – ĐS> 11 Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM Ý nghĩa vật lí : Vận tốc tức thời chuyển động thẳng xác định phương trình : s  s  t  thời điểm t0 v  t0   s '  t  Cường độ tức thời điện lượng Q  Q  t  thời điểm t0 : I  t0   Q '  t0  Câu Một chuyển động thẳng xác định phương trình s  t  3t  5t  , t tính giây s tính mét Gia tốc chuyển động t  là: A 24m / s B 17m / s C 14m / s D 12m / s Hướng dẫn giải: Đ nD Ta có gia tốc tức thời chuyển động thời điểm t đạo hàm cấp hai phương trình chuyển động thời điểm t s  t  3t  5t    3t  6t    s  6t   s  3  12 Câu Cho chuyển động thẳng xác định phương trình s  t  3t  9t  ( t tính giây; s tính mét) Khẳng định sau ? A Vận tốc chuyển động t  t  B Vận tốc chuyển động thời điểm t  v  18 m / s C Gia tốc chuyển động thời điểm t  a  12 m / s D Gia tốc chuyển động t  Hướng dẫn giải: Đ n C Ta có gia tốc tức thời chuyển động thời điểm t đạo hàm cấp hai phương trình chuyển động thời điểm t s  t  3t  5t    3t  6t    s  6t   s  3  12 Câu Cho chuyển động thẳng xác định phương trình s  t  3t ( t tính giây; s tính mét) Khẳng định sau đúng? A Gia tốc chuyển động t  4s a  18m / s B Gia tốc chuyển động t  4s a  9m / s C Vận tốc chuyển động t  3s v  12m / s D Vận tốc chuyển động t  3s v  24m / s Hướng dẫn giải: Đ nA s  3t  6t  s  6t  s    18 Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 20 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Đạo hàm – ĐS> 11 Hoctai.vn – Webiste chuyên cung cấp Tài liệu, Đề + Thi online miễn phí kèm lời giải chi tiết Facebook: https://www.facebook.com/hoctai.vn Trang 21 ... ST&BS: Th.S Đặng Vi t Đông Trường THPT Nho Quan A ĐẠO HÀM CẤP CAO CỦA HÀM SỐ A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT  Đạo hàm cấp hai: Cho hàm số f có đạo hàm f ' Nếu f ' có đạo hàm đạo hàm gọi đạo hàm cấp hai f kí...  Đạo hàm cấp n : Cho hàm số f có đạo hàm cấp n  (với n  , n  ) f ( n1) Nếu f ( n1) có đạo hàm đạo hàm gọi đạo hàm cấp n f kí hiệu f ( n) , tức là: f ( n)  ( f ( n1) )' Để tính đạo hàm. .. đạo hàm cấp n:  Tính đạo hàm cấp 1, 2, 3, , từ dự đốn cơng thức đạo hàm cấp n  Dùng phương pháp quy nạp tốn học để chứng minh cơng thức B – BÀI TẬP Câu Hàm số y  A y  x có đạo hàm cấp hai