2.Một số ví dụ Giải A *(DMN) (ABD) có điểm D chung Ví dụ 1: Cho bốn điểm khơng đồng phẳng A,B,C,D Trên hai đoạn AB AM AN Hãy xác định AC lấy hai điểm M N cho = va =2 Và M∈AB⇒ (DMN)∩(ABD)=DM BM NC giao tuyến mp (DMN) với *(DMN) (ACD) có điểm D chung mp (ABD) , (ACD) , (ABC), (BCD) M Và N∈AC⇒ (DMN)∩(ABD)=DN *(DMN) (ABC) có N∈AC , M∈AB ⇒ (DMN)∩(ABD)=MN *(DMN) (BDC) có điểm D chung Và NM ∩ BC={E} ⇒ (DMN)∩(BDC)=DE D N B C E Ví dụ 3:Cho bốnGiải điểm khơng đồng phẳng A,B,C,D Trên A ba cạnh AB, AC,AD lần lược lấy điểm M,N K cho đường thẳng KMN cắt Ta có thẳng J∈MK⊂(MNK) đường BC H , đường thẳng NK cắt đường thẳng CD I , đường thẳng KM cắt đường thẳng BD J Chứng minh ba điểm H,I,J J∈BD⊂(BDC) thẳng hàng ⇒J=(MNK)∩(BCD) M  Tương Tự có I∈NK⊂(MNK) D I∈CD⊂(BDC) ⇒I=(MNK)∩(BCD) B N  Tương Tự có H∈MN⊂(MNK) H∈BC⊂(BDC) J C ⇒H=(MNK)∩(BCD)  Vậy H,I,J nằm giao tuyến 2mp (MNK) (BCD) I H Ví dụ 4: Cho ∆BCD điểm A không thuộc mp (BCD) Gọi K trung điểm đoạn AD G trọng tâm ∆ABC Tìm giao điểm đường thẳng GK mp(BCD) A K Giải Gọi {J}=AG∩BC AG Xét (AJD) tá có : AK = ; = ; AJ AD B D G ⇒GK∩JD={L} Ta có L ∈ JD   ⇒ L ∈ ( BCD ) ID ⊂ ( BCD )  {L} = GK ∩ ( BCD) J C L Ví dụ 5: Cho hình chóp Giải S.ABCD đáy hbh ABCD Gọi M,N,P trung điểm AB,AD,SC Tìm giao điểm mp(MNP) với S MN cắt đường thẳng BC ,CD K,L mặt hình chóp giao tuyến mp (MNP) với mặt hình chóp ; F=SD ∩PL E=PK∩SB P Ta có : E== SB∩(MNP); P=SC ∩(MNP) F F=SD ∩(MNP) Đo : E C D L MN=(MNP) ∩(ABCD) N EM=(MNP) ∩(SAB) B PE=(MNP) ∩(SBC) PF=(MNP) ∩(SCD) FN= (MNP) ∩(SAD) *Chú ý: (sgk) K M A 4.Hình chóp hình tứ diện a.Hình chóp Định nghĩa § S Trong mp (P) cho đa giác A1A2…An điểm S Ï ( P) Nối SA1,SA2,…,SAn để n tam giác SA1A2,SA2A3,…,SAnA1 Hình gồm n tam giác đa giác A1A2…An gọi hình chóp kí hiệu S.A1A2…An A2 A3 P S Đỉnh A1 Hình chóp tam giác S.A1A2A3 Cạnh bên S Mặt bên A5 Cạnh đáy A1 A4 A1 A4 Mặt đáy A2 A3 A3 P H/C ngũ giác S.A1A2A3A4A5 VÍ DỤb,c A2 Hình chóp tứ giác S.A1A2A3A4 GSP Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Một mp(P) cắt cạnh SA,SB,SC,SD A’,B’,C’,D’ Tứ giác A’B’C’D’ gọi thiết diện hay mặt cắt hình chóp S.ABCD cắt mp(P) S D’ A’ I C’ B’ P D A ? Thiết diện hình chóp tứ giác tam giác, tứ giác ,ngũ giác ,lục giác hay không ? O B C GSP-thietdien Ví dụ Muốn tìm giao tuyến mp phân biệt ta phải tìm điểm chung phân biệt Cho hình chóp tứ giácS.ABCD vói AB CD không song song.M điểm thuộc miền tam giác SCD S a Tìm giao tuyến hai mp (SAB) (SCD) b.Tìm giao tuyến hai mp(SBM) (SAC) c Tìm giao điểm I đt BM mp(SAC) d.Xác định thiết diện h/c S.ABCD cắt mp(ABM) A Giải D a Ta có S điểm chung hai mp Gọi H=AB Ç CD B C Vậy SH=(SAB) Ç (SCD) H VD b,c CỦNG CỐ Ví dụ Ì ta Muốn tìm giao mp phân biệt athì a Ç2d điểm = A chung Muốn tìm giao điểmtuyến đt d với mp (P).Tìm (P)phải mà tìm Khi đóphân A=d Çbiệt (P) Cho hình chóp tứ giácS.ABCD vói AB CD khơng song song.M điểm thuộc miền tam giác SCD S a Tìm giao tuyến hai mp (SAB) (SCD) b.Tìm giao tuyến hai mp(SBM) (SAC) c Tìm giao điểm I đt BM mp(SAC) d.Xác định thiết diện h/c S.ABCD cắt mp(ABM) Giải M b.Ta có S điểm chung hai mp A Gọi N=SM Ç CD Trong mp(ABCD) nối BN ct AC ti O O ẻ BN è (SBM)ị O Î (SBM) Ç (SAC) D I Vậy (SBM) Ç (SAC)=SO c Trong mp(SBM) ta có B N O SO Ç BM=I ,SO Ì (SAC) Vậy I=BM Ç (SAC) VD a VD d C Ví dụ Muốn tìm thiết diện hình chóp với mp (P) ,ta tìm đoạn giao tuyến (nếu có) mp (P) với mặt hình chóp Cho hình chóp tứ giácS.ABCD vói AB CD không song song.M điểm thuộc miền tam giác SCD S a Tìm giao tuyến hai mp (SAB) (SCD) Q b.Tìm giao tuyến hai mp(SBM) (SAC) c Tìm giao điểm I đt BM mp(SAC) d.Xác định thiết diện h/c S.ABCD cắt mp(ABM) Giải M A D I d Trong mp(SAC) đt AI cắt SC P P Suy PM=(ABM) Ç (SCD) đt PM cắt SD Q Vậy thiết diện cần tìm tứ giác ABPQ B N O C VD b,c CỦNG CỐ Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành.Gọi M,N,P trung điểm cạnh AB,AD,SC.Xác định thiết diện hình chóp mặt phẳng (MNP) S P Giải: F + Ta có giao tuyến MN E D C + Trong mp(ABCD), gọi I, J B giao điểm M MN với BC CD I + Trong mp(SBC), gọi E giao điểm IP SB Ta có giao tuyến ME vaì EP + Trong mp(SCD), gọi F giao điểm JP SD Ta có giao tuyến PF FN N A + Vậy thiết diện mp(MNP) hình chóp tứ giác MNFPE J VÝ dơ Cho tø diÖn ABCD Gäi M, N, P, Q, R, S lần l ợt trung điểm đoạn thẳng : AB, CD, BC, DA, AC, BD Chứng minh ba đoạn thẳng MN, PQ RS đồng quy trung điểm G đoạn Điểm G gọi trọng tâm tứ diện ABCD Giải Chứng minh tơng tự ta có Tứ giác MNRS hình bình hành, hai đoạn thẳng MN RS cắt trung điểm đ ờng đoạn trung thẳng điểm MN, G MN Vậy (các PQ, RS) đồng quy trung điểm G đoạn Điều phải chứng minh Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành a Tìm giao điểm hai mp(SAB) (SCD) b Xác định thiết diện hình chóp S.ABCD Giải b cắt Ta cóbởi mp(MBC) M điểm nằm hai điểm S A ( MBC ) ∩ ( SBC ) = BC ( MBC ) ∩ ( SAB ) = BM t mp(MBC), (SAD) (ABCD) đôi nên áp dụng định lý ta cã giao tuyÕn cña ( MBC ) ∩ ( SAD ) = d đth qua M song song với AD qua M kẻ đờng thẳng song song với AD cắt SD N ( MBC ) ( SDC ) = CN ( MBC ) ∩ ( ABCD ) = BC Vậy thiết diện cần tìm tø gi¸c MNCB Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình bình hành tâm O a/ Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SAC) (SBD) b/ Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SAD) (SBC) c/ Gọi M, N trung điểm SA SB, K điểm nằm B C Tìm thiết diện hình chóp S.ABCD cắt mặt phẳng (MNK) S M H A N D C O B K Hai đờng thẳng song song c/ Tỡm thiết diện hình chóp S.ABCD cắt S mặt phẳng (MNK) Ta có : MN // AB M MN ⊂ (MNK) AB ⊂ (ABCD) H A N D C O B K K ∈ (MNK) ∩ (ABCD) ⇒ (MNK) ∩ (ABCD) = KH(với H ∈ AD KH // MN // AB) Vậy thiết diện cần tìm t giỏc MNKH Hai đờng thẳng song song a/ Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SAC) (SBD) Ta có : S∈ (SAC) ∩ (SBD) (1) Lại có : O = AC ∩ BD ⇒ O ∈ (SAC) ∩ (SBD) (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã: SO = (SAC) ∩ (SBD) b/ Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SAD) (SBC) S Ta có : AD // BC AD ⊂ (SAD) x M N D C BC ⊂ (SBC) H O A K S ∈ (SAD) ∩ (SBC) B Suy (SAD) cắt (SBC) theo giao tuyến Sx // AD // Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD Gọi G1, G2, G3 trọng tâm tam giác ABC, ACD, ABD Chứng minh mặt phẳng (G1G2G3) song song với mặt phẳng (BCD) Cho tứ diện SABC Hãy dựng mặt phẳng đoạn thẳng SA song song với (ABC) qua trung điểm I BÀI 4: HAI MẶT PHẲNG SONG SONG γ 3.Tính chất * Tính chất 2: α (α ) //( β ) (γ ) ( β ) = b ⇒  (γ ) (α ) = a a // b b β Hệ quả: Hai mặt phẳng song song chắn hai cát tuyến song song đoạn thẳng Ví dụ 3: Cho h×nh chãp S.ABCD cã đáy ABCD hình bình hành tõm O Gọi I điểm thuc đoạn AO , (P) mặt phẳng qua I song song với (SBD) Xác định thiết diƯn cđa h×nh chãp S.ABCD cắt (P) a b a A’ α A B' β B Ví dụ 3: S S.ABCD ABCD hình bình hành tâm O GT I ∈ đoạn AO, (P) qua I //(SBD) Xác định thiết diện h×nh chãp KL S.ABCD cắt (P) P A Giải: ( P ) // ( SBD ) Ta có:  ( ABCD ) ∩ ( SBD) = BD   I ∈ ( P ) , I ∈ ( ABCD ) D N I M O B C ⇒ ( ABCD ) ∩ ( P ) = MN ( Với MN qua I //BD, M∈AB, N ∈AD ) ( P ) // ( SBD )  ( SAC ) ∩ ( SBD) = SO ⇒ ( SAC ) ∩ ( P ) = IP   I ∈ ( P ) , I ∈ ( SAC ) ( Với IP //SO, P∈SA) ( SAB ) ∩ ( P) = PM , ( SAD ) ∩ ( P) = PN => Thiết diện tam giác MNP H.động ... song song với (ABC) qua trung điểm I BÀI 4: HAI MẶT PHẲNG SONG SONG γ 3.Tính chất * Tính chất 2: α (α ) //( β ) (γ ) ( β ) = b ⇒  (γ ) (α ) = a a // b b β Hệ quả: Hai mặt phẳng song song... mặt phẳng song song chắn hai cát tuyến song song đoạn thẳng Ví dụ 3: Cho h×nh chãp S.ABCD cã đáy ABCD hình bình hành tõm O Gọi I điểm thuc đoạn AO , (P) mặt phẳng qua I song song với (SBD) Xác... đôi nên áp dụng định lý ta có giao tuyến ( MBC ) ∩ ( SAD ) = d ®th ®i qua M song song với AD qua M kẻ đờng thẳng song song với AD cắt SD N ( MBC ) ∩ ( SDC ) = CN ( MBC ) ∩ ( ABCD ) = BC VËy thiÕt