VI N H N L M KHOA H¯C V C˘NG NGH VI T NAM VI NTO NH¯C NGUY N THU H NG D NG I UTI MC NCếAMáTSăB TBI NCếA LÔY THØA C C I AN PHÕ LU N NTI NS TO NH¯C H Nºi - 2019 VI N H N L M KHOA H¯C V C˘NG NGH VI T NAM VI NTO NH¯C NGUY N THU H NG D NGI UTI MC NCếAMáTSăB TBI N CếA LễY THỉA C C I AN PHÕ Chuy¶n ng nh: ⁄i sŁ v Lỵ thuyt s M s: 46 01 04 LU N NTI NS TO NHC Tp th hữợng dÔn: TS Trƒn Nam Trung GS.TS L¶ Thà Thanh Nh n H Nºi - 2019 ii Tâm t›t Cho R = k[x1; : : : ; xn] l v nh a thøc n bin trản trữớng k v H = (V; E) l siảu ỗ th trản nh V = f1; : : : ; ng vỵi t“p c⁄nh E: Ta liản kt vợi H mt i ảan ỡn thức khổng chøa b…nh ph÷ìng J(H) = \ (xi j i E) E2E R: J(H) ữổc gồi l i ảan ph ca siảu ỗ th H Lun Ăn trung nghiản cứu v tnh n nh ca hai bĐt bin quan trång l º s¥u v ch¿ sŁ ch‰nh quy Castelnuovo-Mumford (gåi t›t l ch¿ sŁ ch‰nh quy) cıa lôy thła ca i ảan ph liản kt vợi hai lợp siảu ç unimodular v c¥n b‹ng, lơy thła ı lợn Dỹa trản viằc nghiản cứu cĂc nh nguyản ca cĂc a diằn lỗi, lun Ăn  t ữổc cĂc k‚t qu£ ch‰nh v• t‰nh gi£m cıa h m º s¥u v t‰nh ti»m c“n tuy‚n t‰nh cıa ch¿ sŁ chnh quy Bản cnh õ, lun Ăn cụng ữa cĂc chn trản hổp lỵ cho tnh n nh ca hai bĐt bin ữổc nghiản cứu Lun Ăn ữổc chia l m chữỡng Trong Chữỡng 1; chúng tổi giợi thi»u mºt sŁ kh¡i ni»m v k‚t qu£ v• mŁi quan h» giœa i ¶an ìn thøc khỉng chøa b…nh phữỡng v siảu ỗ th; trnh b y li cổng thức Takayama; nghiản cứu cĂc tnh chĐt quan trồng ca ca a diằn lỗi cõ liản quan n phức bc; nh›c l⁄i b i to¡n quy ho⁄ch tuy‚n t‰nh Trong Chữỡng 2; chúng tổi trung nghiản cứu v tnh giÊm ca h m sƠu v chn trản ch sŁ Œn ành cıa h m º s¥u cıa lơy tha cĂc i ảan ph Trong Chữỡng 3; chúng tổi trung nghiản cứu v tnh tiằm cn tuyn tnh cıa ch¿ sŁ ch‰nh quy cıa lôy thła c¡c i ¶an phı iii Abstract Let R = k[x1; : : : ; xn] be a polynomial ring in n variables over a field k; and H = (V; E) be a hypergraph with vertex set V, edge set E: We consider a square-free monomial ideal corresponding to H as follows: J(H) := \ (xi j i E) E2E R: J(H) is called cover ideal of H: The main aim of this thesis focuses on studying the stability of two important invariants in commutative algbra, which are depth and Castelnuovo-Mumford regularity (regularity for short) We investigate these invariants for large enough powers of cover ideals of balanced hypergraphs, and unimodular hypergraphs It is based on investigating polytopes with integral vertices We obtain some main resutls for non-increasing property of depth functions and the asymptotic behavior of regularity of cover ideals In addition, this thesis also gives a suitable upper bound for the index of depth stabbility, and a reasonable bound for the stable position of regularity This thesis is divided into three chapters Chapter 1, we introduce some basic notation, and resutls about the rela-tions between square-free monomial ideals and hypergraphs; recall Takayama’s formula; study some useful properties of polytopes Chapter 2; we consider the non-increasing property of depth functions and show a suitable upper bound for the index of depth stabbility Chapter 3; we investigate the asymptotic behavior of regularity of pow-ers of cover ideals iv Líi cam oan Tỉi xin cam oan ¥y l cỉng tr…nh nghiản cứu ca tổi ữổc ho n th nh dữợi sỹ hữợng dÔn ca TS Trn Nam Trung v GS.TS L¶ Thà Thanh Nh n C¡c k‚t qu£ vi‚t chung vợi cĂc tĂc giÊ khĂc  ữổc sỹ nhĐt tr ca cĂc ỗng tĂc giÊ trữợc ữa v o lun Ăn CĂc kt quÊ ữổc nảu lun Ăn l trung thüc v ch÷a tłng ÷ỉc cỉng bŁ b§t ký cỉng tr…nh n o kh¡c T¡c gi£ Nguy„n Thu H‹ng v Líi c£m ìn Lu“n ¡n n y ữổc ho n th nh dữợi sỹ hữợng dÔn, ch¿ b£o vỉ còng t“n t¥m v s¥u s¡t cıa Thƒy, Cỉ tỉi: TS Trƒn Nam Trung v GS.TS L¶ Thà Thanh Nh n Thƒy v Cỉ ¢ bä rĐt nhiu cổng sức khổng ch dÔn dt, giÊng dy cho tổi v kin thức, kinh nghiằm v tữ ca ngữới l m ToĂn, m cặn luổn ch b£o cho tỉi c¡ch thøc nh…n nh“n cıa ng÷íi l m To¡n cuºc sŁng Thƒy, Cỉ ¢ khỉng ngłng kiản nhÔn, ht lặng lo lng cho mt hồc trặ cõ vổ v n khõ khôn cÊ v kin thức v søc khäe nh÷ tỉi Tỉi xin ÷ỉc b y tọ tĐm lặng bit ỡn vổ hn n Thy, Cổ Tổi xin ữổc b y tọ lặng bit ỡn vổ sƠu sc n GS.TSKH Lả TuĐn Hoa Thy  luổn quan tƠm v sĂt i vợi tổi trản ữớng hồc Thy  to mồi iu kiằn thu“n lỉi ” tỉi câ cì hºi tham gia c¡c hi thÊo quan trồng, cĂc bui hồc v cĂc vĐn mợi Vợi tĐm lặng ca mnh, tổi xin ữổc tr¥n trång c£m ìn Thƒy Tỉi cơng tr¥n trång c£m ìn Vi»n To¡n håc, Trung t¥m o t⁄o sau ⁄i hồc, cĂc phặng chức nông ca Viằn ToĂn hồc,  t⁄o i•u ki»n thu“n lỉi ” tỉi håc t“p v nghiản cứu ti Viằn Tổi cụng trƠn trồng cÊm ỡn GS.TSKH Ngỉ Vi»t Trung, GS.TSKH Nguy„n Tü C÷íng, PGS TS Nguyn Cổng Minh  to iu kiằn thun lổi tỉi ÷ỉc tham gia c¡c sinh ho⁄t khoa håc cıa phỈng ⁄i sŁ, Vi»n To¡n håc, c¡c seminar t⁄i Vi»n nghiản cứu cao cĐp v ToĂn v cĂc seminar ti ⁄i håc S÷ ph⁄m H Nºi °c bi»t, tỉi xin ữổc b y tọ lặng cÊm ỡn sƠu sc tợi TS o n Trung Cữớng Tin sắ  rĐt tn tƠm, nhiằt th nh giÊng dy cĂc kin thức nn t£ng v• ⁄i sŁ giao ho¡n cho tỉi nhœng nôm u l m nghiản cứu sinh Tổi xin chƠn th nh c£m ìn Ban Gi¡m hi»u - tr÷íng ⁄i håc Khoa håc; Ban chı nhi»m Khoa To¡n Tin - trữớng i hồc Khoa hồc; i hồc ThĂi Nguyản  to iu kiằn thun lổi nhĐt, phũ hổp nhĐt tæi vła ho n vi th nh vi»c håc t“p, vła £m b£o cæng vi»c gi£ng d⁄y cıa m…nh t⁄i Trữớng Tổi xin cÊm ỡn cĂc anh, ch nghiản cứu sinh ang hồc tp, nghiản cứu ti Phặng i s, Vi»n To¡n håc ¢ gióp ï tỉi håc t“p v cuºc sŁng CuŁi còng, tỉi xin ÷ỉc b y tọ sỹ bit ỡn vổ hn tợi B, Mà v anh chà em gia …nh tæi °c bi»t l Chỗng v hai nhọ, nhng ngữới  luổn hy sinh rĐt nhiu, luổn lo lng, mong tổi tin bº tłng ng y, tłng th¡ng Lu“n ¡n n y tỉi xin ÷ỉc d nh t°ng cho nhœng ng÷íi m tổi yảu thữỡng TĂc giÊ Nguyn Thu Hng vii BÊng cĂc kỵ hiằu N Z cĂc s tỹ nhiản t“p c¡c sŁ nguy¶n Q t“p c¡c sŁ hœu t R t“p c¡c sŁ thüc depth h m º s¥u H = (V;E) siảu ỗ th vợi nh V v t“p c⁄nh E J(H) i ¶an phı li¶n k‚t vợi siảu ỗ th H I(H) i ảan cnh liản kt vợi siảu ỗ th H (I) dstab(I) trÊi gi£i t‰ch cıa i ¶an I ch¿ sŁ Œn ành sƠu ca i ảan I reg(I) ch s chnh quy Castelnuovo-Mumford cıa i ¶an I m(M) i Hm (M) mỉ un xo›n cıa M G(I) t“p sinh ìn thøc tŁi ti”u cıa i ¶an I mỉ un Łi ỗng iu a phữỡng thứ i ca M vợi giĂ m phøc ìn h…nh I i ¶an Stanley-Reisner li¶n k‚t vỵi phøc ìn h…nh k[ ] v nh Stanley-Reisner cıa phøc ìn h…nh F( ) t“p c¡c m°t cüc ⁄i cıa phøc ìn h…nh (I) A(H) phøc ìn h…nh li¶n kt vợi i ảan I ma trn liản thuc ca siảu ỗ th H C ( ; k) phức rút gån cıa tr¶n k H e e ;k i( ) ỗng iu ỡn hnh rút gồn thứ i ca trản k viii CS Łi gi¡ cıa v†ctì (I) phøc b“c st F phøc ìn h…nh cıa F I m I(m) lơy thła thỉng th÷íng thø m cıa i ¶an I lơy thła h…nh thøc thø m cıa i ¶an I R(I) v nh Rees cıa i ¶an I G = (V (G); E(G)) M ỗ th vợi t“p ¿nh V (G) v t“p c⁄nh E(G) gh†p c°p ca ỗ th 0(G) ch s ghp cp cõ thứ tỹ ai(M) bc khổng triằt tiảu lợn nhĐt ca Hm (M) i ix Danh sĂch hnh v 1.1 Siảu ỗ 1.2 Si¶u ç c¥n b‹ng 14 16 1.3 Si¶u ỗ th cƠn bng khổng unimodular 17 1.4 Phøc ìn h…nh 19 2.1 ỗ th H4 36 2.2 ç C5 2.3 Mºt gh†p c°p cıa C5 45 45 67 = dimk Hep CS 0j 1( p s (J(H) ); k) 6= 0: t Nâi c¡ch kh¡c, Hm (R=J(H) ) 6= v v… v“y t (n ap(R=J(H) ) > j j = j j m) = dt (f + n vỵi e := f + n m) = dt m Chú ỵ r‹ng d f e m + (n m) n =( ;:::; m; 1; : : : ; 1) v L“p lu“n n y công ch¿ r‹ng n n‚u s r + th… = ( ) = ds f v s > (n j j m) = ds (Ps) Do â, Ps (f + n m) = ds ap(R=J(H) )=j j=jj Ta suy iu phÊi chứng minh nh lỵ sau e; jj= e: ¥y l mºt k‚t qu£ ch‰nh thứ nhĐt m chúng tổi t ữổc s Nõ ch d¡ng i»u ti»m c“n cıa ai(R=J(H) ) theo bi‚n s: nh lỵ 3.10 Cho H l siảu ỗ th unimodular v i l s nguyản khổng Ơm bĐt ký Khi â ho°c ai(R=J(H)s) = vỵi måi s > 1, hoc tỗn ti cĂc s nguyản dữỡng d v e, vỵi d e, cho ai(R=J(H)s) = ds e vỵi måi s > n2 Chøng minh N‚u n = th… R = k[x 1] v â J(H) = (x1) Do vy nh lỵ úng trữớng hổp n y V… v“y, chóng ta s‡ gi£ sß r‹ng n > v ai(R=J(H)k) 6= vỵi k > vỵi måi t > r n2 + r n +1 n t n o â Theo BŒ • 3.9 ta câ ai(R=J(H) ) 6= s l s > n2 Gi£ sß ( i( ) )= mºt sŁ nguy¶n cho > 2, v… v“y a R=J H n s0 T B 3.9, tỗn ti Ta ỵ rng cĂc s nguyản d v e vợi d e n2 cho s e; v (a) ai(R=J(H) ) = ds0 n e vỵi måi t t (b) ai(R=J(H) ) > dt >rs + e vỵi måi s > n Th“t v“y, vỵi s > n , li theo B 3:9, tỗn ti cĂc s nguyản dữỡng a v b vợi a b n2 cho Chóng ta s‡ chøng minh r‹ng ai(R=J(H) ) = ds 68 s b; v t b vỵi måi t > r (c) ai(R=J(H) ) = as (d) ai(R=J(H) ) > at n+ Tł (b) v (c) ta câ as b > ds e, ho°c ÷ìng t÷ìng (a d)s > b e: ej = maxfb Ta câ b; e n , â jb e; e bg n (3.18) < s Cũng vợi BĐt flng thức (3:18), ta câ a > d Mºt c¡ch t÷ìng tü, tł (a) v (d) ta câ d > a v (d b; a)s0 > e (3.19) â a = d Kt hổp flng thức n y vợi cĂc BĐt flng thức (3:18) v BĐt flng thức (3:19), ta nhn ữổc e > b v b > e Do v“y ta câ b = e Khi â ta câ s ai(R=J(H) ) = as b = ds e: Ta suy i•u cƒn ph£i chøng minh CuŁi còng, chóng tỉi thu ÷ỉc k‚t qu£ ch‰nh thø hai, cơng l k‚t qu£ quan trồng nhĐt ca chữỡng n y v tnh tiằm c“n tuy‚n t‰nh cıa ch¿ sŁ ch‰nh quy cıa luÿ tha cĂc i ảan ph J(H): nh lỵ 3.11 Cho H l mt siảu ỗ th unimodular vợi n nh v cõ hng r Khi õ tỗn ti s nguyản khỉng ¥m e dim R=J(H) d(J(H)) + cho s n reg J(H) = d(J(H))s + e vỵi måi s > r + Chøng minh N‚u n = ho°c r = 1, th… J(H) l i ảan chnh v õ nh lỵ úng c¡c tr÷íng hỉp n y V… v“y, chóng ta s‡ gi£ sß r‹ng n > v r > °t := dim R=J(H), rª r ng t < n v… J(H) 6= Do v“y t reg R=J(H) ) = maxfai(R=J(H) ) + i j i = 0; : : : ; g vỵi t > 1: 69 Theo nh lỵ 3:10 ta suy rng, tỗn ti cĂc s nguyản t 0, d v e vợi e d cho t (3.20) reg R=J(H) = dt + e vỵi måi t > t0: t t Theo Cỉng thøc (1.5) ta câ reg J(H) = reg R=J(H) + 1, v… v“y so s¡nh vỵi [46, Theorem 5] ta suy r‹ng d = d(J(H)) v e > Do â ta câ e d(J(H)) Gåi k l mºt sŁ nguy¶n cho k > maxft 0; 2n g Ta gi£ sß r‹ng reg k k R=J(H) = ai(R=J(H) ) + i, vỵi i T B 3:9, tỗn ti cĂc 0 k s nguyản khổng Ơm a v b vỵi a b n , cho ai(R=J(H) ) = ak b t n v ai(R=J(H) ) > at b vỵi måi t > r + , reg ( )k = + H a a R=J ak b v nm +1 reg k (H) > + vỵi måi > (3.21) : R=J at b t r Do reg R=J(H) = ak + b = dk + e, n¶n ta câ (d a)k = b e Còng °t b := b0 + i, â n6b6i l t 2 2 vỵi c¡c b§t flng thøc jb ej jbj + e n + + n + n < 2n k, ta suy r‹ng d = a v v… v“y b = e Do â ta th§y B§t flng thøc (3:21) trð th nh (3.22) l nm t reg R=J(H) > dt + e vỵi måi t > r + 1: Möc ‰ch ti‚p theo ta s ch rng cĂc bĐt flng thức k trản thüc t ch§t l c¡c flng thøc v â nh lỵ l thọa Ăng v reg J(H) = reg R=J(H) + vỵi t > t n Th“t v“y, ” chøng minh i•u â, ta gåi s l mºt sŁ nguy¶n cho s > r + T nhng lp lun trản, ta cõ tỗn ti cĂc s nguyản c v s f vợi f c, cho reg R=J(H) = cs + f and t reg R=J(H) > ct + f vỵi t > r l nm Theo c¡c B§t flng thøc (3:20) v (3:23) ta nh“n + 1: ÷ỉc c d (3.23) 70 s V… reg R=J(H) = cs+f, theo B§t flng thøc (3:22) ta câ cs+f > ds+e V… v“y (d c)s f e M°t kh¡c c d, n¶n ta suy r‹ng f > e, °c bi»t f > Rª r ng r‹ng n s v… r > 2, v… v“y ta câ f e ( c) + < n s: K‚t hỉp vỵi (d c)s f e v c d, ta nh“n ÷ỉc d c = 0, hay d = c Còng vỵi flng thøc (3:20) v B§t flng thøc (3:23) chóng ta câ e > f, hay e = f s Tâm l⁄i, v… d = c v e = f n¶n ta câ reg R=J(H) = cs + f = ds + e ành lỵ ữổc chứng minh Khi G l ỗ th hai phƒn, chóng tỉi ch°n tr¶n tr‰ x£y t‰nh tuy‚n t‰nh cıa ch¿ sŁ ch‰nh quy cıa luÿ thła cĂc i ảan ph bi mt giĂ tr rĐt àp nh÷ sau: s H» qu£ 3.12 Cho G l mºt ç hai phƒn vỵi n ¿nh Khi â reg J(G) l mºt h m tuy‚n t‰nh cıa s vỵi måi s > n + 71 K‚t lu“n Trong lu“n ¡n n y, b‹ng c¡c cỉng cư tŒ hổp, chúng tổi  t ữổc mt s kt quÊ ch‰nh sau: Chøng minh ÷ỉc t‰nh gi£m cıa h m sƠu ca mt s cĂc i ảan ỡn thức khổng chứa bnh phữỡng, ỗng thới chn trản ữổc ch s n nh sƠu ca cĂc i ảan õ; n Chøng minh ÷ỉc t‰nh ti»m c“n tuy‚n t‰nh cıa bĐt bin ai(R=I ), I l i ảan ph liản kt vợi siảu ỗ th; Chứng minh ữổc dĂng i»u ti»m c“n cıa ch¿ sŁ ch‰nh quy cıa lôy tha cĂc i ảan ph liản kt vợi siảu ỗ th cho trữợc Hỡn na, chúng tổi  ch chn trản hổp lỵ cho v tr tr th nh h m tuy‚n t‰nh cıa ch¿ sŁ ch‰nh quy lụy tha ca i ảan lợn 72 CĂc cỉng tr…nh li¶n quan ‚n lu“n ¡n N T Hang and T N Trung (2017), The behavior of depth functions of powers of cover ideals of unimodular hypergraphs, Ark Math., Vol 55(1), pp 89-104 N T Hang and T N Trung (2018), Regularity of powers of cover ideals of unimodular hypergraphs, Journal of Algebra, Vol 513, pp 159-176 N T Hang, Stability of depth functions of cover ideals of balanced hypergraphs, to appear in Journal of Algebra and Its Applications (DOI: 10.1142/S0219498820500553 ) 73 C¡c k‚t quÊ lun Ăn  ữổc bĂo cĂo v thÊo lun ti: - Xảmina i s v Lỵ thuyt s - Vi»n To¡n håc - Hºi nghà nghi¶n cøu sinh cıa Vi»n To¡n håc: 10/2015; 10/2016; 10/2017; 10/2018 - Hºi nghà ⁄i sŁ - H…nh håc - Tæpæ (Buæn Ma Thuºt): 10/2016 - Hºi nghà quŁc t‚ v• ⁄i sŁ giao ho¡n (Th¡i Nguy¶n): 01/2017 - Hºi nghà quŁc t‚ v i s giao hoĂn (TP Hỗ Ch Minh): 09/2017 - Hºi nghà ⁄i sŁ giao ho¡n v c¡c li¶n hằ vợi T hổp, Hnh hồc rới rc v Lỵ thuy‚t ký dà (H Nºi - H⁄ Long): 09/2017 - ⁄i hºi To¡n håc to n quŁc (Nha Trang - Kh¡nh HỈa): 08/2018 - Hºi nghà To¡n håc Vi»t - Mÿ (Quy Nhìn - B…nh ành): 06/2019 74 T i li»u tham kh£o Ti‚ng Vi»t [1] L T Hoa, Ch¿ sŁ ch‰nh quy Castelnuovo - Mumford v øng döng, Lu“n Ăn Tin sắ Khoa hồc, Trung tƠm Khoa hồc Tỹ nhi¶n v Cỉng ngh» QuŁc gia, 1995 [2] L T Hoa, ⁄i sŁ m¡y t‰nh - Cì sð Grobner, Nh xu§t b£n ⁄i håc Quâc gia H Nºi, 2003 Ti‚ng Anh [3] A Alilooee, S Beyarslan, S Selvaraja (2019), Regularity of powers of Unicyclic graphs , Rocky Mountain J Math., 49, pp 699 728 [4] A Banerjee (2015), The regularity of powers of edge ideals , J Alge-braic Combin., 41, pp 303 321 [5] C Berge (1989), Hypergraphs: combinatorics of finite sets, NorthHolland, New York [6] D Berlekamp (2012), Regularity defect stabilization of powers of an ideal , Math Res Lett., 19(1), pp 109 119 [7] S Beyarslan, H T Ha, T N Trung (2015), Regularity of powers of forests and cycles , J Algebraic Combin., 42(4), pp 1077 1095 [8] A Bretto (2013), Hypergraphs theory: An introduction, Springer international publishing, Switzerland 75 n [9] M Brodmann (1979), Asymptotic stability of Ass(M=I M) , Proc Amer Math Soc., 74 , pp 16 18 [10] M Brodmann (1979), The Asymptotic nature of the Analytic spread , Math Proc Cambridge Philos Soc., 86 , pp 35 39 [11] M Brodmann (1979), R Y Sharp (1998), Local cohomology: An alge-braic introduction with geometric applications, Cambridge University Press [12] W Brun, J Herzog (1993), Cohen-Macaulay rings, Cambridge Uni-versity Press, Cambridge [13] M Chardin (2015), Regularity stabilization for the powers of graded M-primary ideals , Proc Amer Math Soc., 143(8), pp 3343 3349 [14] A Constantinescu, M R Pournaki, S A Seyed Fakhari, N Terai, S Yassemi (2015), Cohen-Macaulayness and limit behavior of depth for powers of cover ideals , Communications in Algebra, 43, pp 143 157 [15] A Constantinescu, M.Varbaro (2011), Koszulness, Krull dimension, and other properties of graph-related algebras , J Algebraic Combin., 34, pp 375 400 [16] R C Cowsik, M V Nori (1976), Fibers of blowing up , J Indian Math Soc., 40, pp 217 222 [17] S Cutkosky (2000), Irrational asymptotic behaviour of CastelnuovoMumford regularity , J Reine Angew Math., 522 , pp 93 103 [18] S Cutkosky, J Herzog, N V Trung (1999), Asymptotic behavior of the Castelnuovo-Mumford regularity , Compositio Math., 118 , pp 243 261 [19] D Eisenbud (1995), Commutative Algebra with a View Toward Alge-braic Geometry; Graduate Texts in Math., Springer- Verlag 76 [20] D Eisenbud, C.Huneke (1983), Cohen-Macaulay Rees algebras and their specialization , J Algebra, 81, pp 202-224 [21] D Eisenbud, B Ulrich (2012), Notes on regularity stabilization’, Proc Amer Math Soc 140(4), pp 1221 1232 [22] D R Fulkerson, A J Hoffman, R Oppenhein, On Balanced matries, Math Programming Stud., (1974), 120 132 [23] D H Giang, L T Hoa (2010), On local cohomology of a tetrahedral curve , Acta Math Vietnam., 35, pp 229-241 [24] I Gitler, E.Reyes, R H Villarreal (2009), Blowup algebras of square free monomial ideals and some links to combinatorial optimization problems , Rocky Mountain J Math., 39(1), pp 71 102 [25] H T H (2011), Asymptotic linearity of regularity and a -invariant of powers of ideals , Math Res Lett., 18(1), pp [26] H T H , H D Nguyen, N V Trung, T N Trung, Depth funtions of powers of homogeneous ideals , arXiv:1904.07587v1 [27] H T Ha, N V.Trung, T N Trung (2016), Depth and regularity of powers of sums of ideals , Math Z., 282(3-4), pp 819 838 [28] N T Hang, Stability of depth functions of cover ideals of balanced hypergraphs , to appear in Journal of Algebra and Its Applications (DOI: 10.1142/S0219498820500553 ) [29] N T Hang, T N Trung (2017), The behavior of depth functions of powers of cover ideals of unimodular hypergraphs , Ark Math., 55(1), pp 89-104 [30] N T Hang, T N Trung (2018), Regularity of powers of cover ideals of unimodular hypergraphs , J Algebra, 513, pp 159-176 77 [31] J Herzog, T Hibi (2005), The depth of powers of an ideal , J Algebra, 291, pp 534 550 [32] J Herzog, T Hibi (2010), Monomial ideals, GTM 260, Springer [33] J Herzog, T Hibi, N V Trung (2009), Vertex cover algebras of unimodular hypergraphs , Proc Amer Math Soc., 137, pp 409 414 [34] J Herzog, T Hibi, N V Trung, X Zheng (2008), Standard graded vertex cover algebras, cycles and leaves , Trans Amer Math Soc, 360, pp 6231 - 6249 [35] J Herzog, A A Qureshi (2015), Persistence and stability properties of powers of ideals , J Pure Appl Math Adv Appl., 219, pp 530 - 542 [36] J Herzog, A Rauf, M Vladoiu (2013), The stable set of associated prime ideals of a polymatroidal ideal , J Algebraic Combin., 37(2), pp 289- 312 [37] J Herzog, M Vladoiu (2013), Squarefree monomial ideals with constant depth function , J Pure Appl Algebra, 217 (9), pp 1764 1772 [38] L T Hoa (2002), Asymptotic behavior of reduction numbers , Proc Amer Math Soc., 130, pp 3151-3158 [39] L T Hoa, K Kimura, N.Terai, T N Trung (2017), Stability of depths of symbolic powers of Stanley-Reisner ideals , J Algebra, 437, pp 307-323 [40] L T Hoa , E Hyry (2003), On local cohomology and Hilbert function of powers of ideals , Manuscripta Math., 112, 77-92 [41] L T Hoa, T N Trung (2010), Partial Castelnuovo-Mumford regularities of sums and intersections of powers of monomial ideals , Math Proc Cambridge Philos Soc., 149, pp 18 78 [42] Hoang Tuy (2016), Convex Analysis and Global Optimization, Springer International Publishing [43] M Hochster (1977), Cohen-Macaulay rings, combinatorics, and simplicial complexes , in B R Mc- Donald and R A Morris (eds.), Ring theory II, Lect Notes in Pure and Appl Math 26, M Dekker, pp 171 223 [44] T Kaiser, M Stehlik, R Skrekovski (2014), Replication in critical graphs and the persistence of monomial ideals , J Combin Theory Ser A, 123, pp 239 251 [45] A V Jayanthan, N Narayanan, S Selvaraja (2018), Regularity of Powers of Bipartite Graphs , J Algebraic Combin., 47, pp 17 38 [46] V Kodiyalam (2000), Asymptotic behaviour of CastelnuovoMumford regularity , Proc Amer Math Soc., 128, pp 407 411 [47] H Matsumura (1986), Commutative ring theory, Cambridge Univer-sity Press [48] S McAdam, P Eakin (1979), The asymptotic Ass , J Algebra, 61, pp 71 81 [49] E Miller, B Sturmfels (2005), Combinatorial commutative Algebra, Springer [50] N C Minh, N V Trung (2009), Cohen-Macaulayness of powers of two-dimensional squarefree monomial ideals , J Algebra, 322, pp 4219 4227 [51] L D Nam, M Varbaro (2016), When does depth stabilize early on? J Algebra, 445, pp 181 192 [52] I Peeva (2011), Graded Syzygies, Springer-Verlag 79 [53] A Schrijver (1998), Theory of linear and integer programming, John Wiley & Sons [54] Y Takayama (2005), Combinatorial characterizations of generalized Cohen-Macaulay monomial ideals , Bull Math Soc Sci Math Roumanie (N.S.), 48, pp 327 344 [55] N V Trung (2007), Castelnuovo-Mumford regularity and related invariants , Ramanujan Math Soc Lect Notes Ser 4, Ramanujan Math Soc., Mysore, pp 157-180 [56] N V Trung, H Wang (2005), On the asymptotic linearity of Castelnuovo-Mumford regularity , J Pure Appl Algebra, 201(1 3), pp 42 48 [57] T N Trung (2009), Regularity index of Hilbert function of powers of ideals , Proc Amer Math Soc., 137 (9), pp 2169 2174 [58] T N Trung (2016), Stability of depths of powers of edge ideals , J Algebra, 452, pp 157 187 [59] R Villarreal (2001), Monomial Algebras, Springer-Verlag 80 B£ng thu“t ngœ Ti‚ng Vi»t Ti‚ng Anh chi•u ƒy ı full dimensional chu tr…nh cycle sŁ gh†p c°p câ thứ tỹ ordered matching number a diằn lỗi polytope ỗ th graph ỗ th hai phn bipartite graph ỗ th rng forest graph i giĂ co-support ỗng iu ỡn hnh rót gån reduced homology gh†p c°p matching gh†p c°p câ thø tü ordered matching gi£i tü tŁi ti”u minimal free resolution i ¶an c⁄nh egde ideal i ¶an phı cover ideal khæng m°t nonface khæng xo›n torsion free i ¶an ìn thøc khỉng chøa b…nh ph÷ìng squarefree monomial ideal ma tr“n li¶n thuºc incidence matrix m°t cüc ⁄i facet phı vertex cover ¿nh 81 phøc b“c degree complex phøc ìn h…nh simplicial complex phøc nân cone complex phøc rót gồn reduced chain complex siảu ỗ th siảu ỗ th cƠn bng hypergraph balanced hypergraph siảu phflng hyperplane siảu phflng tỹa supporting hyperplane c lp lỗi a diằn independence set convex polyhedron