chuyên đề: ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể I.Lý thuyết 1.Cho hàm số y = f(x) liên tục [a; b] Khi thể tích vật thể tròn xoay giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox hai đờng thẳng x = a, x = b quay xung quanh trôc Ox lµ: b V = π ∫ y dx a *Cho hàm số x = g(y) liên tục [a; b] Khi thể tích vật thể tròn xoay giới hạn đồ thị hàm số x = g(y), trục Oy hai đờng thẳng y = a, y = b quay xung quanh trơc Oy lµ: b V = π∫ x dy a 2.Cho hai hµm sè y = f(x) y = g(x) liên tục [a; b] Khi thể tích vật thể tròn xoay giới hạn hai đồ thị y = f(x) , y = g(x) hai đờng thẳng x = a; y = b quay quanh trơc Ox lµ: b V = π∫ f ( x ) − g ( x ) dx a II.CáC toán thờng gặp 1.Bài toán1: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bëi miỊn (D) giíi h¹n bëi y = f(x); y = vµ x = a; x = b quay quanh trục Ox *Phơng pháp giải: b ¸p dơng c«ng thøc: V = π ∫ y dx a *Bài tập áp dụng: x VD1: Tính thể tích vật thể tròn xoay giới hạn y = xe , trơc Ox vµ x = 0; x = Giải: Thể tích vật thể cần tìm: x V = π ∫ x e dx Xét I = x e x dx Đặt  u = x   dv = e x dx ⇒  du = xdx  x v= e Khi ®ã: I = x 2e x x - ∫ xe dx = e – 2J (1) TÝnh J = ∫ xe x dx Đặt u = x dv = e x dx   du = dx  x v= e ⇒ Khi ®ã: J = xe x - ∫e x dx = e – ex = (2) Tõ (1) vµ (2) ⇒ I = e – VËy V = (e 2) (đvtt) VD 2: (ĐH Nông Nghiệp- 99) Cho hình (D) giới hạn đờng: y = sin x π cos x ; y = vµ x = 0; x = 2 TÝnh thÓ tích vật thể tròn xoay đợc tạo nên cho (D) quay quanh trơc Ox Gi¶i: ThĨ tÝch vËt thể cần tìm: V = sin x cos xdx = π (1 − cos x ) cos xdx ∫ 2∫ 0 π π = π (cos x − cos x)dx = π (1 − cos x − cos x − cos x) dx 2∫ 2∫ 4 0 = π ( x − sin x − sin x − 2 π sin x ) 12 = π2 − (đvtt) VD 3: Tính thể tích khối tròn xoay hình (H) giới hạn bởi: y = sin x + cos x + trơc Ox vµ x = π ;x= π Gi¶i: ThĨ tÝch vËt thể cần tìm: 4 π 3 π4 4 V = π ∫ (sin x + cos x + )dx = π ∫ (1 − sin x + )dx = ∫ ( + cos x) dx 4 4π π π = 3π x π π + π 64 π sin x π = π 32 - 3π (®vtt) 128 VD 4:( HVNH.TPHCM- 99) Cho (H) miền kín giới hạn đờng: y = x ln(1 + x ) (L), trôc Ox vµ x = TÝnh thĨ tÝch cđa vËt thể tròn xoay tạo cho ( H) quay quanh trục Ox Giải: Hoành độ giao điểm (L) trục Ox nghiệm phơng trình: x ln(1 + x ) =0 ⇔ x=0 ThÓ tÝch vËt thÓ cần tìm: V = x ln(1 + x ) dx XÐt I = ∫x ln(1 + x ) dx ⇒ dt = 3x dx Đặt t = + x §ỉi cËn: x = ⇒ t = x=1 ⇒ t=2 12 Khi ®ã: I = ∫ln tdt 31 Đặt u = ln t dv = dt ⇒  dt  du = t   v = t 1 2 ⇒ I = t ln t - ∫dt = 2ln2 - t = (2ln2 – 1) 3 VËy V = (2ln2 – 1) (đvtt) *Chú ý: Bài toán tính thể tích vật thể tròn xoay giới hạn bởi: y = f(x); y = hc y = f(x); y = x = a.Khi giải phơng trình f(x) = để tìm cận VD 5: ( ĐH-CĐ - Khối B- 2007) Cho hình (H) giới hạn : y = xlnx; y = vµ x = e TÝnh thể tích vật thể tròn xoay cho hình (H) quay quanh trục Ox Giải: Xét phơng trình: xlnx = Thể tích vật thể cần tìm: x>   ln x = ⇔ x=1 e 2 V = π ∫ x ln xdx e Xét I = 2 x ln xdx Đặt e Khi ®ã: I =  u = ln x   dv = x dx x ln x 2e 2 x ln xdx = e J 3 3∫  du = ln xdx   x ⇒   v = x3  Tính J: Đặt u = ln x  dv = x dx e Khi ®ã: J = ⇒I=  du = dx   x ⇒   v = x3   x ln x e 27 27 VËy V = ( 5e - ) e 1 - ∫ x dx = e 3 31 π 27 x e = e + 9 (đvtt) VD 6: (ĐH Y Hà Nội 99) Tính thể tích hình elipxôit tròn xoay sinh h×nh elip: x2 y2 + = nã quay quanh trục Ox b2 a Giải: Hình elip nhận Ox làm trục đối xứng nên khối elipxôit tròn xoay đợc sinh nửa phía Ox elip quay quanh Ox a2 a2 Ta cã: y2 = (b − x ) ⇒ Phơng trình nửa Ox elip: y = (b − x ) b b b b a2 a2 (b − x )dx = π (b x − x ) = π b (®vtt) a −b b −b b 2.Bài toán 2: Tính thể tích vật thể tròn xoay cho hình phẳng giới hạn bởi: y = f(x); y = g(x) quay quanh trục Ox *Phơng pháp giải: + Giải phơng trình: f(x) = g(x) có nghiệm x = a; x = b Thể tích cần tìm: V = π ∫ b + Khi ®ã thĨ tÝch cần tìm : V = f ( x ) − g ( x ) dx a *Bài tập áp dụng: VD 1: ( ĐHQG Hà Nội- 99) TÝnh thĨ tÝch vËt thĨ trßn xoay cho hình phẳng giới hạn bởi: y = x2 4x + vµ y = - x2 – 2x + quay quanh trục Ox Giải: Hoành độ giao điểm nghiệm phơng trình: x2 4x + = - x2 – 2x + ⇔ 2x2 – 2x = Thể tích vật thể cần tìm: 2 2 V = π ∫ ( x − x + 6) − ( − x − x + 6) dx x  =  = x  1 3 = π ∫ − 12 x + 36 x − 24 x dx = π ∫ (−12 x + 36 x − 24 x )dx 0 ( 12 = π−x + x Chó ý: NÕu vÏ ®å thÞ ta cã: − x ) 12 = π (®vtt) [ ] 2 2 V = π ∫ (− x − x + 6) − ( x − x + 6) dx VD 2: (HVQY- 97) Cho h×nh phẳng giới hạn : D = { y = x2 ; y = trục Ox Giải: Xét phơng trình: x2 = ⇔ x4 = x ⇔ x x } TÝnh thĨ tÝch vËt thĨ trßn xoay D quay quanh x  =  = x  1 Thể tích vật thể cần tìm: V = π ∫ ( x − x ) dx = π( x 2 − 3π x ) = 10 (đvtt) VD 3: (ĐH Nông Nghiệp I 99) Cho D miền phẳng giới hạn đờng: y = thành cho D quay quanh trơc Ox x2 vµ y = Tính thể tích vật thể tròn xoay đợc tạo + x2 Gi¶i: x 1  = x2 ⇔ x =− =  1+ x Thể tích vật thể cần tìm: 1 1 x2 x2 dx − ∫ dx − dx = π ∫ V= π∫ 2 2 4 − (1 + x ) − −1 (1 + x ) Xét phơng trình: = x3 π∫ dx − 2 12 x ) − (1 + Tính I: Đặt x = tant , t ∈( §ỉi cËn: x = -1 ⇒ t = - Khi ®ã: I = ∫ −π − 1 = πI − víi I = ⇒ dx = (1 + tan t )dt π 4 π + tan t dt = (1 + tan t ) ∫cos tdt = −π π ∫ (1 + cos 2t )dt −π dx ∫ (1 + x ) −1 ⇒ t= π x=1 π −π π ; ) 2 = VËy V = π 12 1 (t + sin 2t ) 2 π − π = π + (®vtt) (3π + 4) (®vtt) VD 4: (ĐHSP Hà Nội 99) Cho hình phẳng (D) giới hạn đờng: y = x ; y = x ; x = TÝnh thÓ tÝch khèi tròn xoay đợc tạo thành quay hình phẳng (D) quanh trục Ox Giải: Xét phơng trình: x x =x x = x2 Vẽ đồ thị: x ≥  x  = ⇔   x = ⇒ x =  x = Thể tích cần tìm: 2 V = π ∫ ( x − x )dx + π ∫ ( x − x) dx x = π( − x ) 3 x + π( − x2 ) = 59 (đvtt) VD 5: (ĐH Y dợc tp.hcm- 2001) Gọi (D) miền giới hạn đờng: y = -3x + 10 ; y = ; y = x2 (x > 0) vµ (D) n»m ngoµi parabol y = x2 TÝnh thĨ tÝch vËt thĨ trßn xoay quay (D) quanh trơc Ox Giải: Xét phơng trình: x2 = -3x + 10 x2 + 3x – 10 = ⇔ VÏ ®å thÞ: x  =2 x>   =−   → x  ThĨ tÝch vËt thĨ cÇn t×m: 3 V = π∫ x dx + π ∫ (10 − x ) dx - π∫dx x=2 = π - x5 π (10 −3 x ) 3 x -1 = 56 (đvtt) 3.Bài toán3: Tính thể tích vật thể tròn xoay cho hình phẳng giới hạn bởi: x = g(y); x = vµ y = a; y = b quay xung quanh trục Oy *Phơng pháp giải: b áp dụng công thức: V = x dy a *Bài tËp ¸p dơng: VD 1: TÝnh thĨ tÝch vËt thĨ tròn xoay hình phẳng giới hạn bởi: y = x2 + 1; y = 1; y = vµ trơc Oy quay quanh trơc Oy Gi¶i: Ta cã: y = x2 + ⇔ x2 = y – Thể tích vật thể cần tìm: 2 V = π∫ x dy = = π ∫( y −1)dy = π( y 2 = − y) 1 VD 2: TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ trßn xoay sinh bëi elip (E): x + π (®vtt) y2 = nã quay quanh trục Oy Giải: Hình elip nhận Oy làm trục đối xứng nên vật thể tròn xoay đợc sinh nửa bên phải trục Oy elip quay quanh Oy Ta cã: x2 = - y2 Phơng trình nửa bên phải Oy elip: x = 1− y2 ThĨ tÝch vËt thĨ cÇn t×m: V = π ∫ (1 − −3 3 y2 ) dy = π( y − y ) = π (®vtt) 27 − VD 3: Hình phẳng (H) giới hạn bởi: Parabol (P): y = x2 – 2x ; trục Oy tiếp tuyến (P), Tính thể tích khối trịn xoay sinh (H) quay quanh trục Oy Giải: Gọi I đỉnh (P) ⇒ I(1;-1) Ta có: y ' = 2x – ⇒ y ' (1) = Phương trình tiếp tuyến (P) I: y = y ' (1)(x – 1) – y = -1 đỉnh Ta có: y = x2 – 2x ⇔ x2 – 2x – y = ⇒  = + +y x  x  = − +y  TrêncungOI → x =   +y Thể tích cần tính: 0 y V = π ∫ (1 − + y ) dy = π ∫ ( + y − + y )dy = π( y + −1 −1 = π − (1 + y ) (vtt) 4.Bài toán 4: Tính thể tích vật thể tròn xoay hình phẳng giíi h¹n bëi: x = f(y); x = g(y) y = a; y = b *Phương pháp giải: b 2 Áp dụng công thức: V = π ∫ f ( y ) − g ( y ) dy a *Bài tập áp dụng: VD 1: (ĐHQG TP.HCM – 2000) Cho (D) miền kín giới hạn đường: y = x ; y = – x y = Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo thành quay (D) quanh trục Oy Giải: Ta có: y = x y≥ ⇔ x = y2  y≥ ⇔ Tung độ giao điểm thỏa mãn:   y = 2− y y≥   y = ⇒  y = −2  y=1 : Thể tích cần tính: V = π ∫ [(2 − y ) − y ]dy 1 π ∫ (− y + y − y + 4)dy π( − y 5 32π y3 − y + y) = 15 + (đvtt) Giải: VD 2: Tính thể tích vật thể tạo thành miền (D) giới hạn bởi: y = 2x – x2 ; y = quay quanh trục Oy x =1 + − y Ta có: y = 2x – x2 ⇔ x2 – 2x + y = ⇒ x =1 − − y  Thể tích cần tính: [ ] 2 V = π ∫ (1 + − y ) − (1 − − y ) dy = 4π ∫ − y dy = = − 8π (1 − y ) 8π (đvtt) VD 3: (ĐH Hằng Hải – 2000) Cho hình phẳng (D) giới hạn bởi: y = (x – 2)2 y = Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh hình phẳng (D) quay quanh trục Oy Giải: Ta có: y = (x – 2) x = + ⇒ x = −  y y ] Thể tích cần tính: [ 2 V = π ∫ (2 + y ) − ( − y ) dy = 8π ∫ y dy = 16π = y3 128π (đvtt) Bài tốn 5: Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh miền (D) giới hạn đường cong (C) kín *Phương pháp giải: 1/ Khi (D) quay quanh trục Ox: Chia đường cong (C) thành cung: y = f (x) y = f (x) với x ∈ [a;b] f (x); f (x) dấu Khi thể tích cần tính: b 2 V = π ∫ y1 − y dx a 2/ Khi (D) quay quanh trục Oy: Chia đường cong (C) thành cung: x = f (y) : x = f (y) với y∈ [a;b] f (y); f (y) dấu Khi thể tích cần tính: b 2 V = π ∫ x1 − x dy a *Bài tập áp dụng: VD 1: (ĐH XD – 94) Tính thể tích hình xuyến quay hình trịn (C): x2 + (y-2)2 = quanh trục Ox Giải: Hình trịn (C) có tâm I(0;2), bán kính R = y = + − x Ta có: x2 + (y-2)2 = ⇒  y = − − x  Thể tích cần tính: [ ] 2 2 V = π ∫ ( + − x ) − ( − − x ) dx = 8π ∫ − x dx −1 −π π ; ] 2 −π Đổi cận: x = -1 ⇒ t = Đặt x = sint , t∈ [ x=1 ⇒ t= ⇒ dx = costdt π π −1 π Khi đó: V = 8π ∫ cos tdt = 4π ∫ (1 + cos 2t )dt = −π −π 4π(t + sin 2t ) π − π = π2 (đvtt) VD 2: (ĐH SP Hà Nội – 2001) Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay xung quanh trục Oy hình phẳng giới hạn nửa đườnh tròn: (x-a)2 + y2 = b2 với < b < a Giải: Đường tròn: Tâm I(a;0), bán kính R = b Ta có: : (x-a)2 + y2 = b2 ⇒ x = a + b − y  x = a − b − y  Thể tích cần tính: b [ ] b 2 2 2 2 V = π ∫ (a + b − y ) − (a − b − y ) dy = 4πa ∫ b − y dy −b −π π ; ] ⇒ dy = bcostdt Đặt y = bsint , t ∈ [ 2 −π Đổi cận: x = -b ⇒ t = x=b ⇒ t= π π π Khi đó: V = 4πa ∫ b cos tdt = 2πab −π −b 2 π ∫ (1 + cos 2t )dt = 2πab (t + sin 2t ) −π −π = π ab (đvtt) BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên hình (H) giới hạn bởi: π y = sin x + cos x ; y = x = ; x = quay quanh trục Ox Bài (ĐH Luật – 96) Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành hình (H) giới hạn bởi: y = 2x2 ; y = 2x + Quay quanh trục Ox Bài (ĐHKT – 96) Cho hình (D) giới hạn bởi: y2 = (4-x)3 y2 = 4x a Tính diện tích hình phẳng giới hạn (D) b Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên quay (D) quanh trục Ox Bài Cho hình trịn tâm I(3;0) bán kính R = quay quanh trục Oy Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo nên Bài Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay quanh Oy hình phẳng giới hạn nửa đường trịn: (x-4)2 + y2 = Bài Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên hình trịn: x2 + (y-b)2 ≤ a2 Với < a < b, quay quanh trục Ox Bài Tính thể tích khối trịn xoay quay quanh Ox phần mặt phẳng giới hạn hai trục tọa độ; x = y = + x3 Bài Cho hình (H) giới hạn bởi: y = e x ; y = e −x +2 ; x = 0; x = Tính thể tích vật thể tròn xoay cho (H) quay quanh trục Ox Bài (ĐH Nông Nghiệp I, khối A – 99) −π π Cho miền phẳng (D) giới hạn bởi: y = tan3x ; y = x = ;x= a.Tính diện tích miền (D) b Tính thể tích vật thể tròn xoay (D) quay quanh trục Ox ... tròn xoay cho hình phẳng giới hạn bởi: x = g(y); x = y = a; y = b quay xung quanh trôc Oy *Phơng pháp giải: b áp dụng công thức: V = x dy a *Bài tập áp dụng: VD 1: TÝnh thĨ tÝch vËt thĨ trßn xoay. .. tích khối trịn xoay tạo nên quay (D) quanh trục Ox Bài Cho hình trịn tâm I(3;0) bán kính R = quay quanh trục Oy Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo nên Bài Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành... 1 VD 2: TÝnh thĨ tÝch vËt thĨ trßn xoay sinh bëi elip (E): x + π (®vtt) y2 = nã quay quanh trôc Oy Giải: Hình elip nhận Oy làm trục đối xứng nên vật thể tròn xoay đợc sinh nửa bên phải trục Oy