Nhị thức newton và ứng dụng I Nhị thức newton 1 Công thức nhị thức Newton: Với mọi cặp số a, -b và mọi số nguyên dơng ta có: (a + b) n = c o n a n + c 1 n a n 1 b + c 2 n c 1 n 2 b 2 + + c n n-1 ab n 1 + c n n b n (*) kkn n nk k n baC = = 2 Các nhận xét về công thức khai triển: + Số các số hạng ở bên phải của công thức (*) bằng n + 1, n là số mũ của nhị thức ở vế trái. + Tổng các số mũ của a, b trong mỗi số hạng bằng n. + Các hệ số của khai triển lần lợt là: C 0 n; C 1 n ; C 2 n ; C n-1 n ; C n n ; Với chú ý: C k n = C n n k 0 < k < n. 3 Một số dạng đặc biệt: + Dạng 1: Thay a = 1 và b = x vào (*) ta đợc (1 + x) n = C 0 n + C 1 n x + C 2 n x 2 + + C n-1 n x n-1 + C n n x n + Dạng 2: Thay a = 1 và b = -x vào (*) ta đợc (2) (1 - x) n = C 0 n - C 2 n x+ C 2 n x 2 + (-1) k C k n x k + + (-1) n C n n x n (3) 4 Một số hệ thức giữa các hệ số nhị thức + Thay x = 1 vào (2) ta đợc C 0 n + C 1 n x + C 2 n + + C n n = 2 n + Thay x = -1 vào (3) ta đợc: C 0 n - C 1 n x + C 2 n - + (-1) n C n n = 0 A - áp dụng I. Viết khai triển và tính của các biểu thức sử dụng khai triển đó: Bài 1: Thực hiện khai triển: (3x 4) 5 1 1 1 + = k n k n C k kn C CT: Ta có (3x 4) 5 kk k k xC )4.()3( 5 5 0 5 = = = 3 5 . C 0 5 . x 5 + 4.3 4 C 1 5 x 4 + + 4 5 C 5 5 Trong khai triển đó + Có 6 số hạng. + Các hệ số có tính đối xứng nhau + Ta có các hệ số của 3 hệ số đầu của công thức khai triển đó là các hệ số C 0 5 = 1 C 1 5 = 5 C 2 5 = 10 Vậy (3x 4) 5 = 243x 5 1620 x 4 + 4320 x 3 5760 x 2 + 3840 x 1024 Bài 2: Tính giá trị của các biểu thức sau: a: S 1 = C 0 6 + C 1 6 + C 2 6 + + C 6 6 b: S 2 = C 0 5 + 2C 1 5 + 2 2 C 2 5 + +2 5 C 5 5 c: S 3 = 3 17 . C 0 17 4 1 . 3 16 . C 1 17 + 4 2 . 3 15 . C 2 17 4 3 .3 14 . C 3 7 + -4 17 .C 17 17 d: S 4 = C 6 11 + C 7 11 + C 8 11 + C 9 11 + C 10 11 + C 11 11 e: 0 1 2001 2002 2001 20022002 2000 2001 1 2002 2001 2002 0 20024 CCCCCCCCS k k k +++++= Giải:a ta có S 1 = C 0 6 + C 1 6 + C 2 6 + + C 6 6 = (1 + 1) 6 = 2 6 = 64 b:Ta có (1 + x) 5 k k k xC = = 5 0 5 (1) Thay x = 2 vào (1) ta đợc: S 2 = C 0 5 + 2C 1 5 + 2 2 . C 2 5 + +2 5 C 5 5 = 3 5 = 243 c:Ta có: S 3 = 3 17 . C 0 17 4 1 . 3 16 . C 1 17 + 4 2 . 3 15 . C 2 17 4 3 .3 14 . C 3 7 + -4 17 .C 17 17 = C 0 17 .3 17 + C117.3 16 (-4) 1 + C 2 17 3 15 (-4) 2 + C 3 17 3 14 (-4) + + C 17 17 (-14) 17 = (3 4) 17 = (3 4) 17 = -1 d: Ta có (1 + 1) 11 = C 0 11 + C 1 11 + C 2 11 + + C 6 11 + C 2 11 + + C 11 11 Mặt khác C k 11 = C 11 11-k với k (0,1,2, 11) Do vậy: (1 + 1) 11 = 2 (C 6 11 + C 7 11 + C 8 11 + C 9 11 + C 10 11 + C 11 11 ) = 2S 4 S 4 = 2 10 2 e: Ta có k k k k C kk k k kk CC 2001 2001 20022002 2002 )!2001(! !2002!2002 )!2001( )!2002( . )!2002(! !2002 = = = Từ đó: S 5 = 2002 ( 20012001 2001 1 2001 0 2001 )11(2002) . +=+++ CCC Bài 3: Tìm số nguyên dơng n sao cho: C o n + 2 C 1 n + 4 C 2 n + + 2 n C n n = 243 (1) Giải: Ta có C o n + 2 C 1 n + 2 C 2 n + + 2 n C n n = (1 + 2) n = 3 n Vậy (1) 3 n = 243 = 3 5 n = 5 Bài tập tơng tự Bài 4: Viết khai triển (3x 1) 16 và chứng minh rằng 3 16 . C o 16 3 15 C 1 16 + + C 16 16 = 2 16 . Bài 5: Tính giá trị các biểu thức sau: a: S 1 = 2 n C 0 n + 2 n-2 C 2 n + 2 n-4 C 4 n + + C n n b: S 2 = 2 n-1 C 1 n + 2 n-3 C 3 n + 2 n-5 C 5 n + +C n n c: S 3 = C 6 10 C 7 10 + C 8 10 + C 9 10 + C 10 10 Bài 6: Tính tổng S = 2000 2000 2 2000 1 2000 0 2000 2001 .3. CCCC ++++ II. Tìm hệ số (tìm số hạng) trong khai triển Phơng pháp: Với các yêu cầu về hệ số trong khai triển NEWTON, ta cần lu ý: 1 Ta có: (a + b) n = Do đó hệ số của số hạng thứ i là C i n , và số hạng thứ i: C i n a n-i b i 2 Ta có Do đó: Hệ số x k trong khai triển trên là C i n với i là nghiệm của phơng trình ( n i) + i = k Đặc biệt khi k = 0 đó chính là số hạng không phụ thuộc x. Ví dụ 1: Cho biết hệ số của số hạng thứ 3 của kiến thức nhị thức. Từ đó, hệ số của số hạng thứ 3 , của khai triển nhị thức là: 3 iin n n i baC = 1 0 = + = ==+ n i ini n i in n i i n n xCxxCbx 0 )( 0 )()()( ( ) = =+= + n i ni n n xxCxx x x xx 0 3/212/53/22/52 )()( Vậy thứ hạng thứ 7 đợc cho bởi Ví dụ 2: Trong khai triển nhị thức hãy tìm số hạng không phụ thuộc vào x biết. C n n + C n-1 n + C n-2 n = 79 Giải: + Xét PT: C n n + C n-1 n + C n-2 n = 79 (1) Ta có PT (1) (do n N) Khi đó: Số hạng thứ k + 1 không phụ thuộc x trong khai triển. T/m Vậy hệ số không phụ thuộc x bằng C 5 12 Ví dụ 3: Cho biết ba số hạng đầu tiên của KT Có các hệ số hạng liên tiếp của một cấp số cộng. Tìm tất cả các hạng tử hữu tỷ của khai triển đó đã cho. Giải: Ta có: Ta có ba hàng tử đầu tiên của khai triển có các hệ số là: c 0 n ; c 1 n 2 -1 ; c 2 n 2 -2 ; Ba hệ số liên tiếp theo thứ tự lập thành một cấp số cộng C 0 n + C 2 n 2 -2 = 2C 1 n 2 -1 a) Với n = 1 ta đợc không có hạng tử hữu tỷ b) n = 8 ta đợc: 4 9 072 72)1(36 )2(!2 ! 36 2 2 = = == = n nn nn n n C n 2/763/232/56 9 84)()( xxxC = ( ) n xxx 15/283 + 12 015679 2 )1( 1 2 = =+= ++ n nn nn n = =+ 12 0 5/28123/41215/28 3 )()() k kkk n xxCxxx 15 28 3 )12(4 12 0 12 kk C k k = = 50 15 28 3 )12(4 == k kk n x x ) 2 1 ( 4 + nknk n n k nn xxCxx x x )2()()2() 2 1 ( 4/112/1 0 4/112/1 4 = =+=+ 4 32 0 2 kn k n k x = = = 089 8 )1( 1 2 =+= + nnn nn = = 8 1 n n 4 316 8 8 0 8 4 2 1 k kk k xcc x x = = + + 4 2 1 x x Số hạng thứ k + 1 là hệ số hữu tỷ ( 16 3k)/4 N, 0 < k < 8 Với k = 0 hạng tử hữu tỷ: C o 8 2 0 x 4 = x 4 k = 4 hạng tử hữu tỷ: C 4 8 2 -4 Ví dụ 4: Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển (1 + x) n CT: Ta có (1 + x) n = - Các hệ số trong khai triển là: C o n ; C 1 n ; C n n. Ta có n, k nguyên, không âm và k < n ta có: & Ta có: Tức là: C k n tăng khi k tăng và C k n giảm khi k giảm và Vậy n lẻ thì C k n đạt giá trị lớn nhất tại Với n lẻ thì C k n đạt giá trị lớn nhất tại k = n/2 Ví dụ 5: Tìm hệ số có giá trị lớn nhất của khai triển (a + b) n biết rằng tổng các hệ số bằng 4096 CT : Tổng các hệ số trong khai triển (a + b) n bằng: C o n + C 1 n + C 2 n + + C n n = 2 n = 4096 n = 12 Ta đi tìm giá trị lớn nhất trong các giá trị: C o 12 ; C 1 12 ; , C 12 12 Thực hiện so sánh C k 12 và C 12 k-1 bằng cách xét; (1) 5 16 3k = 4i; i N 0 < k < 8 = = 4 0 k k xx 8 35 = kk n n k xC = 0 )!(! ! knk n C k n = 1)1()!1( ! 1 + = knk n C k n 2 1 11 1 1 1 1 + <> = >< n k k n C C CC k n k n k n k n 2 1 11 1 1 1 1 + >< = <> n k k n C C CC k n k n k n k n 2 1 + < n k 2 1 + > n k 2 1 + = n k 1 1313 )!13()!1( !12 )!12(! !12 1 12 12 = = = kk k kk kk C C k k Từ (1) suy ra Vậy C k 12 đạt giá trị lớn nhất tại k = 6 và C 6 n = 924 Ví dụ 6: Tìm số hạng có giá trị lớn nhất của khai triển. Giải: Ta có gọi t k là số hạng thứ k + 1 trong khai triển. Ta có = = 8 0K Xét (1) Từ (1) suy ra: t k 1 < t k t k 1 > t k Tức là: Khi k chạy từ 0 dến 8 thì: t k tăng khi k tăng và k < 6 t k giảm khi k tăng và k > 6 Vậy t k đạt giá trị lớn nhất tại k = 6 và có giá trị bằng Ví dụ 7: Khai triển đa thức . P x = ( 1 + 2x) 12 Thành dạng P (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + a 20 x 10 Max (a 1 a 2 a 12 ) Giải: Ta có (1 + 2x) 12 = Suy ra : a k = C k 12 2 k với k = 1,12 6 2 13 1 1 12 12 12 1 12 <>< k C C CC k k kk 2 13 11 2 13 1 1 12 12 12 1 12 ><<<> kk C C CC k k kk 8 3 2 3 1 + 8 3 2 3 1 + k k C C t t kk k kk k k k )9(2 3 2 3 1 3 2 3 1 19 1 8 8 8 1 = = 61 )9(2 1 1 <> > k k k t t k k 61 )9(2 1 1 << < k k k t t k k 2187 1792 3 2 3 1 62 6 8 = C kkk k kk k xCxC 2)2( 12 12 0 12 12 0 == = hk k C 3 2 3 1 8 8 Xét (1) Từ (1), suy ra: a k + 1 < a k a k + 1 > a k Vậy a k đạt giá trị lớn nhất tại k = 8 và có giá trị bằng C 8 12 . 8 8 = 126720 VD 8: Tìm n của k khai triển biết hạng tử thứ 9 có hệ số lớn nhất Giải: Ta có Vì không thay đổi nên h/s trong khai triển thay đổi phụ thuộc vào (x+2) n . Xét khai triển (x+2) n = Hạng tử thứ 9 có h.s là C 8 n 2 8 lớn nhất trong các hệ số VD9: Cho khai triển 1 Biết tổng hai hệ số đầu và hai lần hệ số của số hạng thứ 3 trong khai triển bằng . Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số khi khai triển nhị thức trên. 2 Biết hạng tử thứ 11 có hệ số lớn nhất. Tìm n. Giải: Ta có Theo gt (thoả mãn) hoặc n = -26,75 (l) 7 )12(2 1 )!11(!)1( !122 )!12(! !12 2 2 11 12 1 k k kk kk C C a a kk n kk k k + = + == ++ + 3 23 1 )12(2 1 1 1 >> + > + k k k a a k k 3 23 1 )12(2 1 1 1 << + < + k k k a a k k nn x n x )2( 5 1 ) 5 2 5 ( +=+ n5 1 knkk n n k xC = 2 0 12 2 25 11 2 1 2 2 1 2 22 22 78 98 7 8 9 8 7788 9988 = > > > > > > nn CC CC C C C C CC CC nn nn n n n n nn nn n x) 3 2 2 1 ( + n 2 1285 27 0115564161285 9 )1(16 3 4 1 2 1285 9 4 2 1 2 3 2 2 1 2 1 ) 3 9 ( . 9 4 2 1 3 2 2 1 2 1 ) 3 2 2 1 ( 2 2 2 1 10 2 2 2 1 10 = === ++ =+++ +++++=+ n nn nn CCC xCxCxCCx nn n n n n n nnn n n n n n n n n kkkk k xCx ) 3 2 () 2 1 () 3 2 2 1 ( 27 27 27 0 27 = =+ n x ) 5 2 5 ( + Vậy n = 7 ta có khai triển : HST9: Lập tỉ số: Do đó (a k ) tăng khi 0 < k < 15 => (a k ) max = a 15 Do đó (a k ) giảm khi 16 < k < 27 => (a k ) max = a 16 Mà Nên (a k ) max = a 15 = C 27 2 3 . 3 -15 . 2) Kết quả: n {17, 18, 19 }làm tơng tự VD8 VD10: Tìm các hạng tử là số nguyên trong khi khai triển. Giải: ta có Để hạng tử là số nguyên thì Vậy các hạng tử là số nguyên là C 3 19 3 8 2; C 9 19 3 5 2 3 ; C 15 19 3 2 2 5 VD11: Biết rằng trong khai triển (x - ) n = C 0 n x 4 C 1 n x n-1 + C 2 n x n-2 Hệ số của hạng tử thứ ba - (1) n C n n ( ) n Trong KT trên là : C 2 n = 5 n 2 n 90 = 0 n = 10 hoặc n = -9 (loại) Khi n = 10 thì khai triển (x - ) 10 sẽ có 11 số hạng. Do đó số hạng chính giữa là số hạng thứ 6 đó là: III Tính các tổng C k n và cmđt chứa C k n 8 )270(32) 3 2 () 2 1 ( 272 27 27 27 == kCCa kkkkkk k 1501 1 27 5 4 32 3.2 . 272 27 )1(27)1(2 1 27 1 + == ++ + k k k C C a a kkk kk k k k 1516 15 16 1 16 1517 4 3 aa a a ==>= = n x ) 5 2 5 ( + 32 19 19 19 0 3 19 19 19 0 19 3 23)2()3()23( k k k k kkk k CC = = ==+ == == == = 155 95 31 2 319 60 1930 2 319 190 , 2 19 3 190 , 3 2 19 190 km km km Nk N m m m N k k Nkm N k mk k Nkm N k N k k Nk 3 1 3 1 9 1 3 1 9 1 90)1(45 )!2(!2 ! == nn n n 3 1 5355 10 27 28 ) 3 1 ( xxC = Bài 1: Với n số nguyên dơng CMR a) C 1 n + 2 C 2 n + + (n 1) C n-1 n + n C n n = n. 2 n-1 b) 2.1 C 2 n + 3.2 C 3 n + + n (n 1) C n n = n (n 1) 2 n-2 CM: Với mọi x và n là số nguyên dơng ta có; (1 + x) n = C 0 n + C 1 n x+ C 2 n x 2 + + C n-1 n x n-1 + C n n x n (1) Lấy đạo hàm 2 vế của (1) theo x ta đợc. n(1 + x) n-1 = C 1 n + 2C 2 n x + + (n - 1) C n-1 n . x n-2 + n C n n x n-1 (2) a) thay x = 1 vào (2) ta đợc. n. 2 n-1 = C 1 n + 2 C 2 n + + (n 1) C n-1 n + n C n n (ĐPCM) b) Lấy đạo hàm 2 vế của (2) theo x Ta đợc: n(n 1) (1 + x) n-2 = 2.1 C 2 n + 3 . 2 C 2 n x + + (n 1) (n 2) C n-1 n x n-3 + n (n 1) C n n x n-2 (3) Thay x = 1 và (3) ta đợc. n(n 1) 2 n-2 = 2.1 C 2 n + 3 . 2 C 2 n x + + (n 1) (n 2) C n-1 n + + n(n-1) C n n (ĐPCM). * Chú ý: (1) Nếu phải tính tổng có dạng: S 1 = C 1 n + 2C 2 n + 3 C 3 n + + (n-1) C n-1 n n-2 + n C n n n-2 + Xét khai triển (1 + x) n = (1) + Lấy đạo hàm 2 vế của (1) theo x đợc: n(1 + x) n-1 = (2) + Thay x = vào (2) kết quả. + Nếu phải tính tổng dạng. S 1 = 2. 1C 2 n + 3.2C 3 n + + (n-1) (n-2) C n n-1 n-3 + n (n-1)(n 2)C n n-1 n-3 + n(n-1) C n n n-2 Phơng pháp: + Xét khai triển (1) + Lấy đạo hàm 2 vế của (1) theo x đợc (2) + Lấy đạo hàm 2 vế của (2) theo x đợc 9 n k n n k xC = 0 1 0 = kk n n k xC 2 0 )1( = kk n n k xCkk n(n-1) (1+x) n-2 = (3) Thay x = ∝ vµo (3) ⇒ kÕt qu¶ Ch¼ng h¹n tÝnh tæng: C 1 n + 2 2 C 2 n 1 + 3 C 3 n 2 2 + + (n-1) C… n n-1 c n-2 + n C n n 2 n-1 = n(1+ 2) n-2 = n3 n-2 . VD2: CM c¸c ®¼ng thøc sau: C 1 n 3 n-1 + 2 C 2 n . 3 n-2 + + (n-1) C… n n-1 3 + n C n n = n 4 n-1 (1) Híng dÉn: C1: §Ó ý: k. C k n 3 n-l = k C k n . 3 -k+1 . 3 n-1 = k 3 n-1 C k n Tõ ®ã (1) ⇔ C 1 n 3 n-1 + 2 C 2 n 3 n-1 + + (n – 1) C… n n-1 n – 2 + 3 n-1 n C n n n-1 = n. 4 n-2 ⇔ C 1 n + 2 C 2 n + + ( n – 1) C… n n-1 ( ) n-2 + n C n n k-1 = n ( ) n-1 = n (1 + ) n-1 ⇒ Thay x = vµo (2) ta ®îc ®pcm C¸ch 2: §Ó ý : n. 4 n-1 = n (3+ 1) n-1 ⇒ XÐt khai triÓn (1) + LÊy ®/h 2 vÕ cña (1) theo biÕn x ta ®uîc. (2) + Thay x = 1 vµo (2) ta ®îc. n(3 + 1) n-1 = C 1 n 3 n-1 + 2 C 2 n 3 n-2 + + n C… n n 3 n-1 ⇔ ®iÒu ph¶i chøng minh * Chó ý: TÝnh tæng cã d¹ng. S 3 = C 1 n ∝ n - 1 + C n 2 ∝ n-2 + + (n-1) C… n n-2 ∝ + n C n n C¸ch 1: + XÐt khai triÓn (∝ + x) n (1) + LÊy ®/h 2 vÕ cña (1) theo biÕn x Ta ®îc n(∝ + x) n-1 (2) 10 1 3 1 − k 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 4 3 1 3 1 kknk n n k n xCx − = ∑ =+ 3)3( 0 1 0 1 3)3( −− = − ∑ =+ kknk n n k n xCkx 1 0 −− = ∑ = kknk n n k xCk α 1 0 −− = ∑ = kknk n n k xCk α [...]... ] (2) 2 0 1 1 1 2 ( 1) n +1 n C n + 2 3 C n + + 2 Cn 2 3 n +1 k Từ (2) và (3) ta có đẳng thức: 0 = 2C n 2 2 2 (3) [ 1 1 1 2 (1) k n+1 n 1 C n + 2 3 C n + + 2 Cn = 1 + (1) n 2 3 n +1 n +1 ] Chú ý: Để tính tổng dạng = C nk k +1 n k = 0 n hoặc k = 0 C nk (k + 1)(k + 2) Ta lấy tích phân 1 hoặc 2 lần của nhị thức Niu tơn Ví dụ 7: CM 0 Cn 1 2 n Cn Cn ( 1) n C n 2.4 2n + + = 3 5 2n + 1 3.5 (2n + 1)... khai triển nhị thức Niu tơn ta có 0 1 2 2 n (1 + x) n = C n + C n x + C n + C n x 2 + + C n x n 0 1 2 n (1 + x ) n = C n C n ( x 2 ) + C n ( x 2 ) 2 + + C n ( x 2 ) n 0 1 2 n x (1 x) n = xC n x 3C n + x 5 C n + + (1) n x 2 n +1C n 1 x(1 x 2 ) n dx = 0 = 1 2 1 1 x4 x 0 Cn 2 4 1 0 1 C n + + (1) n 1 0 1 1 1 2 (1) n n C n C n + C n + + Cn 2 4 6 2n + 2 x 2 n +1 2n + 1 1 0 (2) So sánh (1) và... + (n-2) 4n-3 (C2n + + (-1)n-1 Cnn-1 (6) Từ (3) và (6) => điều phải chứng minh 13 Chú ý; Nh vậy để tính tổng có dạng hoặc k n n = Cn k k = k (k 1)C n k =0 k = 0 Ta lấy đạo hàm một hoặc hai lần của nhị thức Niu tơn Bài tập luyện tập: Tính các tổng sau: 2005 C 2006 1) S1 = 2006 32005 C02006 + 2005 32004 C12006 + C22006 + + C 2005 HDG: + Xét khai triển (x + 1)2006 = x2006 C02006 + x2005 C12006 + + (1)...Trong (2) thay x = 1 vào ta đợc kết quả VD3: CMR 2n-1 C1n + 2n-1 C2n + 3.2n-3 C3n + 4 2n-4 C4n + + n Cnn = n 3n-1 (làm tơng tự VD2 với = 1 2 VD4: 1 Chứng minh các hệ thức sau: Con + 2 C1n + 3 C2n + + (n + 1) Cnn = (n + 2) 2n-1 2) Tính tổng : S = 2 1 C1n + 3 2 C2n + + n (n 1) Cnn-1 + (n + 1) n Cnn Giải: a) Cách 1: Xét khai triển: (1 + x)n = Con + C1n + C2n x2 +... C12006 +2C22006 + 3C32006 + + 2006 2006 C 2006 2006 C 2006 2006 C 2006 C2: Nhân 2 vế khai triển (1 + x)2006 với x lấy đ/h 1 vế theo x sau đó thay x = 1 => kết quả 5) S5 = 3 C02006 + 4C12006 + 5C22006 + + 2009 2006 HDG: + Xét KT: (1 + x) 2006 = C k =0 k 2006 x k 3 (1) 2006 + Nhân 2 vế (1) với x : x (1 + x) 3 2006 2006 C 2006 = C k =0 k 2006 k +3 x (2) + Lấy đ/h 1 vế của (2) theo x đợc (3) 14 + Chọn k = . Nhị thức newton và ứng dụng I Nhị thức newton 1 Công thức nhị thức Newton: Với mọi cặp số a, -b và mọi số nguyên. baC = = 2 Các nhận xét về công thức khai triển: + Số các số hạng ở bên phải của công thức (*) bằng n + 1, n là số mũ của nhị thức ở vế trái. + Tổng các