CHỦ ĐỀ TIẾP TUYẾN VÀ TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ ĐẠI SỐ 12 CÓ ĐÁP ÁN Chủ đề: Tiếp tuyến đồ thị hàm số dạng Tiếp tuyến đồ thị hàm số đề thi Đại học có giải chi tiết Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số Trắc nghiệm viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số Dạng 2: Các toán tiếp tuyến hàm số Trắc nghiệm tiếp tuyến hàm số Chủ đề: Tương giao đồ thị hàm số 100 Bài tập Sự tương giao đồ thị hàm số có giải chi tiết (mức độ nhận biết) 120 Bài tập Sự tương giao đồ thị hàm số có giải chi tiết (mức độ vận dụng) dạng Sự tương giao đồ thị hàm số đề thi Đại học có giải chi tiết Dạng 1: Tìm giao điểm hai đồ thị hàm số Trắc nghiệm Tìm giao điểm hai đồ thị hàm số Dạng 2: Biện luận theo m số giao điểm đồ thị Trắc nghiệm Biện luận theo m số giao điểm đồ thị Dạng 3: Tìm m để giao điểm hai đồ thị thoả mãn điều kiện Trắc nghiệm Tìm m để giao điểm hai đồ thị thoả mãn điều kiện Chủ đề: Tiếp tuyến đồ thị hàm số dạng Tiếp tuyến đồ thị hàm số đề thi Đại học có giải chi tiết Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số I Phương pháp giải Cho hàm số y = f(x), gọi đồ thị hàm số (C) Dạng Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C): y = f(x) M(x 0; y0) ♦ Phương pháp • Bước Tính y’= f’(x) suy hệ số góc phương trình tiếp tún k = y’(x0) • Bước Phương trình tiếp tún đồ thị (C) điểm M(x0; y0) có dạng y - y0 = f'(x0).(x - x0) ◊ Chú ý: • Nếu đề yêu cầu viết phương trình tiếp tún điểm có hồnh độ x ta tìm y0 cách thế vào hàm số ban đầu, tức y = f(x0) Nếu đề cho y0 ta thay vào hàm số để giải x0 • Nếu đề yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến giao điểm đồ thị (C): y = f(x) đường thẳng d: y= ax + b Khi hồnh độ tiếp điểm nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm d (C) Dạng Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C): y = f(x) có hệ số góc k cho trước ♦ Phương pháp • Bước Gọi M (x0; y0) tiếp điểm tính y' = f'(x) • Bước Hệ số góc tiếp tún k' f'(x 0) Giải phương trình tìm x0; thay vào hàm số y0 • Bước Với tiếp điểm ta tìm tiếp tuyến tương ứng d: y – y0 = f'(x0).(x - x0) ◊ Chú ý: Đề thường cho hệ số góc tiếp tuyến dạng sau: • Tiếp tuyến d // Δ: y = ax + b ⇒ hệ số góc tiếp tuyến k = a • Tiếp tuyến d ⊥ Δ: y = ax + b, (a ≠ 0) hệ số góc tiếp tuyến k = -1/a • Tiếp tún tạo với trục hồnh góc α hệ số góc tiếp tún d k = ±tanα Dạng Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C): y = f(x) biết tiếp tuyến qua điểm A(xA; yA) ♦ Phương pháp Cách • Bước 1: Phương trình tiếp tún qua A(xA; yA) hệ số góc k có dạng d: y = k(x - xA) + yA (*) • Bước 2: d tiếp tuyến (C) hệ sau có nghiệm: • Bước 3: Giải hệ tìm x suy k thế vào phương trình (*), ta tiếp tuyến cần tìm Cách • Bước Gọi M(x0; f(x0)) tiếp điểm tính hệ số góc tiếp tún k = y'(x 0) = f'(x0) theo x0 • Bước Phương trình tiếp tuyến có dạng d: y = y'(x 0).(x – x0) + y0 (**) Do điểm A(xA; yA) d nên yA = y'(x0).(xA- x0) + y0 giải phương trình ta tìm x0 • Bước Thế x0 vào (**) ta tiếp tún cần tìm II Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hàm số y = -2x3 + 6x2 - có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm M thuộc (C) có hồnh độ A y = -18x + 49 C y = 18x + 49 B y = -18x – 49 D y = 18x - 49 Hiển thị đáp án Ta có: y' = -6x2 + 12x Với x0 = y0 = -5 ⇒ M(3; -5) hệ số góc k = y'(3) = -18 Vậy phương trình tiếp tuyến M là: y = -18(x - 3) – = -18x + 49 Suy chọn đáp án A Ví dụ 2: Cho hàm số y = x3 - 3x + có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tún (C) biết hệ số góc tiêp tuyến : Hiển thị đáp án Ta có đạo hàm y' = 3x2 - Vậy k = y'(x0) = + Với x0 = y0 = ta có tiếp điểm M(2; 4) Phương trình tiếp tún M là: y = 9(x - 2) + hay y = 9x - 14 + Với x0 = -2 y0 = ta có tiếp điểm N(-2; 0) Phương trình tiếp tuyến N là: y = 9(x + 2) + hay y = 9x + 18 Vậy có hai tiếp tún cần tìm y = 9x - 14 y = 9x + 18 Suy chọn đáp án A Ví dụ 3: Cho hàm số y = -4x3 + 3x + có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tún (C) biết tiếp tuyến qua A(-1;2) Hiển thị đáp án Ta có y' = -12x2 + + Tiếp tuyến (C) qua A(-1;2) với hệ số góc k có phương trình là: (d) y = k(x + 1) + + Do d tiếp tuyến (C) hệ sau có nghiệm: Thay k từ (2) vào (1) ta : ⇔ -4x3 + 3x + = (-12x2 + 3).(x + 1) + ⇔ -4x3 + 3x + = -12x3 - 12x2 + 3x + + ⇔ 8x3 + 12x2 - = + Với x = -1 k = -9 Phương trình tiếp tuyến y = -9x - + Với x = 1/2 ⇒ k = Phương trình tiếp tuyến y = Suy chọn đáp án A Ví dụ 4: Cho hàm số có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tún (C) biết tiếp tún vng góc với đường thẳng d: y = x + 10 = ? Hiển thị đáp án + Điều kiện: x ≠ -1 + Đạo hàm: + Do tiếp tún Δ cần tìm vng góc với đường thẳng d: y = x + 10 = Nên ta có: kΔ.kd = -1 Mà kd = nên kΔ = -1 Suy ra: + Với x = y = Phương trình tiếp tuyến điểm (3; 3) là: y = -1(x - 3) + hay y = -x + + Với x = -1 y = -1 Phương trình tiếp tuyến điểm (-1;-1) là: y = -1(x + 1) - hay y = -x - Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn y = -x + y = -x - Suy chọn đáp án B Dạng 2: Các toán tiếp tuyến đồ thị hàm số I Phương pháp giải Cho hàm số y = f(x) liên tục có đạo hàm khoảng K Để giải toán tiếp tuyến đồ thị hàm số ta cần ý: + Tính đạo hàm hàm số + Viết phương trình tiếp tuyến điểm; qua điểm; tiếp tuyến biết hệ số góc + Hai đường thẳng song song có hệ số góc nhau; hai đường thẳng vng góc có tích hai hệ số góc – + Giao điểm hai đồ thị hàm số + Hệ thức Vi-et + Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng II Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hàm số y = -x4 – x2 + có đồ thị (C) Tiếp tuyến đồ thị (C) cắt trục Ox, Oy hai điểm A, B cho OB = 36OA có phương trình là: Hiển thị đáp án Do OB = 36OA suy ra: OB/OA = 36 ⇒ y'(x0) = ±36 • Với y'(x0) = -36 nên -4x03 - 2x0 = -36 ⇔ -4x03 - 2x0 + 36 = ⇔ x = Vậy y0 = y(2) = - 14 Suy phương trình tiếp tuyến y= -36x + 58 • Với y'(x0) = 36 Nên x0 = -2 Vậy y0 = y(-2) = -14 Suy phương trình tiếp tuyến y = 36x + 58 Suy chọn đáp án C Ví dụ 2: Cho hàm số có đồ thị (C) Gọi điểm M(x0; y0) với x0 = -1 điểm thuộc (C) biết tiếp tuyến (C) điểm M cắt trục hoành, trục tung hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB có trọng tâm G nằm đường thẳng d: 4x + y = Hỏi giá trị x + 2y0 bao nhiêu? A -7/2 B 7/2 C 5/2 D -5/2 Hiển thị đáp án • Gọi với x0 ≠ -1 điểm cần tìm • Gọi Δ tiếp tún (C) M ta có phương trình • Gọi A = Δ ∩ Ox Và B = Δ ∩ Oy • Khi Δ tạo với hai trục tọa độ tam giác OAB có trọng tâm là: • Do G thuộc đường thẳng 4x + y = nên (vì A, B không trùng O nên x02 - 2x0 - ≠ 0) • Vì x0 > -1 nên chọn x0 = -1/2 Suy chọn đáp án A Ví dụ 3: Cho hàm số y = x4 - 2mx2 + m (1), m tham số thực Kí hiệu (Cm) đồ thị hàm số cho; gọi d tiếp tún (Cm) điểm có hồnh độ Tìm m để khoảng cách từ điểm B(3/4; 1) đến đường thẳng d đạt giá trị lớn nhất? A m = -1 B m = C m = D m = -2 Hiển thị đáp án + Gọi A điểm thuộc đồ thị hàm số có hoành độ nên A(1; - m) Ngoài y' = 4x3 – 4mx Suy ra: y'(1) = - 4m + Phương trình tiếp tuyến (Cm) A : y - + m = y'(1).(x - 1) hay (4 - 4m)x - y – 3(1 - m) = + Khi Dấu ‘=’ xảy m = + Do d(B; Δ) lớn m = Suy chọn đáp án B Ví dụ 4: Cho hàm số có đồ thị (C) Có tiếp tuyến đồ thị (C) điểm thuộc đồ thị có khoảng cách đến đường thẳng d1: 3x + 4y – = A B C D Hiển thị đáp án • Giả sử M(x0; y0) ∈ (C) • Ta có: • Với 3x0 + 4y0 - 12 = A m > m < -4 B m < -1 m > C -4 < m < D m < -4 m > Hiển thị đáp án Đáp án : D Giải thích : Dựa vào đồ thị hàm số để phương trình f(x) = m có hai nghiệm phân biệt m > m < -4 Câu 13: Tìm tất giá trị tham số m để phương trình x - 3x2 + + m = có nghiệm lớn Biết đồ thị hàm số y = -x + 3x2 - hình bên A m > B m ≤ -4 C m < -4 D m ≤ -4 m ≥ Hiển thị đáp án Đáp án : C Giải thích : Biến đổi x3 - 3x2 + + m = ⇔ - x3 + 3x2 - = m Dựa vào đồ thị hàm số để phương trình x - 3x2 + + m = có nghiệm lơn m < -4 Câu 14: Cho hàm số y = -2x3 + 3x2 - có đồ thị (C) hình vẽ Dùng đồ thị (C) suy tất giá trị tham số m để phương trình 2x - 3x2 + 2m = (1) có ba nghiệm phân biệt là: A < m < 1/2 B -1 < m < C ≤ m ≤ 1/2 D -1 ≤ m ≤ Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích : Biến đổi 2x3 - 3x2 + 2m = ⇔ - 2x3 + 3x2 - = 2m - Dựa vào đồ thị hàm số để phương trình 2x - 3x2 + 2m = (1) có ba nghiệm phân biệt -1 < 2m - < ⇔ < m < 1/2 Câu 15: Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên sau: Tập hợp giá trị thực m để phương trình f(x) = m có ba nghiệm phân biệt là: A [1; √2) B (-1; √2) C (1; √2) D [-1; √2) Hiển thị đáp án Đáp án : A Giải thích : Dựa vào bảng biến thiên để phương trình f(x) = m có ba nghiệm phân biệt ≤ m