PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Hình học khơng gian phần kiến thức quan trọng chương trình mơn tốn THPT nói chung chương trình mơn tốn lớp 11 nói riêng Trong kì thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng năm ln có mặt tốn hình học khơng gian Đặc biệt tốn quan hệ vng góc ln chủ đề quen thuộc khơng thể thiếu tốn hình học khơng gian có mặt kì thi tuyển sinh vào Đại học, Cao đẳng (hiện THPT Quốc Gia) kì thi chọn học sinh giỏi Đối với học sinh đa số em thường gặp nhiều khó khăn giải tốn hình học khơng gian Các em thường chưa có kĩ giải chưa hình thành phương pháp giải tốn hình học khơng gian Hiện bối cảnh mơn tốn thi hình thức trắc nghiệm tốn tính khoảng cách lại xuất nhiều Làm để nâng cao kĩ giải tốn hình học khơng gian đặc biệt tốn tính khoảng cách cho học sinh ? Với suy nghĩ tơi ln cố gắng dạy cho em học sinh biết nắm vững phương pháp chứng minh quan hệ vng góc (đường thẳng vng góc với đường thẳng, đường thẳng vng góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vng góc) từ hình thành nên phương pháp tìm khoảng cách (khoảng cách điểm với đường thẳng, khoảng cách điểm với mặt phẳng, khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, khoảng cách hai mặt phẳng song song, khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau) 1.2 Mục đích nghiên cứu Với mong muốn giúp em học sinh có nhìn tổng qt tốn tính khoảng cách Tạo cho em tự tin tốn tính tốn hình học khơng gian Đây tài liệu để đồng nghiệp tham khảo Đặc biệt với cách kiểm tra thi tốn tính tốn xuất chủ yếu kì thi trường, sở Năm thi Trung Học Phổ Thơng Quốc Gia có thêm chương trình lớp 11 đề thi Vì tài liệu giúp ích cho em phần Tính khoảng cách tốt giúp em giải tốt tốn tính thể tích, dạng tốn chủ yếu xuất chương trình hình học lớp 12 1.2 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài hình thành rèn luyện kĩ tính khoảng cách cho học sinh Cụ thể: +Khoảng cách từ điểm tới đường thẳng +Khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng +Khoảng cách hai đường thẳng chéo 1.4 Các phương pháp nghiên cứu đề tài: +Phương pháp nghiên cứu, xây dựng sở lý thuyết +Phương pháp điều tra thực tế +Phương pháp thống kê, thu thập số liệu PHẦN NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận Trong nhà trường trung học phổ thông nhiệm vụ trọng tâm hoạt động dạy thầy hoạt động học trò Đối với người thầy việc giúp học sinh nắm vững kiến thức phổ thơng nói chung kiến thức mơn tốn nói riêng việc làm cần thiết Người giáo viên cần phải dạy cho em nắm vững phương pháp kĩ cần thiết để giải tốt toán đặt Đối với hoạt động học trò muốn học tốt mơn tốn học sinh cần phải nắm vững tri thức khoa học mơn tốn cách có hệ thống, phải biết vận dụng lí thuyết cách linh hoạt vào tốn cụ thể Điều thể việc học đơi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư logic, suy nghĩ linh hoạt Vì trình dạy học giáo viên cần giúp học sinh cách học biết sử dụng kiến thức học vào tốn cụ thể Mục đích giúp học sinh đứng trước toán em cần biết phân tích nhận dạng, biết áp dụng phương pháp học để giải toán biết cách chuyển toán dạng quen thuộc để từ có phương pháp giải thích hợp Đối với tốn quan hệ vng góc hình học khơng gian ngồi việc phải cung cấp cho em kiến thức cần thiết phương pháp giải dạng toán cụ thể cần dạy cho em cách phân tích tốn, xét mối quan hệ qua lại đối tượng: Điểm, đường thẳng, mặt phẳng… Để từ em đưa cách giải toán phương pháp phù hợp 2.2 Thực trạng vấn đề Xuất phát từ việc dạy phân mơn hình học lớp 11 nâng cao, cụ thể tốn tính khoảng cách Đối với dạng toán mục tiêu học sinh biết cách tìm khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng, khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau, khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, khoảng cách hai mặt phẳng song song Đây tốn thường gặp kì thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng (trung học phổ thông quốc gia) gần Vì dạy dạng tốn giáo viên cần hình thành cho học sinh kĩ phương pháp tìm khoảng cách 2.3 Giải pháp cách thức thực Trước giải tốn tính khoảng cách em học sinh cần phải nắm vững định nghĩa, định lí, hệ định lí, tính chất Tiếp đến em cần nắm vững số phương pháp chứng minh dạng tốn thường gặp Sau em phải rèn luyện kĩ vận dụng phần lí thuyết nắm vững vào tốn cụ thể Vì người giáo viên q trình dạy học cần hệ thống lí thuyết, đưa số dạng toán thường gặp cách giải dạng tốn 2.3.1 Cơ sở lí thuyết: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, đến đường thẳng Định nghĩa 1: Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P ) (hoặc đến đường thẳng d ) khoảng cách hai điểm M H , H hình chiếu vng góc M lên mặt phẳng (P ) (hoặc lên đường thẳng d) Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, khoảng cách hai mặt phẳng song song Định nghĩa 2: Khoảng cách đường thẳng a mặt phẳng (P ) song song với a khoảng cách từ điểm từ a tới ( P ) Định nghĩa 3: Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng Khoảng cách hai đường thẳng chéo Định nghĩa 4: Khoảng cách hai đường thẳng chéo độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng 2.3.2 Các dạng tốn thường gặp: Dạng 1: Tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (hoặc đến đường thẳng) Phương pháp giải: Xác định chân đường vng góc điểm lên mặt phẳng (hoặc đường thẳng) Sử dụng hệ thức lượng tam giác vng lượng giác để tính khoảng cách cần tìm Lưu ý: Để tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P ) ta xác định mặt phẳng (Q ) chứa điểm A vng góc với (P ) sau xác định giao tuyến (P ) (Q ) (Q ) dựng đường thẳng qua A vng góc với giao tuyến cắt giao tuyến H Khi đó, khoảng cách từ A đến (P ) đoạn AH Dạng 2: Tính khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, hai mặt phẳng song song Phương pháp giải: Để tính khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song ta tính khoảng cách từ điểm thuộc đường thẳng đến mặt phẳng, khoảng cách cần tìm Để tính khoảng cách hai mặt phẳng song song ta tính khoảng cách từ điểm thuộc mặt phẳng tới mặt phẳng khoảng cách cần tìm Nhận xét: Thực tế tốn dạng tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng việc quan trọng phải xác định điểm cho thuận lợi để tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng Dạng 3: Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo Phương pháp giải: Để tính khoảng cách hai đường thẳng a b ta dùng cách giải sau: Cách 1: Xác định đường vng góc chung a b tính độ dài đoạn vng góc chung Cách 2: Dựng mặt phẳng (P ) chứa a song song với b, khoảng cách a b khoảng cách (P ) b Cách 3: Dựng mặt phẳng (P ) chứa a mặt phẳng (Q ) chứa b cho (P ) song song với (Q ) , khoảng cách a b khoảng cách (P ) (Q ) 2.3.3 Một số ví dụ 2.3.3.1 Khoảng cách từ điểm tới đường thẳng Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , SA vng góc với mặt phẳng (ABCD ) SA = a Gọi E trung điểm cạnh CD Tính theo a khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BE Lời giải Gọi F trung điểm BC , gọi H giao điểm FA BE Ta chứng minh AF ⊥ BE Lại có BE ⊥ SA ⇒ BE ⊥ (AFS ) a ⇒ BE ⊥ SH Tính AF = ; 2a AH AF = AB ⇒ AH = 3a ⇒ SH = SA + HA = 3a ⇒ d ( S; BE ) = Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a , tâm O , SA ⊥ (ABCD ) , SA = a Gọi I trung điểm SC M trung điểm AB Tính khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng CM Lời giải Kẻ đường thẳng qua A vuông góc với CM H , cắt BC N Ta có: NB NC = NH NA = (NA − HA ).NA = NA − AH AN ⇔ NB (NB + BC ) = NA − AM AB ⇔ AM AB + NB BC = NA − NB  AB  AB ⇔ AB  + NB ÷ = AB ⇔ NB =   Vì SA ⊥ CH ⊥ AN ⇒ CH ⊥ (SAN ) ⇒ CH ⊥ SH ⇒ d(S ,CM ) = SH Tính SH a AH AN = AM AB ⇔ AH = a 30 ⇒ SH = SA + AH = a 30 10 Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng · trung điểm cạnh BC A, BC = 2a, ABC = 60° Gọi M SA = SC = SM = a Tính khoảng cách từ S đến cạnh AB Lời giải Vì SA = SC = SM nên hình chiếu H S lên mặt phẳng ( ABC ) tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACM Từ H kẻ đường thẳng vng góc AB taị K Vì AC PHK MH PBK nên AC a HK = = 2 Vì SH ⊥ BK ⊥ HK ⇒ BK ⊥ ( SHK ) Mà SC = 2IC ⇒ d(S ,CM ) = 2d(I ,CM ) ⇒ d(I ;CM ) = ⇒ AB ⊥ SK ⇒ d ( S , AB ) = SK BC · · =a Vì AMH = BAM = 60° ⇒ ∆AHM ⇒ AH = AM = a 19 a 19 2 ⇒ d ( S; AB ) = ⇒ SH = SA − AH = 2a ⇒ SK = SH + K H = 2 2.3.3.2 Khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng · · Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD đáy hình thang, ABC = BAD = 90° , BA = BC = a, AD = 2a Cạnh bên SA vng góc với đáy SA = a Gọi H hình chiếu A lên SB Tính (theo a ) khoảng cách từ H đến mặt phẳng ( SCD ) Lời giải Gọi M giao điểm CD AB Ta có AD = 2a, AC = CD = a ⇒ AC ⊥ DC Laị có SA ⊥ CD ⇒ CD ⊥ ( SAC ) với 1 d = d ( A, ( SCD ) ) ⇒ = + ⇒d =a d SA AC MB BC d a = = ⇒ d ( B , ( SCD ) ) = = Vì MA AD 2 2d ( B , ( SCD ) ) a 2a HS ; = ⇒ d ( H , ( SCD ) ) = = BS 3 Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A, AB = AC = a, I trung điểm SC , hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng ( ABC ) trung điểm H BC , mặt phẳng ( SAB ) tạo với đáy góc 60° Tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng ( SAB ) theo a Lời giải Gọi M trung điểm AB K hình chếu H lên SM · · = 60° Ta xác định ( SAB , ( ABC ) ) = SMH Từ SH SB = SA ⇒ SH = ) ( AC a MH a = ⇒ HK = = 2 Ta có: HI PSB ⊂ ( SAB ) ⇒ d ( I , ( SAB ) ) = d ( H , ( SAB ) ) = HK Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A AB = 2a, AC = 2a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng ( ABC ) trung điểm H cạnh AB Góc hai mặt phẳng ( SBC ) ( ABC ) 30° Tính khoảng cách từ trung điểm M cạnh BC đến mặt phẳng ( SAC ) Lời giải AB AC =a Ta có: d ( A, BC ) = 2 AB + AC Dựng HK ⊥ BC Khi a d ( H , BC ) = HK = d ( A, BC ) = 2 HK ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( SHK ) Do  BC ⊥ SH  · H = ·SBC , ABC = 30° ⇒ SK nên từ MH = (( )( )) a Dựng HE ⊥ SA Khi đó: HE ⊥ ( SAC ) SH SA a = Do HM PAC ⇒ d ( M , ( SAC ) ) = dH = HE = SA + HA Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a , · BAC = 90° Hình chiếu vng góc S mặt phẳng ( ABCD ) điểm H thuộc đoạn BD cho HD = 2HB Đường thẳng SO tạo với mặt phẳng ( ABCD ) góc 60° với O giao điểm AC BD Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng ( SCD ) theo a Lời giải Dễ thấy tam giác ABC H trọng tâm a tam giác ABC Khi OB = a · Mặt khác SOH ⇒ OH = = 60° a ⇒ SH = OH tan 60° = Do BD = BH 2 ⇒ d ( B ; ( SCD ) ) = d ( H ; ( SCD ) ) a · Dựng HE ⊥ CD , HF ⊥ SE ⇒ HE = HD.sin BDC = HD.sin 30° = 3 HE SH = Vậy d ( B ; ( SCD ) ) = HE = 2 HE + SH 14 Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật tâm I , có AB = a, BC = a Gọi H trung điểm AI Biết SH vng góc với mặt phẳng đáy tam giác SAC vng S Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( SBD ) Lời giải Ta có AC = AB + BC = 2a Khi đó: a 3a 3a2 HA = ; HC = ⇒ SH = HA.HC = 2 a Do CI = 2HI ⇒ SH = ⇒ d ( C ; ( SBD ) ) = 2d ( H ; ( SBD ) ) Dựng HE ⊥ BD , HF ⊥ SE Khi đó: Suy SH = HK tan 30° = ⇒ d ( C ; ( SBD ) ) = 2d ( H ; ( SBD ) ) = 2HF = SH HE SH + HE 1 a a Mặt khác HE = d ( H , BD ) = d ( A, BD ) = = 2 3a Do đó: d ( C ; ( SBD ) ) = 15 Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật có AB = a , BC = 2a Hình chiếu S lên mặt phẳng đáy trọng tâm H tam giác ABC Góc đường thẳng SB mặt phẳng ( ABCD ) 600 Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SBC ) Lời giải 2 Ta có BD = AB + BC = 3a suy BD HB = = a Do SH ⊥ ( ABCD ) · ; ( ABCD ) = SBH · ⇒ SB = 600 ( 2 ) ⇒ SH = HB tan 600 = a Dựng HE ⊥ BC , HF ⊥ SE Do AD/ / BC ⇒ d ( A, ( SBC ) ) = d ( D , ( SBC ) ) = 3d ( H , ( SBC ) ) = 3HF CD a HE SH 3a 21 = ⇒ d ( A, ( SBC ) ) = = 3 14 HE + SH · Bài 10: Cho hình chóp S.ABC có AB = AC , BC = a , BAC = 1200 Gọi I trung điểm cạnh AB Hình chiếu vng góc đỉnh S mặt phẳng đáy trung điểm H CI , góc đường thẳng SA mặt phẳng đáy 600 Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SBC ) Lời giải Đặt AB = AC = x ⇒ BC = AB + AC − 2AB AC cos1200 = x Mà BC = a ⇒ x = a Dựng HE ⊥ BC , HF ⊥ SE Khi d ( HI , ( SBC ) ) = HF Mặt khác Mặt khác HE = d ( A, ( SBC ) ) = 2d ( I , ( SBC ) ) = 4d ( H , ( SBC ) ) = 4HF 1 a HE = d ( A, BC ) = AB sin 300 = 4 8 Mặt khác CI = AI + AC − 2AI AC cos1200 = a AI + AC IC a 3a Do đó: AH = − ⇒ AH = ⇒ SH = 4 HE SH 3a 37 = Do d ( A, ( SBC ) ) = 4HE = 37 HE + SH Bài 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B Hình chiếu vng góc S lên ( ABCD ) trùng với giao điểm I AC BD Mặt bên ( SAB ) hợp với đáy góc 600 Biết AB = BC = a , AD = 3a Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng ( SAB ) theo a Lời giải Dựng HE ⊥ AB , HF ⊥ SE IC IB BC = = = Theo Talet ta có: IA ID AD IE IB 3a = = ⇒ IE = Khi đó: AD BD 4 3a Ta có: d ( I , ( SAB ) ) = HF = IE sin E = 3a Lại có d ( D , ( SAB ) ) = 4d ( I , ( SAB ) ) = Bài 12:(HSG Vĩnh Phúc 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O , AC = , BD = 2a ; hai mặt phẳng ( SAC ) ( SBD ) vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt a phẳng ( SAB ) Tính khoảng cách từ S tới mặt phẳng ( ABCD ) Lời giải Ta có diện tích hình thoi ABCD là: SABCD = 3a2 ⇒ SABC = 3a2 Theo giả thiết: ⇒ SO ⊥ ( ABCD ) ⇒ d ( S; ( ABCD ) ) = SO Trong ( ABCD ) kẻ OK ⊥ AB , ( SOK ) kẻ OH ⊥ SK ⇒ AB ⊥ ( SOH ) ⇒ AB ⊥ OH ⇒ OH ⊥ ( SAB ) kẻ OH ⊥ SK ⇒ AB ⊥ ( SOH ) ⇒ AB ⊥ OH ⇒ OH ⊥ ( SAB ) a a ⇒ d ( O , ( SAB ) ) = OH = 1 1 a = + = ⇒ = − = ⇒ SO = Khi ta có: OK OA OB 3a2 OS OH OK a2 a ⇒ d ( S; ( ABCD ) ) = Bài 13:(HSG Sơn La 2017-2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy, góc mặt phẳng ( SBD ) mặt phẳng đáy 60o Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng ( SBC ) Lời giải Gọi I giao điểm AC BD AI ⊥ BD · ⇒ ⇒ SIA = 60o Suy SI ⊥ BD d ( C , ( SAB ) ) = 2d ( O , ( SAB ) ) = a · Ta có SA = AI tan SIA = AD / / ( SBC ) ⇒ d ( D , ( SBC ) ) = d ( A , ( SBC ) ) Gọi H hình chiếu A lên SB AH ⊥ SB ⇒ ⇒ AH ⊥ ( SBC ) AH ⊥ BC ⇒ AH = d ( A, ( SBC ) ) 1 3a2 = + = Trong tam giác vuông SAB có ⇒ AH = AH SA AB 3a2 a 15 Vậy d ( D , ( SBC ) ) = d ( A, ( SBC ) ) = AH = Bài 14: (HSG Cần Thơ 2017-2018) · Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, BAD = 60o , SA = SB = a Gọi G trọng tâm tam giác ABD , biết SG = a Gọi E 2a điểm thuộc cạnh SD cho SE = Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SCD ) Lời giải 10 Tam giác ABD có AB = AD = a , BAD = 60o nên tam giác ABD tam giác Suy a a Xét tam giác SGA có GA = GB = = 3 SG + GA = a2 = SA nên tam giác SGA vuông G Tương tự tam giác SGB vuông G GA ⊥ SG ⇒ SG ⊥ ( GAB ) hay SG ⊥ ( ABCD ) Xét hai tam giác vuông Vậy  GB ⊥ SG SGA SGD có cạnh SG chung GA = GD nên chúng Suy SD = SA = a 2a2 Trong tam giác vuông SGD , có E thuộc cạnh SD AE SD = = SG AB/ / CD ⇒ CD ⊥ GD ⇒ GE ⊥ SD (1) Mặt khác  GD ⊥ AB  Mà CD ⊥ SG ⇒ CD ⊥ ( SGD ) ⇒ CD ⊥ GE (2) Từ (1) (2) suy GE ⊥ ( SCD ) Ta có d ( A, ( SCD ) ) d ( G , ( SCD ) ) = CA 3 = ⇒ d ( A, ( SCD ) ) = d ( G , ( SCD ) ) CE 2 3 GSGD ⇒ d ( A, ( SCD ) ) = GE = 2 GS + GD a a 3a a 3 ⇒ d ( A, ( SCD ) ) = = = 2  a  a   ÷ + ÷     2.3.3.3 Khoảng cách hai đường thẳng chéo Bài 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, gọi M trung điểm AB Tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy ( ABCD ) , biết SD = 2a , SC tạo với mặt đáy ( ABCD ) góc 600 Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng DM SA Lời giải 11 Đặt AB = BC = CD = DA = 2x > · Ta có: SM ⊥ ( ABCD ) ⇒ SCM = 600 SM ⇒ tan 600 = = MC Cạnh CM = BC + BM = x ⇒ SM = x 15 Cạnh MD = AD + AM = x Từ SD = SM + MD ⇒ 15x2 + 5x2 = 20a2 ⇒ x = a Dựng hình bình hành ADMN hình vẽ ⇒ DM / / ( SAN ) ⇒ d ( DM , SA ) = d ( M , ( SAN ) ) = h Tứ diện MSAN tứ diện vuông 1 1 1 60 15 = + + = + + ⇒h=a = 2a 2 2 h MS MA MN 15a 5a a 79 79 Bài 16: Cho lăng trụ ABC A1B1C có mặt bên hình vng cạnh a Gọi D , E , F trung điểm cạnh BC , AC 1 , B1C Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng DE A1F Lời giải BB1 ⊥ A1B1 ⇒ BB1 ⊥ ( A1B1C ) Kẻ Ta có  BB1 ⊥ B1C EP / /A1F ( P ∈ B1C ) ⇒ A1F / / ( DEP ) ⇒ ⇒ d ( A1F ; DE ) = d ( F ; ( DEP ) ) = h Mặt khác DF / /BB1 ⇒ DF / / ( A1B1C ) ∆PEF ⊥ P , kẻ FH ⊥ DP H ⇒ h = FH 1 a ⇒h= 1 = 2+ a a 17 + Ta có = h DF FP  ÷ 4 Bài 17: Cho lăng trụ đứng ABC A 'B 'C ' có đáy ABC tam giác vuông B , AB = a, AA ' = 2a, A 'C = 3a Gọi M trung điểm đoạn thẳng A 'C ' , I giao điểm AM A 'C Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( IBC ) Lời giải 12 Lăng trụ đứng ABC A 'B 'C ' ⇒ AA ' ⊥ ( ABC ) Ta có: d = d ( A; ( IBC ) ) = d ( A; ( A ' BC ) ) = AP ⇒ d = AP ⇒ 1 1 2a = + = + ⇒d = 2 d AB A 'A a 4a Bài 18: Cho hình chóp S.ABCD có tam giác SAB cạnh a , tam giác ABC cân C Hình chiếu S mặt phẳng ( ABC ) trung điểm cạnh AB , góc SC với mặt phẳng đáy 300 Tính khoảng cách hai đường thẳng SA BC theo a Lời giải Gọi H trung điểm cạnh · AB ⇒ SH ⊥ ( ABC ) ⇒ SCH = 300 3a a Nên CH = SH : tan 300 = 2 Vẽ hình bình hành ABCD Khi đó: AD / /BC ⇒ BC / / ( SAD ) SH = ⇒ d ( SA, BC ) = d ( BC , SAD ) = d ( B , SAD ) = 2d ( H , SAD ) HE ⊥ AD Vì AD ⊥ HE , AD ⊥ SH ⇒ AD ⊥ ( SHE ) ⇒ AD ⊥ HF Kẻ  HF ⊥ SE ⇒ d ( H , SAD ) = HF 4 52 1 1 1 = 2+ 2+ 2= = + = + + Ta có: 2 2 2 3a a 9a 9a HF HS HE HS HA HD 3a 3a ⇒ HF = ⇒ d ( SA, BC ) = 13 13 Bài 19: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang cân, hai đáy BC AD Biết SA = a , AD = 2a , AB = BC = CD = a Hình chiếu vng góc S lên ABCD trung điểm H đoạn AD Tính khoảng cách hai đường thẳng SB AD theo a Lời giải 13 Vì SH ⊥ ( ABCD ) ⇒ SH ⊥ AD mà AD / / ( SBC ) ⇒ d ( SB , AD ) = d ( AD ,SBC ) = d ( H ,SBC ) Gọi M trung điểm BC , suy HM ⊥ BC , mà BC ⊥ SH ⇒ BC ⊥ ( SHM ) ⇒ ( SBC ) ⊥ ( SHM ) Kẻ HK ⊥ SM ⇒ HK ⊥ ( SBC ) ⇒ d ( H , SBC ) = HK Ta có : a  a HM = HB − MB = a −  ÷ = 2 1 a 21 21a hay d ( SB , AD ) = + = + = ⇒ HK = 2 HK HM HS 3a a 3a 7 Bài 20: (HSG Bình Phước 2017-2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang với AB = AD = a , CD = 2a Biết hai mặt phẳng ( SAC ) ( SBD ) vng góc với mặt phẳng đáy, góc ( SBC ) mặt đáy 450 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng SD BC Lời giải Gọi O giao điểm AC BD Khi SO = ( SAC ) ∩ ( SBD ) Mặt khác, hai mặt phẳng ( SAC ) , ( SBD ) vng góc với mặt đáy nên SO ⊥ ( ABCD ) Gọi E trung điểm CD ⇒ ABED hình vng cạnh a Mặt khác BE ⊥ CD , BE = CD ⇒ ∆BCD vng cân B Do đó, BC ⊥ OB ⇒ BC ⊥ ( SOB ) ⇒ BC ⊥ SB · ⇒ ( ( SBC ) , ( ABCD ) ) = ( SB ,OB ) = SBO = 450 2 Ta có: BD = AD + AB = a OB AB 1 a 2a AB PCD ⇒ = = ⇒ OB = BD = ;OD = OD CD 3 a Ta có SO = OB tan 450 = Gọi F điểm đối xứng với B qua A ⇒ BCDF hình bình hành · · ⇒ BC PDF ; FDB = DBC = 900 14 Do d ( BC , SD ) = d ( B , ( SDF ) ) = d ( O , ( SDF ) ) OH ⊥ SD Trong mặt phẳng ( SOD ) dựng OH ⊥ SD Khi ta có:  OH ⊥ FD 1 ⇒ OH ⊥ ( SDF ) ⇒ d ( O , ( SDF ) ) = OH Ta có = + 2 OH SO DO a 2a 2a 10 3 SO.DO = = ⇒ OH = 2 15  a   2a  SO + DO  ÷ + ÷     a 10 ⇒ d ( BC , SD ) = Chú ý: Kẻ BI ⊥ SD ⇒ BI đoạn vng góc chung SD BC a a a 10 = Xét ∆SBD ta có BI SD = SO.BD ⇒ BI = a 10 Bài 21: (HSG Đà Nẵng 2017-2018) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh 4a , cạnh bên SA vng góc với đáy có độ dài a Gọi M , N trung điểm AB BC Tìm số đo góc tính khoảng cách hai đường thẳng SM AN Lời giải uuu r r uuur r uuur r Đặt AS = s , AB = b , AC = c rr rr rr Suy sb = sc = ; bc = 8a2 Tìm góc ϕ = ( SM ; AN ) , ta có: uuur uuur uuu r r r SM = AM − AS = b − 2s uuur uuur uuur r r AN = AB + AC = b + c 2 uuur uuur SM AN ⇒ cos ϕ = uuur uuur SM AN r2 r r r r r r b + bc − 2sb − 2sc ⇒ ϕ = 45° = = 2a2 + 4a2 2a ( ( ) ( ) ) 15 Tìm khoảng cách d hai đường thẳng SM AN : gọi E ∈ SM , FN uur uur uuur uuur uuur uuu r EF = ES + SA + AF = xSM + yAN − AS uuu r r x+yr yr b+ c Suy EF = ( −1 − x ) s + 2 EF đoạn vng góc chung SM AN  uuu r uuur x = − EF SM = uuu r  3x + 3y = −1 1r 1r 1r ⇔ ⇒ EF = − s − b + c ⇔  r uuur  uuu 6 EF AN = x + 2y = y =  1r r r 2 a  Suy d = EF =  − s − b + c ÷ = a = 6 3   Bài 22: (HSG Đồng Nai 2017-2018) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có mặt đáy ( ABCD ) hình chữ nhật Mặt bên ( SAB ) tam giác cân S mặt phẳng ( SAB ) vng góc với mặt phẳng ( ABCD ) Biết AB = 2a , BC = a góc tạo cạnh bên SC mặt đáy ( ABCD ) 45° Tính khoảng cách hai đường thẳng SA , BD Lời giải Gọi H trung điểm AB ⇒ SH ⊥ ( ABCD ) Trong ( ABCD ) qua A kẻ d song song với BD ⇒ BD || ( SA,d) Gọi E hình chiếu H lên d ⇒ ( SHE ) ⊥ ( SA,d) Gọi F hình chiếu H lên SE ⇒ HF ⊥ ( SA,d ) Vậy d ( BD , SA ) = d ( B , ( SA,d) ) = 2d ( H , ( SA,d) ) = 2HF a a , OA = OB = , 2 · HC = a Do SCH = 45° nên ∆SHC vuông cân H ⇒ SH = HC = a HE HA = Mà ∆EAH , ∆HBO đồng dạng nên: OH OB OH HA a a ⇒ HE = = a = Xét ∆SHE vuông H ta có: OB a 5 1 1 11 a 2a 22 = + = + = ⇒ HF = Vậy d ( SA, BD ) = 2 HF SH HE 2a a 2a 11 11 Gọi O tâm hình chữ nhật ta có: HA = a , OH = 16 Bài 23: (HSG Hà nam 2016-2017) · Cho hình hộp ABCD.A 'B 'C 'D ' có đáy ABCD hình thoi cạnh a, BAD = 600 , A 'A = A 'B = A 'D Cạnh bên AA ' hợp với mặt phẳng (ABCD ) góc 600 Tính theo a thể tích khối hộp ABCD.A 'B 'C 'D ' khoảng cách hai đường thẳng BC , AD ' Lời giải Gọi G trọng tâm ∆ABD ⇒ G tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABD (vì ∆ABD đều) Theo giả thiết A 'A = A 'B = A 'D ⇒ A 'G ⊥ (ABCD ) · ',(ABCD ) = A · 'AG = 600 AA ( ) ∆ABD cạnh a 3 ⇒ AG = AO = a 3 · 'AG = a ∆A 'AG vuông G ⇒ A 'G = AG tan A BC PAD ⇒ BC P( ADD 'A ') Ta có  AD ⊂ ADD ' A ' ( )  AD ' ⊂ ( ADD 'A ') ⇒ d ( BC , AD ' ) = d ( BC ,(ADD 'A') ) = d ( B ,(ADD 'A') ) Gọi BG ∩ AD = N (N trung điểm AD) BG ∩ ( ADD 'A ' ) = N  ⇒ d ( B ,(ADD 'A ') ) = 3d ( G ,(ADD 'A ') ) Vì  BN =  GN AD ⊥ GN ⇒ AD ⊥ (A 'GN ), AD ⊂ ( ADD 'A ') ⇒ ( A 'GN ) ⊥ ( ADD 'A ' ) Ta có  AD ⊥ A 'G ⇒ AO = a ( A 'GN ) ∩ ( ADD 'A ') = A 'N Trong mp ( A 'GN ) dựng GH ⊥ A 'N ⇒ d ( G , ( ADD 'A ') ) = GH suy GH ⊥ ( ADD 'A ' ) a a 13 a 117 ⇒ GH = ⇒ d ( BC , AD ' ) = 13 13 Bài 24: (HSG Hà Nam 2017-2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B Biết AB = SD = 3a , AD = SB = 4a , đường chéo AC vng góc với mặt phẳng ( SBD ) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng BD SA Có A 'G = a,GN = 17 Lời giải Ta có: AC ⊥ (SBD ) ⇒ (SBD ) ⊥ (ABCD ) (SBD ) ∩ (ABCD ) = BD Kẻ SH ⊥ BD H ⇒ SH ⊥ (ABCD ) BD = AB + AD = 5a Tam giác SBD vuông S nên: SB SD 12a SH = = Gọi K giao điểm BD AC BD AB AD 12a = Ta có AK BD = AB AD ⇔ AK = BD AB 15a = AK AC = AB ⇔ AC = AK Kẻ đường thẳng d qua A song song với BD Kẻ HE / / K A , E ∈d (SHE) ⊥ (SA,d); (SHE ) ∩ (SA,d) = SE Kẻ HF vng góc với SE F HF vng góc với ( SA,d ) BD/ / ( SA,d ) nên d ( BD ;SA ) = d ( BD; ( SA,d ) ) = d ( H ; ( SA,d ) ) = HF 1 25 25 25 = + = + = 2 2 HF SH HE 144a 144a 72a2 2a 2a HF = ⇒ d(BD , SA ) = 5 2.3.3.4 Bài tập tự luyện Một số toán trắc nghiệm khoảng cách Bài 25: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , a 17 , hình chiếu vng góc S lên ABCD trung điểm H SD = đoạn AB Gọi K trung điểm đoạn AD Tính khoảng cách hai đường thẳng HK SD theo a a a a a A B C D 25 45 15 Đáp án : đáp án D a 70 Bài 26: Cho hình chóp SABC có SC = , đáy ABC vng A , AB = 2a , AC = a hình chiếu vng góc S lên ABC trung điểm H đoạn AB Tính khoảng cách hai đường thẳng BC SA theo a 3a 4a a 2a A B C D 5 5 Đáp án : đáp án B Trong tam giác SHF ta có 18 Bài 27: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang vuông A B , với AB = BC = a , AD = 2a ( a > ) Các mặt bên ( SAC ) ( SBD ) vng góc với đáy Góc ( SAB ) ( ABCD ) 600 Tính khoảng cách CD SB 2a 2a a 3a A B C D 15 15 Đáp án : đáp án A Bài 28: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a , · ABC = 600 , SD = a Hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng ( ABCD ) điểm H thuộc đoạn BD thỏa mãn HD = 3HB Gọi M trung điểm cạnh SD Tính khoảng cách CM SB a a 30 a a A B C D 40 8 Đáp án : đáp án B Bài 29: Cho hình lăng trụ tam giác ABC A′B ′C ′ có độ dài cạnh đáy 2a ,góc mặt phẳng ( A′BC ) mặt phẳng đáy 600 Gọi M , N trung điểm cạnh BC CC ′ Tính khoảng cách hai đường thẳng A′M AN theo a 6a 97 4a 95 3a 15 3a 45 A B C D 97 95 Đáp án : đáp án A Bài 30: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật tâm O , AB = a , BC = a Tam giác ASO cân S , ( SAD ) ⊥ ( ABCD ) , góc SD ( ABCD ) 60° Tính khoảng cách hai đường thẳng SB AC 3a a 3a a A B C D 2 Đáp án : đáp án D 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Đối với học sinh: Trong trình dạy học nhắc nhở em phải nắm định nghĩa, phải biết cách sử dụng có hiệu định lí Khi giải toán khoảng cách cần trọng đến khâu vẽ hình, cần quan tâm đến tốn đặc biệt để từ có nhìn tổng thể tốn tính khoảng cách Do em biết tính khoảng cách từ điểm tới mặt, khoảng cách từ điểm tới đường thẳng, khoảng cách hai đường thẳng chéo 19 toán Các em học sinh có học lực giải tốn khó Trong kiểm tra chương III - Hình học 11 Nâng Cao năm học 20162017, lớp 11A2 có 93 % em đạt kết trung bình có 80% đạt kết giỏi, lớp 11A8 có 90 % em đạt kết trung bình có 78% đạt kết giỏi Trong kiểm tra chương III - Hình học 11 Nâng Cao năm học 2017-2018, lớp 11A6 có 95% em đạt kết trung bình có 82% đạt kết giỏi Bên cạnh kì thi học sinh giỏi cấp trường kì thi bồi dưỡng phần đa em tính tốn khoảng cách từ có kết cao kì thi - Đối với thân: Đã có tích lũy kiến thức phương pháp dạy học Tùy đối tượng học sinh, đối tượng có phương pháp khác Qua có phương pháp giảng dạy đạt hiệu rõ rệt - Đối với đồng nghiệp: Đề tài nguồn tham khảo hữu ích, nội dung, ý tưởng số ý kiến phân tích, lập luận tác giả trình trình bày ví dụ để hồn thiện ý tưởng, giáo án giảng dạy PHẦN KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT Kết luận: Hình học khơng gian vấn đề quan trọng thiếu đề thi đại học, cao đẳng, trung học chuyên nghiệp Đặc biệt đề thi ln có phần quan hệ vng góc ứng dụng để giải tốn liên quan Vì giúp học sinh có kĩ giải tốn hình học không gian nhiệm vụ quan trọng Các em học sinh muốn có kĩ giải tốt tốn quan hệ vng góc em phải nắm vững lí thuyết, dạng tốn phương pháp giải dạng tốn Trên số kinh nghiệm thân rút q trình dạy học tốn tính khoảng cách Bài tập hình học khơng gian tương đối khó phức tạp Thơng qua dạng tốn, phương pháp giải ví dụ hi vọng phần giúp em học sinh có kĩ giải tốn tính khoảng cách tiền đề để sau em giải tốt tốn tính thể tích Kiến nghị: Nhằm giúp học sinh học tốt phần quan hệ vng góc không gian kiến nghị: -Trong phân phối chương trình lớp 11 số tiết học đặc biệt số tiết luyện tập tơi kiến nghị tăng số tiết cho chương học - Trong q trình dạy học phần tơi đề nghị giáo viên nêu dạng toán phương giải dạng tốn đó, đặc biệt phải rèn luyện kĩ dựng hình cho học sinh Trong khn khổ hạn hẹp đề tài, với lực có hạn thân khơng tránh khỏi thiếu sót, mong góp ý, chia sẻ đồng nghiệp học sinh 20 Tôi xin cam đoan với Hội đồng khoa học nhà trường THPT Hậu Lộc 1, Hội đồng khoa học Sở GD&ĐT Thanh Hóa, Sáng kiến kinh nghiệm tơi viết từ kinh nghiệm giảng dạy thân, không chép từ tài liệu Tơi xin chịu hồn tồn trách nhiệm với lời cam đoan Trân trọng cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 20 2018 tháng năm Phạm Tiến Hùng 21 ... tổng thể tốn tính khoảng cách Do em biết tính khoảng cách từ điểm tới mặt, khoảng cách từ điểm tới đường thẳng, khoảng cách hai đường thẳng chéo 19 toán Các em học sinh có học lực giải tốn khó... trình dạy học tốn tính khoảng cách Bài tập hình học khơng gian tương đối khó phức tạp Thơng qua dạng tốn, phương pháp giải ví dụ hi vọng phần giúp em học sinh có kĩ giải tốn tính khoảng cách tiền... đưa cách giải toán phương pháp phù hợp 2.2 Thực trạng vấn đề Xuất phát từ việc dạy phân mơn hình học lớp 11 nâng cao, cụ thể tốn tính khoảng cách Đối với dạng toán mục tiêu học sinh biết cách