Kỡ I Cõu 5 : Cho tam giỏc ABC cõn ti A, ng trung tuyn AM. Gi I l trung im ca AC, K l im i xng vi M qua im I. a. T giỏc AMCK l hỡnh gỡ ? Vỡ sao ? b.T giỏc AKMB l hỡnh gỡ ? Vỡ sao ? c. Tỡm iu kin ca tam giỏc ABC t giỏc AMCK l hỡnh vuụng ?2. Câu 6: Cho hình bình hành ABCD có BC = 2AB. Gọi M, N thứ tự là trung điểm của BC và AD. Gọi P là giao điểm của AM với BN, Q là giao điểm của MD với CN . K là giao điểm BN với CD a. c/m MDKB là hình thang b. Tứ giác PMQN là hình gì? chứng minh ? c. Hình bình hành ABCD phải có thêm điều kiện gì để PMQN là hình vuông ? Câu 7: Cho hình thoi ABCD. Chứng minh các đờng chéo AC; BD là trục đối xứng của hình thoi. Cõu 8 : Cho hỡnh thoi ABCD, Gi O l giao im ca hai ng chộo. V ng thng qua B v song song vi AC, v ng thng qua C v song song vi BD, hai ng thng ú ct nhau K. a) T giỏc OBKC l hỡnh gỡ ? Vỡ sao ? b) Chng minh rng AB = OK. c) Tỡm iu kin ca hỡnh thoi ABCD t giỏc OBKC l hỡnh vuụng ? Cõu 9: Cho hình bình hành ABCD có BC = 2AB v 0 60 = A . Gi E, F theo th t l trung im ca BC, AD. a) T giỏc ECDF l hỡnh gỡ? Vỡ sao ? b) T giỏc ABED l hỡnh gỡ? Vỡ sao ? c) Tớnh s o ca gúc AED. Cõu 10/ Cho ABC. Gọi M,N lần lợt là trung điểm của BC,AC. Gọi H là điểm đối xứng của N qua M. a) C/m tứ giác BNCH và ABHN là hbh. b) ABC thỏa mãn điều kiện gì thì tứ giác BCNH là hình chữ nhật. Cõu 11/ Cho tứ giác ABCD. Gọi O là giao điểm của 2 đờng chéo ( không vuông góc),I và K lần lợt là trung điểm của BC và CD. Gọi M và N theo thứ tự là điểm đối xứng của điểm O qua tâm I và K. a) C/mrằng tứ giác BMND là hình bình hành. b) Với điều kiện nào của hai đờng chéo AC và BD thì tứ giác BMND là hình chữ nhật. c) Chứng minh 3 điểm M,C,N thẳng hàng. Cõu 12/ Cho hình bình hành ABCD. Gọi E và F lần lợt là trung điểm của AD và BC. Đờng chéo AC cắt các đoạn thẳng BE và DF theo thứ tự tại P và Q. a) C/m tứ giác BEDF là hình bình hành. b) Chứng minh AP = PQ = QC. c) Gọi R là trung điểm của BP. Chứng minh tứ giác ARQE là hình bình hành. Cõu 13/ Cho tứ giác ABCD. Gọi M,N,P,Q lần lợt là trung điểm của AB,BC,CD,DA. a) Tứ giác MNPQ là hình gì? Vì sao? b) Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để tứ giác MNPQ là hình vuông? c) Với điều kiện câu b) hãy tính tỉ số diện tích của tứ giác ABCD và MNPQ Cõu 14/ Cho ABC,các đờng cao BH và CK cắt nhau tại E. Qua B kẻ đờng thẳng Bx vuông góc với AB. Qua C kẻ đờng thẳng Cy vuông góc với AC. Hai đờng thẳng Bx và Cy cắt nhau tại D. a) C/m tứ giác BDCE là hình bình hành. b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh M cũng là trung điểm của ED. c) ABC phải thỏa mãn đ/kiện gì thì DE đi qua A Câu 15:Cho hình thoi ABCD có hai đương chéo AC và BD cắt nhau tại O. Qua O kẻ OM, ON, OP, OQ vuông góc với AB, BC, CD, DA lần lượt tại M, N, P, Q. a) Chứng minh: OM = ON = OP = OQ. b) Chứng minh ba điểm M, O, P thẳng hàng. c) Tứ giác MNPQ là hình gì? Vì sao? d) Nếu ABCD là hình vuông thì MNPQ là hình gì? Vì sao? Câu 16/Cho hình bình hành ABCD có AB=2AD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB,CD . Gọi CMR: a/ Tứ giác AMCN là hình bình hành b/ Tứ giác AMND là hình thoi c/ Gọi K là điểm đối xứng với điểm A qua D, Gọi Q là điểm đối xứng với điểm N qua D . Hỏi Tứ giác ANKQ là hình gì? Vì sao? d/ Hình bình hành ABCD có thêm điều kiện gì để tứ giác ABCN là hình thang cân Câu 17/ Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi E,F và D lần lượt là trung điểm của AB, BC, AC. Chứng minh: a) Tứ giác BCDE là hình thang cân. b) Tứ giác BEDF là hình bình hành c) Tứ giác ADFE là hình thoi d) 1 4 DEF ABC S S = Câu 18/Cho ∆ ABC vng tại A (AB < AC) , trung tuyến AM, đường cao AH. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA . 1. Tứ giác ABDC là hình gì ? Vì sao ? 2. Gọi I là điểm đối xứng của A qua BC. Chứng minh : BC // ID. 3. Chứng minh : Tứ giác BIDC là hình thang cân. 4. Vẻ HE ⊥ AB tại E , HF ⊥ AC tại F. Chứng minh : AM ⊥ EF. Câu 19/Cho ∆ ABC cân ở A. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. a) Chứng minh BCEF là hình thang cân, BDEF là hình bình hành. b) BE cắt CF ở G. Vẽ các điểm M ,N sao cho E là trung điểm của GN, F là trung điểm của GM.Chứng minh BCNM là hình chữ nhật , AMGN là hình thoi. c) Chứng minh AMBN là hình thang. Nếu AMBN là hình thang cân thì ∆ ABC có thêm đặc điểm gì? Câu 20/Cho tam giác ABC vng ở C. GọI M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và AB. GọI P là điểm đốI xứng của M qua điểm N a) Chứng minh tứ giác MBPA là hình bình hành b) Chứng minh tứ giác PACM là hình chữ nhật c) Đường thẳng CN cắt PB ở Q. Chứng minh : BQ = 2PQ d) Tam giác ABC cần có thêm điều kiện gì thì hình chữ nhật PACM là hình vng ? Hãy chứng minh ? Câu 21/Cho tam giác ABC vng tại A, D là trung điểm BC. Gọi M là điểm đới xứng của D qua AB, E là giao điểm của DM và AB. Gọi N là điểm đới xứng của D qua AC, F là giao điểm của DN và AC. a) Tứ giác AEDF là hình gì? Vì sao? b) Tứ giác ADBM là hình gì? Vì sao? c) Chứng minh M đới xứng với N qua A d) Tam giác vng ABC có điều kiện gì thì tứ giác AEDF là hình vng? Câu 22/Cho ∆ ABC cân tại A . Gọi M là điểm bất kỳ thuộc cạnh đáy BC . Từ M kẻ ME // AB ( E ∈ AC ) và MD // AC ( D ∈ AB ) a) Chứng minh ADME là Hình bình hành b) Chứng minh ∆ MEC cân và MD + ME = AC c) DE cắt AM tại N. Từ M vẻ MF // DE ( F ∈ AC ) ; NF cắt ME tại G . Chứng minh G là trọng tâm của ∆ AMF d) Xác đònh vò trí của M trên cạnh BC để ADME là hình thoi Câu 23/Cho hình bình hành ABCD có AB=2AD . Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. a) Chứng minh tứ giác EBFD là hình bình hành b) Tứ giác AEFD là hình gì? Vì sao? c) Gọi M là giao điểm của AF và DE ; N là giao điểm của BF và CE . Câu 24/Chứng minh bốn đường thẳng AC, EF, MN, BD đồng qui Cho hình bình hành ABCD, Evà F lần lượt là trung điểm của AB, CD. Gọi M, N lần lượt là giao điểm của AF, CE với BD. a) Chứng minh : Tứ giác AECF là hình bình hành. b) Chứng minh : DM=MN=NB. c) Chứng minh : MENF là hình bình hành. d) AN cắt BC ở I, CM cắt AD ở J. Chứng minh IJ, MN, EF đồng quy. KÌ II 1/ Cho h×nh b×nh hµnh ABCD cã BC = 2AB vµ gãc A = 60 0 . Gäi E,F theo thø tù lµ trung ®IĨm cđa BC vµ AD. a)Tø gi¸c ECDF lµ h×nh g×? b)Tø gi¸c ABED lµ h×nh g×? V× sao ? c)TÝnh sè ®o cđa gãc AED. 2/ Cho ∆ABC. Gäi M,N lÇn lỵt lµ trung ®iĨm cđa BC,AC. Gäi H lµ ®iĨm ®èi xøng cđa N qua M. a) C/m tø gi¸c BNCH vµ ABHN lµ hbh. b) ∆ABC tháa m·n ®iỊu kiƯn g× th× tø gi¸c BCNH lµ h×nh ch÷ nhËt. 3/ Cho tø gi¸c ABCD. Gäi O lµ giao ®iĨm cđa 2 ®êng chÐo ( kh«ng vu«ng gãc),I vµ K lÇn lỵt lµ trung ®iĨm cđa BC vµ CD. Gäi M vµ N theo thø tù lµ ®iĨm ®èi xøng cđa ®iĨm O qua t©m I vµ K. a) C/mr»ng tø gi¸c BMND lµ h×nh b×nh hµnh. b) Víi ®iỊu kiƯn nµo cđa hai ®êng chÐo AC vµ BD th× tø gi¸c BMND lµ h×nh ch÷ nhËt. c) Chøng minh 3 ®iĨm M,C,N th¼ng hµng. 4/ Cho h×nh b×nh hµnh ABCD. Gäi E vµ F lÇn lỵt lµ trung ®iĨm cđa AD vµ BC. §êng chÐo AC c¾t c¸c ®o¹n th¼ng BE vµ DF theo thø tù t¹i P vµ Q. a) C/m tø gi¸c BEDF lµ h×nh b×nh hµnh. b) Chøng minh AP = PQ = QC. c) Gäi R lµ trung ®iĨm cđa BP. Chøng minh tø gi¸c ARQE lµ h×nh b×nh hµnh. 5/ Cho tø gi¸c ABCD. Gäi M,N,P,Q lÇn lỵt lµ trung ®iĨm cđa AB,BC,CD,DA. a) Tø gi¸c MNPQ lµ h×nh g×? V× sao? b) Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để tứ giác MNPQ là hình vuông? c) Với điều kiện câu b) hãy tính tỉ số diện tích của tứ giác ABCD và MNPQ 6/ Cho ABC,các đờng cao BH và CK cắt nhau tại E. Qua B kẻ đờng thẳng Bx vuông góc với AB. Qua C kẻ đờng thẳng Cy vuông góc với AC. Hai đờng thẳng Bx và Cy cắt nhau tại D. a) C/m tứ giác BDCE là hình bình hành. b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh M cũng là trung điểm của ED. c) ABC phải thỏa mãn đ/kiện gì thì DE đi qua A 7/ Cho hình thang cân ABCD (AB//CD),E là trung điểm của AB. a) C/m EDC cân b) Gọi I,K,M theo thứ tự là trung điểm của BC,CD,DA. Tg EIKM là hình gì? Vì sao? c) Tính S ABCD ,S EIKM biết EK = 4,IM = 6. 8/ Cho hình bình hành ABCD. E,F lần lợt là trung điểm của AB và CD. a) Tứ giác DEBF là hình gì? Vì sao? b) C/m 3 đờng thẳng AC,BD,EF đồng qui. c) Gọi giao điểm của AC với DE và BF theo thứ tự là M và N. Chứng minh tứ giác EMFN là hình bình hành. d) Tính S EMFN khi biết AC = a,BC = b. 9.Cho hình thang ABCD (AB//CD) ,một đờng thẳng song song với 2 đáy, cắt các cạnh AD,BC ở M và N sao cho MD = 2MA. a.Tính tỉ số . b.Cho AB = 8cm, CD = 17cm.Tính MN? 10.Cho hình thang ABCD(AB//CD).M là trung điểm của CD.Gọi I là giao điểm của AM và BD, gọi K là giao điểm của BM và AC. a.Chứng minh IK // AB b.Đờng thẳng IK cắt AD, BC theo thứ tự ở E và F.Chứng minh: EI = IK = KF. 11.Tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 12cm, BC = 9cm.Gọi I là giao điểm của các đờng phân giác , G là trọng tâm của tam giác. a.Chứng minh: IG//BC b.Tính độ dài IG 12.Cho hình thoi ABCD.Qua C kẻ đờng thẳng d cắt các tia đối của tia BA và CA theo thứ tự E, F.Chứng minh: a. b. c. =120 0 ( I là giao điểm của DE và BF) 13 Cho tam giác ABC và các đờng cao BD, CE. a,Chứng minh: b.Tính biết = 48 0 . 14.Cho tam giác ABC vuông ở A, đờng cao AH, BC = 20cm, AH = 8cm.Gọi D là hình chiếu của H trên AC, E là hình chiếu của H trên AB. a.Chứng minh tam giác ADE đồng dạng với tam giác ABC. b.Tính diện tích tam giác ADE 15.Cho tam giác ABC vuông ở A, AB = 15cm, AC = 20cm, đờng phân giác BD. a.Tính độ dài AD? b.Gọi H là hình chiếu của A trên BC. Tính độ dài AH, HB? c.Chứng minh tam giác AID là tam giác cân. 16.Tam giác ABC cân tại A, BC = 120cm, AB = 100cm.Các đờng cao AD và BE gặp nhau ở H. a.Tìm các tam giác đồng dạng với tam giác BDH. b.Tính độ dài HD, BH c.Tính độ dài HE 17.Cho tam giác ABC, các đờng cao BD, CE cắt nhau ở H.Gọi K là hình chiếu của H trên BC.Chứng minh rằng: a.BH.BD = BK.BC b.CH.CE = CK.CB 18.Cho hình thang cân MNPQ(MN //PQ, MN < PQ),NP = 15cm,đờng caoNI = 12cm,QI = 16 cm. a) Tính IP. b) Chứng minh: QN NP. c) Tính diện tích hình thang MNPQ. d) Gọi E là trung điểm của PQ. Đờng thẳng vuông góc với EN tại N cắt đờng thẳng PQ tại K. Chứng minh: KN 2 = KP . KQ 19.Cho tam giác ABC vuông tạo A; AB = 15cm, AC = 20cm, đờng cao AH. a) Chứng minh: HBA đồng dạng với ABC. b) Tính BC, AH. c) Gọi D là điểm đối xứng với B qua H. Vẽ hình bình hành ADCE. Tứ giác ABCE là hình gì? Tại sao? d) Tính AE. e) Tính diện tích tứ giác ABCE. 20.Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), đờng cao AH. Từ B kẻ tia Bx AB, tia Bx cắt tia AH tại K. a) Tứ giác ABKC là hình gì ? Tại sao? b) Chứng minh: ABK đồng dạng với CHA. Từ đó suy ra: AB . AC = AK . CH c) Chứng minh: AH 2 = HB . HC d) Giả sử BH = 9cm, HC = 16cm. Tính AB, AH. 21.Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Đờng cao AF, BE cắt nhau tại H. Từ A kẻ tia Ax vuông góc với AC, từ B kẻ tia By vuông góc với BC. Tia Ax và By cắt nhau tại K. a) Tứ giác AHBK là hình gì? Tại sao? b) Chứng minh: HAE đồng dạng với HBF. c) Chứng minh: CE . CA = CF . CB d) ABC cần thêm điều kiện gì để tứ giác AHBK là hình thoi. 22.Cho tam giác ABC, AB = 4cm, AC = 5cm. Từ trung điểm M của AB vẽ một tia Mx cắt AC tại N sao cho gócAMN = gócACB. a) Chứng minh: ABC đồng dạng với ANM. A C B A' B' C' b) Tính NC. c) Từ C kẻ một đờng thẳng song song với AB cắt MN tại K. Tính tỉ số MK MN . 23.Cho ABC có AB = 4cm, AC = 5cm, BC = 6cm. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = 5cm. a) Chứng minh: ABC đồng dạng với CBD. b) Tính CD. c) Chứng minh: gócBAC = 2.gócACD 24.Cho tam giác vuông ABC (gócA = 90 o ), đờng cao AH. Biết BH = 4cm, CH = 9cm. a) Chứng minh: AB 2 = BH . BC b) Tính AB, AC. c) Đờng phân giác BD cắt AH tại E (D AC). Tính DBA EBH S S và chứng minh: DA DC EH EA = . 25.Cho hình bình hành ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm F. Tia AF cắt BD và DC lần lợt ở E và G. Chứng minh: a) BEF đồng dạng với DEA; DGE đồng dạng với BAE. b) AE 2 = EF . EG c) BF . DG không đổi khi F thay đổi trên cạnh BC. 26.Cho ABC, vẽ đờng thẳng song song với BC cắt AB ở D và cắt AC ở E. Qua C kẻ tia Cx song song với AB cắt DE ở G. a) Chứng minh: ABC đồng dạng với CEG. b) Chứng minh: DA . EG = DB . DE c) Gọi H là giao điểm của AC và BG. Chứng minh: HC 2 = HE . HA 27.Cho ABC cân tại A (góc A < 90 o ). Các đờng cao AD và CE cắt nhau tại H. a) Chứng minh: BEC đồng dạng với BDA. b) Chứng minh: DHC đồng dạng với DCA. Từ đó suy ra: DC 2 = DH . DA c) Cho AB = 10cm, AE = 8cm. Tính EC, HC. 28.Quan sát lăng trụ đứng tam giác (hình 1) rồi điền số thích hợp vào ô trống trong bảng sau: a (cm) 6 10 b (cm) 3 c (cm) 5 7 h (cm) 8 Chu vi đáy (cm) 22 S xq (cm 2 ) 88 29.Hình lăng trụ đứng ABC.ABC có hai đáy ABC và ABC là các tam giác vuông tại A và A (hình 2). Tính S xq và thể tích của hình lăng trụ. Biết: AB = 9cm, BC = 15cm, AA = 10cm. a h b c Hình 1 . MDKB là hình thang b. Tứ giác PMQN là hình gì? chứng minh ? c. Hình bình hành ABCD phải có thêm điều kiện gì để PMQN là hình vuông ? Câu 7: Cho hình thoi. (cm) 5 7 h (cm) 8 Chu vi đáy (cm) 22 S xq (cm 2 ) 88 29 .Hình lăng trụ đứng ABC.ABC có hai đáy ABC và ABC là các tam giác vuông tại A và A (hình 2). Tính