1 Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài Trong Toán học , khái niệm giá trị tuyệt đối khái niệm đơn giản phạm trù kiến thức hẹp Song học sinh cấp trung học sở, đặc biệt học sinh lớp thực vấn đề phức tạp, tương đối trừu tượng Thế đóng vai trò quan trọng q trình giải toán phức tạp sau Khi gặp tốn có chứa dấu giá trị tuyệt đối, khơng học sinh lúng túng, khơng biết phải đâu để giải tốn Điều dễ hiểu học phần lý thuyết song số tập để củng cố, để khắc sâu , để bao quát hết dạng tốn lại khơng nhiều, khơng có sức thuyết phục để lôi kéo hăng say học tập học sinh Khi dạy học mơn Tốn lớp 7, tơi nhận thấy học sinh nhiều vướng mắc giải tốn "Tìm x đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối" Đa số học sinh giải thiếu lơ gíc, chặt chẽ, thiếu trường hợp Lí em làm tốn tìm x dạng A(x) = B(x) chưa tốt, vận dụng tính chất, định nghĩa giá trị tuyệt đối chưa chắn Các em chua phân biệt dạng toán áp dụng tương tự vào toán khác Mặt khác nội dung kiến thức lớp 6; dạng toán để áp dụng hạn chế nên khơng thể đưa đầy đủ phương pháp giải cách có hệ thống phong phú Mặc dù chương trình sách giáo khoa xếp hệ thống lơ gíc sách cũ nhiều, có lợi dạy học đặt vấn đề dạng tốn tìm x đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Trong trình giảng dạy mơn Tốn lớp 7, thân tơi hiểu tâm lí học sinh em gặp phải tốn có chứa giá trị tuyệt đối Điều thứ em lo sợ, ức chế, khơng có hứng thú giải quết vấn đề Điều thứ hai em thường mắc phải sai lầm Chính vậy, để giúp em học sinh khắc phục khó khăn giải tốn tìm x đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối tơi định sâu nghiên cứu tìm hiểu đề tài : "Hướng dẫn học sinh lớp giải tốn Tìm x đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối." Đồng thời thông qua giúp em từ tốn ta biết nhiều tốn khác phát triển thành nhiều thể loại với khía cạnh khác để học sinh tự tin làm toán, đồng thời có kĩ trình bày giải chặt chẽ hơn, có ý thức tìm tòi, sử dụng phương pháp giả nhanh gọn, hợp lí 1.2 Mục đích nghiên cứu đề tài Với đề tài "Hướng dẫn học sinh lớp giải tốn Tìm x đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối." Mục đích mà tơi định nghiên cứu đề tài thực tế giảng dạy cho học sinh đến loại tốn học sinh lúng túng Vậy làm để học sinh giải loại tốn này? Đây vấn đề mà giáo viên cần giải Cũng lí mà tơi trăn trở suy nghĩ để tìm phương pháp tốt giúp học sinh hứng thú học dạng toán Qua dạng tốn học sinh phân loại rõ ràng để từ tìm cách giải nhanh nhất, đạt hiệu cao Qua học sinh khắc sâu kiến thức học, vận dụng kiến thức học giải toán cách thành thạo Cũng từ phát triển tư lơgíc cho học sinh, phát triển lực giải toán cho học sinh, giúp cho giải em xác hơn, khoa học 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài "Hướng dẫn học sinh lớp giải toán Tìm x đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối" tập trung nghiên cứu chủ yếu em học sinh lớp 7A, 7B trường THCS Quảng Lợi 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu nghiên cứu tài liệu bồi dưỡng, sách giáo khoa, sách tham khảo - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm lớp học sinh trước để rút kinh nghiệm cho lớp học sinh sau Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận: Chương trình học lớp nhẹ nhàng, học sinh tìm hiểu tới khái niệm số tính chất đơn giản giá trị tuyệt đối Học sinh chưa học quy tắc giải phương trình, bất phương trình phép biến đổi tương đương Chính học sinh gặp nhiều khó khăn giải tốn tìm x đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối, hiểu nắm vững kiến thức giúp em thuận lợi trình học tập */Những kiến thức liên quan đến tốn tìm x đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Yêu cầu học sinh nắm vững ghi nhớ kiến thức cần thiết để giải tập tìm x đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối, điều khó khăn dạy học sinh lớp vấn đề học sinh chưa học phương trình, phép biến đổi tương đương, đẳng thức, nên có phương pháp dễ xây dựng chưa thể hướng dẫn học sinh được, học sinh cần nắm vững kiến thức sau: a Quy tắc bỏ dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế b Tìm x đẳng thức: Thực phép tính, chuyển vế đưa dạng a = b => x =  b a c- Định lí tính chất giá trị tuyệt đối  A A 0 | A |   A A  |A| = |-A| |A|  d Định lí dấu nhị thức bậc nhất: " Trái khác, phải cùng' Cho nhị thức: f(x) = ax + b ( a �0) b b ( x nằm bên phải - ) a a b b f(x) khác dấu với a x < - ( x nằm bên trái - ) a a f(x) dấu với a x > - 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Với học sinh lớp việc giải dạng tốn: " Tìm x đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối." gặp nhiều khó khăn học sinh chưa học quy tắc giải phương trình, phép biến đổi tương đương Chính mà gặp dạng toán học sinh thường ngại làm, lúng túng khơng tìm hướng giải giải thường hay mắc sai lầm Nên học Tốn nói chung, đặc biệt gặp dạng toán em làm ít, hặc làm thường mắc sai lầm sau: Ví dụ 1: Tìm x, biết: x  2 [3] Học sinh chưa nắm đẳng thức ln xảy ( > 0) mà xét hai trường hợp: x -3  x - < 0, giải hai trường hợp tương ứng Cách làm chưa gọn Ví dụ 2: Tìm x, biết: x  -5 = [3] Nhiều học sinh chưa nhanh chóng đưa dạng để giải mà xét hai trường hợp ví dụ Ví dụ 3: Tìm x, biết: x  -x = (1) Học sinh làm sau: Nếu x -  => x - - x = Nếu x - < => - x - x = Với cách giải xét điều kiện x - Có số em thực hiện: Từ (1) suy ra: x  = x + => x - = x + x-1=-x-2 Trong trường hợp em mắc sai lầm chỗ không xét điều kiện x + Như vậy, làm em chưa kết hợp chặt chẽ điều kiện làm chưa gọn Với học sinh trường Trung học sở Quảng Lợi, đa số em gia đình làm nơng, ngư nghiệp bố mẹ làm ăn xa để nhà với ông bà, nên việc học em ít, khơng có người đơn đốc việc học nhà, việc phối hợp giáo viên và phụ huynh gặp nhiều khó khăn Là giáo viên phụ trách mơn Tốn 7, tơi ln có ý thức rèn luyện phẩm chất đạo đức nghề nghiệp, nâng cao trình độ chuyên môn, thường xuyên học hỏi kinh nghiệm đồng nghiệp, tích luỹ kiến thức qua tham khảo tài liệu, sách giáo khoa, sách giáo viên,… để tìm phương pháp phù hợp với đặc trưng dạng toán, học Trước áp dụng đề tài khảo sát điều tra thực tế lớp giảng dạy: Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém Lớp SS SL % SL % SL % SL % SL % 7A 35 20 10 28.6 13 37.1 14.3 0.0 7B 34 0.0 11.8 16 47.1 26.5 14.6 Qua khảo sát chất lượng không khỏi băn khoăn với chất lượng học sinh, chất lượng học sinh yếu nhiều nguyên nhân Một nguyên nhân học sinh tâm lí ngại học chưa biết cách học, chưa đọc kĩ đề trước làm tập chưa vận dụng lí thuyết tập Đặc biệt, dạng tốn “ Tìm x đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối.” học sinh thực lúng túng nhầm lẫn Tơi thấy học sinh lúng túng phương pháp giải, chưa nắm vững phương pháp giải dạng bài, trình giải chưa chặt chẽ, chưa kết hợp kết tìm với điều kiện xảy ra, chưa lựa chọn phương pháp giải nhanh, hợp lí Trước tình hình học sinh, vấn đề đặt cho làm để nâng cao chất lượng học sinh mơn Tốn nói chung từ thực trạng tơi định nghiên cứu đề tài kinh nghiệm: “ Hướng dẫn học sinh lớp giải tốn Tìm x đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối.” Bởi dạng tốn học sinh tiếp xúc nên gặp nhiều khó khăn giải 2.3.Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Phương pháp giải cách tìm phương pháp giải Phương pháp giải dạng tốn "Tìm x đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối": Phương pháp 1: Sử dụng tính chất: A =  A A �0 để giải dạng A =  A A( x) = |B(x)| |A(x)| = B(x) Phương pháp 2: Xét khoảng giá trị biến (dựa vào định nghĩa) để bỏ dấu giá trị tuyệt đối, thường sử dụng để giải dạng |A(x)| = B(x) hay |A(x)|=| B(x)|+C ( phương pháp nhất, chung để giải loại toán này) Phương pháp 3: Lập bảng xét dấu biểu thức dấu giá trị tuyệt đối để xét trường hợp xảy ra, áp dụng đẳng thức chứa từ hai dấu giá trị tuyệt đối trở lên Cách tìm phương pháp giải: Cốt lõi đường lối giải tập tìm x đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối , tìm cách bỏ dấu giá trị tuyệt đối + Trước hết phải hướng dẫn học sinh xác định dạng có rơi vào dạng đặc biệt khơng? Nếu dạng đặc biệt |A|=B (B0) hay |A|=|B| áp dụng tính chất giá trị tuyệt đối( giải cách đặc biệt- phương pháp 1), không cần xét tới điều kiện biến + Khi xác định dạng cụ thể, nghĩ cách làm nhanh gọn để lựa chọn 2.3.2 Những toán cụ thể hướng dẫn học sinh thực giải Dạng 1: Dạng bản: |A(x)| =B víi B * Cách tìm phương pháp giải: Đẳng thức có xảy khơng? Vì sao? Nếu đẳng thức xảy cần áp dụng kiến thức để bỏ dấu giá trị tuyệt đối ( áp dụng tính chất giá trị tuyệt đối hai số đối nhau) * Phương pháp giải Ta xét A(x) = B A(x) = -B, giải hai trường hợp Bài 1: Tìm x biết: |x- 5| = [2] Cần áp dụng kiến thức để giải, để bỏ dấu giá trị tuyệt đối (áp dụng tính chất giá trị tuyệt đối hai số đối nhau) Bài giải |x-5| = => x - = ; x - = -3 + x - = => x = + x - = -3 => x = Vậy x = x = Từ ví dụ đơn giản, phát triển đưa ví dụ khó dần Bài 2: Tìm x biết: 3|9-2x| -17 = 16 Với đặt câu hỏi: “Làm để đưa dạng học?” Từ học sinh phải biến đổi để đưa dạng |9-2x|=11 Bài giải 3|9-2x| -17 = 16 =>3|9-2x| = 33 => |9-2x| = 11 => 9-2x = 11 - 2x = -11 + 9- 2x = 11 => 2x = -2 => x = -1 + 9-2x = -11 => 2x = 20 => x= 10 Vậy x= -1 x = 10 Dạng 2: Dạng |A(x)| = B(x) ( B(x) biểu thức chứa biến x) * Cách tìm phương pháp giải: Cũng đặt câu hỏi gợi mở trên, học sinh thấy đẳng thức không xảy Nếu B(x) < => Cần áp dụng kiến thức để dựa vào dạng để suy luận tìm cách giải khơng? Có thể tìm cách? * Phương pháp giải: C¸ch 1: Ta thấy B(x) < khơng có giá trị x thỏa mãn giá trị tuyệt đối số không âm Do ta giải sau: |A(x) |= B(x) (1) Với điều kiện B(x) 0 ta có (1) => A(x) = B(x) A(x) = - B(x)( giải trường hợp với điều kiện B(x) 0) C¸ch 2: Chia khoảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối: [2] - Nếu a  => |a |= a - Nếu a < => |a |=- a Ta giải sau: |A(x) |= B(x) (1) + Nếu A(x)  (1) trở thành A(x) = B(x) (Đối chiếu giá trị x tìm với điều kiện) + Nếu A(x) < (1) trở thành -A(x) = B(x) (Đối chiếu giá trị x tìm với điều kiện) Lưu ý: Qua hai dạng cho học sinh phân biệt rõ giống (đều chứa dấu giá trị tuyệt đối) Nhấn mạnh cho học sinh thấy rõ phương pháp giải loại đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối, đưa dạng |A | = b (Nếu b0 dạng đặc biệt Nếu b< đẳng thức khơng xảy Nếu b biểu thức chứa biến x giải cách 1) ta xét trường xảy biểu thức giá trị tuyệt đối Bài tập: Bài 1: Tìm x biết: |9-7x| = 5x -3 [6] Cách 1: Với 5x - ≥0=> 5x  => x ta có 9-7x = 5x -3 - 7x =-(5x-3) + Nếu 9-7x = 5x- => 12x = 12 => x= 1(thoả mãn) + Nếu 9-7x = -(5x-3) => 2x = => x = 3(thoả mãn) Vậy x= x= Cách 2: ta có - 7x = 5x - => x =1(thoả mãn) + Xét 9- 7x 7x>9 => x> ta có -9 + 7x = 5x - => x =3(thoả mãn) + Xét 9- 7x 0 => 7x≤ => x≤ Vậy x = x = Bài 2: Tìm x biết |x- 5| - x= Cách 1: | x - 5| - x = =>|x - 5| = + x Với + x  => x  - ta có x- = + x x - = -(3+x) + Nếu x - = + x => 0x = 8( loại) + Nếu x - = -3 - x => 2x = => x = thoả mãn Vậy x = Cách 2: | x - 5| - x = Xét x - 50 => x ta có x - - x = => 0x = (loại) Xét x - < => x < ta có -x + - x = => -2x = -2 => x = thoả mãn Vậy x = Dạng 3: |A(x)| = |B(x)| hay |A(x)| - |B(x)| = [1] * Cách tìm phương pháp giải: Trước hết đặt vấn đề để học sinh thấy dạng đặc biệt( đẳng thức xảy vế khơng âm), từ em tìm tòi hướng giải Cần áp dụng kiến thức giá trị tuyệt đối để bỏ dấu giá trị tuyệt đối cần tìm phương pháp giải ngắn gọn Có hai cách giải: Xét trường hợp xảy A(x) B(x)(dựa theo định nghĩa) cách giải dựa vào tính chất số đối có giá trị tuyệt đối để suy A(x)=B(x); A(x) =B(x)( hai vế khơng âm |A(x)|≥ |B(x)|≥ 0) Để học sinh lựa chọn cách giải nhanh, gọn, hợp lớ em có ý thức tìm tòi giải tốn ghi nhớ * Phương pháp giải: Cách 1: Xét trường hợp xảy A(x) B(x) để phá giá trị tuyệt đối Cách 2: Dựa vào tính chất hai số đối có giá trị tuyệt đối ta tìm x thoả mãn hai điều kiện A(x) = B(x) A(x) = -B(x) Bài tập: Bài 1: Tìm x biết |x+3| =|5-x| [2] |x+3| =|5-x|  x  5  x  x 2  x 1       =>x=1  x   x   x  0 x  Vậy x = Bài 2: Tìm x biết: |x-3| + |x+2| =7 [2] Bước 1: Lập bảng xét dấu: Trước hết cần xác định nghiệm nhị thức : x - = => x = ; x + = => x = -2 Trên bảng xét dấu xếp theo thứ tự giá trị x phải từ nhỏ đến lớn Ta có bảng sau: x -2 x-3 + x+2 + + Bước 2: Dựa vào bảng xét dấu trường hợp xảy theo khoảng giá trị biến Khi xét trương hợp xảy không bỏ qua điều kiện để A0 mà kết hợp với điều kiện để A0 (ví dụ xét khoảng -  x 3) Cụ thể: Dựa vào bảng xét dấu ta có trường hợp sau:  Nếu x- ta có x- 30 x  20 nên x- 3 3- x x + 2= -x - Đẳng thức trở thành: 3- x - x -2 = -2x + = -2x = x = -3 ( thoả mãn x-2) + Nếu x3 ta có x- 3= 3- x x+ 2= x + Đẳng thức trở thành: 3- x + x +2 = 0x + = (vơ lí) +Nếu x 3 đẳng thức trở thành: x- + x + = 2x - = 2x = x = (thoả mãn x 3) Vậy x = -3 ; x = Lưu ý: Qua cách giải cho học sinh so sánh để thấy lợi cách giải cách giải thao tác giải nhanh hơn, dễ dàng xét dấu khoảng giá trị hơn, dạng chứa 3; dấu giá trị tuyệt đối (để nên ý thức lựa chọn phương pháp giải) Bài 3: Tìm x biết:  x-1 -2 x-2 +3 x-3 = Nếu giải cách phải xét nhiều trường hợp xảy ra, dài nhiều thời gian Còn giải cách nhanh gọn nhiều, dựa vào bảng xét dấu ta thấy có trường hợp xảy Mặt khác, với cách giải ( lập bảng xét dấu ) xẽ dễ mắc sai sót dấu lập bảng, nên xét dấu biểu thức dấu giá trị tuyệt đối cần phải lưu ý tuân theo qui tắc lập bảng Một điều cần lưu ý cho học sinh kết hợp trường hợp  xét trường hợp xảy để thỏa mãn biểu thức  ( đưa ví dụ cụ thể để khắc phục cho học sinh ) Bài : Tìm x biết  x-4  +  x-9  =5 Lập bảng xét dấu x x-4 + + x-9 + Xét trường hợp xảy ra, với x  đẳng thức trở thành : x - + x-9 =5 x=9 thỏa mãn x  9, Vậy Nếu không kết hợp với x= để x-9=0 mà xét tới x  để x-9  bỏ qua giá trị x=9 Dạng 4: |A(x)| + |B(x)| =0 * Cách tìm phương pháp giải: Với dạng yêu cầu học sinh nhắc lại kiến thức đặc điểm giá trị tuyệt đối số (giá trị tuyệt đối số số không âm).Vậy tổng hai số không âm không nào?(cả hai số 0) Vậy tổng nào? (A(x) = B(x) =0) Từ ta tìm x thoả mãn hai điều kiện: A(x) = B(x) = * Cách giải: Ta tìm x thoả mãn hai điều kiện A(x) = B(x) = Bài tập: Bài 1: Tìm x biết: [6] a) |x+3|+|x2+x| =0 b)|x2-3x| +|(x+1)(x-3)|=0 Bài giải: a) |x+1| +|x +x| = => |x+1| = |x2+x| =0 + Xét |x+ 1| = => x+1 = => x= -1 (*) + Xét |x2+x|= => x2+ x = => x(x+1) = => x = x+ = => x = x = -1 (**) Từ (*) (**) suy x = -1 b) |x -3x| +|(x+1)(x-3)|=0 => |x2-3x| = |(x+1)(x-3)| =0 => x2- 3x = (x+1)(x-3)| = + Xét x2- 3x = => x(x-3) = => x = x = (*) + Xét (x+1)(x-3) = => x+1 = x-3 = => x= -1 x = (**) Từ (*) (**) ta x = Lưu ý: dạng lưu ý cho học sinh phải kết luận giá trị tìm giá trị phải thoả mãn hai đẳng thức |A(x)| = |B(x)| = Dạng 5: Dạng mở rộng: Từ dạng đưa dạng tập mở rộng khác loại toán này: Dạng sử dụng BĐT giá trí tuyệt đối, tìm x để biểu thức đạt giá trị lớn nhất, nhỏ - Dạng sử dụng BĐT giá trị tuyệt đối + Phương pháp giải: |A|+|B| ≥ |A+B| A, B dấu “=” xảy A.B ≥ |A|-|B| ≤ |A-B| A,B dấu “=” xảy ≤ B ≤ A Bài tập: Bài 1: Tìm x biết: [4] 10 a Tìm x nguyên biết: |x-1|+|x-3|+|x-5|+|x-7|=8 b Tìm x biết: |x-2010|+|x-2012|+|2014|=2 Bài giải: a Ta có |x-1|+|x-3|+|x-5|+|x-7| ≥ |x-1+7-x|+|x-3+5-x|=8 (1) Mà |x-1|+|x-3|+|x-5|+|x-7|=8 suy ra(1) xảy dấu “=” �x �7 � hay � �3 �x �5 � x x nguyên nên x � 3; 4;5 b Ta có |x-2010| + |x-2012| + |x-2014|≥ |x - 2010 + 2014 - x| + |x-2012| ≥ (*) mà |x-2010| + |x-2012| + |x-2014| = nên (*) xảy dấu "=" �x  2012  � x  2012 2010 �x �2014 � suy ra: � Ngoài ta sử dụng cách lập bảng xét dấu để bỏ giá trị tuyệt đối + Phương pháp giải: Với dạng học sinh nên xét khoảng giá trị, lập bảng xét dấu khử dấu giá trị tuyệt đối Bài tập Tìm x biết:  x-1 -2 x-2 +3 x-3 = (1) [4] Bài giải Xét x- = => x = 1; x - = => x = 2; x - = => x = Ta có bảng xét dấu đa thức x - 1; x-2; x-3 sau: x + + + x-1 + + x-2 + x-3 * Xét: x ≤ (1)=> 1- x - 2(2 - x) + 3( - x) = - x - + 2x + - 3x = => x =1(Thỏa món) * Xét < x ≤ 2: (1) => x - - 2(2 - x) + 3(3 - x) = => x - - + 2x + - 3x = => 0x = 0(Thỏa món) => < x ≤ * Xét < x ≤ 3(1) => x - - 2(x - 2)+ 3(3 - x) = => x-1 - 2x + + 3x = => x = 2( loại) * Xét x > (1) => x - - 2(x - 2) + 3(x - 3) = => x - - 2x + + 3x = => x = (Thỏa món) Vậy: ≤ x ≤ x =5 - Dạng tìm x để biểu thức đạt giá trị lớn nhất, nhỏ 11 Bài tập: Bài 1: Tìm x để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ [2] a) A = |x - 2011| + |x - 2012| b) B = |x- 2010| + | x - 2011| + |x - 2012| Bài giải a) Ta có A=|x-2011| + |x-2012| ≥ |x-2011+2012-x| =1 với x suy A≥1mọi x Vậy Min A = (x-2011)(x-2012)≥0 2011 9 => x> ta có -9 + 7x = 5x - => x =3(thoả mãn) + X t 9- 7x 0 => 7x => x Vậy x = x = Bài 2: Tìm x biết |x- 5| - x= Cách... tập: Bài 1: Tìm x biết: [4] 10 a Tìm x nguyên biết: |x- 1|+ |x- 3|+ |x- 5|+ |x -7| =8 b Tìm x biết: |x- 2010|+ |x- 2012|+|2014|=2 Bài giải: a Ta có |x- 1|+ |x- 3|+ |x- 5|+ |x -7| ≥ |x- 1 +7- x| + |x- 3+5 -x| =8 (1) Mà |x- 1|+ |x- 3|+ |x- 5|+ |x -7| =8... khoảng giá trị, lập bảng x t dấu khử dấu giá trị tuyệt đối Bài tập Tìm x biết:  x- 1 -2 x- 2 +3 x- 3 = (1) [4] Bài giải X t x- = => x = 1; x - = => x = 2; x - = => x = Ta có bảng x t dấu đa thức