SKKN rèn luyệrèn luyện kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử nhằm nâng cao chất lượng môn toán, cho học sinh lớp 8 trường THCS lê lợ

20 120 0
SKKN rèn luyệrèn luyện kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử  nhằm nâng cao chất lượng môn toán, cho học sinh lớp 8 trường THCS lê lợ

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

1 Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài Chuyên đề "Phân tích đa thức thành nhân tử" học kỹ chương trình lớp 8, có nhiều tập ứng dụng nhiều để giải tập chương trình đại số lớp lớp Vì yêu cầu học sinh nắm vận dụng nhuần nhuyễn phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vấn đề quan trọng Nắm tinh thần q trình giảng dạy tốn lớp tơi dày cơng tìm tịi, nghiên cứu để tìm phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cách đa dạng dễ hiểu Góp phần rèn luyện trí thơng minh lực tư sáng tạo cho học sinh Trong sách giáo khoa (SGK) trình bày phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp đặt nhân tử chung, phương pháp nhóm hạng tử, phương pháp dùng đẳng thức Trong chuyên đề giới thiệu thêm phương pháp như: Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử, phương pháp thêm bớt hạng tử, phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp tìm nghiệm đa thức Đồng thời vận dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để làm số dạng tập có liên quan như: Rút gọn phân thức, giải phương trình nghiệm nguyên, giải phương trình bậc cao, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức có dạng ax2 + bx + c Khi học chuyên đề học sinh tiếp thu thích thú Các ví dụ đa dạng, có nhiều tập vận dụng tương tự nên giúp cho học sinh nắm vững phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử tạo tiền đề cho em học tập kiến thức giải tốn khó có liên quan 1.2 Mục đích nghiên cứu: Để giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử địi hỏi người học phải có tư khả phán đoán cao Mặt khác kiến thức áp dụng đa dạng vào việc giải tốn có liên quan tìm x, rút gọn biểu thức, tính giá trị biểu thức, giải phương trình, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ Do mục đích viết đề tài góp phần vào việc nâng cao chất lượng dạy học nói chung rèn kỹ phân tích đa thức thành nhân tử nói riêng theo phương châm “Lấy kết đạt thực tế làm thước đo cho chất lượng giảng dạy” 1.3 Đối tượng nghiên cứu Học sinh lớp 8A2 trường Trung học sở Lê Lợi, năm học 2017-2018 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu qua tài liệu: SGK, SGV, SBT Toán 8, tài liệu có liên quan Nghiên cứu qua thực tế giải tập học sinh Nghiên cứu qua theo dõi kiểm tra Nghiên cứu qua thực tế giảng dạy, học tập đối tượng học sinh 1.5 Những điểm SKKN Đưa nhiều cách phân tích đa thức thành nhân tử Đã phân dạng tập Nội dung nghiên cứu 2.1 Cơ sở lý luận Trước phát triển mạnh mẽ kinh tế tri thức, khoa học, công nghệ thông tin nay, xã hội thơng tin hình thành phát triển thời kỳ đổi nước ta đặt giáo dục đào tạo trước thời thách thức Để hòa nhập tiến độ phát triển giáo dục đào tạo ln đảm nhận vai trò quan trọng việc “đào tạo nhân lực, nâng cao dân trí, bồi dưỡng nhân tài” mà Đảng, Nhà nước đề ra, “đổi giáo dục phổ thông theo Nghị số 40/2000/QH10 Quốc hội” Nhằm đáp ứng mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, đường nâng cao chất lượng học tập học sinh từ nhà trường phổ thông Là giáo viên mong muốn học sinh tiến bộ, lĩnh hội kiến thức dễ dàng, phát huy tư sáng tạo, rèn tính tự học, mơn tốn mơn học đáp ứng đầy đủ u cầu Việc học tốn khơng phải học SGK, không làm tập Thầy, Cô mà phải nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tịi vấn đề, tổng quát hoá vấn đề rút điều bổ ích Dạng tốn phân tích đa thức thành nhân tử dạng toán quan trọng môn đại số đáp ứng yêu cầu này, tảng, làm sở để học sinh học tiếp chương sau này, học rút gọn phân thức, giải phương trình tích, phương trình nghiệm nguyên (dạng đưa phương trình ước số), giải phương trình bậc cao, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức dạng ax2+ bx+ c 2.2 Thực trạng Qua thực tế nhiều năm giảng dạy mơn tốn 8, kết hợp với dự thăm lớp giáo viên trường, thông qua kì thi chất lượng kỳ thi học sinh giỏi cấp trường,thành phố, thân nhận thấy em học sinh chưa có kỹ thành thạo làm tập sau: Quy đồng mẫu thức, giải loại phương trình, rút gọn, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ có liên quan đến phân tích đa thức thành nhân tử, lý để giải loại tập cần phải có kỹ phân tích đa thức thành nhân tử Nếu em học sinh lớp thủ thuật kỹ phân tích đa thức thành nhân tử việc nắm bắt phương pháp để giải dạng toán kiến thức q trình học tốn vấn đề khó khăn Trong việc giảng dạy mơn tốn giáo viên cần phải rèn luyện cho học sinh tư duy, tính độc lập, tính sáng tạo linh hoạt, tự tìm tịi kiến thức mới, phương pháp làm tốn dạng phương pháp thông thường mà cịn phải dùng số phương pháp khó hơn, phải có thủ thuật riêng đặc trưng, từ giúp em có hứng thú học tập, ham mê học toán phát huy lực sáng tạo gặp dạng tốn khó Người giáo viên giảng dạy cần rèn luyện cho học sinh khơng khả sáng tạo, ham thích học mơn tốn giải dạng tập mà cần phải thơng qua dạy tốn phân tích đa thức thành nhân tử, nâng cao chất lượng học tập mơn Tốn nói chung, đạt kết tốt kỳ thi cấp Từ tơi mạnh dạn chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm “Rèn luyện kỹ phân tích đa thức thành nhân tử Nhằm nâng cao chất lượng mơn tốn, cho học sinh lớp trường THCS Lê Lợi” nhằm giúp em học sinh nắm vững phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, giúp học sinh phát phương pháp giải phù hợp với cụ thể dạng khác Kết khảo sát trước áp dụng chuyên đề Giỏi Khá Trung bình Yếu Từ TB trở lên Sĩ số SL % SL % SL % SL % SL % 35 14,3 22,6 12 36,5 10 26,6 25 73,4 2.3 Những giải pháp áp dụng vào giải số tập liên quan: Trước hết giáo viên phải làm cho học sinh thấy rõ “Phân tích đa thức thành nhân tử áp dụng vào giải tập có liên quan sao? Và phân tích đa thức thành nhân tử dạng tập vận dụng vận dụng nào? Phân tích đa thức thành nhân tử (thừa số) biến đổi đa thức cho thành tích đa thức khác Phân tích đa thức thành nhân tử toán nhiều toán khác Ví dụ: + Bài tốn chứng minh chia hết + Rút gọn biểu thức + Giải phương trình bậc cao + Tìm giá trí lớn nhất, nhỏ + Quy đồng mẫu nhiều phân thức + Giải phương trình nghiệm nguyên dạng đưa phương trình ước số Sau phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử áp dụng vào giảng dạy cho học sinh giải số tập liên quan: 2.3.1 Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp đặt nhân tử chung Ta thường làm sau: - Tìm nhân tử chung hệ số (ƯCLN hệ số) - Tìm nhân tử chung biến (mỗi biến chung lấy số mũ nhỏ ) Nhằm đưa dạng: A.B + A.C + A.D = A.(B + C + D) Chú ý: Nhiều để làm xuất nhân tử ta cần đổi dấu hạng tử Ví dụ 1: Phân tích đa thức 14x2y – 21xy2 + 28x2y2 thành nhân tử Giáo viên gợi ý: - Tìm nhân tử chung hệ số 14, 21, 28 hạng tử ? (Học sinh trả lời là: 7, ƯCLN(14, 21, 28 ) = ) - Tìm nhân tử chung biến x2y, xy2, x2y2? (Học sinh trả lời xy ) - Nhân tử chung hạng tử đa thức cho 7xy Giải:14x2y – 21xy2 + 28x2y2 = 7xy.2x -7xy.3y + 7xy.4xy = 7xy.(2x – 3y + 4xy) Ví dụ 2: Phân tích đa thức 10x(x – y) – 8y(y – x) thành nhân tử Giáo viên gợi ý: - Tìm nhân tử chung hệ số 10 ? (Học sinh trả lời là: 2) - Tìm nhân tử chung x(x – y) y(y – x) ? (Học sinh trả lời là: (x – y) (y – x) ) - Hãy thực đổi dấu tích 10x(x – y) tích – 8y(y – x) để có nhân tử chung (y – x) (x – y)? Cách 1: Đổi dấu tích – 8y(y – x) = 8y(x – y) Cách 2: Đổi dấu tích 10x(x – y) = –10x(y – x) (Học sinh tự giải ) Giải: 10x(x – y) – 8y(y – x) = 10x(x – y) + 8y(x – y) = 2(x – y).5x + 2(x – y).4y = 2(x – y)(5x + 4y) Vì dụ 3: Phân tích đa thức 9x(x – y) – 10(y – x)2 thành nhân tử Các sai lầm học sinh thường mắc phải : 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) + 10(x – y)2 (đổi dấu sai ) = (x – y)[9x + 10(x – y)] (sai từ trên) = (x – y)(19x – 10y) (kết sai ) Sai lầm học là: Lời giải đúng: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) – 10(x – y)2 = (x – y)[9x – 10(x – y)] = (x – y)(10y – x) Qua dụ trên, giáo viên củng cố cho học sinh: Cách tìm nhân tử chung hạng tử (tìm nhân tử chung hệ số nhân tử chung biến, biến chung lấy số mũ nhỏ nhất) Quy tắc đổi dấu cách đổi dấu nhân tử tích Chú ý: Tích khơng đổi ta đổi dấu hai nhân tử tích (một cách tổng qt, tích khơng đổi ta đổi dấu số chẵn nhân tử tích đó) 2.3.2 Phương pháp dùng đẳng thức Sử dụng bảy đẳng thức đáng nhớ “dạng tổng hiệu” đưa “dạng tích” A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 A2 - 2AB + B2 = (A - B)2 A2 – B2 = (A – B)(A + B) A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 = (A + B)3 A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 = (A - B)3 A3 + B3 = (A+B)(A2 – AB + B2) A3 - B3 = (A-B)(A2 + AB + B2) Ví dụ 1: Phân tích đa thức (x + y)2 – (x – y)2 thành nhân tử (BT- 28a)-SBT-tr6) Gợi ý: Đa thức có dạng đẳng thức ? (HS: có dạng A2 – B2 + Các sai lầm học sinh thường mắc phải : (x + y)2 – (x – y)2 = (x + y – x – y)(x + y + x – y) (thiếu dấu ngoặc) = 0.(2x) = (kết sai) Sai lầm học sinh là: Thực thiếu dấu ngoặc Lời giải đúng: (x + y)2 – (x – y)2 = [(x + y) – (x – y)].[(x + y) + (x – y)] = (x + y – x + y)(x + y + x – y) = 2y.2x = 4xy + Các sai lầm học sinh dễ mắc phải: - Quy tắc bỏ dấu ngoặc, lấy dấu ngoặc quy tắc dấu - Phép biến đổi, kĩ nhận dạng đẳng thức hiệu hai bình phương, bình phương hiệu Khai thác toán: Đối với học sinh giỏi, giáo viên cho em làm tập dạng phức tạp - Nếu thay mũ “2” mũ “3” ta có tốn Phân tích (x + y)3 – (x – y)3 thành nhân tử (BT-44b)-SGK-tr20) - Đặt x + y = a, x – y = b, thay mũ “3” mũ “6” ta có tốn Phân tích a6 –b6 thành nhân tử (BT-26c)-SBT-tr6) Ví dụ 2: Phân tích a6 – b6 thành nhân tử (BT-26c)-SBT-tr6) Giải: a6 –b6 = (a3)2 – (b3)2 = (a3 – b3)(a3 + b3) = (a + b)(a2 – ab + b2)(a - b)(a2 + ab + b2) Giáo viên củng cố cho học sinh: Các đẳng thức đáng nhớ, kĩ nhận dạng đẳng thức qua toán, dựa vào hạng tử, số mũ hạng tử mà sử dụng đẳng thức cho thích hợp 2.3.3 Phương pháp nhóm nhiều hạng tử Lựa chọn hạng tử “thích hợp” để thành lập nhóm nhằm làm xuất hai dạng sau đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức Thông thường ta dựa vào mối quan hệ sau: - Quan hệ hệ số, biến hạng tử toán - Thành lập nhóm dựa theo mối quan hệ đó, phải thoả mãn: + Mỗi nhóm phân tích + Sau phân tích đa thức thành nhân tử nhóm q trình phân tích thành nhân tử phải tiếp tục thực nửa * Nhóm nhằm xuất phương pháp đặt nhân tử chung: Ví dụ 1:: Phân tích đa thức x2 – xy + x – y thành nhân tử (Bài 47-SGKtr22) Cách 1: nhóm (x2 – xy) (x – y) Cách 2: nhóm (x2 + x) (– xy – y ) Lời giải sai: x2 – xy + x – y = x2 – xy) + (x – y) = x(x – y) + (x – y) = (x – y)(x + 0) x(x – y) + Các sai lầm học sinh thường mắc phải : Bỏ sót hạng tử sau đặt nhân tử chung (HS cho ngoặc thứ hai đặt nhân tử chung (x – y) cịn lại số 0) - Lời giải đúng: x2 – xy + x – y = x2 – xy) + (x – y) = x(x – y) + 1.(x – y) = (x – y)(x + 1) * Nhóm nhằm xuất phương pháp dùng đẳng thức: Ví dụ 2: Phân tích đa thức x2 – 2x + – 4y2 thành nhân tử Giải: x2 – 2x + – 4y2 = (x2 – 2x + 1) – (2y)2 = (x – 1)2 - (2y)2 = (x – – 2y)(x – + 2y) * Nhóm nhằm sử dụng hai phương pháp trên: Ví dụ 3: Phân tích đa thức x2 – 2x – 4y2 – 4y thành nhân tử Lời giải sai: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2) – (2x – 4y ) (đặt dấu sai) = (x + 2y)(x – 2y) – 2(x – 2y) (sai từ trên) = (x – 2y)(x + 2y – 2) (kết dấu sai) + Các sai lầm học sinh thường mắc phải : Nhóm x2 – 2x – 4y2 – 4y =(x2 – 4y2) – (2x – 4y) (đặt dấu sai ngoặc thứ hai) Lời giải đúng: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2) – (2x + 4y ) = (x + 2y)(x – 2y) – 2(x + 2y) = (x + 2y)(x – 2y – 2) Qua dụ trên, giáo viên lưu ý cho học sinh: Cách nhóm hạng tử đặt dấu trừ “ – ” dấu cộng “ + ” trước dấu ngoặc, phải kiểm tra lại cách đặt dấu thực nhóm Trong phương pháp nhóm thường dẫn đến sai dấu, học sinh cần ý cách nhóm kiểm tra lại kết sau nhóm * Lưu ý: Sau phân tích đa thức thành nhân tử nhóm q trình phân tích thành nhân tử khơng thực nữa, cách nhóm sai, phải thực lại 2.3.4 Phối hợp nhiều phương pháp Là kết hợp nhuần nhuyễn phương pháp nhóm nhiều hạng tử, đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức Vì học sinh cần nhận xét toán cách cụ thể, mối quan hệ hạng tử tìm hướng giải hích hợp Ta thường xét phương pháp: Đặt nhân tử chung Dùng đẳng thức Nhóm nhiều hạng tử Ví dụ 1: Phân tích đa thức x4 - 9x3 + x2– 9x thành nhân tử ( ?2 -SGK-tr22) Các sai lầm học sinh thường mắc phải * x4 - 9x3 + x2– 9x = x(x3 - 9x2 + x– 9) (phân tích chưa triệt để) * x4 - 9x3 + x2– 9x (x4 - 9x3) +( x2– 9x) = x3(x – 9) + x(x – ) = (x – 9)(x3 + x ) (phân tích chưa triệt để) Lời giải đúng: x4 - 9x3 + x2– 9x (x4 - 9x3) +( x2– 9x) = x3(x – 9) + x(x – ) = (x – 9)(x3 + x ) = x(x – 9)(x + ) Ví dụ 2: Phân tích đa thức A = (x + y + z)3 – x3 - y3 – z3 thành nhân tử (Bài tập 57- SBT-tr tốn tập 1) Trong ví dụ có nhiều cách giải, học sinh cần phải linh hoạt lựa chọn cách giải phù hợp nhất, gọn Áp dụng đẳng thức: (A + B)3 = A3 + B3 + 3AB(A+B) 2.3.5 Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cách nhóm, tách, thêm, bớt hạng tử Ví dụ 1: x4 + 5x3 +15x – Đa thức cho có số hạng khơng thể đặt nhân tử chung áp dụng đẳng thức, ta nghĩ tới cách nhóm số hạng thêm bớt số hạng Ta phân tích sau: Cách 1: x4 + 5x3 + 15x - = x4 - + 5x3 + 15x = (x2 - 3) (x2 + 3) + 5x (x2 + 3) = (x2 + 3) (x2 - + 5x) = (x2 + 3) (x2 + 5x - 3) Cách 2: x4 + 5x3 + 15x - = x4 + 5x3 - 3x2 + 3x2 + 15x - = x2 (x2 + 5x - 3) + (x2 + 5x - 3) = (x2 + 3) (x2 + 5x - 3) Bài cần lưu ý học sinh tập hợp số hữu tỉ đa thức x + 5x - khơng phân tích Ví dụ 2: x2y + xy2 + x2z + xz2 + y2z + yz2 + 3xyz Giải: Đa thức cho có số hạng lại khơng đặt nhân tử chung mà có hạng tử 3xyz nên ta tách hạng tử 3xyz thành hạng tử để sử dụng phương pháp nhóm hạng tử x2y + xy2 + x2z + xz2 + y2z + yz2 + 3xyz = x2y + x2z + xyz + xy2 + y2z + xyz + xz2 + yz2 + xyz = x (xy + xz + yz) + y (xy + yz + xz) + z (xz + yz + xy) = (xy + xz + yz) (x + y + z) Ví dụ x2 + 6x + Với phương pháp biết đặt nhân tử chung, nhóm số hạng, dùng đẳng thức ta khơng thể phân tích đa thức Nếu tách số hạng thành hai số hạng để đa thức trở thành số hạng nhóm hạng tử để xuất nhân tử chung xuất đẳng thức Từ có nhiều khả biến đổi đa thức cho thành tích Cách 1: (Tách 6x = 2x +4x) x2 + 6x + = x2 + 2x + 4x + = x (x+2) + (x+2) = (x+2) (x+4) Cách 2: (Tách = 9-1) x2 + 6x + - = (x+3)2 - = (x + - 1) (x+ +1) = (x+2) (x+4) Cách 3: (Tách = -4 +12) x2 - + 6x + 12 = (x-2) (x+2) + (x+2) = (x+2) (x+4) Cách 4: (Tách = -16 + 24) x2 + 6x + = x2 - 16 + 6x + 24 = (x - 4) (x + 4) + (x + 4) = (x + 4) (x - + 6) = (x+2) (x+4) Ví dụ 4: x3 - 7x – Ta tách sau: Cách 1: x3 - 7x - = x3 - x - 6x - = x (x2 - 1) - (x + 1) = x (x - 1) (x + 1) - (x + 1) = (x + 1) (x2 - x - 6) = (x + 1) (x2 - 3x + 2x - 6) = (x +1) [ x (x - 3) + (x - 3)] = (x + 1) (x + 2) (x - 3) Cách 2: x - 7x - = x3 - 4x - 3x - = x (x2 - 4) - (x + 2) = x (x - 2) (x + 2) - (x + 2) = (x + 2) (x2 - 2x - 3) = (x + 2) (x2 - 3x + x - 3) = (x + 2) (x - 3) (x + 1) Cách 3: x3 - 7x - = x3 - 27 - 7x + 21 = (x - 3) (x2 + 3x + - 7) = (x - 3) (x2 + 3x + 2) = (x - 3) (x2 + x + 2x + 2) = (x - 3) (x + 2) (x + 1) Cách 4: x - 7x - = x3 + - 7x - 7 = (x + 1) (x2 - x + 1) - (x + 1) = (x + 1) (x2 - x + - 7) = (x + 1) (x2 - x - 6) = (x + 1) (x2 - 3x + 2x - 6) = (x + 1) (x + 2) (x - 3) Cách 5: x - 7x - = x3 + - 7x - 14 = (x + 2) (x2 - 2x + - 7) = (x + 2) (x2- 2x - 3) = (x + 2) (x2 + x - 3x - 3) = (x + 2) (x + 1) (x - 3) Cách 6: x3 - 7x - = x3 - 9x + 2x - = x (x - 3) (x + 3) + (x - 3) = (x - 3) (x2 + 3x + 2) = (x - 3) (x + 1) (x + 2) * Chú ý: Cần lưu ý học sinh phân tích đa thức phải triệt để, tức kết cuối khơng thể phân tích Tất nhiên u cầu có tính chất tương đối cịn phụ thuộc tập hợp số mà ta xét Nếu phân tích khơng triệt để học sinh gặp tình cách phân tích có kết khác Chẳng hạn tập cách 1, cách cho ta kết là: x3 - 7x - = (x + 1) (x2 - x - 6) + Cách 2, cách cho kết là: x3 - 7x - = (x + 2) (x2 - 2x - 3) + Cách 3, cách cho kết là: x3 - 7x - = (x - 3) (x2 + 3x + 2) * Giáo viên cần nhấn mạnh cho học sinh ý sau: - Một đa thức dạng ax2 +bx + c phân tích thành nhân tử tập hợp Q đa thức có nghiệm hữu tỉ  ∆ (hoặc ∆ ’ ) số phương (trong ∆ = b2-4ac ( ∆ ’ = b’2 - ac) - Một đa thức dạng ax2 +bx + c tách làm xuất đẳng thức khi: ∆ (hoặc ∆ ’ ) số phương chứa hạng tử A2 +2AB +B2 A2 - 2AB +B2 Ví dụ 5: a5 + a + Số mũ a từ xuống nên a a cần có số hạng với số mũ trung gian để nhóm số hạng làm xuất nhân tử chung Cách 1: a5 + a + = a5 + a4 - a4 + a3 - a3 + a2 - a2 + a + = a5 + a4 + a3 - a4 - a3 - a2 + a2 + a +1 = a3 (a2 + a + 1) - a2 (a2 + a + 1) + a2 + a + = (a2 + a + 1) (a3 - a2 + 1) Cách 2: a5 + a + = a5 - a2 + a2 + a + = a2 (a - 1) (a2 + a + 1) + (a2 + a + 1) = (a2 + a + 1) (a3 - a2 +1) 2.3.6 Phương pháp đặt ẩn phụ Ví dụ 1: (b - c)3 + (c - a)3 + (a - b)3 Đặt x = b - c; y = c - a; z = a - b Ta thấy: x + y + z = => z = - x - y 3 (b - c) + (c - a) + (a - b) = x3 + y3 + z3 = x3 + y3 + (- x - y)3 = x3 + y3 - x3 - y3 - 3x2y - 3xy2 = - 3xy ( x + y) = 3xyz = (b - c) (c - a) (a - b) Ví dụ 2: (x2 + x + 1) (x2 + x + 2) - 12 Thông thường gặp toán học sinh thường thực phép nhân đa thức với đa thức đa thức bậc với năm số hạng Phân tích đa thức bậc với năm số hạng thường khó dài ḍng Nếu ý đến đặc điểm bài: Hai đa thức x2 + x + x2 + x + khác hạng tử tự do, ta đặt y = x2 + x + y = x2 + x biến đổi đa thức thành đa thức bậc hai đơn giản nhiều Đặt y = x2 + x + Ta có: (x2 + x + 1) (x2 + x + 2) - 12 = y(y + 1) - 12 = y2 + y - 12 = y2 + 4y - 3x - 12 = (y +4 ) (y - 3) = (x2 + x + + 4) (x2 + x + - 3) = (x2 + x + 5) (x2 + x - 2) = (x2 + x + 5) (x2 + 2x - x - 2) = (x2 + x + 5) (x + 2) (x - 1) = (x - 1) (x +2) (x2 + x + 5) Ví dụ 3: (x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7) + 15 Nhận xét: Ta có: + = + ta nhân thừa số x + với x +7và x + với x + ta đa thức có phần biến giống (x + 1) (x + 3) (x + 5) (x + 7) + 15 = (x2 + 7x + x + 7) (x2 + 5x + 3x + 15) + 15 = (x2 + 8x + 7) (x2 + 8x + 15) + 15 Đặt x2 + 8x + = y ta được: y (y + 8) + 15 = y2 + y + 15 = y2 + y + y + 15 = (y + 3) (y + 5) =(x2 + 8x + + 3) (x2 + 8x + + 5) = (x2 + 8x + 10) (x2 + 8x + 12) = (x2 + 6x + 2x + 12) (x2 + 8x + 10) = (x + 6) (x + 2) (x2 + 8x + 10) 2.3.7 Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp tìm nghiệm đa thức a) Cách tìm nghiệm đa thức - Phương pháp tìm nghiệm nguyên đa thức: Nghiệm nguyên (nếu có) đa thức phải ước hạng tử tự Ví dụ: Tìm nghiệm nguyên đa thức sau: x3 + 3x2 - Giải: Cách Các ước : 1;2;4;-1;-2;-4 Thử giá trí ta thấy x = x = -2 nghiệm đa thức cho Cách Tổng hệ số đa thức nên đa thức cho có nghiệm x = - Phương pháp tìm nghiệm hữu tỉ đa thức: Trong đa thức với hệ số nguyên,nghiệm hữu tỉ (nếu có) phải có dạng p/q p ước hệ số tự do; q ước dương số hạng có bậc cao Ví dụ: Tìm nghiệm đa thức sau: 2x3 + 5x2 + 5x + Giải: Các ước : 1;-1;3;-3 (p) Các ước dương : 1;2 (q) Xét số ± 1; ± 3;± 1/2; ± 3/2 ta thấy -3/2 nghiệm đa thức cho * Chú ý: - Nếu đa thức có tổng hệ số đa thức có nghiệm Ví dụ: Đa thức a) 3x4 - 4x +1 có 3+ (-4) + = nên có nghiệm x = b) 4x3 +5x2 - 3x - có + + (-3) + (-6) = nên có nghiệm x = - Nếu đa thức có tổng hệ số số hạng bậc chẵn tổng hệ số số hạng bậc lẻ đa thức có nghiệm -1 Ví dụ: Đa thức a) 4x5 +5x4 + 7x3 + 11x2 + 2x - Tổng hệ số số hạng bậc chẵn : + 11 + (-3) = 13 Tổng hệ số số hạng bậc lẻ : + + = 13 Ta thấy tổng hệ số số hạng bậc chẵn tổng hệ số số hạng bậc lẻ nên đa thức có nghiệm -1 b)x3 + 3x2 + 6x + Tổng hệ số số hạng bậc chẵn : + = Tổng hệ số số hạng bậc lẻ : + = Ta thấy tổng hệ số số hạng bậc chẵn tổng hệ số số hạng bậc lẻ nên đa thức có nghiệm -1 b) Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp tìm nghiệm đa thức Nếu đa thức F(x) có nghiệm x = a chứa nhân tử x-a phân tích cần làm xuất nhân tử chung cho có nhân tử x-a Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a x3 + 3x2 - b 2x3 + 5x2 + 5x + Giải : a) Cách Đa thức x3 + 3x2 - có nghiệm x= nên chứa nhân tử x-1 Ta có : x3 + 3x2 - = x3- x2 + 4x2 - 4x + 4x - = x2(x-1) + 4x(x-1) + 4(x-1) = (x-1)(x2 + 4x + 4) = (x-1) (x+2)2 10 Cách Đa thức x3 + 3x2 - có nghiệm x= -2 nên chứa nhân tử x + Ta có x3 + 3x2 - = x3 +2x2 +x2 + 2x - 2x -4 = x2(x+2) + x(x +2) - 2(x+2) = (x+2) (x2 +x -2) = (x+2) (x2 - x + 2x -2) = (x+2)[ x(x-1) +2(x-1)] = (x+2)(x-1)(x+2) = (x-1) (x+2)2 b) Đa thức 2x3 + 5x2 + 5x + có nghiệm x = -3/2 nên chứa nhân tử 2x+3 Ta có 2x3 + 5x2 + 5x + = 2x3 + 3x2 +2x2 + 3x +2x +3 = x2(2x +3) + x(2x+3) + (2x+3) = (2x+3) (x2 + x +1) 2.3.8 Các dạng tập ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử Dạng 1: Rút gọn biểu thức Để giải toán rút gọn biểu thức đại số (dạng phân thức) ta phải phân tích tử thức, mẫu thức thành nhân tử chia tử mẫu cho nhân tử chung chúng 5x + 1 − 2x − − x −1 x + x + 1− x 5x + 1 − 2x 5x + 2x-1 Giải : Ta có A = x3 − − x + x + − − x = ( x − 1)( x + x + 1) + x + x + + x − Mẫu thức phân thức ( x − 1)( x + x + 1) Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức: A= 5x + (2x-1)(x-1) 2( x + x + 1) + + Do ( x − 1)( x + x + 1) ( x − 1)( x + x + 1) ( x − 1)( x + x + 1) 5x + + 2x − 2x − x + + 2x + 2x + 4( x + x + 1) A= = = 2 ( x − 1)( x + x + 1) ( x − 1)( x + x + 1) x − x + 3x − Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: B = x + x−2 A= Giải: Ta thấy tử thức có nghiệm 1; mẫu thức có nghiệm ;nên ta có: x + 3x − x − x + x − = x2 + x − x2 − x + x − ( x − x) + (4 x − 4) x( x − 1) + 4( x − 1) ( x − 1)( x + 4) x + = = = ( x − x) + (2 x − 2) x( x − 1) + 2( x − 1) ( x − 1)( x + 2) x + B= Dạng : Chứng minh chia hết Để giải toán chứng minh đa thức A chia hết cho đa thức B có nhiều cách giải tơi trình bày phương pháp vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải Ví dụ 1: Chứng minh với số nguyên n, ta có: (4n+3)2 – 25 chia hết cho Giải: Ta có (4n + 3)2 – 25 = (4n + 3)2 – 52 = (4n + + 5)(4n + - 5) = (4n + 8)(4n - 2) = 8(n + 2)(2n – 1) chia hết cho với số nguyên n n Vậy số nguyên n biểu thức A= + n2 n3 + số nguyên 11 Ví dụ 2: Chứng minh với số nguyên n biểu thức n2 n3 + số nguyên n n n 2n + n + Ta có: + + = 6 n A= + Muốn chứng minh biểu thức số nguyên cần chứng minh 2n + 3n2 + n3 chia hết cho với số nguyên n Ta có: 2n + 3n2 + n3 = n (2 + 3n + n2) = n (2 + 2n + n + n2) = n [ (1 + n) + n (1 + n)] = n (n + 1) (n + 2) Ta thấy n (n + 1) (n + 2) tích ba số nguyên liên tiếp nên ?t có thừa số chia hết cho thừa số chia hết cho Mà hai số nguyên tố nên tích chia hết cho n n2 n3 Vậy số nguyên n biểu thức A= + + số nguyên Ví dụ 3: Chứng minh đa thức: x50 + x49 + + x2 + x + chia hết cho đa thức: x16 + x15 + + x2 + x + Ta thấy đa thức bị chia có 51 số hạng, đa thức chia có 17 số hạng, ta phân tích đa thức bị chia sau: x50 + x49 + + x2 + x + = (x50 + x49 + + x35 + x34) +(x33 + x32 + + x18 + x17) + x16 x2 + x + = (x34) (x16+x15+ +x2+x+1)+x17(x16+x15+ +x2+x+1)+ (x16 +x2 + x + 1) = (x16 + x15 + +x2 + x + 1) (x34 + x17 + 1) Rõ ràng: x50 + x49 + + x2 + x + chia hết cho x16 + x15 + x + Kết phép chia : x34 + x17 + Ví dụ 4: Chứng minh đa thức a3 + b3 +c3 - 3abc chia hết cho đa thức a +b +c Đặt A = a3 + b3 + c3 - 3abc; B = a + b + c.Dự đoán đa thức A phân tích thành nhân tử có nhân tử a + b + c Ta có: A = a3 + b3 + c3 - 3abc = a3+a2b+a2c+b2+b3+b2c+c2a +c2b +c3-a2b-ab2-abc-a2c-acb-ac2-acb-b2c - bc2 = a2(a+b+c) + c2 (a + b + c)-ab (a + b + c) -ac (a + b + c) -bc (a +b+c) = (a + b + c) (a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc) = B (a2 + b2 + c2 - ab - ac - bc) Vậy đa thức A chia hết cho đa thức B 1 1 + + = a b c a+b+c 1 1 CMR: n + n + n = n n n với n lẻ a b c a +b +c 1 1 bc + ac + ab => = Ta có: + + = a b c a+b+c abc a+b+c Ví dụ 5: Cho => (cb + ac +ab) (a + b + c) = abc => abc + b2c + bc2 + a2c + abc + ac2 + a2b + ab2 + abc = abc => (abc + b2c) + (bc2 + ac2) + (a2c + abc) + (a2c + ab2) = => bc (a + b) + c2 (a + b) + ac (a + b) + ab (a + b) = => (a + b) (bc + c2 + ac + ab) = 12 => (a + b) [ c (b +c) + a (b + c) ] = -> (a + b) (b + c) (a + c) =0 => a + b = => a = - b + c = => b = - c Hoặc a + c = => a = - c Vì n lẻ nên a2 = -bn bn = - c2 an = - cn Thay vào ta suy điều phải chứng minh Dạng 3: Áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử để giải số dạng phương trình nghiệm ngun Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên phương trình: xy – x – y = Ta có: xy – x – y = ⇔ x(y – 1) – (y - 1) = ⇔ (x – 1)(y – 1) = Ta có trường hợp sau: x −1 = x = ⇔ (TM)  y −1 =  y =  x − = −1 x = ⇔ (TM) Trường hợp 2:   y − = −3  y = −2 x −1 = x = ⇔ (TM) Trường hợp 3:   y −1 = y =  x − = −3  x = −2 ⇔ (TM) Trường hợp 4:   y − = −1  y = Trường hợp 1:  Vậy nghiệm phương trình: (2;4); (0;-2); (4;2); (-2;0) Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x + xy + y +2 = Ta có: x + xy + y +2 = ⇔ x(y +1) + (y + 1) = -1 ⇔ (x + 1)(y+1) = -1 Ta có trường hợp sau: x +1 = x = ⇔ (tháa m· n)  y + = −1  y = −  x + = −1  x = −2 ⇔ (tháa m· n) Trường hợp 2:   y +1 = y = Trường hợp 1:  Vậy nghiệm phương trình: (0;-2); (-2;0) Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên phương trình: 3xy + x – y = Ta có: 3xy + x – y = ⇔ 9xy + 3x – 3y = ⇔ (9xy + 3x) – 3y = ⇔ 3x(3y + 1) –(3y + 1) = ⇔ (3x - 1)(3y + 1) = Ta có trường hợp sau:  x=  3 x − = 3 x =  ⇔ ⇔ (kh«ng tháa m· n) Trường hợp 1:  y + = y = 1   y =  3 x − = −1 3 x = x = ⇔ ⇔ ( tháa m· n) Trường hợp 2:  3 y + = −2 3 y = −3  y = −1 3 x − = 3 x = x = ⇔ ⇔ (tháa m· n) Trường hợp 3:  3 y + = 3 y = y = −1  x=  x − = − x = −    ⇔ ⇔ (kh«ng tháa m· n) Trường hợp 4:  3 y + = −1 3 y = −2  y = −2  13 Vậy nghiệm phương trình: (0;-1); (1;0) Dạng 4: Giải phương trình bậc cao Ví dụ 1: Giải phương trình: ( 3x - )2 -( x - )2 = Giải: Ta có: ( 2x - )2 -( x - )2 = ⇔ ( 2x - + x - )(2x - - x + 1) = 3x − = x = ⇔ ( 3x - 6)(x - 4) = ⇔  ⇔ x − = x = Vậy tập nghiệm phương trình cho là: S = {2; 4} Ví dụ 2: Giải phương trình: (x + 1)(x + 2)(x+ 3)(x+ 4) - 24 = Giải : Ta có (x + 1)(x + 2)(x+ 3)(x+ 4) - 24 = ⇔ [(x + 1))(x+ 4)][(x + 2)(x+ 3)] - 24 = ⇔ (x2 + 5x +4)(x2 + 5x +4) – 24 = Đặt t = x2 + 5x + ta phương trình: (t – 1)(t + 1) – 24 = t + = t = −5 ⇔ t2 – – 24 = ⇔ t2 – 52 = ⇔ (t – 5)(t + 5) = ⇔  ⇔ t − = t = Với t = - ta có: x2 + 5x + = -5 ⇔ x2 + 5x + 10 = 25 15 ⇔ x2 + 2.x + + =0 4 15 ⇔ (x + ) + = phương trình vơ nghiệm Với t = ta có: x2 + 5x + = ⇔ x2 + 5x = ⇔ x(x + 5) = x = x = ⇔  ⇔ x + =  x = −5 Vậy tập nghiệm phương trình cho là: S = {0; -5} Dạng 5: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức: Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn biểu thức: A= 15- 2x – x2 Ta có A = 15- 2x – x2 = 16 – (x2 + 2x + 1) = 16 – (x + 1)2 ≤ 16 Dấu “=” xảy ⇔ x + = ⇔ x = -1 Vậy Max A = 16 ⇔ x = -1 Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn biểu thức: B = + 2x – 2x2 Ta có: B = + 2x – 2x2 = – 2(x2 – x ) = – (x2 – 2.x 1 + - ) 4 1  1 + ) + = - x− ÷ ≤ 2  2 1 Dấu “=” xảy ⇔ x =0 ⇔ x= 2 Vậy Max B = ⇔ x = 2 = – (x2 – 2.x Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: C = x2 +6x – Ta có C = x2 +6x – = (x2 +2.x.3 + – 9) - = (x + 3)2 -12 ≥ -12 Dấu “=” xảy ⇔ x + = ⇔ x = -3 Vậy Min C = -12 ⇔ x = - 14 Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: D = 2x2 + 3x + Ta có: D = 2x2 + 3x + = (2x2 +3x) + = 2(x2 + x) + 9 9 − ) + = 2(x2 +2 x + ) – + 16 16 16 16 31 31 3  ≥ = 2 x + ÷ + 8 4  −3 Dấu “=” xảy ⇔ x + = ⇔ x = 4 31 −3 ⇔ x= Vậy Min D = = 2(x2 +2 x + * Bài tập vận dụng: Phân tích đa thức thành nhân tử 1) x3 - 4x2 + 8x - 2) x2y + xy2 + x2z + xz2 + yz2 + 2xyz 3) x2 + 7x + 10 4) y2 + y - 5) n4 - 5n2 + 6) 15x3 + x2 – 2x 7) bc (b - c) ac (a - c) + ab (a - b) 8) ab (a - b) - ac (a + c) + bc (2a + c - b) 9) x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + 10) x4 - 4x3 + 10x2 - 12x + 11) (x2 + x) (x2 + x + 1) - 12) (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) - 13) Tính nhanh số trị biểu thức sau với a) x = - P = (x+ 2)2 - (x + 2) (x - 8) + (x - 8)2 b) a = 5,75; b = 4,25 2 Q = a - a b - ab + b3 14) CMR biểu thức (2n + 3)2 - chia hết cho với n nguyên n n n3 15) CMR biểu thức + + số nguyên với số chẵn n 12 24 16) Chứng minh đa thức: x79 + x78 + + x2 + x+ chia hết cho đa thức x19 + x18 + + x2 + x + 17) Cho a + b + c = Tính giá trị biểu thức: A = (a – b)c3 + (c-a)b3 + (b – a)a3 18) Cho số x, y, z thỏa mãn điều kiện: x + y + z = x3 + y3 + z3 = Tính giá trị biểu thức M = x2014 + y2014 + z2014 19) Cho a, b, c ba số dương Chứng minh: (a + b)(b + c)(c + d) = abc ⇔ a = b = c 20) Giải phương trình: (x + 1)(x + 2)(x+ 3)(x+ 4) - = 15 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Trên đưa số phương pháp ví dụ mà giảng dạy "Phân tích đa thức thành nhân tử" để củng cố rèn luyện kỹ kiến thức cho học sinh đại trà, bồi dưỡng học sinh giỏi lớp trường THCS Lê Lợi Tôi tự nghiên cứu cho học sinh áp dụng đạt kết cao Hầu hết học sinh nắm kiến thức vận dụng kiến thức vào làm dạng tập Kết khảo sát sau học xong chuyên đề sau: Sĩ số 35 SL % SL % SL % SL % Từ TB trở lên SL % 10 28,6 13 37,2 25,7 8,5 32 Giỏi Khá Trung bình Yếu 91,5 Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận Tốn học vơ tận, khuôn khổ đề tài Giúp học sinh lớp học tốt "kỹ phân tích đa thức thành nhân tử." Đề tài áp dụng vào việc giảng dạy lớp 8A2 năm học 2017-2018 trường THCS Lê Lợi nâng cao chất lượng rõ rệt 3.2 Những kiến nghị đề xuất Trong trình thực đề tài này, điều kiện khách quan chủ quan, bên cạnh mặt mạnh, khó tránh khỏi hạn chế thiếu sót Tơi mong nhận ý kiến đóng góp từ phía ban giám khảo củng bạn bè đồng nghiệp để đề tài "Kỹ phân tích đa thức thành nhân tử nhằm nâng cao chất lượng mơn tốn,cho học sinh lớp trường THCS Lê Lợi" hoàn thiện áp dụng rộng rãi vào công tác giảng dạy Đối với nhà trường sáng kiến kinh nghiệm Phòng GD&ĐT xếp loại nên cho tổ chuyên môn triển khai để áp dụng vào giảng dạy Đối với Phòng GD&ĐT sáng kiến kinh nghiệm xếp loại trường nên công bố rộng rãi giáo viên tham khảo, học hỏi Tôi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Thanh Hóa , ngày tháng năm 2018 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác NGƯỜI THỰC HIỆN Phạm Thị Phương 16 TÀI LIỆU THAM KHẢO Một số vấn đổi phương pháp dạy học mơn tốn trường THCS Sách hướng dẫn giảng dạy môn toán lớp Sách giáo khoa, sách tập Tốn Tài liệu Bồi dưỡng thường xun mơn toán chu kỳ 2004-2007 Toán nâng cao chuyên đề Đại Số Toán bồi dưỡng học sinh lớp Toán nâng cao phát triển Toán 8 Bài tập nâng cao số chuyên đề Toán 17 DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Phạm Thị Phương Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên – Trường THCS Lê Lợi Thành phố Thanh Hóa TT Tên đề tài SKKN Một số biện pháp nhằm phát huy tính tích cực chủ động sáng tạo học sinh vật lý Một số phương pháp tính tổng số tạo thành dãy số có quy luật Rèn luyện kỹ giải tốn chứng minh hình học cho học sinh lớp Phương pháp phụ đạo học sinh yếu môn đại số Giúp học sinh lớp học tốt định lí Pytago Cấp đánh giá xếp loại (Phòng, Sở, Tỉnh ) Kết đánh giá xếp loại (A, B, C) Năm học đánh giá xếp loại Phòng GD & ĐT huyện Quảng Xương A 2004 - 2005 A 2009- 2010 B 2010 - 2011 B 2015 - 2016 B 2016-2017 Phòng GD & ĐT huyện Quảng Xương Phòng GD & ĐT huyện Quảng Xương Phịng GD &ĐT Thành phố Thanh Hóa Phịng GD &ĐT Thành phố Thanh Hóa 18 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HĨA PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP THANH HÓA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN KỸ NĂNG PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ NHẰM NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG MƠN TỐN, CHO HỌC SINH LỚP TRƯỜNG THCS LÊ LỢI Người thực hiện: Phạm Thị Phương Chức vụ: Giáo viên Đơn vị: Trường THCS Lê Lợi SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HĨA NĂM 2018 19 MỤC LỤC Mục 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 2.1 2.2 2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4 2.3.5 2.3.6 2.3.7 2.3.8 2.4 3.1 3.2 Tên mục Mở đầu Lí chọn đề tài Mục đích đề tài Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Những điểm SKKN Nội dung nghiên cứu Cơ sở lí luận thực tiễn Thực trạng Những giải pháp Phương pháp đặt nhân tử chung Phương pháp dùng đẳng thức Phương pháp nhóm nhiều hạng tử Phối hợp nhiều phương pháp Phương pháp, nhóm, tách, thêm bớt hạng tử Phương pháp đặt ẩn phụ Phương pháp tìm nghiệm đa thức Các tập ứng dụng dạng phân tích đa thức thành nhân tử Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Kết luận, kiến nghị Kết luận Kiến nghị Trang 1 1 1 2 3 6 11 16 16 16 16 20 ... thức thành nhân tử Nhằm nâng cao chất lượng mơn tốn, cho học sinh lớp trường THCS Lê Lợi” nhằm giúp em học sinh nắm vững phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, giúp học sinh phát phương... dạy "Phân tích đa thức thành nhân tử" để củng cố rèn luyện kỹ kiến thức cho học sinh đại trà, bồi dưỡng học sinh giỏi lớp trường THCS Lê Lợi Tôi tự nghiên cứu cho học sinh áp dụng đạt kết cao. .. Toán học vô tận, khuôn khổ đề tài Giúp học sinh lớp học tốt "kỹ phân tích đa thức thành nhân tử. " Đề tài áp dụng vào việc giảng dạy lớp 8A2 năm học 2017-20 18 trường THCS Lê Lợi nâng cao chất lượng

Ngày đăng: 20/11/2019, 10:19

Từ khóa liên quan

Mục lục

  • Dạng 1: Rút gọn biểu thức

    • Hoặc a + c = 0 => a = - c

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan