Một số sai lầm thường gặp tính tích phân SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH TRƯỜNG THPT SỐ QUẢNG TRẠCH - SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Giáo viên: Võ Tố Như * Trường THPT Số Quảng Trạch ‫٭‬ Một số sai lầm thường gặp tính tích phân Tên đề tài: MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI TÍNH TÍCH PHÂN Người thực : Võ Tố Như Tổ : Toán Năm : 2018 – 2019 Giáo viên: Võ Tố Như * Trường THPT Số Quảng Trạch ‫٭‬ Một số sai lầm thường gặp tính tích phân PHẦN I: MỞ ĐẦU I ĐẶT VẤN ĐỀ Tích phân, chuyên đề thiếu đề thi tốt nghiệp THPT, Đại học, Cao đẳng, THCN năm Nhưng học sinh THPT tích phân tốn khó cần đến áp dụng linh hoạt định nghĩa, tính chất, phương pháp tính tích phân đa dạng chúng Trong thực tế đa số học sinh tính tích phân cách máy móc là: tìm ngun hàm hàm số cần tính tích phân dùng định nghĩa tích phân phương pháp đổi biến số, phương pháp tính tích phân phần mà học sinh để ý đến ngun hàm hàm số tìm có phải ngun hàm hàm số đoạn lấy tích phân hay không? Phép đặt biến phương pháp đổi biến số có nghĩa khơng? Phép biến đổi hàm số có tương đương khơng? Vì q trình tính tích phân học sinh thường mắc phải sai lầm dẫn đến lời giải sai Nhằm giúp học sinh ôn luyện thi tốt nghiệp thi vào trường Đại học , Cao đẳng tốt hơn, tìm tòi biên soạn số kinh nghiệm giải tốn Tích phân .II CƠ SỞ LÝ LUẬN Đổi phương pháp dạy học thay đổi từ phương pháp dạy học tiêu cực đến phương pháp tích cực, sáng tạo Đó phải trình áp dụng phương pháp dạy học đại sở phát huy yếu tố tích cực phương Giáo viên: Võ Tố Như * Trường THPT Số Quảng Trạch ‫٭‬ Một số sai lầm thường gặp tính tích phân pháp dạy học truyền thống nhằm thay đổi cách thức, phương pháp học tập học sinh chuyển từ thụ động sang chủ động Trong chương trình giải tích 12 nay, chương Tích phân chiếm vị trí quan trọng thường có đề thi tốt nghiệp ,Đại học Cao đẳng Phần lớn học sinh lúng túng việc phân tích đề để tìm lời giải Chính mà tơi tìm tòi, biện soạn vấn đề nhằm giúp học sinh hướng tìm lời giải nhanh, gọn tối ưu II CƠ SỞ THỰC TIỄN Đây vấn đề quan trọng học sinh phổ thông Qua thực tế giảng dạy nhận thấy rõ yếu điểm học sinh tơi hệ thống lại : “ Một số sai lầm thường gặp học sinh tính tích phân” cách tuyển chọn ví dụ, tập cụ thể phân tích tỉ mỉ sai lầm học sinh, rút kinh nghiệm qua lời giải toán Nhằm giúp học sinh khắc phục yếu điểm nêu từ đạt kết cao giải tốn tích phân nói riêng đạt kết cao q trình học tập nói chung Giáo viên: Võ Tố Như * Trường THPT Số Quảng Trạch ‫٭‬ Một số sai lầm thường gặp tính tích phân PHẦN II: NỘI DUNG I ĐỊNH NGHĨA Cho hàm số f liên tục K a, b hai số thuộc K Nếu F nguyên hàm f K hiệu số: F ( b) − F ( a) gọi tích phân f từ a đến b kí hiệu : b ∫ f ( x ) dx a II NỘI DUNG CỤ THỂ Giáo viên: Võ Tố Như * Trường THPT Số Quảng Trạch ‫٭‬ Một số sai lầm thường gặp tính tích phân Một số sai lầm học sinh tính tích phân Bài tập minh hoạ: Bài 1: Tính tích phân: I = dx ∫ (x + 1) −2 dx * Biến đổi sai: I = ∫ = − (x + 1) d ( x + 1) ∫ ( x + 1) −2 =- x +1 −2 =- -1 = - * Nguyên nhân : Hàm số y = ( x + 1) không xác định x= -1 ∈ [ − 2;2] suy hàm số không liên tục [ − 2;2] nên không sử dụng công thức newtơn – leibnitz cách giải * Lời giải Hàm số y = ( x + 1) không xác định x= -1 ∈ [ − 2;2] suy hàm số khơng liên tục [ − 2;2] tích phân không tồn * Chú ý : b Khi tính ∫ f ( x)dx cần ý xem hàm số y=f(x) có liên tục [ a; b] khơng? có a áp dụng phương pháp học để tính tích phân cho khơng kết luận tích phân khơng tồn * Một số tập tương tự: Tính tích phân sau: Giáo viên: Võ Tố Như * Trường THPT Số Quảng Trạch ‫٭‬ Một số sai lầm thường gặp tính tích phân dx 1/ ∫ (x − 4) 2/ ∫ x( x − 1) dx −2 π − x e x + x dx x3 −1 3/ ∫ 14 dx cos x 4/ ∫ π Bài Tính tích phân I= dx ∫ + sin x 1+ t2 2dt x * Biến đổi sai: Đặt t = tg dx = ; = + t + sin x (1 + t ) ⇒ 2dt dx = −2 ∫ ∫ + sin x (1 + t ) = ∫ 2(t + 1) d(t+1) = −2 dx ⇒ I= ∫ = tg x + 1 + sin x π π +c t +1 −2 = tg π + - tg + π tg khơng xác định nên tích phân khơng tồn * Nguyên nhân: Đặt t = tg x x x∈ [ 0; π ] x = π tg khơng có nghĩa 2 * Lời giải đúng: x π d −  dx dx π 4 x π  −π =∫  = tg  −  π0 = tg − tg  I= ∫ =∫ π + sin x  x π 2 4  0 + cos x −  cos  −  2  2 4 π π π   =  * Chú ý : Giáo viên: Võ Tố Như * Trường THPT Số Quảng Trạch ‫٭‬ Một số sai lầm thường gặp tính tích phân Đối với phương pháp đổi biến số đặt t = u(x) u(x) phải hàm số liên tục có đạo hàm liên tục [ a; b] *Một số tập tương tự: Tính tích phân sau: π π dx 1/ ∫ sin x dx + cos x 2/ ∫ Bài Tính I = ∫ x − 6x + dx * Biến đổi sai: I= ∫ x − 6x + dx = ∫ ( x − 3) dx = ∫ ( x − 3) d ( x − 3) = ( x − 3) 2 = − = −4 2 * Nguyên nhân : Phép biến đổi ( x − 3) = x − với x ∈ [ 0;4] không tương đương * Lời giải đúng: I= ∫ x − 6x + dx 4 0 = ∫ ( x − 3) dx = ∫ x − d ( x − 3) = ∫ − ( x − 3) d ( x − 3) + ∫ ( x − 3) d ( x − 3) ( x − 3) =- ( x − 3) + = + =5 2 * Chú ý : 2n ( f ( x ) ) 2n = f ( x) ( n ≥ 1, n ∈ N ) Giáo viên: Võ Tố Như * Trường THPT Số Quảng Trạch ‫٭‬ Một số sai lầm thường gặp tính tích phân b b 2n I = ∫ ( f ( x) ) ∫ f ( x ) dx ta phải xét dấu hàm số f(x) [ a; b] = 2n a dùng tính chất tích a phân tách I thành tổng phân không chứa dấu giá trị tuyệt đối * Một số tập tương tự: π 1/ I = ∫ − sin x dx ;    x + −  dx x   2/ I = x − x + x dx ∫ 3/ I = ∫ π 4/ I = ∫ π tg x + cot g x − dx Bài Tính I= ∫x −1 dx + 2x + * Biến đổi sai: I= d ( x + 1) ∫ ( x + 1) −1 +1 = arctg ( x + 1) −1 = arctg1 − arctg = π * Nguyên nhân sai lầm : Học sinh không học khái niệm arctgx sách giáo khoa thời * Lời giải đúng: Đặt x+1 = tgt ⇒ dx = (1 + tg t ) dt với x=-1 t = với x = t = Khi I = π ∫ π (1 + tg t )dt = tg t + π ∫ dt = t Giáo viên: Võ Tố Như π = π * Trường THPT Số Quảng Trạch ‫٭‬ Một số sai lầm thường gặp tính tích phân * Chú ý : Các khái niệm arcsinx , arctgx khơng trình bày sách giáo khoa thời Học sinh đọc thấy số tập áp dụng khái niệm sách tham khảo, sách viết theo sách giáo khoa cũ (trước năm 2000) Từ năm 2000 đến khái niệm khơng có sách giáo khoa nên học sinh không b áp dụng phương pháp Vì gặp tích phân dạng ∫1+ x dx ta a dùng phương pháp đổi biến số đặt t = tgx t = cotgx ; b ∫ a 1− x2 dx đặt x = sint x = cost *Một số tập tương tự: 1/ I = ∫ 2x + 2x + dx 2/ I = ∫ x2 +1 x − 16 dx x 3/ I = ∫ x dx − x8 Bài Tính I= ∫ x3 − x2 dx * Biến đổi sai: Đặt x= sint , dx = costdt ∫ x3 − x2 dx = ∫ sin t dt cos t Đổi cận: với x = t = Giáo viên: Võ Tố Như * Trường THPT Số Quảng Trạch ‫٭‬ 10 Một số sai lầm thường gặp tính tích phân với x= t = ? * Nguyên nhân : Khi gặp tích phân hàm số có chứa − x thường đặt x = sint tích phân gặp khó khăn đổi cận cụ thể với x = khơng tìm xác t = ? * Lời giải đúng: Đặt t = − x ⇒ dt = x − x2 dx ⇒ tdt = xdx Đổi cận: với x = t = 1; với x = I =∫ 15 x3 1− x 15 15 = dx (1 − t )tdt = (1 − t )dt =  t − t  ∫ ∫  t   t = 15  15 15 15  33 15 − = =  − −  192 192   * Chú ý : Khi gặp tích phân hàm số có chứa − x thường đặt x = sint gặp tích phân hàm số có chứa 1+x đặt x = tgt cần ý đến cận tích phân cận giá trị lượng giác góc đặc biệt làm theo phương pháp khơng phải nghĩ đếnphương pháp khác * Một số tập tương tự: Giáo viên: Võ Tố Như * Trường THPT Số Quảng Trạch ‫٭‬ 11 Một số sai lầm thường gặp tính tích phân 1/ I = x3 ∫ + x2 2/ I = dx ∫x dx x2 + 1 Bài Tính x2 −1 dx I= ∫ −1 + x   1 −  x   x = dx * Biến đổi sai: thường mắc: I = ∫ ∫ 2   −1 − +x x +  − x2 x   Đặt t = x+ ⇒ dt = 1 − x  x2 1−  dx  Đổi cận với x = -1 t = -2 ; với x=1 t=2; 2 dt 1 − )dt =(ln t + -ln t − ) I=∫ = ∫( t− −2 t − −2 t + = ln 2+ 2− − ln −2+ −2− = ln −2 = ln t+ t− 2 −2 2+ 2− 1− x2 −1 x = * Nguyên nhân : sai [ − 1;1] chứa x = nên 1+ x + x x2 chia tử mẫu cho x = * Lời giải đúng: xét hàm số F(x) = F’(x) = 2 ln 2 x2 − x + x2 + x + (ln x2 − x + x2 + x +1 Giáo viên: Võ Tố Như * )′ = x2 −1 x4 +1 Trường THPT Số Quảng Trạch ‫٭‬ 12 Một số sai lầm thường gặp tính tích phân Do I = x2 −1 x2 − x +1 dx ln = ∫ 2 x2 + x + −1 + x −1 = ln 2− 2+ *Chú ý :Khi tính tích phân cần chia tử mẫu hàm số cho x cần để ý đoạn lấy tích phân phải khơng chứa điểm x = PHẦN III:KẾT LUẬN Nghiên cứu, phân tích số sai lầm học sinh tính tích phân có ý nghĩa lớn q trình dạy học áp dụng sáng kiến giúp học sinh nhìn thấy điểm yếu hiểu biết chưa thật thấu đáo vấn đề từ phát huy học sinh tư độc lập, lực suy nghĩ tích cực chủ động củng cố trau thêm kiến thức tính tích phân từ làm chủ kiến thức, đạt kết cao trình học tập kỳ thi tuyển sinh vào trường đại học, cao đẳng , THCN TÀI LIỆU THAM KHẢO Phương pháp giải tốn Tích phân Giải tích tổ hợp ( Nguyễn Cam – NXB Trẻ ) Phương pháp giải tốn Tích phân (Trần Đức Hun – Trần Chí Trung – NXB Giáo Dục) Giáo viên: Võ Tố Như * Trường THPT Số Quảng Trạch ‫٭‬ 13 Một số sai lầm thường gặp tính tích phân Sách giáo khoa Giải tích 12 (Đồn Quỳnh Chủ biên – NXB GD – 2008) Phương pháp giải tốn Tích phân ( Lê Hồng Đức – Lê Bích Ngọc – NXB Hà Nội – 2005) Sai lầm thường gặp sáng tạo giải toán ( Trần Phương Nguyễn Đức Tấn – NXB Hà Nội – 2004) MỤC LỤC Trang PHẦN I : MỞ ĐẦU I Đặt vấn đề II Cơ sở lý luận III Cơ sở thực tiễn Giáo viên: Võ Tố Như * Trường THPT Số Quảng Trạch ‫٭‬ 14 Một số sai lầm thường gặp tính tích phân PHẦN II : NỘI DUNG I Nội dung cụ thể PHẦN III: KẾT LUẬN I Kết luận 11 II Tài liệu tham khảo 11 Giáo viên: Võ Tố Như * Trường THPT Số Quảng Trạch ‫٭‬ 15 ... Trường THPT Số Quảng Trạch ‫٭‬ Một số sai lầm thường gặp tính tích phân Một số sai lầm học sinh tính tích phân Bài tập minh hoạ: Bài 1: Tính tích phân: I = dx ∫ (x + 1) −2 dx * Biến đổi sai: I =.. .Một số sai lầm thường gặp tính tích phân Tên đề tài: MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI TÍNH TÍCH PHÂN Người thực : Võ Tố Như Tổ : Toán Năm : 2018 – 2019 Giáo viên: Võ Tố Như * Trường THPT Số Quảng... cho khơng kết luận tích phân không tồn * Một số tập tương tự: Tính tích phân sau: Giáo viên: Võ Tố Như * Trường THPT Số Quảng Trạch ‫٭‬ Một số sai lầm thường gặp tính tích phân dx 1/ ∫ (x −