Trần Phương Mai- Một số toán cực trị học lớp 10 PHẦN NỘI DUNG I CƠ SỞ LÝ THUYẾT: Khi giải tập Vật lý, để tính giá trị cực đại cực tiểu đại lượng Vật lý, ta thường dùng số công thức, kiến thức tốn học Do đó, để giải tập cần nắm vững số kiến thức sau đây: Bất đẳng thức Cô si: a + b ≥ ab ( a, b dương) a + b + c ≥ 3 abc ( a, b, c dương) - Dấu xảy số - Khi tích hai số khơng đổi, tổng nhỏ hai số - Khi tổng hai số khơng đổi, tích hai số lớn hai số Bất đẳng thức Bunhiacôpski: (a1b1 + a2b2 ) ≤ (a1 + a2 ) (b1 + b2 ) a b 1 Dấu xảy a = b 2 Tam thức bậc hai: y = f ( x) = ax + bx + c + Nếu a > ymin đỉnh pa rabol + Nếu a < ymax đỉnh parabol Trần Phương Mai- Một số toán cực trị học lớp 10 Tọa độ đỉnh: x = − b ∆ ; y=− ( ∆ = b − 4ac ) 2a 4a + Nếu ∆ = phương trình : y = f ( x) = ax + bx + c = có nghiệm kép +Nếu ∆ > phương trình có hai nghiệm phân biệt Giá trị cực đại hàm số sin cosin: (cos α ) max = ⇔ α = (sin α ) max = ⇔ α = 900 Khảo sát hàm số: - Dùng đạo hàm - Lập bảng xét dấu để tìm giá trị cực đại, cực tiểu Ngồi số tốn khơng cần sử dụng cơng thức tốn mà từ lập luận ta có thể giải quyết được Ví dụ ta có thể vận dụng công thức cộng vận tốc suy luận để giải toán cực trị Vì đọc phân tích đề ta phải lựa chọn cách giải ngắn gọn hay để thực Trần Phương Mai- Một số toán cực trị học lớp 10 II BÀI TẬP VÍ DỤ VẬN DỤNG: 1: Áp dụng bất đẳng thức Cơsi: r Bài tốn 1: Vật m1 chuyển động với vận tốc v1 A đồng thời va chạm với v1' r' v vật m2 nằm yên Sau va chạm, m1 có vận tốc Hãy xác định tỉ số v1 r r m1 để góc lệch α v1 v1' lớn α max Cho m1 > m2, va chạm đàn hồi hệ xem hệ kín BÀI GIẢI r p1 * Động lượng hệ trước va chạm: r r r PT = P1 = m1v1 * Động lượng hệ sau va chạm : r r r r r PS = P1' + P '2 = m1v1' + m2 v 2' Vì hệ kín nên động lượng bảo toàn : r r r PS = PT = P1 r r r r Gọi α = (v1 , v1' ) = ( P1 , PS ) r ps r p2 Trần Phương Mai- Một số toán cực trị học lớp 10 Ta có: P2 '2 = P1'2 + P12 − P1P2 cos α (1) Mặt khác, va chạm đàn hồi nên động bảo toàn: m v m v m v '2 m1v12 m1v1'2 m2 v2 '2 ⇔ 1 = 1 + 2 = + 2m1 2m1 2m2 2 ⇒ P12 − P1'2 P2 '2 m = ⇒ P12 − P1'2 = P2 '2 2m1 2m2 m2 m2 ( P12 − P1'2 ⇔ P2 = (2) m1 '2 Từ(1)và(2) ta suy (1 − m2 P1 m P' m v' m v ) ' + (1 + ) = cos α ⇔ (1 + ) + (1 − ) 1' = cos α m1 P1 m1 P1 m1 v1 m1 v1 Đặt x = m m v1' > ⇒ (1 + ).x + (1 − ) = cos α m1 m1 x v1 Để α max (cos α )  m m 1 Theo bất đẳng thức Côsi (cos α ) ⇔ (1 + ).x + (1 − )  m m x  1  Tích hai số khơng đổi, tổng nhỏ hai số  m   m  ⇒ 1 + ÷.x =  − ÷  m1   m1  x Vậy ⇔x= m1 − m2 m1 + m2 r v1' m1 − m2 r = góc lệch v1 v1' cực đại v1 m1 + m2 P12 P '2 P '2 = + ⇔ 2m1 2m1 2m2 Trần Phương Mai- Một số toán cực trị học lớp 10 m12 − m2 m1 Khi đó, cos α max = Bài tốn Trên đoạn đường thẳng AB dài s=200m, xe khởi hành từ A chuyển động nhanh dần đều với gia tốc a =1m/s2 sau chuyển động chậm dần đều với gia tốc có độ lớn a =2m/s2 dừng lại ở B Tính thời gian ngắn để xe từ A đến B Giải Gọi s1 ,s2 quãng đường xe hai giai đoạn ứng với gia tốc a1, a2 t1,, t2 thời gian xe hai giai đoạn ứng với gia tốc s1, s2 ta có t1 = 2s1 a1 ; 2s2 a2 t2 = tổng giời gian xe t= t1 + t2 = s1 s2 + a1 a2 Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có s1 s2 s1s2 + ≥2 a1 a2 a1a2 Để thời gian xe ngắn s1 s2 s a = ⇒ = = (1) a1 a2 s2 a1 Mặt khác s1 + s2 =200(2) suy s1= 66,67m, s2 = 33,33m Trần Phương Mai- Một số toán cực trị học lớp 10 Vậy t = 15,63 s Bài tốn 3: Một vật nhỏ trượt khơng ma sát từ đỉnh nêm văng theo phương ngang rơi xuống mặt bàn Hỏi h vật rơi xuống mặt bàn ở xa nêm Biết khối lượng nêm lớn so với khối lượng vật Giải: Do khối lượng nêm lớn so với khối lượng vật nên ta coi nêm đứng yên Áp dụng định luật bảo tồn ta tính vận tốc vật rời nêm là: v = g ( H − h) Vật văng xa theo phương nằm ngang, khoảng cách từ vật đến chân nêm vật chạm sàn l = v 2h = g 4h( H − h ) Vật rơi xuống mặt bàn ở xa nêm l = l max Áp dụng bất đẳng thức cosi ta có l = lmaxkhi khi: h = H - h hay h= H từ ta có lmax = H Trần Phương Mai- Một số toán cực trị học lớp 10 H h Áp dụng bất đẳng thức Bunhia Cơpski: Bài tốn 1: Hai chuyển động AO BO cùng hướng về O với v2 = v1 ; α = 300 Khi khoảng cách hai vật cực tiểu dmin khoảng cách từ vật đến O d1' = 30 3(cm) Hãy tính khoảng cách từ vật hai đến O Trần Phương Mai- Một số toán cực trị học lớp 10 BÀI GIẢI Gọi d1, d2 khoảng cách từ vật vật hai đến O lúc đầu ta xét ( t = ) Áp dụng định lý hàm sin ta có: A d d d d d −v t d −v t = = ⇔ = 1 = 2 sin α sin γ sin β sin α sin γ sin β ' ' d v1 Vì v2 = nên ta có: γ α d2 ’ B d d −vt 3d − v1t = 1 = sin 30 sin γ sin β β d1’ Áp dụng tính chất phân thức ta có: d1 − v1t 3d − v1t ( 3d − v1t ) − (d1 − v1t ) 3d − d1 = = = sin γ sin β sin β − sin γ sin β − sin γ ⇒ d 3d − d1 = sin 30 sin β − sin γ Mặt khác, tacó: sin β = sin(1800 − β ) = sin(α + γ ) = sin(300 + γ ) ⇒ sin β = sin(300 + γ ) = 3(sin 300 cos γ + cos 300 sin γ ) = ⇒ d = sin 300 3d − d1 1 cos γ + sin γ − sin γ 2 ⇒d = 3 cos γ + sin γ 2 ( 3d − d1 ) sin 300 3d − d1 = 3 cos γ + sin γ cos γ + sin γ 2 O Trần Phương Mai- Một số toán cực trị học lớp 10 Vậy d = 3d − d1 3d − d1 = y cos γ + sin γ Khoảng cách hai vật dmin ⇔ ymax với y = ( cos γ + sin γ ) Áp dụng bất đẳng thức Bunhia Côpski: ( cos γ + sin γ ) ≤ (( 3) + 12 ).(cos γ + sin γ ) =  ymax= ⇔ Lúc đó: cos γ = ⇒ cot gγ = ⇒ γ = 300 β = 1200 sin γ d1' d 2' sin1200 ' ' = ⇒ d = d1 = 3d1' = 90(m) 0 sin 30 sin120 sin 30 Vậy, khoảng cách từ vật hai đến O lúc là: d2’ = 90(m) *Bài tập này ta có thể sử dụng cơng thức cợng vận tớc để giải Bài tốn 2: Cho hệ hình vẽ: Cho biết: Hệ số ma sát M sàn k2 Hệ số ma sát M m k1 m M r F α Trần Phương Mai- Một số toán cực trị học lớp 10 r Tác dụng lực F lên M theo phương hợp với phương ngang góc α Hãy tìm Fmin để m khỏi M.Tính góc α tương ứng? BÀI GIẢI r Fms12 r r r r + Xét vật m: P1 + N1 + Fms 21 = ma (1) Chiếu lên Ox: Fms21= ma ⇒ a1 = y r N1 r N2 α r P1 Fmn 21 m r Fms r F r Fms 21 O r P2 Chiếu lên Oy: N1 – P1 = ⇒ N1 = P1 ⇒ Fms21= k1.N1 = k1.mg ⇒ a1 = k1mg = k1 g Khi vật bắt đầu trượt thì a1 = k1g m r r r r r r r + Xét vật M: F + P2 + P1 + N + Fms12 + Fms = ( M + m)a2 Chiếu lên trục Ox: F cos α − Fms12 − Fms = ( M + m)a2 ⇒ a2 = F cos α − Fms12 − Fms M +m Chiếu lên Oy: F sin α − ( P1 + P2 ) + N = ⇒ N = P1 + P2 − F sin α Ta có: Fms12 = k1mg Fms = k2 N = k2 ( P1 + P2 − F sin α ) ⇒ a2 = F cos α − k1mg − k2 ( P1 + P2 − F sin α ) M +m x Trần Phương Mai- Một số toán cực trị học lớp 10 Khi vật trượt a1 ≤ a2 ⇒ k1 g ≤ F cos α − k1mg − k2 ( P1 + P2 − F sin α ) M ⇔ k1 gM ≤ F (cos α + k2 sin α ) − k1mg − k2 ( P1 + P2 ) ⇒F≥ (k1 + k2 ) Mg + (k1 + k2 )mg (k1 + k ) Mg + (k1 + k2 )mg = cos α + k2 sin α y Nhận xét: Fmin ⇔ ymax Theo bất đẳng thức Bunhia Côpski: y = (cos α + k2 sin α ) ≤ (12 + k2 )(cos α + sin α ) = + k2 ⇒ ymax = + k2 ( k1 + k2 ) Mg + (2k1 + k2 ) mg Vậy ⇒ Fmin = Lúc đó: sin α k2 = ⇒ tgα = k2 cos α 1 + k2 3.Áp dụng tam thức bậc hai: Bài toán 1: Một kiến bám vào đầu B A cứng mảnh AB có chiều dài L dựng đứng cạnh tường thẳng đứng Vào thời điểm mà đầu B bắt đầu chuyển động sang phải với vận tốc không đổi v theo sàn ngang kiến bắt đầu bò dọc B Trần Phương Mai- Một số toán cực trị học lớp 10 theo với vận tốc khơng đổi u Trong q trình bò , kiến đạt độ cao cực đại sàn? Cho đầu A ln tì lên sàn thẳng đứng r u BÀI GIẢI Khi B di chuyển đoạn s = v.t kiến h đoạn l = u.t B Độ cao mà kiến đạt được: h = l sin α = ut sin α với sin α = ⇒h= L2 − v 2t L u 22 u L t − v t = y L L Vói y = L2t − v t Đặt X = t2 ⇒ y = −v X + L X Nhận xét: hmax ⇔ ymax y tam thức bậc hai có a = - v < ⇒ ymax đỉnh Parabol ⇒ ymax ∆2 L4 L4 =− ⇒ ymax = − = 4a 4(−v ) 4v ⇒ ymax = L4 b L2 X = − = 4v 2 a 2v Vây độ cao mà kiến đạt : hmax = u u.L ymax = L 2v Trần Phương Mai- Một số toán cực trị học lớp 10 Bài toán Hai tàu biển chuyển động với cùng vận tốc hướng tới điểm O hai đường thẳng hợp với góc α = 60 Hãy xác định khoảng cách nhỏ hai tàu Cho biết ban đầu chúng cách O khoảng cách d1 = 60km d2 = 40km Giải Chọn hệ trục tọa độ khơng vng góc hình vẽ Giả sử tàu A chuyển động Oy về O ,tàu B chuyển động Ox về O Phương trình chuyển động chúng lần lược y = 60 − vt (1) x = 40 − vt (2) Tại thời điểm t khoảng cách hai tàu d = OA2 + OB − 2OA.OBCOS 600 A d = x + y − xy.cos 600 d = x + y − xy (3) Thay (1),(2)vào(3) ta d = v 2t − 100vt + 2800(4) y y O 600 B x X Vế phải tam thức bậc hai có giá trị nhỏ − ∆ = 300 ⇒ d = 17,32km 4a *Bài tập này có thể giải bằng cách áp dụng giá trị cực đại của hàm số sin và cosin Trần Phương Mai- Một số toán cực trị học lớp 10 Bài toán 3: Hai vật nhỏ chuyển động hai trục tọa độ vng góc Ox, Oy qua O cùng lúc Vật thứ chuyển động trục Ox theo chiều dương với gia tốc 1m/s2 vận tốc qua O 6m/s Vật thứ hai chuyển động chậm dần đều theo chiều âm trục Oy với gia tốc 2m/s2 vận tốc qua O 8m/s Xác định vận tốc nhỏ vật thứ vật thứ hai khoảng thời gian từ lúc qua O vật thứ hai dừng lại Giải: y Chọn mốc thời gian lúc vật qua O - Phương trình vận tốc vật thứ trục Ox: O v1 = v01 + a1t = + t - Phường trình vận tốc vật thứ hai trục Oy: v2 = v02 + a2t = - + 2t - Khoảng thời gian vật thứ hai dừng lại: v2 = => t = 4s - Vận tốc vật thứ vật thứ hai là: v12 = v1 − v2 Do v1 vng góc với v2 => v12 = v12 + v 22 = (6 + t ) + (−8 + 2t ) => v12 = 5t − 20t + 100 Vế phải tam thức bậc hai có giá trị nhỏ v1 v12 v2 x Trần Phương Mai- Một số toán cực trị học lớp 10 t =− ∆ − (−20) = = (s) < (s) 4a 2.5 Vậy v12 có giá trị nhỏ t = 2s => (v12)min = 5.2 − 20.2 + 100 ≈ 8,94 (m/s) Khi v1 = 8m/s, (v1 , v12 ) = α với Cos α = v1/v12 = 8/8,94 ≈ 0,895 => α = 26,50 - Vậy v12 đạt giá trị nhỏ 8,94m/s thời điểm t = 2s hợp với Ox góc 26,50 Áp dụng giá trị cực đại hàm số sin hàm số cosin: Bài toán 1: Hai vật chuyển động từ A B cùng hướng về điểm O với cùng vận tốc Biết AO = 20km; BO = 30km; Góc α = 600 Hãy xác định khoảng cách ngắn chúng chuyển động? BÀI GIẢI Xét thời điểm t : Vật A ở A’ Vật B ở B’ γ Khoảng cách d = A’B’ d AO − vt O A’ A β BO − vt Ta có: sin α = sin β = sin γ B’ B α Trần Phương Mai- Một số toán cực trị học lớp 10 ⇒ ⇔ d BO − AO 10 = = sin α sin γ − sin β sin γ − sin β d 10 = sin α cos β + γ sin β − γ với β + γ = 120 2 10sin 600 ⇒d = ⇒d = γ − β γ −β cos 600.sin sin 2 Nhận xét: dmin ⇔ (sin γ −β ) =1 ⇒ d = 3(cm) Bài toán Một ô tô chuyển động thẳng đều với vận tốc v1 = 54km/h Một hành khách cách ô tô đoạn a = 400m cách đường đoạn d = 80m, muốn đón tơ Hỏi người phải chạy theo hướng nào, với vận tốc nhỏ để đón tơ? Giải Gọi C vị trí gặp AC = v2 ∆t; BC = v1.∆t (2) A β Áp dụng định lí hàm số d (1) B α (3) C Trần Phương Mai- Một số toán cực trị học lớp 10 Sin cho tam giác ABC Ta có v2 ∆t v1.∆t sin α = ⇒ v2 = v1 sin α sin β sin β Suy : v2 có giá trị ( sin β )max=1 β = 900 d a Do (v2)min = sin α v1 = v1 = 10,8km 5.Bài toán dùng suy luận Bài toán 1:Từ khí cầu cách mặt đất khoảng 15m hạ thấp với tốc độ đều v1=2m/s, từ khí cầu người ta phóng vật nhỏ theo phương thẳng đứng hướng lên với vận tốc đầu vo2= 18m/s mặt đất Tìm khoảng cách lớn khí cầu vật.Bỏ qua ảnh hưởng khơng khí lấy g=10m/s2 Giải Chọn trục toạ độ thẳng đứng chiều dương xuống Phương trình chuyển đơng khí cầu vật x1= 2t Phương trình chuyển động vật x2= -18t +5t2 Phương trình vận tốc khí cầu 1: v1= 2m/s (đ/k t ≤ 7,5s) Phương trình vận tốc vật 2: v2=-18+10t (đ/k t ≤ 3s) Trần Phương Mai- Một số toán cực trị học lớp 10 Khi vật lên khoảng cách vật khí cầu ngày tăng, vật lên đên điểm cao đổi chiều chuyển đơng nhanh dần đều xuống, khoảng cách giũa vật khí cầu vẩn tiếp tục tăng vận tốc vật đạt giá trị vận tốc khí cầu 2m/s Ta có v2=-18+10t = ⇒ t=2s Khoảng cách: dmax=x1-x2=2t-(-18t + 5t2) = 20m *Nếu toán ta dùng hàm bậc hai để xét mặt toán học đơn giản hơn, nhiên ý nghĩa vật lí chưa được tường minh so với cách lí luận Bài toán Hai xe chuyển động hai đường vng góc với nhau, xe A về hướng tây với tốc độ 50km/h, xe B về hướng Nam với tốc độ 30km/h Vào thời điểm xe A B cách giao điểm hai đường 4,4km 4km tiến về phía giao điểm Tìm khoảng cách ngắn giũa hai xe Giải Xét chuyển động tương đối vật so ta có      v12 = v1 + ( −v ) = v1 − v  Đoạn BH vng góc với đường thẳng chứa véc tơ vận tốc v12 khoảng cách ngắn hai xe → dmin= BH Trần Phương Mai- Một số toán cực trị học lớp 10 v tan α = v = → α = 59 , β = 310 dmin=BH= BI sin β = (B0-0I) sin β =(B0-0A.tan α ).sin β = 1,166km ... cách giải ngắn gọn hay để thực Trần Phương Mai- Một số toán cực trị học lớp 10 II BÀI TẬP VÍ DỤ VẬN DỤNG: 1: Áp dụng bất đẳng thức Cơsi: r Bài tốn 1: Vật m1 chuyển động với vận tốc v1 A đồng... Phương Mai- Một số toán cực trị học lớp 10 H h Áp dụng bất đẳng thức Bunhia Cơpski: Bài tốn 1: Hai chuyển động AO BO cùng hướng về O với v2 = v1 ; α = 300 Khi khoảng cách hai vật cực tiểu dmin... thức cộng vận tốc để giải Bài tốn 2: Cho hệ hình vẽ: Cho biết: Hệ số ma sát M sàn k2 Hệ số ma sát M m k1 m M r F α Trần Phương Mai- Một số toán cực trị học lớp 10 r Tác dụng lực F lên M theo