SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG PHƯƠNG ĐẲNG PHÁP CẤP A ĐẶT VẤN ĐỀ Trong q trình giảng dạy mơn tốn tơi thấy việc giải phương trình ,hệ phương trình ,chứng minh bất đẳng thức Nếu sử dụng phương pháp thơng thường có gặp khó khăn chí không giải trọn vẹn Nhưng đưa bậc việc giải lại thuận tiện việc biến đổi dể dàng Sau số ví dụ minh họa củng phương pháp giải B.NỘI DUNG I,PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP: Ở lớp 11việc giải phương trình lượng giác đẳng cấp nói cho bậc Thực ta có phương pháp chung cho bậc n số nguyên dương -Phương trình đẳng cấp bậc nhất: Dạng : asinx +bcosx = (ab ≠ ) (1) Giáo viên : NGUYỄN QUANG MINH *Tổ Toán* SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM (1) ⇔ tan x = - b a (là phương trình ) -Phương trình đẳng cấp bậc hai: Dạng : asin x + bsinxcosx + c cos x = d (2) (2) ⇔ ⇔ asin x + bsinxcosx + c cos x = d(sin x + cos x) (a – d) sin x + bsinxcosx + (b – d) cos x = Đây phương trình mà học sinh đả biết cách giải -Phương trình đẳng cấp bậc ba: Dạng : a sin x + bsin xcosx + c sinxcos x +dcos x = (3) Xét cos x = Nếu cosx ⇔ x= π +kπ ⇒ (3) trở thành ±a =0 (xét trực tiếp ) ≠ (Chia hai vế cho cos x ) (3 ) ⇔ a tan x + b tan x + ctan x + d = Đây phương trình bậc mà ta đả biết cách giải Bằng cách tương tự ta giải phương trình đẳng cấp bậc n ( n ∈ N * ) Ví dụ: Giải phương trình : 2cos x = sin x (1) Giải Nếu khơng cân bậc việc giải sẻ gặp khó khăn , ta làm sau : Giáo viên : NGUYỄN QUANG MINH *Tổ Toán* SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM (1) ⇔ 2co x = sin x (sin x + cos x ) ⇔ sin x + sinxcos x - cos x = (2) Nếu cosx = ⇒ (2) Trở thành : Chia vế (2) cho cos x ⇒ ± = (vơ lí ) (2) ⇔ tan x + tan x – = ⇔ ( tan x -1) (tan x + tan x + 2) = (tan x + tan x + > 0) ⇔ tan x - = ⇔ tan x = ⇔x = Đáp số : x = π π + kπ + k π (k ∈ Z) II,HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP: 1, Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai ẩn: a1 x + b1 xy + c1 y = d1 (1)  2 a2 x + b2 xy + c2 y = d (2) Dạng : Phương pháp giải : Ta giải hệ cách khử số hạng tự vế phải để đưa hệ phương trình đẳng cấp bậc : Giáo viên : NGUYỄN QUANG MINH *Tổ Toán* SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM x y x y 2 Ax + Bxy + Cy = ⇔ y [A( ) + B + C ] = Đây phương trình quen thuộc  x + xy − y = Ví dụ1; Giải hệ phương trình :  2 2 x − xy + y = Giải 4 x + 16 xy − y = 12(1) Hệ đả cho ⇔  2 6 x − xy + y = 12(2) Trừ theo vế ta :  x x  2 x − 19 xy + 17 y = ⇔ y  2( ) − 19 + 17  = ⇔ y  y  y =   2t − 19t + 17 = 0(t = x ) y   x = Nếu : y = hệ trở thành  ( hệ vô nghiệm) 2 x = 4 Giáo viên : NGUYỄN QUANG MINH *Tổ Toán* SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM t = Nếu 2t − 19t + 17 = ⇔  17 t =  *Với t =1 ⇔x = y 3x = Hệ ⇔  4 x = ⇔x = ± ⇔Hệ có nghiệm ( 1; 1) (-1; -1) *Với t = 17 17 y ⇔x = Thay vào hệ ta có 2 17  289 y + y − y2 =    289 y − 17 y + y =  2 ⇔ y2 = ⇔y = ± 139 ⇔ Hệ có nghiệm ( Đáp số 139 17 17 ; ) (− ;− ) 139 139 139 139 Hệ có nghiêm : Giáo viên : NGUYỄN QUANG MINH *Tổ Toán* SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ( 1; 1) ;(-1; -1) ; ( 17 17 17 ; ) ( ; ) (− ;− ) 139 139 139 139 139 139 Ta đưa hệ phương trình hệ đẳng cấp để việc giải thuận tiện : Ví dụ : Giải hệ phương trình  x + x( y − z ) =   z + z ( x − y ) = 16  y − y ( z − x ) = 30  Giải Hệ ⇔  x( x + y + z ) − xyz =  2  y ( y + y + z ) − xyz = 30  z ( x + y + z ) − xyz = 16   x( x + y + z ) − xyz = 2(1)  2 ⇔ ( y − z )( y + y + z ) = 14(2) ( z − x)( x + y + z ) = 14(3)  Giáo viên : NGUYỄN QUANG MINH *Tổ Toán* SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Từ hệ đả cho ta có xyz ≠ (2) (3) Hệ ⇔ ⇒ y = z − x Thay vào hệ ban đầu ta có : 2 x − x z + z x = 2(4)  2 −2 x + x z − xz + z = 14 (5)  y = 2z − x  Lấy (5) – (4).7 ta 2 x3 − x z + z x =  z − 16 x z + 20 x z − 16 x = (*)  Hệ ⇔   y = 2z − x (*) phương trình đẳng cấp ( x ≠ 0) ⇒ (*) ⇔ z 5t − 16t + 20t − 16 = (t = x ) ⇔t − = (Vì 5t − 6t + > 0) 2 x − x z + z x =   y = 3x z = 2x  ⇔ ⇔ (t − 2)(5t ⇔t = ⇒ − 6t + 8) = z = x Ta có hệ ( x; y; z ) = (1;3; 2) Giáo viên : NGUYỄN QUANG MINH *Tổ Toán* SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ( x; y; z ) = (1;3; 2) Đáp số III; CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC CÓ ĐIỀU KIỆN Khi chưng minh bất đẳng thức có điều kiện việc đưa hai vế bất đẳng thức bậc có hiệu Sau số ví dụ minh họa Ví dụ1: Biết x + y = Chứng minh x + y ≥ x3 + y (1) Chứng minh (1) ⇔ 2( x + y ) ≥ 2( x + y ) ⇔ 2( x + y ) ≥ ( x + y )( x + y ) y y ⇔ ( x − y )( x − y ) ≥ ⇔ ( x − y ) [( x + ) + ]≥0 3 ⇔ ( x − y ) ≥ (Điều phải chứng minh) Đẳng thức xẩy ⇔ x = Ví dụ2: Biết y =1 x+ y+ z =3 Giáo viên : NGUYỄN QUANG MINH *Tổ Toán* SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Chứng minh : x + y + z ≥ x + y + z (2) Chứng minh (2) ⇔ 3( x + y + z ) ≥ 3( x3 + y + z ) ⇔ 3( x + y + z ) ≥ 3( x + y + z ) x + y + z ) ⇔ ( x − y )( x − y ) + ( y − z )( y − z ) + ( z − x)( z − x ) ≥ (3) Ta có b b2 (a − b)(a − b ) = (a − b) [(a + ) + ] ≥ ⇔ ( a − b) ≥ ⇒ (3) Được chứng minh Đẳng thức xẩy ⇔ x = Ví dụ3: y = z =1 Cho x > 0, y > x3 + y = x − y x2 + y2 < Chứng minh : (3) Chứng minh: Vì x > 0, y > ⇒ x3 + y = x − y > ⇒ (3) ⇔ Giáo viên : NGUYỄN QUANG MINH *Tổ Toán* SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ( x − y )( x + y ) ≤ x + y ⇔ y (2 y − xy + x ) > y y ⇔ y − xy + x > ⇔ ( x − ) + > ( Điều phải chứng 2 minh ) Ví dụ 4: Biết phương trình : x − x + ax + b = Có ngiệm phân biệt Chứng minh a + 3b > (4) Chứng minh Gọi x;y;z nghiệm phương trình : x − x + ax + b = Theo vi ét ta có x + y + z =   xy + yz + zx = a  xyz = −b  ⇒ (4) ⇔ ( xy + yz + zx ) − xyz > ( xy + yz + zx) > xyz ⇔ ( xy + ⇔ yz + zx) > ( x + y + z )3xyz 10 Giáo viên : NGUYỄN QUANG MINH *Tổ Toán* SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ⇔ ( xy − Ta có yz ) + ( yz − zx) + ( zx − xy > ( xy − yz ) + ( yz − zx) + ( zx − xy = Điều khơng xẩy ⇔x = y= z=0 x, y, z phân biệt ⇒ Điều phải chứng minh Ví dụ 5: Biết x + y ≥ Chứng minh : x + y ≥ x + y (5) Chứng minh (5) ⇔ 2( x Ta có ⇒ + y ) ≥ 2( x + y ) (6) y y2 x + y = ( x + y )[( x − ) + ] > 3 x+ y ≥ ⇔( x + y ( x3 + y ) ≥ 2( x3 + y ) (7)Ta chứng minh 2( x + y ) ≥ ( x + y )( x + y ) ⇔ ( x3 − y )( x − y ) ≥ ⇔ y y2 ( x − y ) [(x − ) + ] ≥ (Đúng) (8 ) 11 Giáo viên : NGUYỄN QUANG MINH *Tổ Toán* SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Từ (6),( 7) ,(8) ⇒ x + y ≥ x3 + y Đẳng thức xẩy x = y =1 Áp dụng phương pháp tương tự mời bạn giải tập sau : BÀI TẬP: 1; Giải phương trình sin x + 4sin x cos x = 2; Giải hệ phương trình  x − xy + y =  3; Giải hệ phương trình  y − xy + = 3x + xy − y = 38  2 5 x − xy − y = 15 4;Cho x, y ∈ R + Chứng minh 5; Biết x3 + y = x2 + y2 ≤ x + y ≥ Chứng minh : x n +1 + y n +1 ≥ x n + y n (n ∈ N ) 12 Giáo viên : NGUYỄN QUANG MINH *Tổ Toán* SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM C.KẾT LUẬN Trên số ví dụ phương pháp giải phương trình hệ, phương trình ,chứng minh bất đẳng thức có điều kiện cách đưa bậc Ngồi ứng dụng vào giải nhiều dạng toán khác hẹn bạn dịp khác Chúc bạn thành công trình học tập rèn luyện Nhận xét tổ chun mơn: Người trình bày : Nguyễn Quang Minh 13 Giáo viên : NGUYỄN QUANG MINH *Tổ Toán* ... π (k ∈ Z) II,HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP: 1, Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai ẩn: a1 x + b1 xy + c1 y = d1 (1)  2 a2 x + b2 xy + c2 y = d (2) Dạng : Phương pháp giải : Ta giải hệ cách khử số... QUANG MINH *Tổ Toán* SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM C.KẾT LUẬN Trên số ví dụ phương pháp giải phương trình hệ, phương trình ,chứng minh bất đẳng thức có điều kiện cách đưa bậc Ngồi ứng dụng vào giải nhiều... 139 139 139 Ta đưa hệ phương trình hệ đẳng cấp để việc giải thuận tiện : Ví dụ : Giải hệ phương trình  x + x( y − z ) =   z + z ( x − y ) = 16  y − y ( z − x ) = 30  Giải Hệ ⇔  x( x + y +