Sáng Kiến Kinh Nghiệm Trường THPT Số I Quảng Trạch A MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài Cơ sở lý luận: Phương trình đường thẳng khơng gian học sinh lớp 12 có ý nghĩa quan trọng, vấn đề thi tốt nghiệp,thi đại học,cao đẳng Nắm vững cách lập phương trình đường thẳng, ứng dụng, giúp học sinh nắm vững chương trình hình học tọa độ khơng gian lớp 12 học kỳ II Cở sở thực tiễn Học sinh lớp 12 số có tư tốn học mộc mạc, việc nắm vững kiến thức địi hỏi có thời gian tập luyện, giáo viên phải giúp học sinh từ dễ đến khó, giúp em từ thấp lên cao.Bên cạnh có số học sinh kiến thức tốt,các em có nhu cầu nâng cao để luyện thi Với lý tơi đến chọn đề tài:một số dạng tốn lập phương trình đường thẳng khơng gian cho học sinh lớp 12 II Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp nghiên cứu lý luận Phương pháp điều tra thực tiễn Phương pháp thực nghiệm sư phạm Phương pháp thống kê III Ứng dụng sáng kiến kinh nghiệm: - ứng dụng vào tiết dạy lớp - Ứng dụng vào tiết học phụ đạo,học thêm,luyện thi B PHẦN NỘI DUNG I kiến thức cần nắm Trong phần phương trình đường thẳng, SGK trình bày phương trình tham số trước sau đến phương trình tắc,sách giáo khoa khơng dùng phương trình tổng quát Cách trình bày tự nhiên, hợp lý, nói đến phương trình đường thẳng, ta nghĩ tới xác định điểm véc tơ phương Véc tơ phương đường thẳng: Phần giáo viên cần khắc sâu khái niệm véc tơ phương cho học sinh a) Véc tơ phương r r Véc tơ r u véc tơ phương đường thẳng D u Khác o có giá song song hoạc trùng với đường thẳng D b) tích có hướng hai véc tơ: r Định nghĩa: tích có hướng hai véc tơ u = (a, b, c) r r r véc tơ v = (a ', b ', c ') véc tơ ký hiệu éëu, v ùû xác định sau Trần Thị Kim Tuyến Trường THPT Số Quảng Trạch Sáng Kiến Kinh Nghiệm r r æb c c a Trường THPT Số I Quảng Trạch ab ö ộởu, v ựỷ = ỗ ; ; ữ =(bc'-b'c;ca'-c'a;ab'-a'b) b 'c ' c ' a ' a 'b ' è ø Tính chất: r rr r r i a phương b Û a, b = rr r rr r ii a, b ^ a a, b ^ b rr rr iii a, b = a b sin j ( j góc vectơ ) [ ] [ ] [ ] [ ] Phương trình tham số đường thẳng: Muốn lập phương trình tham số đường thẳng D , ta cần tìm điểm thuộc đường thẳng véc tơ phương đường thẳng Nếu đường thẳng D qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) có véc tơ phương uur u = (a; b; c) ( a + b + c ¹ ) phương trình tham số đường thẳng D cần tìm là: ìx = x0 + at ï íy = y0 + bt ïz = z + ct ợ t ẻR Giỏo viờn giúp học sinh đưa phương pháp lập phương trình tham số đường thẳng qua bước:uur B1: Tìm véc phương u = (a; b; c) đường thẳng D B2: Tìm điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) thuộc D B3: Phương trình tham số đường thẳng D ìx = x0 + at ï íy = y0 + bt ùz = z + ct ợ t ẻR 3.Phng trình tắc đường thẳng: Nếu đường thẳng D qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) có véc tơ phương uur u = (a; b; c) ( abc ¹ ) phương trình tắc đường thẳng D cần tìm là: x - x0 y - y0 z - z0 = = a b c II Các dạng toán liên quan Chuyển dạng phương trình đường thẳng a,Dạng Đường thẳng d cho dạng hai mặt phẳng (P),(Q).Để chuyển d dạng tham số ta có cách sau: cách 1: Tìm hai điểm A,B thuộc d uuur Đường thẳng d xác định:đi qua A có véc tơ phương AB Trần Thị Kim Tuyến Trường THPT Số Quảng Trạch Sáng Kiến Kinh Nghiệm Trường THPT Số I Quảng Trạch Cách 2: tìm điểm A thuộc d tìm véc tơ phương d ur cách: r uur gọi u véc tơ phương d n1 , n2 vé tơ pháp tuyến (P),(Q) ur uur r ur uur ta có d vng góc với n1 , n2 nên u = éë n1 , n2 ùû ì( P ) ta gán ẩn theo tham số t tìm hai ẩn cịn ( Q ) ỵ Cách 3: hệ í lại theo t b, dạng x - x0 y - y0 z - z0 = = a b c x - x0 y - y0 z - z0 = = =t a b c d cho dạng tắc d: Để chuyển d dạng tham số ta đặt ta có ìx = x0 + at ï íy = y0 + bt ïz = z + ct ợ t ẻR CH í nu d cho dạng tham số muốn chuyển dạng tắc ta cần khử t phương trình tham số BÀI TẬP chuyển d dạng tham số a, d: x y -1 z + = = -5 b,d giao tuyến hai mặt phẳng (P):x+2y-x+1=0 (Q)x+y+2z+3=0 giải x y -1 z + = = =t (t Ỵ R) -5 ì x = 2t ta ïí y = + t (t Ỵ R) ï z = -2 - 5t ỵ a, đặt b, cách ìx + y +1 = ì x = -5 Ûí îx + y + = îy = cho z=0 ta í vậyurđiểm A(-5;2;0)Ỵ d gọi n1 = (1; 2; -1) véc tơ pháp tuyến mặt phẳng (P) uur n2 = (1;1; 2) véc tơ pháp tuyến mặt phẳng (Q) ur uur đường thẳng d vng góc với n1 , n2 nên d có véc tơ phương r ur uur u = éë n1 , n2 ùû =(5;-3;1).Vậy phương trình tham số đường thẳng d Trần Thị Kim Tuyến Trường THPT Số Quảng Trạch Sáng Kiến Kinh Nghiệm Trường THPT Số I Quảng Trạch ì x = -5 + 5t ï í y = - 3t (t ẻ R) ù z = -t ợ ỡx + y +1 = ì x = -5 Ûí ỵx + y + = ỵy = cách cho z=0 ta í điểm A(-5;2;0)Ỵ d ìx + y = ì x = -10 Ûí ỵx + y + = ỵy = điểm B(-10;5;1)Ỵ d cho z=1 ta í đường thẳng d xác định:đi qua A(-5;2;0) véc tơ phương r uuur u = AB = (-5;3;1) phương trình tham số ì x = -5 - 5t ï í y = + 3t (t Ỵ R) ïz = t ỵ cho z=t ta cách ìx + y - t +1 = í ỵ x + y + 2t + = ì x = -5 - 5t Ûí ỵ y = + 3t phương trình tham số d ì x = -5 - 5t ï í y = + 3t (t Ỵ R) ïz = t ỵ Lập phương trình đường thẳng a dạng 1-dạng viết phương trình tham số đường thẳng d trường hợp qua hai điểm phân biệt A(1;0;-2) B(2;1;1) giải uuur ta có AB = (1;1;3) Đường thẳng d xác định: qua A (1;0;2) có véc tơ phương r uuur u = AB = (1;1;3) phương trình t(ham số ìx = 1+ t ï tỴ R) íy = t ï z = -2 + 3t ỵ qua A(2;-1;3) vng góc với mặt phẳng (P) có phương trình x+y-z+5=0 giải Trần Thị Kim Tuyến Trường THPT Số Quảng Trạch Sáng Kiến Kinh Nghiệm Trường THPT Số I Quảng Trạch r mặt phẳng (P) có véc tơ pháp tuyến n = (1;1; -1) Vì d vng góc với (P) nên d nhận véc tơ pháp tuyến (P) làm véc tơ phương Đường thẳng d xác định :đi qua A(2;-1;3) véc tơ phương r r u = n = (1;1; -1) phương trình tham số ìx = + t ï í y = -1 + t ïz = - t ợ (t ẻ R) 3.lp ptts ng thng d qua M(1;1;2) song song với đường thẳng ì3 x - y + z - = îx + 3y - 2z + = d': í giải r xét thấy MÏ d'.Gọi u véc tơ phương d,ta có r ỉ -1 2 3 - r u =ỗ ; ; ÷ =(-4;8;10) chọn u =(-2;4;5) è - -2 1 ø ìqua đường thẳng d qua M song song với d' nên ta có d: ïí ïỵvtcp ì x = - 2t phương trình tham số d là: ïí y = + 4t ï z = + 5t ỵ M (1;1; 2) r u = (-2; 4;5) (t Ỵ R) 4.trong không gian Oxyz cho hai điểm A(1;4;2),B(-1;2;4).Gọi G trọng tâm tam giac OAB.viết phương trình đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (OAB) G giải ta có G(0;2;2) véc tơ pháp tuyến (OAB)được xác định : r uuur uuur n = éëOA ; OB ùû = (12; -6; 6) = 6(2; -1;1) đường thẳng d vng goc với (OAB) nên có véc tơ phương r u = (2; -1;1) qua G(0;2;2) ì x = 2t phương trình tham số ïí y = - t ïz = + t ợ tẻR b, dng 2-lp phng trỡnh ng thng d qua điểm vng góc với hai đường thẳng d',d'' lập phương trình đường thẳng d qua điểm A(0;1;1) vng góc với hai đường thẳng d',d'' biết: d': x -1 y + = =z ìx + y - z + = îx +1 = d'' : í giải Trần Thị Kim Tuyến Trường THPT Số Quảng Trạch Sáng Kiến Kinh Nghiệm uur ur Trường THPT Số I Quảng Trạch uur gọi u , u1 , u2 theo thứ tự véc tơ phương đường thẳng d,d',d''.ta có: uur ur u1 = (8;1;1) , u2 = (0; -1; -1) đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng d',d'' ta có r ur r ỉ1 1 ùỡu ^ u1 ; uur u = ỗ ớr ïỵu ^ u2 è -1 -1 -1 r u = (0;1; -1) ìqua đường thẳng d thỏa mản ïí ïỵvtcp ÷ =(0;8;-8) -1 ø 8 ; 0 chọn A(0;1;1) r u = (0;1; -1) ìx = phương trình tham số d ïí y = + t ùz = 1- t ợ tẻR c dạng Lập phương trình đường thẳng qua điểm ,vng góc với đường thẳng d' cắt đường thẳng d'' 1.Lập phương trình đường thẳng qua A(0;1;1) ,vng góc với đường thẳng d'và cắt đường thẳng d'' ìx = 1- t biết d': ïí y = t ù z = -1 ợ tẻR ;d'': ỡ x = 2t ' ï í y = 1+ t ' ùz = t ' ợ t 'ẻ R bi gii cách giả sử d đường thẳng cần dựng ,khi d giao tuyến hai mặt phẳng (P),(Q) với (P) mặt phẳng qua A(0;1;1) Và vuông góc với d';(Q)là mặt phẳng qua A(0;1;1) chứa d'' ìqua mặt phẳng (P) xác định ïí ïỵvtpt A(0;1;1) r ur n = u1 = (-1;1;0) (P) :x-y+1=0 ìqua mặt phẳng (Q) xác định ïí ïỵvtpt A(0;1;1) r uur uuuur (Với M(0;1;0) n = éëu2 AM ùû = (-1; 2;0) thuộc d'') (Q) :x-2y+2=0 d có dạng ìx - y +1 = hay í ỵx - y + = ìx = ï íy =1 ùz = 1- t ợ tẻR cỏch gi (P) mặt phẳng qua A vng góc với d' Trần Thị Kim Tuyến Trường THPT Số Quảng Trạch Sáng Kiến Kinh Nghiệm Trường THPT Số I Quảng Trạch ìqua mặt phẳng (P) xác định ïí ïỵvtpt A(0;1;1) r ur n = u1 = (-1;1;0) (P) :x-y+1=0 Gọi điểm B giao điểm d'' (P) ta tìm B(0;1;0) ìqua đường thẳng d xác định ïí phương trình tham số A(0;1;1) uuur AB = (0; 0; -1) ïỵvtcp ìx = ï íy =1 ïz = 1- t ỵ tỴR cách giảuuu sử d đường thẳng cần dựng cắt d'' B B(2t';1+t';t') r Þ AB = (2t '; t '; t '- 1) ur d' có véc tơ phương u1 = (-1;1;0) Vì d vng góc d' nên uuur ur uuur ur AB ^ u1 Û AB u1 = Û -2t '+ t ' = Û t ' = o uuur Þ AB = (0;0; -1) ìqua đường thẳng d xác định ïí phương trình tham số A(0;1;1) uuur AB = (0; 0; -1) ïỵvtcp ìx = ï ớy =1 ùz = 1- t ợ tẻR bi 2.(D-2006) cho A(1;2;3) ,Và hai đường thẳng d': d'': x -2 y +2 z -3 = = -1 x -1 y -1 z +1 = = -1 viết phương trình đường thẳng d qua A ,vng góc d' cắt d'' giải cách giả sử d cắt d'' B ,suy B(1-t;1+2t;-1+t) uuur AB = (-t ; 2t - 1; t - 4) uuur AB xem vtcp d ur d' có vtcp u1 = (2; -1;1) uuur ur uuur d ^ d1 Û AB u1 = Û -2t - 2t + + t - = Û t = -1 Þ AB = (1; -3; -5) ìqua A(1; 2;3) uuur ïỵvtcp AB = (1; -3;5) vạy d xác định ïí Trần Thị Kim Tuyến Trường THPT Số Quảng Trạch Sáng Kiến Kinh Nghiệm ìx = 1+ t Ptts ïí y = - 3t ï z = - 5t ỵ Trường THPT Số I Quảng Trạch tỴR (cách 2,3-tự giải Bài Tập 3.(B-2004) ì x = -3 + 2t cho A(-4;-2;-4) đường thẳng d : ïí y = - t t Ỵ R ï z = -1 + 4t ỵ viết phương trình đường thẳng qua A cât vng góc với d d dạng Lập phương trình đường thẳngd qua điểm cắt hai đường thẳng d' ,d'' BÀI Lập phương trình đường thẳngd qua A(1;1;1)và cắt hai đường ìx + y + z - = ỵ y + z -1 = ìx - y - 2z + = ỵ y - z +1 = thẳng d' ,d''.với d' í d'' í giải cách giả sử d đường thẳng cần dựng,khi d giao tuyến hai mặt phẳng (P),(Q) Với (P) qua A chứa d' (Q) di qua A chứa d'' ta lập (P): x+y+z-3=0 (Q) :x-8y+4z+3=0 ìx + y + z - = ỵx - y + 4z + = phương trình đường thẳng d í hay phương trình tham số ì x = - 4t ï í y = 1+ t ù z = + 3t ợ tẻR CCH gọi (P) mặt phẳng qua Avà chứa d'.(P) có phương trình (P): x+y+z-3=0 gọi B giao điểm (P) d''.tọa độ B nghiệm hệ ì ï x = -1 ìx + y + z - = ï ï ï x y z + = Û í íy = ï y - z +1 = ï ỵ ù ùợ z = ị B(-1; ; ) 2 gọi d đường thẳng qua A,B.phương trình d Trần Thị Kim Tuyến Trường THPT Số Quảng Trạch Sáng Kiến Kinh Nghiệm Trường THPT Số I Quảng Trạch ì x = - 4t ï í y = 1+ t ï z = + 3t ỵ tỴR d đường thẳng cần dựng BÀI lập phương trình đường thẳng d qua A(1;1;0) cắt hai đường thẳng d',d'' ,với ìx = 1+ t d' : ïí y = -t (t Ỵ R) ïz = ỵ ìx = ï d '' : í y = ïz = + t ' ỵ giải cách 1; cách (như 4) cách giả sử d đường thẳng cần dựng cắt d',d'' theo thứ tự B,C ú B ẻ d ' ị B(1 + t; -t;0) C ẻ d '' ị C (0; 0; + t ') ba điểm A,B,C thẳng hàng ta ì -1 t -t - ït = = = Ûí -1 -1 + t '' ïỵt ' = -2 ì 1 ï B( ; ; 0) Þí 2 ïỵC (0;0; 0) ìx = t Đường thẳng d : ïí y = t ïz = ỵ tỴR cho A(0;1;2) hai đường thẳng x y -1 z +1 = = -1 ìx = 1+ t ï d : í y = -1 - 2t t Ỵ R ïz = + t ợ tỡm cỏc im M ẻ d1 ; N Ỵ d cho M;N;A thẳng hàng d1 : d dạng Lập phương trình đường thẳng song song với đường thẳng cắt hai đường thẳng hai đường thẳng 1.lập phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng d1 , cắt hai đường thẳng d ; d3 với Trần Thị Kim Tuyến Trường THPT Số Quảng Trạch Sáng Kiến Kinh Nghiệm Trường THPT Số I Quảng Trạch x y -1 z - = = 1 x -1 y - z - d2 : = = x y -1 z d3 : = = 1 d1 : r 2.Cho A(-1;2;-3) véc tơ a = (6; -2; -3) đường thẳng d có phương ì x = + 3t trình ïí y = -1 + 2t ï z = - 5t ỵ tỴR r Viết phương trình đường thẳngđi qua A,vng góc với giá a đồng thời cắt d e dạng Lập phương trình đường thẳng vng góc với măt phẳng cắt hai đường thẳng ví dụ viết phương trình đường thẳng d vương góc với mặt phẳng tọa độ (Oxy) cắt hai đường thẳng ìx = t ï d ' : í y = -4 + t ùz = - t ợ tẻR 4(khi D-2009) cho đường thẳng d: ì x = - 2t ' ï d '' : í y = -3 + t ' ï z = - 5t ' ỵ t 'Ỵ R x+2 y-2 z = = mặt phẳng (P):x+2y-3z+4=0 1 -1 viết phương trình đường thẳng d' nằm (P)và d' vng góc với d 5.(khối A 2007) cho hai đường thẳng x y -1 z + d1 : = = -1 ì x = -1 + 2t ï d2 í y = + t tẻR ùz = ợ a, chứng minh hai đường thẳng chéo b,viết phương trinhg đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (P): 7x+y-4z=0 cắt hai đường thẳng d1 ; d e dạng Lập phương trình đường vng góc góc chung hai đường thẳng chéo 1.cho x y -1 z + = = ; 1 ì x +1 = y -1 ï d2 : í ïỵ z = d1 : lập phương trình đường vng góc chung cua hai đường thẳng đó? giải(cách 1) Trần Thị Kim Tuyến 10 Trường THPT Số Quảng Trạch Sáng Kiến Kinh Nghiệm Trường THPT Số I Quảng Trạch giả sử MN đường vương góc chung d1 ; d ( M Ỵ d1 ; N Ỵ d ) M ẻ d1 ị M (2t ;1 + t ; -2 + t ) N Î d Þ N (-1 + 2s;1 + s;3) uuuur Þ MN = (2t + - 2s; -t - s; t - 5) MN đường vuông góc chung ta có uuuur ur ìï MN u1 = o ì6t - 3s = ìt = Ûí Ûí í uuuur uur ỵ3t - 5s = -2 îs = ïî MN u2 = vây ta có M (2;0;1); N (1; 2;3) uuuur Þ MN = (1; -2; -4) phương trình đường vng góc chung ìx = + t ï í y = -2t ï z = -1 - 4t ỵ 5.(khối B-2009) cho mặt phẳng (P):x-2y+2z-5=0 hai điểm A(-3;0;1),B(1;-1;3) Trong đường thẳng qua Avà song song với (P),hảy viết phương trình đường thẳng mà khoảng cách từ B đến đường thẳng nhỏ C.PHẦN KẾT LUẬN phương trình đường thẳng khơng gian đề tài phong phú với mổi giáo viên dạy toán chúng ta.Đã sẻ có nhiều người quan tâm.sáng kiến kinh nghiệm đưa số vấn đề nhỏ ,và chắn có rấ nhiều tồn thiếu sót.Mong bạn dọc chân thành góp ý thêm,và phát triển thêm.Xin chân thành cảm ơn! Quảng trạch,tháng năm 2011 giáo viên Trần Thị Kim Tuyến Trần Thị Kim Tuyến 11 Trường THPT Số Quảng Trạch Sáng Kiến Kinh Nghiệm Trường THPT Số I Quảng Trạch BỘ GIÁO DỤC VÀ O TO TRNG THPT SÔ I QUNG TRCH T TOAN SÁNG KINH NGHIỆM TỐN HỌC Đề Tài: phương trình đường thẳng mặt phẳng cho học sinh lớp 10 ban c bn GIO VIấN:Trần Thị Kim Tuyến Năm học Trần Thị Kim Tuyến 12 2008-2009 Trường THPT Số Quảng Trạch Sáng Kiến Kinh Nghiệm Trường THPT Số I Quảng Trạch Trần Thị Kim Tuyến 13 Trường THPT Số Quảng Trạch Sáng Kiến Kinh Nghiệm Trường THPT Số I Quảng Trạch Trần Thị Kim Tuyến 14 Trường THPT Số Quảng Trạch ... : d dạng Lập phương trình đường thẳng song song với đường thẳng cắt hai đường thẳng hai đường thẳng 1 .lập phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng d1 , cắt hai đường thẳng d ; d3... viết phương trình đường thẳng qua A cât vng góc với d d dạng Lập phương trình đường thẳngd qua điểm cắt hai đường thẳng d'' ,d'''' BÀI Lập phương trình đường thẳngd qua A(1;1;1)và cắt hai đường. .. vectơ ) [ ] [ ] [ ] [ ] Phương trình tham số đường thẳng: Muốn lập phương trình tham số đường thẳng D , ta cần tìm điểm thuộc đường thẳng véc tơ phương đường thẳng Nếu đường thẳng D qua điểm M (