Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi tập Bất đẳng thức chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển lực học sinh CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự – Hạnh phúc ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN Kính gửi: Hội đồng sáng kiến cấp ngành, Sở GDĐT Ninh Bình Chúng tơi, gồm: Nguyễn Tiên Tiến Hoàng Thị Năm Phùng Thị Hằng Là nhóm tác giả đề nghị xét cơng nhận sáng kiến: Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi tập Bất đẳng thức chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển lực học sinh - Lĩnh vực áp dụng: Giảng dạy môn Toán cấp THPT, đặc biệt lớp 10 lớp 12 II NỘI DUNG SÁNG KIẾN Giải pháp cũ thường làm Qua thực tế giảng dạy thân dựa vào kết lấy phiếu điều tra đối giáo viên dạy Tốn 10 kinh nghiệm, tình hình giảng dạy Bất đẳng thức chương trình Đại số 10, xin đánh giá ưu điểm hạn chế sau: - Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B Trang 1/5 Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi tập Bất đẳng thức chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển lực học sinh Giáo viên giảng dạy theo tiến trình sách giáo khoa Cách làm có ưu điểm học sinh dễ theo dõi giảng giáo viên với việc xem sách giáo khoa Tuy nhiên, khuôn khổ số trang nên sách giáo khoa khơng trình bày đầy đủ dạng bất đẳng thức thường gặp kỳ thi lời giải ví dụ trình bày chi tiết lại khơng có phân tích để học sinh nhận biết, thơng hiểu định nghĩa đơn vị kiến thức Đồng thời, học sinh khơng cung cấp thêm ví dụ minh họa để hiểu rõ chất khái niệm tốn học đơn vị kiến thức Giáo viên thường sử dụng ví dụ tập tự luận giảng dạy lý thuyết Sau làm xong ví dụ tập học sinh khơng cung cấp tập tự luyện để có “cơ hội” thực hành Hệ thống câu hỏi trắc nghiệm khách quan chưa xây dựng đủ bốn mức độ nằm rải rác sách tham khảo, giảng dạy tách rời với phần tự luận Điều vừa nhiều thời gian vừa hạn chế việc rèn kỹ làm tập tự luận, câu hỏi trắc nghiệm cho học sinh Giáo viên sử dụng câu hỏi trắc nghiệm khách quan tiết ôn tập, tiết tự chọn học thêm buổi chiều câu hỏi xây dựng thành chủ đề câu hỏi lại rời rạc, riêng lẻ, liên quan đến khơng thành hệ thống Cách làm có ưu điểm học sinh tập trung rèn luyện kỹ làm trắc nghiệm dễ nhận dạng câu hỏi trắc nghiệm khách quan Học sinh giải biết chưa biết cách đặt vấn đề khai thác phát triển tốn tìm tốn “họ hàng” Do đó, học sinh khó hình dung u cầu đặt trước thông tin, liệu cho trước Giải pháp cải tiến Trên sở kết lấy phiếu điều tra giáo viên, đánh giá ưu điểm hạn chế giải pháp cũ thường làm, xây dựng tài liệu dạy học nội dung Bất đẳng thức chương trình Đại số 10 với cải tiến sau: Giải pháp 1: Thiết kế nội dung kiến thức Kiến thức thiết kế tiến trình sách giáo khoa để giáo viên, học sinh tiện theo dõi, có bổ sung hệ thống lại bảy phương pháp, kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức thường gặp kỳ thi Mỗi phương pháp, kỹ thuật chúng tơi trình bày ba phần: Nội dung phương pháp, Ví dụ tự luận điển hình Câu hỏi trắc nghiệm khách quan Giải pháp 2: Thiết kế phần ví dụ tự luận điển hình Ngồi việc trình bày kiến thức có sách giáo khoa (khơng trình bày lại cách chứng minh định lý), bổ sung số kiến thức cập nhật cho thi THPT Quốc gia Ứng với phương pháp chứng minh bất đẳng Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B Trang 2/5 Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi tập Bất đẳng thức chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển lực học sinh thức có ví dụ minh họa, phân tích nhận xét, bình luận lời giải trình bày nhiều cách để học sinh hiểu rõ chất phương pháp cách tiếp cận vấn đề Bên cạnh đó, sau ví dụ tự luận điển hình, chúng tơi có giới thiệu thêm tập tự luyện để học sinh có “cơ hội” thực hành mà khơng cần nhiều thời gian tìm kiếm tài liệu tham khảo Giải pháp 3: Thiết kế hệ thống câu hỏi trắc nghiệm khách quan Trên sở chuẩn kiến thức, kỹ bất đẳng thức, kinh nghiệm giảng dạy ôn thi kỳ thi, xây dựng hệ thống câu hỏi trắc nghiệm khách quan theo phương pháp chứng minh bất đẳng thức Việc xây dựng hệ thống câu hỏi trắc nghiệm khách quan theo phương pháp chứng minh bất đẳng thức mặt vừa giúp giáo viên có tư liệu dạy học vừa giúp học sinh có tài liệu luyện tập Bên cạnh đó, chúng tơi liên hệ đến số vấn đề liên quan giải phương trình, hệ phương trình tốn có chứa tham số liên quan đến điều kiện có nghiệm phương trình, hệ phương trình BI HIỆU QUẢ KINH TẾ VÀ XÃ HỘI DỰ KIẾN ĐẠT ĐƯỢC Hiệu kinh tế Thứ nhất, xét mặt thời gian Để biên soạn hệ thống câu hỏi tập cho chủ đề chuyên đề dạy học, luyện thi giáo viên phải nhiều thời gian tìm kiếm, biên tập lại từ tài liệu internet sách tham khảo cho phù hợp với yêu cầu chuẩn kiến thức, kỹ lực học sinh Học sinh có nhu cầu tìm kiếm tập để tự luyện phải tìm kiếm nhiều tài liệu hệ thống lại Các sách tham khảo (có liên quan đến chủ đề bất đẳng thức lớp 10) tính đến thời điểm tác giả viết sáng kiến ví dụ tập chủ yếu dạng tự luận Vì vậy, để xây dựng hệ thống câu hỏi tập trắc nghiệm khách quan cho chủ đề bất đẳng thức cần phải đầu tư thời gian để xây dựng phương án nhiễu Như vậy, để có hệ thống câu hỏi tập bất đẳng thức bao gồm tự luận trắc nghiệm khách quan đỏi hỏi nhiều thời gian tìm kiếm xếp, đó, với sáng kiến này, giáo viên học sinh sử dụng để giảng dạy, ôn tập luyện thi Trung học phổ thông Quốc gia Nếu cần giáo viên bổ sung hàng năm để có tài liệu đa dạng, phong phú tập cho riêng phù hợp với đối tượng học sinh lớp giảng dạy Thứ hai, xét mặt tài Để viết nên tài liệu này, không kể tài liệu giáo khoa (học sinh giáo viên có), khơng kể nhiều truy cập internet, nhiều để sáng tác toán, tác giả phải đọc số đầu sách tham Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B Trang 3/5 Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi tập Bất đẳng thức chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển lực học sinh khảo Trong với tài liệu này, giáo viên cần in in tài liệu với giá không 15.000 đồng Hiệu xã hội Ngay sau văn số 4818/BGDĐT-KTKĐCLGD ngày 28/09/2016 việc Tổ chức Kỳ thi THPT quốc gia tuyển sinh ĐH, CĐ hệ quy năm 2017 Bộ GDĐT ban hành, có nội dung thi mơn Tốn thi theo hình thức trắc nghiệm khách quan, đề thi có 50 câu hỏi từ năm 2019 trở đi, nội dung thi nằm Chương trình cấp THPT, tác giả tiến hành xây dựng tài liệu hoàn thiện dần qua năm học Nội dung tài liệu thầy, cô trường sử dụng để giảng dạy khóa ôn luyện thi Trung học phổ thông Quốc gia, bồi dưỡng học sinh giỏi bước đầu cho thấy tính khả thi phổ dụng sáng kiến Nhiều học sinh sử dụng tài liệu để tự học, tất nhiên cần có hướng dẫn giáo viên đạt thành tích cao học tập Điều cho thấy, sáng kiến tiếp tục hồn thiện, bổ sung tài liệu bổ ích để học sinh tự học Từ đó, tạo hứng thú, tự tin học tập, góp phần bồi dưỡng lực tự học nâng cao chất lượng, hiệu học tập học sinh IV ĐIỀU KIỆN VÀ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG Điều kiện áp dụng Sáng kiến tác giả triển khai thực từ năm học 2017 – 2018 nhà trường hoàn thiện dần qua năm học Qua thực nghiệm tiến hành áp dụng hai năm học vừa qua, kết tài liệu hữu ích cơng tác giảng dạy giáo viên công tác ôn tập học sinh Đồng thời, chất lượng giảng dạy học tập nội dung bất đẳng thức nâng lên đáng kể, đặc biệt tạo hứng thú góp phần bồi dưỡng lực tự học, tự nghiên cứu cho học sinh lớp mũi nhọn Vì vậy, sáng kiến áp dụng cho trường THPT địa bàn tỉnh toàn quốc Khả áp dụng Sáng kiến tài liệu tham khảo hữu ích cho giáo viên, học sinh áp dụng giảng dạy trường THPT Tài liệu đồng nghiệp trường địa bàn huyện đánh giá cao chất lượng nội dung, phương pháp mục tiêu dạy học Danh sách người tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu (tất giáo viên công tác trường THPT Gia Viễn B): STT Họ tên Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B Hoàng Thị Năm Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi tập Bất đẳng thức chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển lực học sinh Đào Thị Nụ Đặng Đình Phương Chúng xin cam đoan thông tin nêu đơn trung thực, thật hoàn toàn chịu trách nhiệm trước pháp luật./ Xác nhận Ban giám hiệu Gia Viễn, ngày 15 tháng 05 năm 2019 Người nộp đơn Nguyễn Tiên Tiến Hoàng Thị Năm Phùng Thị Hằng Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B Trang 5/5 Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi tập Bất đẳng thức chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển lực học sinh PHỤ LỤC PHẦN LÝ THUYẾT VỀ BẤT ĐẲNG THỨC I Bất đẳng thức giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Bất đẳng thức Định nghĩa: Giả sử a b hai số thực, mệnh đề " a > b "," a < b "," a ≥ b "," a ≤ b" gọi sai bất đẳng thức Một bất đẳng thức Chứng minh bất đẳng thức chứng minh bất đẳng thức nghĩa: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Định Cho f biểu thức chứa biến (chứa biến nhiều biến) biến số thỏa mãn điều kiện T a) Số M gọi giá trị lớn biểu thức f , viết M = max f , nếu: (1) f ≤tại M với giásố trị biến điều kiện T (2) Tồn giá trị biến thỏa mãn điều kiện T thỏa cho f mãn =M b) m giá trị điều nhỏkiện biểu thức f , viết m = f , nếu: (1) Số f ≥ m với giá trịgọi biến thỏa mãn T (2) Tồn giá trị biến số thỏa mãn điều kiện T cho f = m Đặc biệt, hàm số y = f (x) đạt giá trị lớn M tập D ta ký hiệu M = max f (x) M = max f (x) ; hàm số y = f (x) đạt giá trị nhỏ m tập D D x∈D ta ký hiệu m = f (x) m = f (x) D Nhận xét x∈D Để giá trị lớnđây:nhất (tương tự giá trị nhỏ nhất) biểu thức f , ta trình bày lờitìm giải theo bước -trong Bước 1: Chứng minh với giá trị biến số thỏa mãn điều kiện T , ta có f ≤ M , M số không phụ thuộc vào biến f - Bước 2: Chứng minh tồn giá trị biến (khơng thiết phải tìm tất cả) thỏa mãn điều kiện T cho f = M - Bước 3: Kết luận max f = M II Các tính chất bất đẳng thức Trong chứng minh bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức, thường sử dụng tính chất sau bất đẳng thức: a > b b > c ⇒ a > c a>b⇔a+c>b+c Nếu c > a > b ⇔ ac > bc Nếu c < a > b ⇔ ac < bc a > b c > d ⇒ a + c > b + d a > b ≥ c > d ≥ ⇒ ac > bd a > b ≥ n ∈ * a>b≥0⇔ a> ⇒ a n > bn b Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B Trang 1/46 Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi tập Bất đẳng thức chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển lực học sinh a > b ⇔ a > b 10 11 a ≥ 0, b ≥ ⇒ a≥b>0⇒ 1 ≤ a+ b≥ a + b a + b ≥ a + b a 12 13 14 15 b a2 ≥ 0, ∀a ∈ Đẳng thức xảy a = − a ≤ a ≤ a , với a ∈ Với a > x < a ⇔ − a < x < a Với a > x > a ⇔ x < −a x > a (1) 16 ( 2) Với a , b ∈ , ta có a − b ≤ a + b ≤ a + b Đẳng thức xảy (1) ab ≤ ; đẳng thức xảy (2) ab ≥ PHẦN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP THÔNG DỤNG ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Có nhiều phương pháp, kỹ thuật để chứng minh bất đẳng thức Trong phần này, trình bày số phương pháp, kỹ thuật thơng dụng để chứng minh bất đẳng thức thường gặp kỳ thi thi học kỳ, thi học sinh giỏi cấp tỉnh, thi Trung học phổ thơng quốc gia Đó phương pháp kỹ thuật: (1): biến (2): SửSử dụng dụng bất đẳng thức Cô-si; đổi tương đương bất đẳng thức biết; (3): bất (4): SửSử dụng dụng kiến thức hình học;đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki; (6): SửSử dụng dụng tính chất hàm số; giá trị điều kiện tồn nghiệm phương trình; (5): miền (7): Sử dụng dồn biến; Với phương pháp, chúng tơi trình bày thống ba phần: - trực Nội Phần chúng tơi trình bày nội dung phương pháp cách quan,dung dễ hiểu nhấtphương với đối tượngpháp: học sinh - Ví dụ tự luận điển hình: Phần chúng tơi lựa chọn ví dụ minh họa điển hình cho phương pháp đó, trình bày theo cách khác Mỗi ví dụ có phân tích để tìm lời giải rõ phương pháp giải - Câu hỏilàm trắc nghiệm khách chất quan: Phần chúng tơi xây dựng ví dụ trắc nghiệmlời khách quan mà lời giải phải sử dụng đến phương pháp đề cập Với ví dụ, chúng tơi có đề cập đến sinh có nhìn rõ nét việc câu hỏi trắc nghiệm khách quan có liên quan nhằm giúp em học xây dựng câu hỏi trắc nghiệm khách quan I Sử dụng biến đổi tương đương bất đẳng thức biết 1.1 Nội dung phương pháp - Để chứng minh bất đẳng thức A > B theo hướng này, làm theo cách sau đây: Cách 1: Lập hiệu A − B Sử dụng biến đổi tương đương, tính chất bất đẳng thức kết biết để A − B > Cách 2: Bằng kiến thức biết tính chất bất đẳng thức, đánh giá vế trái để A > B Cách 3: Bằng kiến thức biết tính chất bất đẳng thức, đánh giá vế phải để B < A Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B Trang 2/46 Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi tập Bất đẳng thức chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển lực học sinh sau: Chứng minh bất đẳng thức theo cách nêu trên, việc phải sử dụng đến tính chất bất đẳng thức, thường sử dụng thêm kết (1): x ∈ [ a; b ] ⇔ a ≤ x ≤ b ⇔ ( x − a )(x − b) ≤ (2): 2 2 a + b ≥ 2ab; a + b ≥ −2ab  f (x)   (3): ( ab + bc + ca ) ≤ ( a + b + c ) ≤ 3(a + b + c2 ) , với a , b , c 1.2 Ví dụ tự luận điển hình Ví dụ 1.1 a) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số b) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số g (x) = a) Ta có f (x) = x+2 Với x ∈ [ −1;3], ta có: ≤ x + ≤ ⇔ −4≤f Do ( Ta có Vậy max f (x) = f (− 1) = −4 f (x) = f (3) = [−1;3] b) Với x ∈ [ −1; Với x thuộc đoạn [−1; 2] ≤ 2x2 + ≤ ⇔ ≥ ⇔−1≤− Mặt khác g ( x ) = ⇔ x = ∈ [ −1; 2]; g (x) = Vậy max g (x) = g (2) = [−1;2] Bài tập tự luyện Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số x+2 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số Ví dụ 1.2 Tìm giá trị nhỏ hàm số y = − x2 + 4x + 21 ≥ Điều kiện:   ⇔ −2 ≤ x ≤ − x2 + 4x + 21 − Lời giải − x2 + 3x +10 − x2 + 3x + 10 ≥ Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B Trang 3/46 Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi tập Bất đẳng thức chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển lực học sinh Ta có (− x2 + 4x + 21)− ( − x2 + 3x + 10) = x + 11 > , suy y > y = −2 x + x + 31 − (x + )(7 − x )(x + )(5 − x)  Dấu xảy (x + 3)(5 − x) = (x + 2)(7 − x) ⇔ x = = (x + )(5 − x )  x = Vậy, hàm số đạt giá trị nhỏ / Lời bàn 1) giải trên, tiến hành theo ba bước, là: BướcTrong 1: Tìm điềulời kiện để hàm số xác định Bước 2: Từ điều kiện xác định hàm số, y > Bước 3: Biến đổi đánh giá biểu thức y2 Suy đánh giá y ≥ 2) Từ bất đẳng thức thức y2 ≥ ta suy y ≤ − y < y ≤ − y ≥ kết luận giá trị nhỏ Nhưng y > nên y ≥ lúc có giá trị nhỏ Còn lúc có giá trị lớn Bài tập tự luyện Tìm giá trị nhỏ biểu thức Tìm giá trị lớn biểu thức g ( x ) = Ví dụ 1.3 a) Chứng minh với b) Cho a , b , c ba số không nhỏ − có tổng Chứng minh rằng: x a) Ta có x Suy x b) Từ giả thiết, ta có = a + b + c ≥ a − Tương tự, ta có b ≤ Áp dụng kết ý a), ta có: Cộng vế theo vế bất đẳng thức trên, kết hợp với giả thiết, ta Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B x ≤ +1 Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi tập Bất đẳng thức chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển lực học sinh Cho hai số thực x , y thỏa mãn x − lớn x có dạng A 25 Cho hai số thực x , y thỏa mãn x − Có số nguyên thuộc tập hợp S ? A Tìm tập hợp tấ t cá c giá trị tha m s ố m để hệ ph ương trình   A x + y = 3m 9−3  Cho hai số thực x , y thay đổi thỏa mãn T = x[ +] y B [−1;7] A −7;7  C 3+ 21    x+y+1=2 ( x−2+ C y+3 ) Tập giá trị biểu thức {−1}∪[3;7] D [3;7] Cho hai số thực x , y thay đổi thỏa mãn ( x + y ) + = ( giá trị lớn 17 giá A trị nhỏ biểu thức F = x + y Tính tổng bình phương M m Cho số thực P = ( x + y ) +15xy B 10 A m = −80 x , y thỏa mãn x + y = ( B m = −91 VI Sử dụng tính chất hàm số 6.1 Nội dung phương pháp Trong khuôn khổ chương trình lớp 10, để chứng minh bất đẳng thức theo cách này, cần biết số kiến thức sau đây: (1) Bảng biến thiên hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c x−∞ +∞ y Trường (2) Xét hàm số bậc y = ax + b đoạn  α ; β Khi đó,  α;β max y = max   Đặc biệt: Nếu a > max y = y (β ) ;min y = y (α ) ; a < max y = y (α ) ;min y = y (β )  = f (α ) ; y Tính y Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B Trang 38/46 Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi tập Bất đẳng thức chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển lực học sinh b - Nếu − 2a [ 2a [ b - Nếu − ∉α ∈α (4) Xét hàm số Khi đó, max f (x ) = max [α;β] (5) Xét hàm số () f x = Đặc biệt, với a ≠ 6.2 Ví dụ tự luận điển hình Ví dụ 6.1 Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số x−1 a) f (x) = x b) g (x) = ( a) Với x ∈[3; 6] Ta có f (x) = + (x − 1)(9 − x) = + − x2 + 10x − Xét hàm số h ( x ) = − x + 10 x − đoạn [3; 6] Ta có bảng biến thiên hàm số sau: x h ( x) Từ bảng biến thiên, ta có +  8+4 12 ≤ f (x) ≤ + ≤ f (x) ≤ 4, ∀x ∈ [ 3;6] ⇔ 2+ 16, ∀x ∈[3;6] ≤ f (x) ≤ 4, ∀x ∈[3;6] Vậy, max f (x) = f (5) = f (x ) = f (3 ) = [3;6] Chú ý Chúng ta tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số h ( x) đoạn [3; 6] cách đơn giản nêu phần lý thuyết Cụ thể: − b) Đặt t = x−1 Do g (x) = 2t − t2−8 =− (t ) − 4t − 2 Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B Trang 39/46 Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi tập Bất đẳng thức chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển lực học sinh Với x ∈[3; 6] theo ý a), ta có t ∈   6; 2+   b Ta có − 2a Do ( Suy Vậy, ≤ g (x ) ≤ max g (x) = ( 3− 2+ 2− 6− ) ≤ k (t ) ≤ −8, ∀t ∈   2+  6;  ) , ∀x ∈[3;6] ( [3;6] Ví dụ 6.2 Cho số thực x , giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức A = x4 + y4 + 3x2 y2 + 4xy Ta ln có x2 + y2 ≥ 2xy x2 + y2 ≥ −2xy Do đó, kết hợp với giả thiết ta có Đặt t = xy x2 + y2 = − t x4 + y4 = (x2 + y2 )2 Suy ra, A = 2t2 − 2t + Xét hàm số f (t ) = 2t − 2t + đoạn [−3;1] b ∈[ = Ta có − 2a xy = −3 + ) A=33⇔  2  x + xy + y 17 xy = +) A= x  Vậy, A đạt giá trị lớn 33 đạt giá trị nhỏ 6.3 Câu hỏi trắc nghiệm khách quan Câu 6.1 Tìm giá trị lớn M hàm số y = x4 − 2x2 + A M =9 Đặt t = x2 Do x ∈  b Ta có − Lời giải  nên t ∈[0; 3] 0;   = 1∈ [0;3] y ( ) = 3; y (1) = 2; y ( ) = nên M = Đáp án D Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B Trang 40/46 Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi tập Bất đẳng thức chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển lực học sinh Bài tập tự luyện Tìm giá trị nhỏ m hàm số y = x − x2 +13 đoạn [−2; 3] 51 A m = Giá trị lớn hàm số f (x ) = x − x2 + đoạn [−2; 3] A 50 Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = x − x2 − đoạn [−2; 2] là: A −4 Tìm m để giá trị lớn hàm số y = x + m x A m = Ví dụ 6.2 Cho hàm số y = x + m đúng? A m < −1 Hàm số cho xác định đoạn [2; 4] y (2) = m + 2; y (4) = Cách 1: Vì y = [2;4] Cách 2: Xét hiệu y - ( ) − y ( ) = (m Nếu m < −1 y (2) < y (4) ⇒ y = y (2) ⇔ m + = ⇔ m = (loại) Nếu m > −1 y (2) > y (4) ⇒ y = y (4) ⇔ m + = ⇔ m = (nhận)  2;4] [2;4] - Nếu m = −1 y = Bài tập tự luyện Giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số A Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số Giá trị biểu thức P = M + m4 A P=4 Cho hàm số y = đúng? A m ≤ ( m tham số thực) thỏa mãn y = Mệnh đề Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi tập Bất đẳng thức chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển lực học sinh Giá trị lớn hàm số f (x) = A −5 Tìm m để hàm số y = A m = Câu 6.3 Cho hàm số Biết giá trị lớn hàm số y = Gọi S tập hợp ước nguyên dương M Tập hợp S có phần tử? A Lời giải Ta có f (−3 ) = −56; f (4 ) = 14 Suy ra, bảng biến thiên hàm số y = f (x) đoạn [−3; 4] Do đó, với x Vậy, M = 56 nên S = {1; 2; 4; 7;8;14; 28; 56} Khi đó, S có phần tử Câu 6.4 Cho số thực x , M biểu thức M = xy − x3 + y + 29 A M = − Ta có x2 + x − y = 12 ⇔ y = x2 + x −12 +) y ≤ ⇒ x2 + x − 12 ≤ ⇔ − ≤ x ≤ Lời giải +) M = x (x + x − 12)− x + (x + x − 12)+ 29 = 3x − 10x + Xét hàm số f (x ) = x − 10 x + đoạn [−4; 3] 2 Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B Trang 42/46 Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi tập Bất đẳng thức chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển lực học sinh −10 Ta có − Suy f (x) = − [−4;3] Câu 6.5 Tìm giá trị nhỏ hàm số y = hàm số A y = [−1;3] Điều kiện: −1 ≤ x ≤ Đặt t = +) Do (x + 1)(3 − x) ≥ nên t2 ≥ ⇒ t ≥ 2;t = ⇔ x = −1 x = +) Lại (x + 1)(3 − x ) ≤ x + + − x = nên t ≤ ⇒ t ≤ Đẳng thức xảy x + = − x ⇔ x =  t2−4 Từ cách đặt, ta có y = t −   = − t + t + , với ≤ t ≤   2 f (t ) = − Xét hàm số b = 1∉ Ta có − 2a Suy y = [−1;3] Đáp án B VII Sử dụng dồn biến 7.1 Nội dung phương pháp biến, Trong Kỹ thuật dồn biến chứng minh bất đẳng thức kỹ thuật làm giảm số biến bất đẳng thức thông qua việc đánh giá, đổi biến, đánh giá kết hợp với đổi kỳ thi Trung học phổ thông thường gặp bất đẳng thức từ ba biến trở xuống với kỹ thuật dồn biến đổi biến số; đánh giá dựa vào việc sử dụng bất đẳng thức bản, bất đẳng thức kinh điển; đánh giá kết hợp với đổi biến số; Một số đánh giá thường sử dụng nêu phần trên, ngồi cần ý đến vài đánh giá như: Với a ≥ 0, b ≥ (1) (2) a2 + b2 ≤ (a + b)2 ; a3 + b3 ≤ (a + b)3 ; c+a+ c+b≥ Một số cách đổi biến thường gặp t = x + y ; t = xy ; c+ t = x2 + y2 ; t = x y + c + a + b , với c ≥ ; ;t=a+b+c y x t = ab + bc + ca ; Bên cạnh việc đổi biến số, thường sử dụng bất đẳng thức kinh điển để tìm tập giá trị biến 7.2 Ví dụ tự luận điển hình Nguyễn Tiên Tiến, Hồng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B Trang 43/46 Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi tập Bất đẳng thức chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển lực học sinh Ví dụ 7.1 Cho x, y số thực khác không Chứng minh x y + Đặt t = y x Từ cách đặt, ta có Do (t − 2)(3t − 2) ≥ ⇔ t ≤  Vậy,  x  y y + x Ví dụ 7.2 (Trích đề thi TS Đại học khối D năm 2009) Cho số thực không âm x, y thay đổi thỏa mãn x + y = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ ( biểu thức S = (4x2 + 3y)(4 y2 + 3x)+ 25xy Lời giải ) Vì x + y = nên S = 16x2 y2 + 12 x3 + y3 + 34xy    16 x y + 12  ( x + y ) − xy ( x + y )  + 34 xy = 16 ( xy ) − xy +12 Đặt t = xy , ta S = 16t2 2 − 2t +12 Lại có ≤ xy  Xét hàm số f (t )  b = Ta có − Suy ra, max f (t )=f   0;  Vậy: Giá trị lớn S  1  Giá trị nhỏ S  ⇔ (x; y) =    VíCho dụ 7.3 (Trích đề thi HKII năm học 2013-2014_THPT Gia Viễn B, Ninh Bình) hai số thực dương x , y thỏa mãn điều kiện x2 + y2 ≤ Tìm giá trị lớn biểu thức P = (x2 + y2 ) + 2xy − x − y −13 Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B Trang 44/46 Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi tập Bất đẳng thức chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển lực học sinh Ta có x + y > (x + y P −5 Lời giải ) ≤ ( x + y ) = 16 ⇒ x + y ≤ = (x + y )+ ( x + y ) − ( x + y ) − 13 ≤ (x + y ) − ( x + y) − Đặt t = x + y t ∈(0; 4] P ≤ t − t Xét hàm số f (t ) = t − t − nửa khoảng (0; 4] Bảng biến thiên hàm số f (t ) t −5 f (t ) − 21 Do f (t ) ≤ 7, ∀t ∈(0; 4] Vậy, x + y = Câu 7.1 Cho hai số thực x, y thay đổi thỏa mãn x2 + y2 nhỏ P biểu thức P = x + y + xy ( x + y − 1) − x − y A P = −3 max P = C P = −3 max P = Ta có P =  ( x + y ) − xy ( x + y )   Đặt t = x + y Do x2 + y2 = ⇔ (x + y)2 − 2xy = nên xy = Suy P = t ≥ 4xy Do (x + y)2 f (t ) = − Xét hàm số b Ta có − 2a Do P = −3 max P = Câu 7.2 Cho x, y, z ba số thực thuộc đoạn [1; 4] x ≥ y, x ≥ z Giá trị nhỏ biểu thức P= x + 2x + 3y y + z z + x Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B Trang 45/46 y Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi tập Bất đẳng thức chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển lực học sinh 47 A 42 Thật vậy, (*) ⇔ (a + b + 2)(1+  (a + b) ab ) ≥ (1+ a)(1+ b) ab + ab ≥ a + b + 2ab ⇔ ( ab − 1)( a− b )2 ≥ , với a , b dương ab ≥ Đẳng thức xảy ra, ab = a = b Với x y thuộc đoạn [1; 4] x ≥ y (tức x ≥ ), ta có y Đẳng thức xảy y x Đặt t = y f (1 ) = Ta có Thật f f (t ) − vậy, ( t ) 34 ≥ , ∀t ∈ 1; [ 33 Đẳng thức xảy t = (khi y 34 x = 4, y = z = Vậy, giá trị nhỏ P Đáp án C Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B Trang 46/46 .. .Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi tập Bất đẳng thức chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển lực học sinh Giáo viên giảng dạy theo tiến trình sách giáo khoa Cách làm có ưu điểm học. .. Gia Viễn B Trang 2/46 Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi tập Bất đẳng thức chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển lực học sinh sau: Chứng minh bất đẳng thức theo cách nêu trên, ngồi... 13/46 Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi tập Bất đẳng thức chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển lực học sinh Có x − > nên áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có ( x − 1) + Suy P ≥ 2 + Đẳng