Tốn học Sơ đồ CHƯƠNG II: ĐƯỜNG TRỊN.Tốn học Sơ đồ I SỰ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG TRỊN TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG TRỊN Đường tròn Đường tròn tâm O bán kính R (R > 0) hình gồm điểm cách điểm O khoảng R Vị trí tương đối điểm đường tròn Cho đường tròn (O; R) điểm M  M nằm đường tròn (O; R)  OM  R  M nằm đường tròn (O; R)  OM  R  M nằm đường tròn (O; R)  OM  R Cách xác định đường tròn Qua ba điểm khơng thẳng hàng, ta vẽ đường tròn Tính chất đối xứng đường tròn  Đường tròn hình có tâm đối xứng Tâm đường tròn tâm đối xứng đường tròn  Đường tròn hình có trục đối xứng Bất kì đường kính trục đối xứng đường tròn BÀI TẬP: Bài Cho tứ giác ABCD có Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BD, DC CA Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q nằm đường tròn HD: Chứng minh MNPQ hình chữ nhật Bài Cho hình thoi ABCD có Gọi E, F, G, H trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Chứng minh điểm E, F, G, H, B, D nằm đường tròn HD: Chứng minh EFGH hình chữ nhật, OBE tam giác Bài Cho hình thoi ABCD Đường trung trực cạnh AB cắt BD E cắt AC F Chứng minh E, F tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ABD HD: Chứng minh E, F giao điểm đường trung trực tương ứng Bài Cho đường tròn (O) đường kính AB Vẽ đường tròn (I) đường kính OA Bán kính OC đường tròn (O) cắt đường tròn (I) D Vẽ CH  AB Chứng minh tứ giác ACDH hình thang cân HD: Chứng minh ADO = CHO  OD = OH, AD = CH Chứng minh HD // AC Bài Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD) có , CD = 2AD Chứng minh điểm A, B, C, D thuộc đường tròn HD: Chứng minh IA  IB  IC  ID , với I trung điểm CD Bài Cho hình thoi ABCD Gọi O giao điểm hai đường chéo M, N, R S hình chiếu O AB, BC, CD DA Chứng minh điểm M, N, R S thuộc đường tròn HD: AOB=COB nên hay mà AB=BC nên OM=ON Chứng minh tương tự ta được: MO=ON=OR=OS nên M,N,R,S thuộc đường tròn 1.Nick cũ:Người Thầy Tốn-ĐT LH zalo số cũ :0945943199 Toán học Sơ đồ Bài Cho hai đường thẳng xy xy vuông góc O Một đoạn thẳng AB = 6cm chuyển động cho A nằm xy B xy Hỏi trung điểm M AB chuyển động đường nào? HD: AOB vuông O nên gọi I trung điểm AB OI trung tuyến => OI=3cm, Khi A,B thay đổi OI=3cm nên trung điểm I AB chạy đường tròn (O;3cm) Bài Cho tam giác ABC có đường cao BH CK Bài a) Chứng minh: B, K, H C nằm đường tròn Xác định tâm đường tròn b) So sánh KH BC HD: a, Gọi I trung điểm BC, CHB CKB vng nên HI=KI=IC=IB nên B,C,H,K nằm đường tròn tâm I b, Vì BC đường kính nên KH (R-4)2+64=R2 => R=10cm 3.Nick cũ:Người Thầy Toán-ĐT LH zalo số cũ :0945943199 Toán học Sơ đồ Bài Cho đường tròn (O; 12cm) có đường kính CD Vẽ dây MN qua trung điểm I OC cho góc NID 30 Tính MN HD: Gọi H trung điểm MN suy OH vng góc MN OH=IO.sin300=3 cm HO2+HM2=R2 để tính HM MN=2HM III VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN Vị trí tương đối đường thẳng đường tròn Cho đường tròn (O; R) đường thẳng  Đặt d  d(O,) VTTĐ đường thẳng đường tròn Đường thẳng đường tròn cắt Đường thẳng đường tròn tiếp xúc Đường thẳng đường tròn không giao Số điểm chung Hệ thức d R d R d R d R Khi đường thẳng đường tròn tiếp xúc đường thẳng tiếp tuyến đường tròn Điểm chung đường thẳng đường tròn tiếp điểm Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến đường tròn  Nếu đường thẳng tiếp tuyến đường tròn vng góc với bán kính qua tiếp điểm  Nếu đường thẳng qua điểm đường tròn vng góc với bán kính qua điểm đường thẳng tiếp tuyến đường tròn Tính chất hai tiếp tuyến cắt Nếu hai tiếp tuyến đường tròn cắt điểm thì:  Điểm cách hai tiếp điểm  Tia kẻ từ điểm qua tâm tia phân giác góc tạo hai tiếp tuyến  Tia kẻ từ tâm qua điểm tia phân giác góc tạo hai bán kính qua tiếp điểm Đường tròn nội tiếp tam giác  Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh tam giác đường tròn nội tiếp tam giác, tam giác ngoại tiếp đường tròn  Tâm đường tròn nội tiếp tam giác giao điểm đường phân giác góc tam giác Đường tròn bàng tiếp tam giác  Đường tròn tiếp xúc với cạnh tam giác tiếp xúc với phần kéo dài hai cạnh đường tròn bàng tiếp tam giác  Với tam giác, có ba đường tròn bàng tiếp  Tâm đường tròn bàng tiếp tam giác góc A giao điểm hai đường phân giác góc ngồi B C, giao điểm đường phân giác góc A đường phân giác ngồi B (hoặc C) BÀI TẬP: Bài Cho tam giác ABC có hai đường cao BD CE cắt H 4.Nick cũ:Người Thầy Toán-ĐT LH zalo số cũ :0945943199 Toán học Sơ đồ a) Chứng minh bốn điểm A, D, H, E nằm đường tròn (gọi tâm O) b) Gọi M trung điểm BC Chứng minh ME tiếp tuyến đường tròn (O) HD: a) D, E nằm đường tròn đường kính AH b) Chứng minh => Bài Cho đường tròn (O; R) đường kính AB Vẽ dây AC cho Trên tia đối tia BA, lấy điểm M cho BM = R Chứng minh rằng: a) MC tiếp tuyến đường tròn (O) 2 b) MC  3R 2 HD: a) Chứng minh COM vuông C b) MC  OM  OC Bài Cho tam giác ABC vng A có AB = 8, AC = 15 Vẽ đường cao AH Gọi D điểm đối xứng với B qua H Vẽ đường tròn đường kính CD, cắt AC E a) Chứng minh HE tiếp tuyến đường tròn b) Tính độ dài HE HD: a) Gọi O F trung điểm CD AE Chứng minh DE // AB, HF  AB.AC 120 HE  AH   BC 17 AE => b) Bài Từ điểm M đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn Trên tia OB lấy điểm C cho BC = BO Chứng minh HD: Chú ý OMC cân M Bài Cho đường tròn (O; R) điểm A ngồi đường tròn Vẽ tiếp tuyến AB, AC Chứng minh OA  2R HD: Chú ý ABO vuông B Bài Từ điểm A đường tròn (O; R), vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn Đường thẳng vng góc với OB O cắt AC N Đường thẳng vng góc với OC O cắt AB M a) Chứng minh tứ giác AMON hình thoi b) Điểm A phải cách điểm O khoảng MN tiếp tuyến (O) HD: a) Chứng minh ON // AB, OM // AC b) OA  2R Bài Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn (O) Các tiếp tuyến đường tròn vẽ từ A C cắt M Trên tia AM lấy điểm D cho AD = BC Chứng minh rằng: a) Tứ giác ABCD hình bình hành b) Ba đường thẳng AC, BD, OM đồng quy HD: a) Chứng minh AD // BC (cùng vuông góc với OA) b) Gọi E giao điểm OM AC  E trung điểm AC Bài Cho đường tròn (O; r) nội tiếp tam giác ABC vuông A Chứng minh r  p  a , p nửa chu vi tam giác, a độ dài cạnh huyền HD: Gọi D, E, F tiếp điểm (O) với cạnh tam giác  AEOF hình vng Bài Chứng minh diện tích tam giác ngoại tiếp đường tròn tính theo cơng thức: S  pr , p nửa chu vi tam giác, r bán kính đường tròn nội tiếp HD: Diện tích tam giác tổng diện tích ba tam giác nhỏ 5.Nick cũ:Người Thầy Toán-ĐT LH zalo số cũ :0945943199 Toán học Sơ đồ Bài 10 Cho đường tròn (O), dây cung CD Qua O vẽ OH  CD H, cắt tiếp tuyến C đường tròn (O) M Chứng minh MD tiếp tuyến (O) HD: Xét MCO MDO: MO chung, OC=OD=R; nên MCO=MDO (c.g.c) nên nên MD tiếp tuyến (O) Bài 11 Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB Vẽ tia Ax  AB By  AB phía nửa đường tròn Gọi I điểm nửa đường tròn Tiếp tuyến I cắt Ax C By D Chứng minh AC + BD = CD HD: Ta có: CI=AC; ID=DB nên AC+BC=CD Bài 12 Cho đường tròn (O; 5cm) Từ điểm M (O), vẽ hai tiếp tuyến MA MB cho MA  MB M a) Tính MA MB b) Qua trung điểm I cung nhỏ AB, vẽ tiếp tuyến cắt OA, OB C D Tính CD HD: a, OAMB hình vng b, mà MO vng góc DC nên OIC vng cân C suy IC=IO=R hay CD=2R=10cm Bài 13 Cho đường tròn (O) Từ điểm M (O), vẽ hai tiếp tuyến MA MB cho góc Biết chu vi tam giác MAB 18cm, tính độ dài dây AB HD: AB  6(cm) IV VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG TRỊN Tính chất đường nối tâm  Đường nối tâm hai đường tròn trục đối xứng hình gồm hai đường tròn  Nếu hai đường tròn cắt thi hai giao điểm đối xứng với qua đường nối tâm  Nếu hai đường tròn tiếp xúc tiếp điểm nằm đường nối tâm Vị trí tương đối hai đường tròn  d Cho hai đường tròn (O; R) (O; r) Đặt OO� Số điểm VTTĐ hai đường tròn Hệ thức d với R r chung Hai đường tròn cắt Rr  d Rr Hai đường tròn tiếp xúc nhau: d  R r – Tiếp xúc – Tiếp xúc d  Rr Hai đường tròn khơng giao nhau: d  R r – Ở – (O) đựng (O) d  Rr Tiếp tuyến chung hai đường tròn 6.Nick cũ:Người Thầy Tốn-ĐT LH zalo số cũ :0945943199 Toán học Sơ đồ Tiếp tuyến chung hai đường tròn đường thẳng tiếp xúc với hai đường tròn Tiếp tuyến chung ngồi tiếp tuyến chung khơng cắt đoạn nối tâm Tiếp tuyến chung tiếp tuyến chung cắt đoạn nối tâm BÀI TẬP: Bài Cho hai đường tròn (A; R1), (B; R2) (C; R3) đơi tiếp xúc ngồi Tính R1, R2 R3 biết AB = 5cm, AC = 6cm BC =7cm R  2(cm) R2  3(cm) R3  4(cm) HD: , , Bài Cho hai đường tròn (O; 5cm) (O; 5cm) cắt A B Tính độ dài dây cung chung AB biết OO = 8cm HD: AB  6(cm) Bài Cho hai đường tròn (O; R) (O; R) cắt A B với R > R Vẽ đường kính AOC AOD Chứng minh ba điểm B, C, D thẳng hàng HD: Chứng minh BC, BD song song với OO chứng minh Bài Cho hai đường tròn (O) (O) cắt A B Vẽ cát tuyến chung MAN cho MA = AN Đường vng góc với MN A cắt OO I Chứng minh I trung điểm OO HD: Kẻ OH O’P vng góc với NM, suy MH=HA=AP=PN suy AI đường trung bình hình thang HPO’O nên I trung điểm OO’ Bài Cho hai đường tròn (O) (O) tiếp xúc A Gọi M giao điểm hai tiếp tuyến chung BC tiếp tuyến chung Chứng minh BC tiếp tuyến đường tròn đường kính OO M HD: Ta có AM=MB=MC nên M trung điểm BC, Từ M kẻ vng góc với BC cắt OO’ I I trung điểm OO’ ( tính chất đường trung bình hình thang) Ta có: nên nên MI đường trung tuyến tam giác vuông OMO’ suy MI=IO=IO’ Vậy IM vuông BC IM=OO’:2 nên BC tiếp tuyến đường tròn đường kính OO’ M Bài Cho hai đường tròn (O; R) (O; R) tiếp xúc ngồi M Hai đường tròn (O) (O) tiếp xúc với đường tròn lớn (O; R) E F Tính bán kính R biết chu vi tam giác OOO 20cm HD: Vì (O) (O’) tiếp xúc ngồi nên OO’=R+R’.(1) Vì (O) (O’’) tiếp xúc nên OO’’=R’’-R (2) Vì (O’) (O’’) tiếp xúc nên O’O’’=R’’-R’ (3) Từ (1)(2)(3) suy Chu vi tam giác OO’O’’=2R’’=20cm nên R’’=10cm Bài Cho đường tròn (O; 9cm) Vẽ đường tròn bán kính R tiếp xúc với (O) đường tròn tiếp xúc với hai đường khác bên cạnh Tính bán kính R HD: Gọi tâm sáu đường tròn nhỏ A,B,C,D,E,F Suy ABCDEF lục giác ABO tam giác nên AB=OB=9-R hay 2R=9-R ( AB=2R) suy R=3cm 7.Nick cũ:Người Thầy Tốn-ĐT LH zalo số cũ :0945943199 Toán học Sơ đồ Bài Cho hai đường tròn đồng tâm Trong đường tròn lớn vẽ hai dây AB = CD tiếp xúc với đường tròn nhỏ M N cho AB  CD I Tính bán kính đường tròn nhỏ biết IA = 3cm IB = 9cm HD: Từ O kẻ OH vng góc AB, OP vng góc CD, suy HB=HA=6cm, mà IA=3cm nên IH=3cm Kẻ OP vng góc với CD IPOH hình vng, suy OP=R=IH=3cm Vậy R=3cm (O ),(O2),(O3) Bài Cho ba đường tròn có bán kính R tiếp xúc ngồi đơi Tính diện tích tam giác có ba đỉnh ba tiếp điểm S R2 HD: Tam giác cạnh R  Bài 10 Cho hai đường tròn (O) (O) tiếp xúc A Qua A vẽ cát tuyến cắt đường tròn (O) B cắt đường tròn (O) C Từ B vẽ tiếp tuyến xy với đường tròn (O) Từ C vẽ đường thẳng uv song song với xy Chứng minh uv tiếp tuyến đường tròn (O) HD: Xét hai trường hợp tiếp xúc Chứng minh OB // OC  OC  uv Bài 11 Cho hình vng ABCD Vẽ đường tròn (D; DC) đường tròn (O) đường kính BC, chúng cắt điểm thứ hai E Tia CE cắt AB M, tia BE cắt AD N Chứng minh rằng: a) N trung điểm AD b) M trung điểm AB HD: a) ABN = CDO  AN = CO b) BCM = CDO  BM = CO Bài 12 Cho góc vng xOy Lấy điểm I K tia Ox Oy Vẽ đường tròn (I; OK) cắt tia Ox M (I nằm O M) Vẽ đường tròn (K; OI) cắt tia Oy N (K nằm O N) a) Chứng minh hai đường tròn (I) (K) cắt b) Tiếp tuyến M đường tròn (I) tiếp tuyến N đường tròn (K) cắt C Chứng minh tứ giác OMCN hình vng c) Gọi giao điểm hai đường tròn (I), (K) A B Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng d) Giả sử I K theo thứ tự di động tia Ox Oy cho OI + OK = a (không đổi) Chứng minh đường thẳng AB qua điểm cố định HD: a) Xét OIK  R  r  d  R  r b) L  KB � MC , P  AB � MC c) Gọi OKBI hình chữ nhật, BLMI hình vng BLP = KOI  LP = OI  MP = OM = MC  P  C d) OM = a Hình vng OMCN cạnh a, cố định  AB qua điểm C cố định BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG II Bài Cho tam giác ABC vuông cân A Vẽ đường phân giác BI a) Chứng minh đường tròn (I; IA) tiếp xúc với BC   b) Cho biết AB = a Chứng minh AI  (  1)a Từ suy tan22 30� HD: a) Vẽ ID  BC  IA = ID 8.Nick cũ:Người Thầy Toán-ĐT LH zalo số cũ :0945943199 Toán học Sơ đồ b) Xét ABI  AI  a.tan22 30� DIC vuông cân  AI = DC = (  1)a Bài Cho đường tròn (O; R) điểm A cố định đường tròn Qua A vẽ tiếp tuyến xy Từ điểm M xy vẽ tiếp tuyến MB với đường tròn (O) Hai đường cao AD BE tam giác MAB cắt H a) Chứng minh ba điểm M, H, O thẳng hàng b) Chứng minh tứ giác AOBH hình thoi c) Khi điểm M di động xy điểm H di động đường nào? HD: a) Chứng minh MAB cân, MH, MO tia phân giác b) Chứng minh AOBH hình bình hành có hai cạnh kề c) H di động đường tròn (A; R) Bài Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Từ điểm M nửa đường tròn ta vẽ tiếp tuyến xy Vẽ AD BC vng góc với xy a) Chứng minh MC = MD b) Chứng minh AD + BC có giá trị khơng đổi điểm M di động nửa đường tròn c) Chứng minh đường tròn đường kính CD tiếp xúc với ba đường thẳng AD, BC AB d) Xác định vị trí điểm M nửa đường tròn (O) diện tích tứ giác ABCD lớn HD: a) OM đường trung bình hình thang ABCD b) AD + BC = 2R c) Vẽ ME  AB BME = BMC  ME = MC = MD d) S = 2R.ME ≤ 2R.MO  S lớn  M đầu mút bán kính OM  AB Bài Cho tam giác ABC, O trung điểm BC Trên cạnh AB, AC lấy điểm di động D, E cho a) Chứng minh tích BD.CE khơng đổi b) Chứng minh BOD ∽ OED Từ suy tia DO tia phân giác góc BDE c) Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB Chứng minh đường tròn tiếp xúc với DE BC BD OB  HD: a) BOD ∽ CEO  BD.CE = b) OD OE  BOD ∽ OED c) Vẽ OK  DE Gọi H tiếp điểm (O) với cạnh AB Chứng minh OK = OH Bài Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB điểm E di động nửa đường tròn (E không trùng với A B) Vẽ tia tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn Tia AE cắt By C, tia BE cắt Ax D a) Chứng minh tích AD.BC khơng đổi b) Tiếp tuyến E nửa đường tròn cắt Ax, By theo thứ tự M N Chứng minh ba đường thẳng MN, AB, CD đồng quy song song với c) Xác định vị trí điểm E nửa đường tròn để diện tích tứ giác ABCD nhỏ Tính diện tích nhỏ HD: a) ABD ∽ BCA  AD.BC  AB b) MAE cân  MDE cân  MD = ME = MA Tương tự NC = NB = NE Sử dụng bổ đề hình thang  đpcm S  4R2 c) S = 2R.MN  S nhỏ  MN nhỏ  MN  AD  OE  AB Bài Cho đoạn thẳng AB cố định Vẽ đường tròn (O) tiếp xúc với AB A, đường tròn (O) tiếp xúc với AB B Hai đường tròn thuộc nửa mặt phẳng 9.Nick cũ:Người Thầy Toán-ĐT LH zalo số cũ :0945943199 Toán học Sơ đồ bờ AB ln tiếp xúc ngồi với Hỏi tiếp điểm M hai đường tròn di động đường nào? HD: Từ M vẽ tiếp tuyến chung hai đường tròn, cắt AB I Chứng minh IA = IB = IM Từ suy M di động đường tròn tâm I đường kính AB Bài Cho đường tròn (O; R) nội tiếp ABC Gọi M, N, P tiếp điểm AB, P  2(AM  BP  NC ) AC, BC với (O) Chứng minh rằng:  ABC HD: ( Chú ý: AMO=ANO (ch-gn) nên AM=AN) Bài Cho đường tròn (O) đường kính AB Dây CD cắt đường kính AB I Gọi H K chân đường vng góc kẻ từ A B đến CD Chứng minh CH = DK HD: Vẽ EH  CD Chứng minh EH = EK  CH = DK Bài Từ điểm M ngồi đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MA MB (A, B tiếp điểm) Cho biết góc a) Tính góc b) Từ O kẽ đường thẳng vng góc với OA cắt MB N Chứng minh tam giác OMN tam giác cân HD: a) b) Chứng minh Bài 10 Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB Vẽ tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn phía AB Từ điểm M nửa đường tròn (M khác A, B) vẽ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt Ax By C D a) Chứng minh: Tam giác COD tam giác vuông b) Chứng minh: MC.MD = OM2 c) Cho biết OC = BA = 2R, tính AC BD theo R BD  MD  R 3 HD: a) OC  OD c) AC  R , Cho hai đường tròn (O) (O) tiếp xúc với B Vẽ đường kính AB đường tròn (O) đường kính BC đường tròn (O) Đường tròn đường kính OC cắt (O) M N a) Đường thẳng CM cắt (O) P Chúng minh: OM // BP b) Từ C vẽ đường thẳng vng góc với CM cắt tia ON D Chứng minh tam giác OCD tam giác cân HD: a) OM  MC, BP  MC b) CD // OM; OCD cân D Bài 11 Cho hai đường tròn (O; R) (O; R) cắt A B cho đường thẳng OA tiếp tuyến đường tròn (O; R/) Biết R = 12cm, R = 5cm a) Chứng minh: OA tiếp tuyến đường tròn (O; R) b) Tính độ dài đoạn thẳng OO, AB 120 AB  (cm) � 13 HD: a) OA  OA b) OO  13(cm) ; Bài 12 Cho đường tròn tâm O bán kính R = 6cm điểm A cách O khoảng 10cm Từ A vẽ tiếp tuyến AB (B tiếp điểm) a) Tính độ dài đoạn tiếp tuyến AB b) Vẽ cát tuyến ACD, gọi I trung điểm đoạn CD Hỏi C chạy đường tròn (O) I chạy đường ? HD: 10.Nick cũ:Người Thầy Toán-ĐT LH zalo số cũ :0945943199 Toán học Sơ đồ a, AB2=OA2-OB2 b, Vì O, A cố định mà nên C thay đổi I chạy đường tròn đường kính AO Bài 13 Cho hai đường tròn đồng tâm (O; R) (O; r) Dây AB (O; R) tiếp xúc với (O; r) Trên tia AB lấy điểm E cho B trung điểm đoạn AE Từ E vẽ tiếp tuyến thứ hai (O; r) cắt (O; R) C D (D E C) a) Chứng minh: EA = EC b) Chứng minh: EO vng góc với BD c) Điểm E chạy đường dây AB (O; R) thay đổi tiếp xúc với (O; r)? HD: a, Gọi hai tiếp điểm M N ( M thuộc AB) Ta có: ME=EN ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau); MA=MB; NC=ND; MB=ND nên AE=EC b, Vì EMN cân mà MB=ND nên DB//NM Ta có EO vng góc NM nên EO vng góc DB c, Đặt AB=x, suy ME= suy OE= không đổi Vậy dây AB thay đổi E chạy đường tròn tâm O đường kính OE Bài 14 Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB điểm M nằm nửa đường tròn H chân đường vng góc hạ từ M xuống AB a) Khi AH = 2cm, MH = 4cm, tính độ dài đoạn thẳng AB, MA, MB b) Khi điểm M di động nửa đường tròn (O) Hãy xác định vị trí M để biểu thức: 1  MA MB2 có giá trị nhỏ c) Tiếp tuyến (O) M cắt tiếp tuyến (O) A D, OD cắt AM I Khi điểm M di động nửa đường tròn (O) I chạy đường ? HD: a,AHM vuông H, Pytago tính AM= cm, AMB vng M nên AM2=AH.AB suy AB=10cm, MB= CM, b, nhỏ MH lớn => M nằm trung điểm cung AB c, Vì nên I chạy nửa đường tròn đường kính AO Bài 15 Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) đường kính AD Gọi H trực tâm tam giác a) Tính số đo góc ? b) Tứ giác BHCD hình gì? Vì sao? c) Gọi M trung điểm BC Chứng minh 2OM = AH HD: a) b) BHCD hình bình hành Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn (O) Đường cao AH cắt đường tròn (O) D a) AD có phải đường kính đường tròn (O) khơng ? Vì sao? b) Chứng minh: BC2 = 4AH.DH c) Cho BC = 24cm, AB = 20cm Tính bán kính đường tròn (O) HD: a, Có AH vng BC trung điểm H, OH vuông BC nên A,O, H thẳng hàng b, ABD vuông B nên AH.BD=BH2 hay 4AH.BD=4BH2=BC2 đpcm c, Ta có: Từ tính BD Mà AD2=DB2+AB2 suy AD R=AD:2 Bài 16 Cho đường tròn tâm O đường kính AB Gọi H trung điểm OA Dây CD vng góc với OA H 11.Nick cũ:Người Thầy Toán-ĐT LH zalo số cũ :0945943199 Toán học Sơ đồ a) Tứ giác ACOD hình gì? Vì sao? b) Chứng minh tam giác OAC CBD tam giác c) Gọi M trung điểm BC Chứng minh ba điểm D,O, M thẳng hàng d) Chứng minh: CD2 = AH HB HD: a) ACOD hình thoi Cho đường tròn đường kính 10 cm, đường thẳng d cách tâm O khoảng cm a) Xác định vị trí tương đối đường thẳng d đường tròn (O) b) Đường thẳng d cắt đường tròn (O) điểm A B Tính độ dài dây AB c) Kẻ đường kính AC đường tròn (O) Tính độ dài BC số đo góc CAB (làm tròn đến độ) d) Tiếp tuyến đường tròn (O) C cắt tia AB M Tính độ dài BM HD: a, R=5cm>d=3cm nên đường thẳng d cắt (O) b, Kẻ OH vuông AB, OH=3cm, AO2+OH2=AH2 => AH=4cm => AB=8cm c, ACB có OH đường trung bình nên BC=2OH=6cm sin=CB:AC suy d, CB2=AB.BM Bài 17 Cho tam giác ABC nhọn Đường tròn đường kính BC cắt AB N cắt AC M Gọi H giao điểm BM CN a) Tính số đo góc BMC BNC b) Chứng minh AH vng góc BC c) Chứng minh tiếp tuyến N qua trung điểm AH HD: a ) b) H trực tâm ABC c) NK  NO (K trung điểm AH) Bài 18 Cho đường tròn tâm (O; R) đường kính AB điểm M đường tròn cho góc Kẻ dây MN vng góc với AB H a) Chứng minh AM AN tiếp tuyến đường tròn (B; BM) b) Chứng minh MN2 = 4AH.HB c) Chứng minh BMN tam giác điểm O trọng tâm d) Tia MO cắt đường tròn (O) E, tia MB cắt (B) F Chứng minh ba điểm N, E, F thẳng hàng HD: a, AM vuông BM AN vuông BN b, 4AH.BH=4MH2=NM2 c, BMN cân có nên BMN d, OH đường trung bình MEN nên OH//EN BO đường trung bình MFE nên BO//FE Suy F,E,N thẳng hàng Bài 19 Cho đường tròn (O; R) điểm A cách O khoảng 2R, kẻ tiếp tuyến AB tới đường tròn (B tiếp điểm) a) Tính số đo góc tam giác OAB b) Gọi C điểm đối xứng với B qua OA Chứng minh điểm C nằm đường tròn O AC tiếp tuyến đường tròn (O) c) AO cắt đường tròn (O) G Chứng minh G trọng tâm tam giác ABC HD: a) , , 12.Nick cũ:Người Thầy Toán-ĐT LH zalo số cũ :0945943199 Toán học Sơ đồ Bài 20 Từ điểm A ngồi đường tròn (O; R) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (với B C hai tiếp điểm) Gọi H giao điểm OA BC a) Chứng minh OA  BC tính tích OH.OA theo R b) Kẻ đường kính BD đường tròn (O) Chứng minh CD // OA c) Gọi E hình chiếu C BD, K giao điểm AD CE Chứng minh K trung điểm CE HD: a, ABO vuông B nên OA.OH=OB2=R2 b, OH đường trung bình BDC nên OH//DC hay OA//DC c, HK//BE mà H trung điểm BC nên K trung điểm EC Bài 21 Từ điểm A ngồi đường tròn (O; R) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (với B C tiếp điểm) Kẻ BE  AC CF  AB ( E �AC, F �AB ), BE CF cắt H a) Chứng minh tứ giác BOCH hình thoi b) Chứng minh ba điểm A, H, O thẳng hàng c) Xác định vị trí điểm A để H nằm đường tròn (O) HD: a) BOCH hình bình hành OB = OC b) H trực tâm ABC c) OA = 2R Bài 22 Cho đường tròn (O; 3cm) điểm A có OA = cm Kẻ tiếp tuyến AB AC với đường tròn (B, C tiếp điểm) Gọi H giao điểm OA BC a) Tính độ dài OH b) Qua điểm M thuộc cung nhỏ BC, kẻ tiếp tuyến với đường tròn, cắt AB AC theo thứ tự D E Tính chu vi tam giác ADE c) Tính số đo góc P  2AB  3(cm) HD: a) OH  1,5(cm) b) AB  39cm) , ADE c) Bài 23 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Gọi Ax , By tia vng góc với AB (Ax, By nửa đường tròn thuộc nửa mặt phẳng bờ AB) Qua điểm M thuộc tia Ax kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt By N a) Tính số đo góc MON b) Chứng minh MN = AM + BN c) Tính tích AM BN theo R HD: a, Gọi E tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ M Ta có: MO vng AE; ON vng EB; nên b, Ta có: ME=MA; EN=NB nên NM=MA+NB c, AM.BN=ME.EN=OE2=R2 Bài 24 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Gọi D E hình chiếu điểm H cạnh AB AC a) Chứng minh AD.AB = AE.AC b) Gọi M, N trung điểm BH CH Chứng minh DE tiếp tuyến chung hai đường tròn (M; MD) (N; NE) c) Gọi P trung điểm MN, Q giao điểm DE AH Giả sử AB = cm,AC = cm Tính độ dài PQ HD: 13.Nick cũ:Người Thầy Toán-ĐT LH zalo số cũ :0945943199 Toán học Sơ đồ Bài 25 Cho hai đường tròn (O) (O) tiếp xúc ngồi A Kẻ tiếp tuyến chung MN với M thuộc (O) N thuộc (O) Gọi P điểm đối xứng với M qua OO, Q điểm đối xứng với N qua OO Chứng minh rằng: a) MNQP hình thang cân b) PQ tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) (O) c) MN + PQ = MP + NQ // 14.Nick cũ:Người Thầy Toán-ĐT LH zalo số cũ :0945943199 ... tính BD Mà AD2=DB2+AB2 suy AD R=AD :2 Bài 16 Cho đường tròn tâm O đường kính AB Gọi H trung điểm OA Dây CD vng góc với OA H 11 .Nick cũ:Người Thầy Toán-ĐT LH zalo số cũ : 094 594 3 19 9 Toán học Sơ...  b) Cho biết AB = a Chứng minh AI  (  1) a Từ suy tan 22 30� HD: a) Vẽ ID  BC  IA = ID 8.Nick cũ:Người Thầy Toán-ĐT LH zalo số cũ : 094 594 3 19 9 Toán học Sơ đồ b) Xét ABI  AI  a.tan 22 30�... chạy đường ? HD: 10 .Nick cũ:Người Thầy Toán-ĐT LH zalo số cũ : 094 594 3 19 9 Toán học Sơ đồ a, AB2=OA2-OB2 b, Vì O, A cố định mà nên C thay đổi I chạy đường tròn đường kính AO Bài 13 Cho hai đường tròn