Đang tải... (xem toàn văn)
Trong đề thi tuyển sinh vào các trường Đại học, Cao đẳng (mà ngày nay gọi là kỳ thi THPT Quốc gia) thường có một câu hỏi về bài toán hình học vận dụng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng. Đây là bài toán tương đối khó, dùng để phân loại thí sinh. Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy không ít học sinh còn rất lúng túng khi xác định phương pháp tiếp cận các bài toán tọa độ trong mặt phẳng. Vì vậy để giúp các em tư duy, nhận dạng và có lời giải bài toán dạng này một cách hiệu quả , giúp cho việc học tập và ôn thi THPT Quốc Gia của các em đạt hiệu quả cao nhất tôi chọn chuyên đề: “MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TIẾP CẬN CÁC BÀI TOÁN TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG ”. Với mục đích của tôi là giúp các em nhận thấy một bài toán tọa độ trong mặt phẳng phức tạp trở nên dễ dàng, đơn giản
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT ………… - - - - - - - - - - CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM HỌC ………… PHẦN I: LỜI GIỚI THIỆU Lý chọn chuyên đề: Trong đề thi tuyển sinh vào trường Đại học, Cao đẳng (mà ngày gọi kỳ thi THPT Quốc gia) thường có câu hỏi tốn hình học vận dụng phương pháp tọa độ mặt phẳng Đây tốn tương đối khó, dùng để phân loại thí sinh Trong q trình giảng dạy tơi nhận thấy khơng học sinh lúng túng xác định phương pháp tiếp cận tốn tọa độ mặt phẳng Vì để giúp em tư duy, nhận dạng có lời giải toán dạng cách hiệu , giúp cho việc học tập ôn thi THPT Quốc Gia em đạt hiệu cao chọn chuyên đề: “MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TIẾP CẬN CÁC BÀI TOÁN TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG ” Với mục đích tơi giúp em nhận thấy toán tọa độ mặt phẳng phức tạp trở nên dễ dàng, đơn giản Phạm vi, đối tượng, mục đích chuyên đề: Phạm vi : Trường THPT Sáng Sơn Đối tượng: Học sinh lớp 12 Mục đích : Giúp em đạt điểm tối đa toán tọa độ mặt phẳng Thực trạng : a Thuận lợi: Đa số học sinh lớp giảng dạy học sinh có nhận thức khá, giỏi nên việc áp dụng đề tài thuận lợi b Khó khăn: Nhiều học sinh mơ màng gặp toán tọa độ mặt phẳng, em chưa thật hiểu rõ chất tốn, em lúng túng giải toán cách giải em phức tạp hoá vấn đề dẫn đến đáp số cuối dễ bị sai Cơ sở thực chuyên đề: Căn vào tình hình nhận thức đa số học sinh thụ động, hạn chế, mặt khác tham gia nhiều khóa học ôn thi Đại học cao đẳng, ôn thi THPT Quốc Gia cho học sinh tự đúc rút kinh nghiệm cho phân chia dạng tốn theo ý chủ quan Tuy nhiên thời gian nghiên cứu hạn chế kinh nghiệm chưa nhiều nên chuyên đề hẳn không tránh khỏi sai sót Rất mong đóng góp chân thành quý thầy cô giáo em học sinh! PHẦN II – NỘI DUNG CỦA CHUYÊN ĐỀ A Tóm Tắt Lý Thuyết Hệ tọa độ phẳng Oxy: a Hệ tọa độ Oxy: Hệ tọa độ Oxy gồm trục Ox Oy vng góc O Ox, Oy có vectơ đơn r r vị i j rr i j = r r i = j = b Tọa độ vectơ: r r r r Nếu a = x.i + y j cặp số ( x; y ) gọi tọa độ vectơ a viết là: r r a = ( x; y ) a ( x; y ) c Tọa độ điểm: uuuu r Nếu vectơ OM = ( x; y ) cặp số ( x; y ) gọi tọa độ điểm M viết là: M ( x; y ) d Hai vectơ nhau: r a1 = b1 r r r a Cho a = ( a1; a2 ) , b = ( b1; b2 ) = b ⇔ a2 = b2 e Biểu thức tọa độ phép toán vectơ: r r Cho a = ( a1; a2 ) , b = ( b1; b2 ) , ta có: r r a ± b = ( a1 ± b1; a2 ± b2 ) r k a = ( ka1; ka2 ) , ∀k ∈ ¡ f Quan hệ tọa độ vectơ tọa độ điểm: uuu r A x ; y , B x ; y Nếu ( A A ) ( B B ) AB = ( xB − x A ; y B − y A ) g Hai vectơ phương: r r r Cho a = ( a1; a2 ) , b = ( b1; b2 ) ≠ Khi đó: r a1 = kb1 r r r a , b phương ⇔ ∃k ∈ ¡ : a = kb ⇔ ∃k ∈ ¡ : a2 = kb2 h Tích vơ hướng hai vectơ: r r Cho a = ( a1; a2 ) , b = ( b1; b2 ) r r rr + Biểu thức tọa độ tích vơ hướng: Tích vơ hướng a b ký hiệu ab số xác định theo công thức: rr r r r r ab = a b cos a , b = a1b1 + a2b2 ( ) + Các ứng dụng tích vơ hướng: r Độ dài vectơ: a = a12 + a2 Khoảng cách hai điểm A ( x A ; y A ) , B ( xB ; y B ) : uuu r AB = AB = ( xB − x A ) + ( yB − y A ) rr r r ab a1b1 + a2b2 Góc hai vectơ: cos a , b = r r = a b a12 + a2 b12 + b2 ( ) i Tọa độ trung điểm đoạn thẳng, tọa độ trọng tâm tam giác: I ( xI ; yI ) trung điểm AB với A ( x A ; y A ) , B ( xB ; yB ) thì: x A + xB x = I y = y A + yB I G ( xG ; yG ) trọng tâm tam giác ABC với A ( x A ; y A ) , B ( xB ; y B ) , C ( xC ; yC ) thì: x A + xB + xC xG = y = y A + yB + yC G j Phương trình đường thẳng: r Đường thẳng ∆ qua điểm A ( xo ; yo ) nhận n = ( a; b ) làm vectơ pháp tuyến có phương trình tổng qt là: a ( x − xo ) + b ( y − yo ) = hay ax + by + c = 0, c = −axo − byo r Đường thẳng ∆ qua điểm A ( xo ; yo ) nhận u = ( u1; u2 ) làm vectơ phương có phương trình tham số là: x = xo + tu1 ( t ∈¡ y = y + tu o ) k Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Khoảng cách từ điểm M ( xo ; yo ) đến đường thẳng ∆ : ax + by + c = ký hiệu d ( M , ∆ ) và: d ( M ,∆) = axo + byo + c a + b2 l Phương trình đường tròn: Đường tròn ( C ) tâm I ( a; b ) , bán kính R có phương trình là: ( x − a) + ( y − b) = R2 hay x + y − 2ax − 2by + c = 0, c = a + b − R m Phương trình đường elip: Elip ( E ) có độ dài trục lớn 2a, độ dài trục bé 2b có phương trình là: x2 y2 ( E) : + =1 a b n Phương trình đường hyperbol: Hyperbol ( H ) có độ dài trục thực 2a, độ dài trục ảo 2b có phương trình là: x2 y2 ( H ) : − =1 a b Một số toán sử dụng chuyên dề 2 Bài toán Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng ∆ : ax + by + c = ( a + b ≠ ) hai điểm A ( x A ; y A ) , B ( xB ; yB ) không thuộc ∆ Xác định điểm M đường thẳng ∆ , biết đường thẳng AM vng góc với đường thẳng AB Quy trình giải tốn Bước Viết phương trình đường thẳng AM qua A vng góc với đường thẳng AB Bước Xác định tọa độ giao điểm đường thẳng AM đường thẳng ∆ Bước Kết luận M A(xA;yA) :ax+by+c=0 B(xB;yB) 2 Bài toán Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng ∆ : ax + by + c = ( a + b ≠ ) điểm C ( xC ; yC ) không thuộc ∆ Xác định tọa độ điểm A đường thẳng ∆ , biết góc hai đường thẳng AC ∆ ϕ C (xC;yC) Quy trình giải tốn Bước Tham số hóa điểm A ϕ A :ax+by+c=0 uuur r AC.u ∆ r Bước Sử dụng công thức cos ϕ = uuur r ( u ∆ véc tơ phương đường thẳng ∆ ) AC u ∆ Bước Giải phương trình bước kết luận Bài toán Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm phân biệt A ( x A ; y A ) , B ( xB ; yB ) Xác định điểm M đường thẳng AB, biết AM = kBM ; ( k ∈ R, k > ) Quy trình giải tốn Bước Giả sử M ( x; y ) Bước Xác định M hai trường hợp: - uuuu r uuuu r B Trường hợp 1: AM = −k BM (điểm M nằm đoạn AB) M1 A uuuu r uuuu r Trường hợp 2: AM = k BM (điểm M nằm đoạn AB) M2 Bước Kết luận 2 Bài toán Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng ∆ : ax + by + c = ( a + b ≠ ) hai điểm A ( x A ; y A ) , B ( xB ; yB ) không thuộc ∆ Xác định tọa độ điểm M thuộc ∆ cho d ( M , AB ) = k ( k ∈ R, k > ) M Quy trình giải tốn Bước Tham số hóa điểm M B Bước Sử dụng cơng thức tính khoảng cách d ( M , AB ) A Bước Giải phương trình bước kết luận Bài tốn Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai điểm A ( x A ; y A ) , B ( xB ; yB ) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm M ( x0 ; y0 ) thỏa mãn hệ thức d ( A, ∆ ) = k d ( B, ∆ ) ; ( k ∈ R, k > ) A Quy trình giải tốn 2 Bước Giả sử ∆ : ax + by = ax0 + by0 ( a + b ≠ ) a = α b ( *) a = β b Bước Sử dụng hệ thức d ( A, ∆ ) = k d ( B, ∆ ) ⇒ M B Bước Chọn a, b đại diện thỏa mãn ( *) B Một số phương pháp tiếp cận toán tọa độ mặt phẳng Tiếp cận tốn tọa độ mặt phẳng từ tính chất vng góc Bài tốn 1.1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD Gọi M(1;3) trung 1 điểm cạnh BC, N − ; ÷ điểm cạnh AC cho AN = AC Xác định tọa độ 2 đỉnh hình vng ABCD, biết D nằm đường thẳng x − y − = Phân tích: - Ta nhận thấy giả thiết toán xoay quanh ba điểm D, M, N nên chúng xuất mối quan hệ đặc biệt Bằng trực quan ta đưa giả thuyết DN ⊥ MN Nếu giả thuyết dựa vào tốn ta tìm tọa độ điểm D Từ ta tìm đỉnh lại hình vng phương pháp tham số hóa quen thuộc - Ta cụ thể toán để kiểm chứng giả thuyết đề ra: Giả sử ta chọn hình vng ABCD có tọa độ đỉnh A ( −2; ) , B ( 2; ) , C ( 2; −2 ) , D ( −2; −2 ) Khi uuur uuuu r DN MN = ⇒ DN ⊥ MN Giải Trước hết ta chứng minh DN ⊥ MN Ta chứng minh cách sau: Cách (Thuần túy hình phẳng) Gọi I giao điểm hai đường chéo AC BD Điểm F trung điểm đoạn DI Khi tứ giác FNMC hình bình hành F trực tâm tam giác NDC nên CF ⊥ DN Mà CF / / MN nên DN ⊥ MN A B N I M F C D Cách (Sử dụng công cụ véc tơ) uuur r uuur u r ru r ( r u r ) uuur 3r r uuuu r uuur uuuur 1u 1r r 3u Đặt DA = x; DC = y x y = 0; x = y Ta có DN = x + y; MN = DN − DM = x − y uuur uuuu r Suy DN MN = ( ) r2 r2 u x − y = ⇒ DN ⊥ MN 16 A B N M x C D y Cách (Sử dụng công cụ tọa độ) Chọn hệ trục tọa độ Oxy hình vẽ Khi D ( 0;0 ) , A ( 0; a ) , C ( a;0 ) , Nên uuur uuuu r 3 a a 3a M a; ÷, N ; ÷ Do DN MN = − a + a = ⇒ DN ⊥ MN 16 16 2 4 N M Cách (Sử dụng công cụ lượng giác) Đặt AB = BC = CD = DA = a - Xét tam giác AND, ta có DN = AN + AD − AN AD.cosA = a - 2 2 Xét tam giác CMN, ta có MN = CN + CM − 2CN CM.cosC = a - Xét tam giác DCM, ta có DM = DC + CM = a Suy DM = DN + MN ⇒ DN ⊥ MN B A N M D C Sau chứng minh DN ⊥ MN ta có Phương trình đường thẳng DN : x + y + = x + y +1 = x = ⇒ ⇒ D ( 1; −2 ) x − y − = y = −2 uuur uuur uuur uuur Giả sử A ( m; n ) , từ AC = AN ⇒ C ( −6 − 3m; − 3n ) Từ AB = DC ⇒ B ( −7 − 2m; − 2n ) Suy Tọa độ điểm D nghiệm hệ −13 − 5m − 5n ; ÷ 2 tọa độ điểm M −13 − 5m = m = −3 ⇒ ⇒ A ( −3;0 ) , B ( −1; ) ; C ( 3; ) − 5n = n = Từ ta có Nhận xét: - Để giải toán 1.1 ta mở “ nút thắt đầu tiên” tìm tọa độ điểm D nhờ mối quan hệ DN ⊥ MN Như toán 1.1 thực chất xây dựng tốn hình phẳng túy : Cho hình vng ABCD Gọi M trung điểm cạnh BC; N điểm cạnh AC cho AN = AC Chứng minh DN ⊥ MN Bài toán 1.2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh B thuộc đường thẳng d1 : x − y + = , đỉnh C thuộc đường thẳng d : x − y − = Gọi H hình chiếu 9 2 B xuống AC Biết điểm M ; ÷, K ( 9; ) trung điểm AH CD Xác định 5 tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD, biết điểm C có tung độ dương Phân tích: - Giả thiết tốn xoay quanh điểm M, K, B Bằng trực quan ta đề xuất giả thuyết BM ⊥ KM giả thuyết đề sử dụng kết toán để “ mở nút thắt đầu tiên” tìm tọa độ điểm B Từ phương pháp giải tốn quen thuộc ta tìm tọa độ đỉnh lại hình chữ nhật - Để kiểm chứng giả thuyết đề ra, ta cụ thể hóa tốn 1.2 hình chữ nhật ABCD với A ( −2;1) , B ( 2;1) , C ( 2; −1) , D ( −2; −1) Giải: 10 64 18 85 69 34 90 Suy B ; ÷; C ; ÷; D ; ÷ 13 13 13 13 13 13 Kiểm tra điểm M nằm cạnh BC, nhận thấy hai trường hợp thảo mãn yêu cầu Nhận xét: - Mối quan hệ ba điểm A, M, N tốn 1.10 tưởng chừng khơng liên quan đến mối quan hệ ba điểm nêu toán toán Song với suy luận ta hồn tồn đưa toán cho toán quen thuộc với phép gọi véc tơ đại diện - Bài toán giải theo hướng vận dụng kết toán cách qua A dựng đường thẳng vng góc với AM cắt CD E, tìm tạo độ điểm E nhờ vận dụng kết tốn 1, từ giải tốn cách đơn giản - Ta có tốn chất hình phẳng có tốn 1.10: Cho hình vuông ABCD Gọi M điểm cạnh BC Đường thẳng AM cắt đường thẳng CD N Biết MN =k , AN tính cos ·AND theo k - Ta dễ dàng nhận trường hợp A, M, N thẳng hàng toán trường hợp đặc biệt toán tổng quát nêu toán 1.9 Bài toán 1.11 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông A Gọi M điểm cạnh AC cho AB = 3AM Đường tròn tâm I(1;-1) đường kính CM cắt BM D Xác 4 3 định tọa độ đỉnh tam giác ABC biết đường thẳng BC qua N ;0 ÷ , phương trình đường thẳng CD : x − y − = C có hồnh độ dương Phân tích: - Từ kiện toán ta nhận thấy mối quan hệ ba điểm I, C, D mối quan hệ quen thuộc toán - · Nếu ta tính cos ICD tìm nút thắt toán - Lại thấy từ mối quan hệ ba điểm A, M, B cho ta cos ·ABM = AB = , mà BM 10 · · · BAM = MDC = 900 , từ ta đưa giả thuyết ·ABM = MCD Giải: 22 Ta có · · BAM = MDC = 900 ⇒ tứ giác ABCD nội tiếp, suy ·ABM = MCD · mà B AB 3 · = ⇒ cos ICD = BM 10 10 uur r IC.u CD Giả sử C ( 3c + 6; c ) ta có cos ·ACD = uur r = 10 IC u CD cos ·ABM = c = −1 ⇒ = ⇒ 5c + 16c + 11 = ⇒ c = − 11 (loai) 10c + 32c + 26 10c + 16 C A I M D Với c = ⇒ C ( 3; −1) Phương trình đường thẳng BC : 3x + y − = Điểm M(-1;-1) Phương trình đường thẳng BM : x + y + = Điểm B = BC ∩ BM ⇒ B ( −2; ) Phương trình đường thẳng AC : y + = Phương trình đường thẳng AB : x + = Điểm A = AB ∩ AC ⇒ A ( −2; −1) Nhận xét: - Ta nhận thấy tốn 1.11 ý đồ sử dụng kết toán việc sử dụng gián tiếp thơng qua việc chứng minh hai góc tốn hình học phẳng túy - Như xây dựng toán tương tự việc xuất phát từ tốn hình phẳng túy chứng minh hai góc ( α = β ) , sau gán giá trị cos α sau sử dụng kết tốn cho cos β Tiếp cận tốn hình học phẳng từ mối quan hệ thẳng hàng Bài toán 1.12 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD Gọi M trung điểm 1 cạnh BC, N − ; ÷ điểm cạnh AC cho AN = AC , giao điểm AC DM 2 4 I 1; ÷ Xác định tọa độ đỉnh hình vng ABCD 3 Phân tích: 23 - Từ trực quan ta nhận thấy giống toán với toán 1.1, song giả thiết tốn 1.12 khơng phải mối quan hệ ba điểm D, M, N phát biểu toán 1.1 toán 1.8 nghĩa để mở “nút thắt đầu tiên” khơng thể sử dụng kết tốn toán - Ta nhận thấy, kiện toán liên quan đến ba điểm A, I, N C, I, N ta đề uur uu r giả thuyết tìm số thực k : IN = k IA từ áp dụng kết tốn Giải: Ta có ∆IMC : ∆IDA ⇒ r IA ID DA IN uur uu = = = 2⇒ = ⇒ IN = IA IC IM MC IA 8 5 − = ( x A − 1) ⇒ A ( −3;0 ) Giả sử A ( x A ; y A ) , ta có − = y A − ÷ 3 uuur uuur Từ AN = AC ⇒ C ( 3; ) Phương trình đường thẳng BD : 3x + y − = 0, đường tròn tâm J đường kính AC có phương trình x + ( y − 1) = 10 x = −1 3 x + y − = y = ⇒ Tọa độ B, D nghiệm hệ 2 x + ( y − 1) = 10 x = y = −2 x = −1 ta có B ( −1; ) ; D ( 1; −2 ) y = Với A B N x = Với ta có B ( 1; −2 ) ; D ( −1; ) y = −2 M J I Nhận xét: - D C Ta nhận thấy toán túy hình phẳng (bài tốn 1.1, tốn 1.8 toán 1.12) với cách lựa chọn mối quan hệ ba điểm khác nhau, tìm toán với lời giải thú vị khác - Bài toán 1.12 xây dựng dựa kết hợp kết toán tốn túy hình phẳng sau: Cho hình vng ABCD Gọi M trung điểm cạnh BC; N 24 điểm cạnh AC cho AN = AC ; I giao điểm DM AC Chứng minh uur r uu IN = IA Bài toán 1.13 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang ABCD với hai đáy AB, CD CD = 2AB Gọi H chân đường vng góc hạ từ D xuống AC M trung điểm HC Biết tọa độ đỉnh B(5;6), phương trình đường thẳng DH : x − y = ; phương trình đường thẳng DM : x − y + = Tìm tọa độ đỉnh hình thang ABCD Phân tích: - Ta dễ dàng tìm tọa độ điểm D Để giải toán, ta đưa hai giả thuyết : giả thuyết thứ tìm tọa độ điểm M từ mối quan hệ vng góc ba điểm D, M, B giả thuyết thứ hai tìm tọa độ điểm I từ mối quan hệ thẳng hàng ba điểm D, I, B Từ trực quan ta loại bỏ giả thuyết thứ (có thể kiểm chứng hình uuu r uur thang cụ thể) Như giả thuyết lại tìm số thực k thỏa mãn DI = k BI Giải: Có nhiều giải pháp lựa chọn, song đơn giản việc sử dụng mối quan hệ AB CD Ta có AB / / CD ⇒ uuu r uur BI AB = = ⇒ DI = BI ⇒ DI = IB DI CD 2 x − y = ⇒ D ( 1; ) x − y = −5 Tọa độ D nghiệm hệ Gọi I giao điểm AC BD Ta có AB / / CD ⇒ uuu r uur AB BI 11 14 = ⇒ DI = BI ⇒ DI = IB ⇒ I ; ÷ CD DI 3 3 Đường thẳng AC có phương trình x + y = 13 2 x − y = 13 26 ⇒H ; ÷ 5 x + y = 13 Suy tọa độ điểm H nghiệm hệ x − y = −5 29 18 ⇒M ; ÷ 5 x + y = 13 Tọa độ M nghiệm hệ A M trung điểm HC suy C ( 9; ) B H I M D 25 C uuur uuu r −8 = ( x A − ) CD = BA ⇒ ⇒ A ( 1;6 ) Lại có 0 = ( y A − ) Nhận xét: - Từ toán 1.13 ta thấy toán xuất nhiều mối quan hệ ba điểm khiến phải đề nhiều giả thuyết, sử dụng trực quan kiểm chứng với trường hợp cụ thể để loại giả thuyết ta đề xuất ban đầu - Từ toán ta có vào tỉ số k = AB BI = = k , tức mối quan hệ ba điểm B, I, D phụ thuộc CD DI AB Do để xây dựng tốn tương tự, ta lựa chọn số k tốn CD hình phẳng sau: Cho hình thang ABCD có AB = kCD, k > Gọi I giao điểm AC uur uur BD Chứng minh BI = k ID 5 1 8 Bài toán 1.14 Cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp I ; ÷ , trực tâm H ; ÷ 3 3 3 trung điểm BC M(1;1) Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC Phân tích: - Từ kiện tốn, ta xác định tọa độ điểm A ta viết phương trình đường thẳng BC từ lấy giao điểm với đường tròn ngoại tiếp tìm tọa độ đỉnh B, C - Vậy tìm tạo độ điểm A mấu chốt tốn Để tìm tọa độ điểm A ta đề xuất giả thuyết mối quan hệ thẳng hàng ba điểm M, G, A Từ dẫn đến việc phải tìm tọa độ điểm G - Vậy ba điểm G, H, I có mối quan hệ đặc biệt, mối quan hệ uuur uur toán quen thuộc đường thẳng Ơ-le: HG = 2GI Giải: Gọi A1 điểm đối xứng A qua I, ta dễ dàng chứng minh tứ giác HCA1 B hình bình hành, từ suy M trung điểm A1 H uuur A uur Gọi G trọng tâm tam giác ABC, suy G trọng tâm tam giác AHA1 ⇒ HG = 2GI H I G M C B A1 26 4 xG − = − xG ÷ ⇒ G ( 1; ) Ta có y − = 2 − y G ÷ G 3 uuur uuuu r 1 − x A = 2(1 − 1) ⇒ A ( 1; ) 2 − y A = 2(1 − 2) Lại có AG = 2GM ⇒ Phương trình đường thẳng BC: x + y − = 2 4 50 Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ( C ) : x − ÷ + y − ÷ = Suy tọa 3 3 x + y − = B ( −1; ) ; C ( 3;0 ) độ B, C nghiệm hệ phương trình 50 ⇒ B ( 3;0 ) ; C ( −1; ) x − ÷ + y − ÷ = Nhận xét: - Bài toán đường thẳng Ơ- le tốn xuất đầu chương trình học lớp 10 THPT xuất kiện xung quanh đường tròn ngoại tiếp trực tâm thông thường uuur uur ta nghĩ đến mối quan hệ ba điểm I, H, G với HG = 2GI Tiếp cận toán tọa độ mặt phẳng từ toán khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Bài toán 1.15 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD Gọi M trung điểm cạnh BC, N điểm cạnh AC cho AN = AC ; điểm N thuộc đường thẳng x + y + = , phương trình đường thẳng MD : x − = Xác định tọa độ đỉnh A hình vuông ABCD, biết khoảng cách từ A đến MD điểm N có hồnh độ âm Phân tích: - Từ trực quan ta nhận thấy nét giông với toán 1.1, nhiên với kiện tốn cho khó vận dụng kết toán để giải toán 1.1, vận dụng kết toán để giải toán 1.8 hay vận dụng toán để giải toán 1.12 - Tuy nhiên toán mối quan hệ ba điểm N, M, D từ kiện toán ta đề xuất giả thuyết tính khoảng cách từ điểm N đến đường thẳng MD, từ vận dụng 27 kết tốn tìm tọa độ điểm N, từ ta tìm tọa độ đỉnh hình vng Giải: Ta có ∆IMC : ∆IDA ⇒ IA ID DA IN 5 = = = 2⇒ = ⇒ d ( N , MD ) = d ( A, MD ) = IC IM MC IA 8 A Giả sử N ( n; −3n − ) Từ d ( N , MD ) = B N n = ( loai ) 1 ⇒ n −1 = ⇒ ⇒ N − ; ÷ 2 n = − M H E D I C Lại tam giác MND vuông cân ⇒ ND = 2d ( N , MD ) = Nên điểm D M giao điểm đường thẳng DM đường tròn tâm N bán kính ND = , hay tọa độ điểm nghiệm hệ x −1 = D ( 1;3) ; M ( 1; −2 ) 2 3 1 25 ⇒ x + ÷ + y − ÷ = D ( 1; −2 ) ; M ( 1;3) uuu r uuur 1 uur r uu +) Trường hợp 1: D ( 1;3) ; M ( 1; −2 ) , từ DI = IM ⇒ I 1; − ÷ , lại từ IN = IA ⇒ A ( −3;1) uuu r uuur 4 uur r uu +) Trường hợp 2: D ( 1; −2 ) ; M ( 1;3) , từ DI = IM ⇒ I 1; ÷ , lại từ IN = IA ⇒ A ( −3;0 ) 3 Nhận xét : - uur r uu Từ kết toán 1.12 ta nhận thấy ràng buộc hệ thức IN = IA hệ thức d ( N , MD ) = d ( N , MD ) việc xây dựng toán 1.15 thực chất kết hợp kết tốn với tốn hình phẳng nêu toán 1.12 Bài toán 1.16 (Trích đề thi tuyển sinh khối A – năm 2012) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD Gọi M trung điểm cạnh BC, N điểm CD cho 28 11 CN = ND Giả sử M ; ÷ đường thẳng AN có phương trình x − y − = Tìm tọa độ 2 điểm A Phân tích: - Ta giải toán với mối quan hệ tạo với góc ϕ = 450 toán 1.9 Tuy nhiên với từ kiện tốn, ta đề xuất giả thuyết ba điểm có mối quan hệ khoảng cách áp dụng toán để gải - Điều thú vị kiện toán cho kết d ( M , AN ) = , khiến đặt câu hỏi, liệu có phải kết ngược lại tốn khơng? Nghĩa từ kết d ( M , AN ) = - tìm yếu tố liên quan để giải trọn vẹn toán Dễ dàng nhận liên quan diện tích hình khoảng cách từ M đến đường thẳng AN Do ta sử dụng diện tích để thử tìm xem mối quan hệ gì? Giải : A B M C D N Giả sử cạnh hình vng có độ dài a Khi S AMN = S ABCD − ( S ADN + SCNM + S BAM ) = a a 10 Từ a ; AN = a + = 12 S AMN = a 10 d ( M , AN ) AN ⇒ d ( M , AN ) = = ⇒ a = Suy AM = a = ⇒ A ( 1; −1) a 10 = ⇒ a − 5a + = ⇒ 2 a = ⇒ A ( 4;5 ) Nhận xét : 29 - Ta nhận thấy tốn 1.16 xây dựng nhờ kết hợp tốn tốn hình phẳng túy sau: Cho hình vng ABCD có cạnh a Gọi M trung điểm cạnh BC, N điểm CD cho CN = ND Chứng minh d ( M , AN ) = a 10 Bài toán 1.17 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có A ( 1;3) Biết 17 điểm M ( 6; ) thuộc cạnh BC N ; ÷ thuộc đường thẳng DC Tìm tọa độ đỉnh B, C, D 2 hình vng ABCD Phân tích: - Dữ kiện toán xoay quanh ba điểm A, M, N song tọa độ điểm biết Từ ta đề xuất giả thuyết: giả thuyết thứ sử dụng kết toán tổng quát tốn 1.16 tìm độ lớn cạnh hình vng, giả thuyết thứ hai sử dụng toán viết phương trình cạnh hình vng, từ tìm tộ độ đỉnh - Nếu giả thiết cho điểm N thuộc cạnh DC, ta hoàn toàn sử dụng kết toán 1.16 song giả thiết ban đầu N thuộc đường thẳng DC, ta loại trừ giả thuyết thứ - Ta dễ dàng nhận d ( M , AD ) = d ( A, DC ) giả thuyết thứ hai giả thuyết chấp nhận Giải: A r r r Giả sử n ( a; b ) , n ≠ véc tơ pháp tuyến đường thẳng AD Lúc B Phương trình đường thẳng AD : ax + by = a + 3b M Phương trình đường thẳng DC : b x − ay = Lại có d ( M , AD ) = d ( A, DC ) ⇒ 5a + b a + b2 17b − 9a = a = b ⇒ a + b2 7 a = −17b 3a − 15b C D N Với a = b Chọn b = ⇒ a = Lúc phương trình đường thẳng AB : x − y = −2; BC : x + y = 10; CD : x − y = 4; DA : x + y = Suy B ( 4;6 ) ; C ( 7;3) ; D ( 4;0 ) 30 Với a = −17b Chọn b = −7 ⇒ a = 17 Lúc phương trình đường thẳng AB : x + 17 y = 58; BC :17 x − y = 74; CD : x + 17 y = 136; DA :17 x − y = −4 Suy 64 18 85 69 34 90 B ; ÷; C ; ÷; D ; ÷ 13 13 13 13 13 13 Kiểm tra điểm M nằm cạnh BC , nhận thấy hai trường hợp thỏa mãn yêu cầu Nhận xét: - Ta nêu quy trình giải toán mở rộng sau: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy Viết phương trình cạnh hình vuông ABCD, biết đường thẳng AB, CD qua điểm P ( xP ; yP ) ;Q ( xQ ; yQ ) đường thẳng BC, AD qua điểm R ( xR ; yR ) ;S ( xS ; yS ) r r r Bước 1: Giả sử n ( a; b ) , n ≠ véc tơ pháp tuyến đường thẳng BC Bước 2: Viết phương trình cạnh BC, CD dạng tổng quát Bước 3: Sử dụng công thức d ( P, CD ) = d ( S , B C ) lựa chọn giá trị a, b thông qua hệ thức liên hệ chúng Bước 4: Viết phương trình đường thẳng tìm tọa độ giao điểm đường thẳng AB, BC, CD, DA C Một số tập áp dụng Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có phương trình đường chéo AC : x + y − = Trên tia đối tia CB lấy điểm M tia đối tia DC lấy điểm N cho DN = BM Đường thẳng song song với AN kẻ từ M đường thẳng song song với AM kẻ 31 từ N cắt F(0; -3) Xác định tọa độ đỉnh hình vng ABCD, biết điểm M nằm trục hoành Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có A (1;4) Trên tia đối tia CB lấy điểm M tia đối tia DC lấy điểm N cho DN = BM Đường thẳng song song với AN kẻ từ M đường thẳng song song với AM kẻ từ N căt F Biết phương trình đường thẳng CF : x − y − = Xác định tọa độ điểm M, N, biết M nằm trục hoành Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có hai đường chéo cắt I(0;-1) Kẻ AH BK vng góc với BD AC Đường thẳng AH BK cắt 1 E − ; ÷ Xác định tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD, biết điểm H nằm 2 đường thẳng x + y − = Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có hai đường chéo cắt I Kẻ AH BK vuông góc với BD AC Đường thẳng AH BK cắt E Xác định tọa độ đỉnh hình chữ nhật ABCD, biết phương trình đường thẳng 4 BK : x − y + = , phương trình đường thẳng IE : x + y + = tọa độ điểm H − ; ÷ 5 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A; D trung điểm 11 13 ; ÷, E ; ÷ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, 3 3 đoạn AB Biết I trọng tâm tam giác ADC; Các điểm M(3; -1), N(-3;0) thuộc đường thẳng DC, AB Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC, biết A có tung độ dương Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân A;D trung điểm đoạn 13 thẳng AB Điểm E ; ÷ trọng tâm tam giác ADC Phương trình đường thẳng CD : x − = 3 , đường cao kẻ từ đỉnh A tam giác ABC qua N(2;0) Xác định tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn tâm I đường kính AC Từ điểm 3 M − ; ÷ nằm ngồi đường tròn, vẽ tiếp tuyến MA, MB (A, B tiếp điểm ) Tiếp 2 tuyến C có phương trình x − y − = cắt đường thẳng AB D Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC, biết điểm I thuộc đường thẳng x + y = 32 3 Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn tâm I − ; ÷ đường kính AC Từ 2 3 điểm M − ; ÷ nằm ngồi đường tròn, vẽ tiếp tuyến MA, MB () A, B tiếp điểm) 2 Tiếp tuyến C cắt đường thẳng AB D(-2;-3) Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC Bài Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD, E(2;1) điểm thuộc cạnh BC Đường thẳng qua B vng góc với DE cắt đường thẳng DE DC theo thứ tự H K ( 5; −2 ) Xác định tọa độ đỉnh hình vng , biết đường thẳng CH có phương trình x − y − 16 = Bài 10 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD, E(2;1) điểm thuộc cạnh BC Đường thẳng qua B vng góc với DE cắt đường thẳng DE DC theo thứ tự 62 34 H ; ÷ K(5;-2) Xác định tọa độ đỉnh hình vng, biết điểm C thuộc đường 25 25 thẳng x + y + = Bài 11 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD , gọi E trung điểm cạnh AD, 11 3 6 H ; − ÷ hình chiếu vng góc B lên CE M ; − ÷ trung điểm BH Xác 5 5 5 định tọa độ đỉnh hình vng ABCD, biết điểm A có hồnh độ âm Bài 12 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông A Gọi M điểm cạnh AC cho AB = 2AM Đường tròn tâm I(1;-1) đường kính CM cắt BM D Xác định 4 tọa độ đỉnh ∆ABC biết đường thẳng BC đia qua N ;0 ÷ , phương trình đường thẳng 3 CD : x − y − = điểm C có hồnh độ dương Bài 13 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn 2 7 5 325 Đường phân giác góc BAC cắt (C) điểm E 0; − ÷ ( C) : x − ÷ + y − ÷ = 2 2 4 16 Xác định tọa độ đỉnh tam giác ABC, biết đường thẳng BC qua điểm N ( −5; ) đường thẳng AB qua P ( −3; −2 ) 33 Bài 14 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G(1;1); đường cao từ đỉnh A có phương trình x − y + = đỉnh B, C thuộc đường thẳng ∆ : x + y − = Xác định tọa độ đỉnh A, B, C biết diện tích tam giác ABC Bài 15 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD, có tâm O hai cạnh kề qua M(-1;2), N(3;-1) Xác định tọa độ đỉnh hình vng Bài 16 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có phương trình đường thẳng chứa cạnh AB CD x − y − = 0; x − y − 18 = Xác định tọa độ đỉnh hình vng ABCD, biết tâm I thuộc đường thẳng ∆ : x + y − = Bài 17 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD có hai đáy AB, CD; hai đường chéo AC BD vng góc với Biết A(0;3), B(3;4) điểm C nằm trục hoành Xác định tọa độ đỉnh D hình thang ABCD Bài 18 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có tâm I(3;3) 4 13 AC = 2BD Điểm M 2; ÷ thuộc đường thẳng AB, điểm N 3; ÷ thuộc đường thẳng CD Viết 3 3 phương trình đường chéo BD biết đỉnh B có hồnh độ nhỏ Bài 19 (Trích đề thi tuyển sinh khối A – năm 2014) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD có điểm M trung điểm đoạn AB N điểm thuộc đoạn AC cho AN = 3NC Viết phương trình đường thẳng CD, biết M(1;2) N(2;-1) 34 PHẦN III KẾT LUẬN Trên phần trình bày nội dung chuyên đề Qua chuyên đề thấy em học sinh biết cách xác định dạng toán, đưa phương pháp giải tổng hợp, từ học sinh có lời giải xác, rõ ràng, lập luận chặt chẽ, đạt điểm tối đa.Tiến tới đạt kết cao kỳ thi THPT Quốc Gia Tuy nhiên kinh nghiệm hạn chế nên chuyên để tơi khơng tránh khỏi sai sót nhỏ, tơi mong đóng góp rút kinh nghiệm đồng nghiệp hội đồng nghiệm thu để đề tài thực trở thành tài liệu có ích cho en học sinh học tốn ơn thi THPT Quốc Gia Tôi xin chân thành cảm ơn! Sông Lô, ngày 04 tháng 11 năm 2015 Người viết chuyên đề Lê Minh Hồn 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO Hình Học 10- Nhà Xuất Bản Giáo Dục Toán Học Và Tuổi Trẻ- Nhà Xuất Bản Giáo Dục Đề Thi Tuyển Sinh Đại Học Các Năm Đề Thi Thử Đại Học Của Một Số Trường THPT 36 ... đại diện thỏa mãn ( *) B Một số phương pháp tiếp cận toán tọa độ mặt phẳng Tiếp cận toán tọa độ mặt phẳng từ tính chất vng góc Bài toán 1.1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD... THPT Quốc Gia em đạt hiệu cao chọn chuyên đề: “MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TIẾP CẬN CÁC BÀI TỐN TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG ” Với mục đích giúp em nhận thấy toán tọa độ mặt phẳng phức tạp trở nên dễ dàng, đơn... Tiếp cận toán tọa độ mặt phẳng từ tính chất góc Bài tốn 1.8 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vng ABCD Gọi M trung điểm 1 cạnh BC, N − ; ÷ điểm cạnh AC cho AN = AC Xác định tọa