BỘ ĐỀ ÔN THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT VÀ THPT CHUN Mơn: TỐN A - PHẦN ĐỀ BÀI I - ĐỀ ÔN THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT ĐỀ SỐ Câu 1: a) Cho biết a =  b =  Tính giá trị biểu thức: P = a + b – ab 3x + y = b) Giải hệ phương trình:  x - 2y = -  x  Câu 2: Cho biểu thức P =  (với x > 0, x  1)  : x 1  x - x 1 x- x a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị x để P > 2 Câu 3: Cho phương trình: x – 5x + m = (m tham số) a) Giải phương trình m = b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: x1  x  Câu 4: Cho đường tròn tâm O đường kính AB Vẽ dây cung CD vng góc với AB I (I nằm A O ) Lấy điểm E cung nhỏ BC ( E khác B C ), AE cắt CD F Chứng minh: a) BEFI tứ giác nội tiếp đường tròn b) AE.AF = AC2 c) Khi E chạy cung nhỏ BC tâm đường tròn ngoại tiếp ∆CEF ln thuộc đường thẳng cố định 1 Câu 5: Cho hai số dương a, b thỏa mãn: a + b  2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P =  a b ĐỀ SỐ Câu 1: a) Rút gọn biểu thức: 1  3 3 b) Giải phương trình: x2 – 7x + = Câu 2: a) Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng d: y = - x + Parabol (P): y = x2 4x + ay = b b) Cho hệ phương trình:  x - by = a Tìm a b để hệ cho có nghiệm ( x;y ) = ( 2; - 1) Câu 3: Một xe lửa cần vận chuyển lượng hàng Người lái xe tính xếp toa 15 hàng thừa lại tấn, xếp toa 16 chở thêm Hỏi xe lửa có toa phải chở hàng Câu 4: Từ điểm A nằm đường tròn (O;R) ta vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C tiếp điểm) Trên cung nhỏ BC lấy điểm M, vẽ MI  AB, MK  AC (I  AB,K  AC) a) Chứng minh: AIMK tứ giác nội tiếp đường tròn b) Vẽ MP  BC (P  BC) Chứng minh: MPK  MBC c) Xác định vị trí điểm M cung nhỏ BC để tích MI.MK.MP đạt giá trị lớn Câu 5: Giải phương trình: y - 2010  x - 2009  z - 2011     x - 2009 y - 2010 z - 2011 ĐỀ SỐ Câu 1: Giải phương trình hệ phương trình sau: a) x4 + 3x2 – = 2x + y = b)  3x + 4y = -1 Câu 2: Rút gọn biểu thức: a) A =  2  1 1   x+2 x  b) B =  ( với x > 0, x  )  x  x4 x + x 4 Câu 3: a) Vẽ đồ thị hàm số y = - x2 y = x – hệ trục tọa độ b) Tìm tọa độ giao điểm đồ thị vẽ phép tính Câu 4: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) Các đường cao BE CF cắt H a) Chứng minh: AEHF BCEF tứ giác nội tiếp đường tròn b) Gọi M N thứ tự giao điểm thứ hai đường tròn (O;R) với BE CF Chứng minh: MN // EF c) Chứng minh OA  EF Câu 5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = x2 - x y + x + y - y + ĐỀ SỐ Câu 1: a) Trục thức mẫu biểu thức sau: ; 1 b) Trong hệ trục tọa độ Oxy, biết đồ thị hàm số y = ax2 qua điểm M (- 2; ) Tìm hệ số a Câu 2: Giải phương trình hệ phương trình sau: a) 2x + = - x 2x + 3y =  b)   x - y = Câu 3: Cho phương trình ẩn x: x2 – 2mx + = (1) a) Giải phương trình cho m = b) Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: ( x1 + )2 + ( x2 + )2 = Câu 4: Cho hình vng ABCD có hai đường chéo cắt E Lấy I thuộc cạnh AB, M thuộc cạnh BC cho: IEM  900 (I M không trùng với đỉnh hình vng ) a) Chứng minh BIEM tứ giác nội tiếp đường tròn b) Tính số đo góc IME c) Gọi N giao điểm tia AM tia DC; K giao điểm BN tia EM Chứng minh CK  BN Câu 5: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh: ab + bc + ca  a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca ) ĐỀ SỐ  2  Câu 1: a) Thực phép tính:     b) Trong hệ trục tọa độ Oxy, biết đường thẳng y = ax + b qua điểm A( 2; ) điểm B(-2;1) Tìm hệ số a b Câu 2: Giải phương trình sau: a) x2 – 3x + = x -2 + = b) x-1 x+1 x -1 Câu 3: Hai ô tô khởi hành lúc quãng đường từ A đến B dài 120 km Mỗi ô tô thứ chạy nhanh ô tô thứ hai 10 km nên đến B trước ô tô thứ hai 0,4 Tính vận tốc ô tô Câu 4: Cho đường tròn (O;R); AB CD hai đường kính khác đường tròn Tiếp tuyến B đường tròn (O;R) cắt đường thẳng AC, AD thứ tự E F a) Chứng minh tứ giác ACBD hình chữ nhật b) Chứng minh ∆ACD ~ ∆CBE c) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp đường tròn d) Gọi S, S1, S2 thứ tự diện tích ∆AEF, ∆BCE ∆BDF Chứng minh:  Câu 5: Giải phương trình: 10 x + = x + S1  S2  S  ĐỀ SỐ Câu 1: Rút gọn biểu thức sau:  3   3  a) A =       1       b a  b) B =   a b - b a ( với a > 0, b > 0, a  b) ab - b   a - ab x - y = - 1  Câu 2: a) Giải hệ phương trình:   x + y =  2  b) Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình: x2 – x – = Tính giá trị biểu thức: P = x12 + x22 Câu 3: a) Biết đường thẳng y = ax + b qua điểm M ( 2; ) song song với đường thẳng 2x + y = Tìm hệ số a b b) Tính kích thước hình chữ nhật có diện tích 40 cm2, biết tăng kích thước thêm cm diện tích tăng thêm 48 cm2 Câu 4: Cho tam giác ABC vuông A, M điểm thuộc cạnh AC (M khác A C ) Đường tròn đường kính MC cắt BC N cắt tia BM I Chứng minh rằng:   a) ABNM ABCI tứ giác nội tiếp đường tròn b) NM tia phân giác góc ANI c) BM.BI + CM.CA = AB2 + AC2 Câu 5: Cho biểu thức A = 2x - xy + y - x + Hỏi A có giá trị nhỏ hay khơng? Vì sao? ĐỀ SỐ Câu 1: a) Tìm điều kiện x biểu thức sau có nghĩa: A = 1  b) Tính: 3 5 1 x-1+ 3-x Câu 2: Giải phương trình bất phương trình sau: a) ( x – )2 = x-1 < b) 2x + Câu 3: Cho phương trình ẩn x: x2 – 2mx - = (1) a) Chứng minh phương trình cho ln có hai nghiệm phân biệt x1 x2 b) Tìm giá trị m để: x12 + x22 – x1x2 = Câu 4: Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB Vẽ dây cung CD vng góc với AB (CD không qua tâm O) Trên tia đối tia BA lấy điểm S; SC cắt (O; R) điểm thứ hai M a) Chứng minh ∆SMA đồng dạng với ∆SBC b) Gọi H giao điểm MA BC; K giao điểm MD AB Chứng minh BMHK tứ giác nội tiếp HK // CD c) Chứng minh: OK.OS = R2  x + = 2y Câu 5: Giải hệ phương trình:   y + = 2x ĐỀ SỐ 2x + y = Câu 1: a) Giải hệ phương trình:  x - 3y = - b) Gọi x1,x2 hai nghiệm phương trình:3x2 – x – = Tính giá trị biểu thức: 1 + x1 x2 P=  a a  a 1 Câu 2: Cho biểu thức A =  với a > 0, a    :  a 1 a - a  a - a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị a để A < Câu 3: Cho phương trình ẩn x: x2 – x + + m = (1) a) Giải phương trình cho với m = b) Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm x 1, x2 thỏa mãn: x1x2.( x1x2 – ) = 3( x1 + x2 ) Câu 4: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R tia tiếp tuyến Ax phía với nửa đường tròn AB Từ điểm M Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn (C tiếp điểm) AC cắt OM E; MB cắt nửa đường tròn (O) D (D khác B) a) Chứng minh: AMCO AMDE tứ giác nội tiếp đường tròn b) Chứng minh ADE  ACO c) Vẽ CH vng góc với AB (H  AB) Chứng minh MB qua trung điểm CH Câu 5: Cho số a, b, c   ; 1 Chứng minh rằng: a + b2 + c3 – ab – bc – ca  ĐỀ SỐ Câu 1: a) Cho hàm số y =    x + Tính giá trị hàm số x = 32 b) Tìm m để đường thẳng y = 2x – đường thẳng y = 3x + m cắt điểm nằm trục hoành 3 x 6 x  x-9 Câu 2: a) Rút gọn biểu thức: A =   : x   x   x-4 b) Giải phương trình: với x  0, x  4, x  x - 3x +   x +  x - 3 x - 3x - y = 2m - Câu 3: Cho hệ phương trình:  (1) x + 2y = 3m + a) Giải hệ phương trình cho m = b) Tìm m để hệ (1) có nghiệm (x; y) thỏa mãn: x2 + y2 = 10 Câu 4: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng OA, điểm N thuộc nửa đường tròn (O) Từ A B vẽ tiếp tuyến Ax By Đường thẳng qua N vng góc với NM cắt Ax, By thứ tự C D a) Chứng minh ACNM BDNM tứ giác nội tiếp đường tròn b) Chứng minh ∆ANB đồng dạng với ∆CMD c) Gọi I giao điểm AN CM, K giao điểm BN DM Chứng minh IK //AB a+b  Câu 5: Chứng minh rằng: với a, b số dương a  3a + b   b  3b + a  ĐỀ SỐ 10 Câu 1: Rút gọn biểu thức: a) A =  50    1 2 x - 2x + b) B = , với < x < x-1 4x Câu 2:Giải hệ phương trình phương trình sau: 2  x - 1  y = a)   x - 3y = - b) x + x   Câu 3: Một xí nghiệp sản xuất 120 sản phẩm loại I 120 sản phẩm loại II thời gian Mỗi sản xuất số sản phẩm loại I số sản phẩm loại II 10 sản phẩm Hỏi xí nghiệp sản xuất sản phẩm loại Câu 4: Cho hai đường tròn (O) (O) cắt A B Vẽ AC, AD thứ tự đường kính hai đường tròn (O) (O) a) Chứng minh ba điểm C, B, D thẳng hàng b) Đường thẳng AC cắt đường tròn (O) E; đường thẳng AD cắt đường tròn (O) F (E, F khác A) Chứng minh điểm C, D, E, F nằm đường tròn c) Một đường thẳng d thay đổi qua A cắt (O) (O) thứ tự M N Xác định vị trí d để CM + DN đạt giá trị lớn Câu 5: Cho hai số x, y thỏa mãn đẳng thức: x +  x  2011 y +  y  2011  2011 Tính: x + y ĐỀ SỐ 11 Câu 1: 1) Rút gọn biểu thức: 1 - a a  - a  với a ≥ a ≠ A    a   - a  a    2) Giải phương trình: 2x - 5x + = Câu 2: 1) Với giá trị k, hàm số y = (3 - k) x + nghịch biến R 2) Giải hệ phương trình: 4x + y =  3x - 2y = - 12 Câu 3: Cho phương trình x2 - 6x + m = 1) Với giá trị m phương trình có nghiệm trái dấu 2) Tìm m để phương trình có nghiệm x 1, x2 thoả mãn điều kiện x - x2 = Câu 4: Cho đường tròn (O; R), đường kính AB Dây BC = R Từ B kẻ tiếp tuyến Bx với đường tròn Tia AC cắt Bx M Gọi E trung điểm AC 1) Chứng minh tứ giác OBME nội tiếp đường tròn 2) Gọi I giao điểm BE với OM Chứng minh: IB.IE = IM.IO Câu 5: Cho x > 0, y > x + y ≥ Tìm giá trị nhỏ biểu thức : + P = 3x + 2y + x y ĐỀ SỐ 12 Câu 1: Tính gọn biểu thức: 1) A = 20 - 45 + 18 + 72  a + a  a- a  1+ 2) B = 1 +   với a ≥ 0, a ≠  a +  1- a   Câu 2: 1) Cho hàm số y = ax2, biết đồ thị hàm số qua điểm A (- ; -12) Tìm a 2) Cho phương trình: x2 + (m + 1)x + m2 = (1) a Giải phương trình với m = b Tìm m để phương trình (1) có nghiệm phân biệt, có nghiệm - Câu 3: Một ruộng hình chữ nhật, tăng chiều dài thêm 2m, chiều rộng thêm 3m diện tích tăng thêm 100m2 Nếu giảm chiều dài chiều rộng 2m diện tích giảm 68m2 Tính diện tích ruộng Câu 4: Cho tam giác ABC vng A Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng đường tròn tâm (O) có đường kính MC Đường thẳng BM cắt đường tròn tâm (O) D, đường thẳng AD cắt đường tròn tâm (O) S 1) Chứng minh tứ giác ABCD tứ giác nội tiếp CA tia phân giác góc BCS 2) Gọi E giao điểm BC với đường tròn (O) Chứng minh đường thẳng BA, EM, CD đồng quy 3) Chứng minh M tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADE Câu 5: Giải phương trình x - 3x + + x + = x - + x + 2x - ĐỀ SỐ 13  a a - a a +  a +2 Câu 1: Cho biểu thức: P =  với a > 0, a  1, a  : a + a  a -  a- a 1) Rút gọn P 2) Tìm giá trị nguyên a để P có giá trị nguyên Câu 2: 1) Cho đường thẳng d có phương trình: ax + (2a - 1) y + = Tìm a để đường thẳng d qua điểm M (1, -1) Khi đó, tìm hệ số góc đường thẳng d 2) Cho phương trình bậc 2: (m - 1)x2 - 2mx + m + = a) Tìm m, biết phương trình có nghiệm x = b) Xác định giá trị m để phương trình có tích nghiệm 5, từ tính tổng nghiệm phương trình Câu 3: Giải hệ phương trình: 4x + 7y = 18  3x - y = Câu 4: Cho ∆ABC cân A, I tâm đường tròn nội tiếp, K tâm đường tròn bàng tiếp góc A, O trung điểm IK 1) Chứng minh điểm B, I, C, K thuộc đường tròn tâm O 2) Chứng minh AC tiếp tuyến đường tròn tâm (O) 3) Tính bán kính đường tròn (O), biết AB = AC = 20cm, BC = 24cm Câu 5: Giải phương trình: x2 + x + 2010 = 2010 ĐỀ SỐ 14 Câu 1: Cho biểu thức x +1 x 2+5 x với x ≥ 0, x ≠ + + 4-x x -2 x +2 1) Rút gọn P 2) Tìm x để P = Câu 2: Trong mặt phẳng, với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d có phương trình: y  (m  1)x  n 1) Với giá trị m n d song song với trục Ox 2) Xác định phương trình d, biết d qua điểm A(1; - 1) có hệ số góc -3 P= Câu 3: Cho phương trình: x2 - (m - 1)x - m - = (1) 1) Giải phương trình với m = -3 2) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm thoả mãn hệ thức x12 + x 22 = 10 3) Tìm hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc giá trị m Câu 4: Cho tam giác ABC vuông A (AB > AC), đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A, vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB E, nửa đường tròn đường kính HC cắt AC F Chứng minh: 1) Tứ giác AFHE hình chữ nhật 2) Tứ giác BEFC tứ giác nội tiếp đường tròn 3) EF tiếp tuyến chung nửa đường tròn đường kính BH HC Câu 5: Các số thực x, a, b, c thay đổi, thỏa mãn hệ: (1) x + a + b + c =  2 2  x + a + b + c = 13 (2) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ x ĐỀ SỐ 15  x    + Câu 1: Cho M =   :   với x  0, x   x - x - x   x 1 x -  a) Rút gọn M b) Tìm x cho M > Câu 2: Cho phương trình x2 - 2mx - = (m tham số) a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt b) Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình Tìm m để x12 + x 22 - x1x2 = Câu 3: Một đoàn xe chở 480 hàng Khi khởi hành có thêm xe nên xe chở Hỏi lúc đầu đồn xe có chiếc, biết xe chở khối lượng hàng Câu 4: Cho đường tròn (O) đường kiính AB = 2R Điểm M thuộc đường tròn cho MA < MB Tiếp tuyến B M cắt N, MN cắt AB K, tia MO cắt tia NB H a) Tứ giác OAMN hình ? b) Chứng minh KH // MB Câu 5: Tìm x, y thoả mãn 5x - x (2 + y) + y2 + = ĐỀ SỐ 16 10 => p2 + p + = n2 (p, n  Z) (2p + 1)2 + 23 = 4n2 (2n)2 - (2p + 1)2 = 23 (2n - 2p - 1)(2n + 2p + 1) = 23 Do 2n - 2p - = 2n + 2p + = 23 ; 2n - 2p - = 23 2n + 2p + = (vì 23  P 2n + 2p + > 2n - 2p - > 0) p = (t/m) ; p = - (t/m) Vậy số hữu tỉ x cần tìm – Câu 4: a) Tứ giác MNKB nội tiếp (vì A S K  N = 180 ) Tứ giác MNCI nội tiếp (vì MNC  MIC MNC = 900) H => BNK  BMK , INC  IMC (1) (vì góc nội tiếp chắn cung) Mặt khác BMK  IMC (2) (vì BMK  KMC  KMC  IMC bù với góc A tam giác ABC) P O K C B Từ (1), (2) suy BNK = INC nên điểm K, N, I thẳng hàng N I M Q b) Vì MAK  MCN   (vì góc nội tiếpcùng chắn cung BM) => AK CN AB  BK CN AB BK CN   cot g     hay (1) MK MN MK MN MK MK MN Tương tự có: Mà AC CI BN AI BN    hay MI MN MI MI MN IC BK   tg (  = BMK  IMC ) MI MK Từ (1), (2), (3) => (2) (3) AB AC BC   (đpcm) MK MI MN c) Gọi giao AH, MN với đường tròn (O) thứ tự Q, S => AQMS hình thang cân (vì AQ // MS => AS = QM) Vẽ HP // AS (P  MS) => HQMP hình thang cân, có BN trục đối xứng (vì Q H đối xứng qua BC) => N trung điểm PM mà HP // KN (vì KN // AS SAC  AIN NMC ) => KN qua trung điểm HM (đpcm) 114 2 2x  xy  y  p Câu 5: Đưa tốn tìm P để hệ phương trình:  2  x  2xy  3y  có nghiệm 8x  4xy  4y  4p (1) Hệ   Lấy (1) - (2), ta có: px  2pxy  3py  4p (2) (8 - p)x2 - 2y(2 + p)x - (4 + 3p)y2 = (3) - Nếu y = => (8 - p)x2 = x = p =  p  0; p  - Nếu y  chia vế pt (3) cho y2 ta có : (8 - p)t2 - 2(2 + p)t - (4 + 3p) = (4) với t = x y + Nếu p  8: Phương trình (2) có nghiệm  ' = (2 + p)2 + (8 - p)(4 + 3p) > + Nếu p = t = - p2 - 12p - 18 < -  p   Dấu “=” có xảy Vậy P = - , max P = +3 ĐỀ SỐ Câu 1: a) Từ giả thiết ta có: a b c ab - b - ac + c = = b-c a-c a-b  a - b  a - c  Nhân vế đẳng thức với a ta có: b-c  b - c = ab - b2 - ac + c2  a - b  a - c  b - c  Vai trò a, b, c nhau, thực hốn vị vòng quanh a, b, c ta có: b c - a  cb - c2 - ab + a , =  a - b  a - c  b - c  c a - b Cộng vế với vế đẳng thức trên, ta có b) Đặt 2010 = x  ac - a - bc + b2 =  a - b  a - c  b - c  a b c + + = (đpcm) 2 (b - c) (c - a) (a - b)2 2010 = x ; 2010 = x Thay vào ta có: 115  x2 - x + x2  A=  +  x   1-x 2 1+ + x x = 1   + x2 x   1 +  x   + x2 2 1 1 =   -   =0 x x Câu 2: a) Vì a, b, c độ dài cạnh tam giác nên a, b, c > Áp dụng BĐT Cơ-si ta có: a2 + bc ≥ 2a bc, b2 + ac  2b ac ; c2 + ab  2c ab 1 1 1  + +   + +  a + bc b + ac c + ab  a bc b ac c ab  a +b b+c c+a + + ab + bc + ca 2 = a + b + c , đpcm  = abc abc 2abc Dấu xẩy a = b = c, tức tam giác cho tam giác b) Điều kiện x ≥ 0; y ≥ Do Ta có: A = (x - xy + y) + 2y - x +1  = x - y - + (2y - y +  x - y -1 =[ = x- y  -2     x - y + 1] - y + 2y 2 +  1 )2 2 1 y  2     x =  x - y -1=0 A=     2 y - = y =  Vậy minA =  Câu 3: a) Điều kiện : ≤ x ≤ Áp dụng BĐT Bunhiacốpski ta có: 116 4 2 x-1+3 5-x   2  + 32  x - + - x  = 13.4  x - + - x  13 Dấu xẩy x - = - x  x = 29 13 Thay vào pt cho thử lại thỏa mãn 29 Vậy pt có nghiệm x = 13 1 b) Xét đẳng thức: f(x) + 3f   = x x  (1) x 1 Thay x = vào (1) ta có: f(2) + f   = 2 Thay x = 1 1 vào (1) ta có: f   + 3.f(2) = 2 a + 3b = 13  1 Đặt f(2) = a, f   = b ta có  Giải hệ, ta a = 32 2 3a + b = Vậy f(2) = - 13 32 a Câu 4: b Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp lục giác A, O, D thẳng hàng OK = OK 1 AB Vì FM = EF mà EF = AB FM = 2 o k f Ta lại có AF = R  AF = OA AFM = 1200 c m AOK + AOB = 1800 = AOK + 600  AOK = 1200 Do đó: d e ∆AFM = ∆AOK (c.g.c)  AM = AK, MAK = 600  AMK Câu 5: Gọi BH đường cao ∆ABO Ta có 2SAOB = OA BH b o 117 Nhưng BH ≤ BO nên 2SAOB ≤ OA OB mà OA.OB  OA + OB2 Do 2SAOB  OA + OB2 Dấu “=” xảy  OA  OB OA = OB Chứng minh tương tự ta có: OB2 + OC OC2 + OD ; 2SCOD  2 2 OD + OA 2SAOD  2 OA + OB2 + OC2 + OD2 Vậy 2S = 2(SAOB + SBOC + SCOD + SDOA) ≤ 2 2 Hay 2S ≤ OA + OB + OC + OD Dấu xẩy OA = OB = OC = OD 2SBOC    AOB = BOC = COD = DOA = 900  ABCD hình vng tâm O Lời bình: Câu III.b từ đâu mà ra? Gọi A(x), B(x), P(x), Q(x), C(x) đa thức biến x f(x) hàm số xác định phương trình A(x).f[P(x)] + B(x).f[Q(x)] = C(x) (1) Để tình giá trị hàm số f(x) điểm x = a ta làm sau Bước 1: Giải phương trình Q(x) = P(a) (2) Giả sử x = b nghiệm (2) Bước 2: Thay x = a, x = b vào phương trình (1), đặt x = f(a), y = f(b) ta có hệ 1) Chắc chắn bạn hỏi x   A(a) x  B(a) y  C (a)   B(b) x  A(b) y  C (b) (3) Giải hệ phương trình (3) (đó hệ phương trình bậc hai ẩn x, y)  Trong toán trên: A(x) = 1, B(x) = 3, P(x) = x, Q(x) = , C(x) = x2, a = x 118 Phương trình Q(x) = P(a)  1   x  , tức b  x 2 nghĩ 2) Chú ý: Khơng cần biết phương trình (2) có nghiệm Chỉ cần biết (có thể đốn) nghiệm đủ cho lời giải thành cơng 3) Một số tập tương tự Số x  a) Tính giá trị hàm số f(x) x = f(x) + 3.f(x) = + 3x (với x  )   b) Tính giá trị hàm số f(x) x = f ( x)  f    x (với  x  1)  1 x  1 c) Tính giá trị hàm số f(x) x = ( x  1) f ( x)  f    (với  x  1)  x  x 1 ĐỀ SỐ Câu 1: a) Từ x2 + y2 =  2xy = (x + y)2 - = (x + y + 2) (x + y - 2) xy x+y = -1 Vì x + y + ≠ nên (1) x+y+2 Áp dụng BĐT Bunhiacopski, ta có: x+y≤  x + y2   x + y ≤ 2 xy  Từ (1), (2) ta được: x+y+2 Vậy maxA = (2)  x  0, y    x=y= - Dấu "="  x = y x + y2 =  -1 b) Vì x2 + y2 + z2 = nên: 2 x + y2 + z x + y2 + z x + y2 + z + + = + + x + y2 y2 + z z2 + x x + y2 y2 + z z2 + x = z2 x2 y2 + + +3 x + y2 y2 + z x2 + z2 z2 z2  Ta có x + y ≥ 2xy  , x + y2 2xy y2 y2 x2 x2   Tương tự , 2xz y + z2 2yz x + z 2 119 Vậy y2 y2 z2 x2 z2 x2 +  + + + + +3 x + z2 2xz 2xy 2yz x + y2 y2 + z2 2 x + y3 + z + +  + , đpcm x + y2 y2 + z z2 + x 2xyz 10 Câu 2: a) x2 + 9x + 20 = 3x + 10 (1) Điều kiện: x   (2) (1)  (3x + 10 - 3x + 10 + 1) + (x2 + 6x + 9) =  ( 3x + 10 - 1)2 + (x + 3)2 =  3x + 10 - =    x = - (thỏa mãn đk (2)  x + = Vậy phương trình (1) có nghiệm x = -3  2x   x y - 2x + y = (1) y = b)   x +  2x - 4x + = - y  y3 = - (x - 1) -  Ta có: 2x   y2   -  y  1 + x2 Mặt khác: - (x - 1)2 - ≤ -  y3 ≤ -  y ≤ - (1) (2) Từ (1) (2)  y = - nên x = Thay vào hệ cho thử lại thỏa mãn Vậy x = y = -1 số cần tìm Câu 3: a) Đặt x = b > Thay vào gt ta y = c > ta có x2 = b3 y2 = c3 b3 + b2c + c3 + bc2 = a  a2 = b3 + b2c + c3 + bc2 + b c  b + c  a2 = (b + c)3  a = b + c hay x + y2 = a , đpcm b) Giả sử x0 nghiệm phương trình, dễ thấy x  Suy x 02 + ax0 + b + Đặt x0 + 120  1  a + =  x 02 + + a  x +  +b=0 x0 x0  x0 x0  1 = y0  x 02 + = y02 - , y0   y02 - = - ay0 - b x0 x0 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có:  y02 -  =  ay0 + b  Ta chứng minh   a + b2   y02 +  a  b2  (y02  2)2 (1) y02  (y02  2)2 (2)  y02  Thực vậy: (2)  5(y04  4y02  4)  4(y02  1)  5y04  24y02  16   5(y 02  4)(y 02  )  với y  nên (1)  5(a + b )  , đpcm Từ (1), (2) suy a + b  Câu 4: Đặt AH = x Ta có AMB = 900 (OA = OB = OM) c m k Trong ∆ vuông AMB ta có MA = AH AB = 2Rx (H chân đường vng góc hạ từ M xuống BC) Mặt khác: MK2 = OH2 = (R - x)2 (vì MKOH hình chữ nhật) b a h o Theo ta có: 4Rx = 15(R - x)2 h' Do H  AB  O ≤ x ≤ 2R Phương trình trở thành: 15x2 - 34Rx + 15R2 = 3R 5R ;x=  (5x - 3R) (3x - 5R) =  x = Cả giá trị thoả mãn Vậy ta tìm điểm H H’  điểm M M’ giao điểm nửa đường tròn với đường vng góc với AB dựng từ H H’ a b Câu 5: Gọi I trung điểm CD Nối EF, EI, IF, ta có IE đường trung bình củae∆BDC  fIE // BC g Mà GF BC  IE GF (1) d i Chứng minh tương tự EG IF (2) Từ (1) (2)  G trực tâm ∆EIF (3)  IG  EF Dễ chứng minh EF // DC (4) Từ (3) (4)  IG  DC c 121 Vậy ∆ DGC cân G  DG = GC ĐỀ SỐ Câu 1: 1) Trừ vào vế phương trình với 2x 9x x+9  x2  18x 9x  18x    - 40 = (1) Ta có:  x  +  = 40 x+9 x + 9 x+9   x + 9 x2 Đặt = y (2), phương trình (1) trở thành y2 + 18y - 40 = x+9  (y + 20) (y - 2) =  y = -20 ; y = 2  x = - 20(x + 9)  x + 20x +180 = (3) Thay vào (2), ta có    x - 2x - 18 = (4)  x = 2(x + 9) = Phương trình (3) vơ nghiệm, phương trình (4) có nghiệm là: x   19 Vậy phương trình cho có nghiệm là: x   19 2) Điều kiện x > x+1 (*)   x-3 x  - Phương trình cho  (x - 3) (x + 1) + 3(x - 3) x+1 =4 x-3 x+1  t = (x - 3) (x + 1) x-3 Phương trình trở thành: t2 + 3t - =  t = 1; t = - Đặt t =  x - 3 Ta có: (x -3) x 1  (1) ; ( x  3) x - x 1   (2) x x  x    x  1 + (1)   (x  3)(x  1)   x  2x   (t/m (*)) x  x    x   (t/m (*)) + (2)   (x  3)(x  1)  16  x  2x  19  Vậy phương trình cho có nghiệm là: x   ; x   Câu 2: 1) Điều kiện: - x2 >  - < x <  - 3x >  A ≥ Vậy A2 = 122 25 - 30x + 9x (3 - 5x) = +16  16 - x2 - x2 Dấu xẩy - 5x =  x = Vậy minA = 2) Chứng minh: a + b + b + c + c + a  (a + b + c) (1) Sử dụng bất đẳng thức: 2(x  y )  (x  y) , ta có: 2(a + b )  (a  b)  a + b  a + b (2) Tương tự, ta được: b2 + c2  b + c (3) c2 + a  c + a (4) Lấy (2) + (3) + (4) theo vế rút gọn, suy (1) đúng, đpcm Câu 3: (1) có nghiệm   y  x    x  2; x  (3) (2)  (y  1)   x  2x có nghiệm   x  2x   2  x  (4) Từ (3), (4) ta có: x = - 2, từ ta có y = - Vậy hệ có nghiệm (- ; - 1) m Câu 4: Kẻ MP // BD (P  AD) MD cắt AC K Nối NP cắt BD H k AM AP AM CM e = = (gt) Ta có mà AB AD AB CD i f AP CN  =  PN // AC Gọi O giao điểm a o b h AD CD n BO CO MK OC = , = AC BD Ta có OD OA PK OA NH OC NH MK = =  KH // MN Suy ra: PH OA PH PK Các tứ giác KENH, MFHK hình bình hành nên MF = KH EN = KH  MF = EN  ME = NF Câu 5: 1) Tứ giác MEHF nội tiếpvì MEH + MFH = 1800  AMB = 1800 - EHF = EHA + FHB (1) Ta có MHF = MEF (góc nội tiếp chắn MF ) Lại có MHF + FHB = 900 = MEF + EMD  FHB = EMD (2) 123 Từ (1) (2)  EHA = DMB , Gọi N giao điểm MD với đường tròn (O) ta có DMB = NAB (góc nội tiếp chắn NB )  EHA = NAB AN // EH mà HE  MA nên NA  MA hay MAN = 900  AN đường kính đường tròn Vậy MD qua O cố định 2) Kẻ DI  MA, DK  MB, ta có AH SMAD AM HE AD SMAD AM DI = = ; = = BD SMBD BM DK BH SMBH BM HF Vậy AH AD MA HE DI = BD BH MB2 DK HF (1) Ta có HMB = FHB (cùng phụ với MHF ) mà FHB = EMD (CMT)  EFH = DIK EHF = DMH Tứ giác MEHF nội tiếp nên AMH = EFH vµ EHF = 1800 - AMB Tứ giác MIDK nội tiếp nên DMB = DIK vµ IDK = 1800 - AMB  EFH = DIK vµ EHF = IDK  DIK HFE (g.g) ID DK HE.DI suy = = (2)  ID HE = DK HF  HF HE DK.HF MA AH AD = Từ (1), (2)  MB BD BH ĐỀ SỐ Câu 1: Ta có: A = =-1+ 1- 2- + + + -1 -1 24 - 25 -1 - + - + + 25 = - + = Câu 2: a) Từ giả thiết suy ra:  x2   y2   z2  x2 y2 z2 + + =0    2 2  2  2  a +b +c  b a +b +c  c a +b +c  a 1 1  1  1   x  - 2  + y2  - 2  + z2  - 2  = (*) a a +b +c  b a +b +c  c a +b +c  1 1 1 > 0; - > 0; - >0 Do - 2 2 a a +b +c b a +b +c c a + b2 + c2 Nên từ (*) suy x = y = z = 0, M = 124  a +   8a -  b) x3 = 2a + 3x a -          x = 2a + 3x 1 - 2a   x3 = 2a + x(1 - 2a)  x3 + (2a - 1) x - 2a =  (x - 1) (x2 + x + 2a) = x - =   x   x + x + 2a = (v« nghiƯm a > )  nên x mét sè nguyên du¬ng Câu 3: a) Ta có: 4c 35 35  +  >0 4c + 57 1+a 35  2b 1 + a  2b + 35 Mặt khác 4c 35 4c 35    1+a 4c + 57 35 + 2b + a 4c + 57 35 + 2b  4c 35 2b +1  1= +a 4c + 57 35 + 2b 35 + 2b  2b 57 57 >0  +  35 + 2b 1+a 4c + 57 1 + a  4c + 57  Ta có: -  (1) (2) 4c 35  1+ 1+a 4c + 57 35 + 2b a 57 35  +  1+a 4c + 57 35 + 2b 35 57 >0  4c + 57  35 + 2b  (3) Từ (1), (2), (3) ta có: 8abc 35 57  1 + a  4c + 57  2b + 35 1 + a  2b + 35  4c + 57  Do abc ≥ 35.57 = 1995 Dấu “=” xảy a = 2, b = 35 c = 57 Vậy (abc) = 1995 125 b) Đặt t = t= A B C D = = =  A = ta, B = tb, C = tc, D = td a b c d A+B+C+D a+b+c+d Vì aA + bB + cC + dD = a t + b t + c t + d t = (a + b + c + d) t = (a + b + c + d) = A+B+C+D a+b+c+d (a + b + c +d)(A + B + C + D) Câu 4: a) Xét ∆ABC có PQ // BC  A AQ QP = AB BC BQ QM = Xét ∆BAH có QM // AH  BA AH Cộng vế ta có: B AQ BQ QP QM QP QM + = +  1= + AB AB BC AH BC AH 2SMNPQ QM  QP QM  QP  1=  + =   AH  BC AH SABC  BC Q P M H N C SABC S QP QM BC max SMNPQ = ABC = =  QP = BC AH 2 Tức PQ đường trung bình ∆ABC, PQ qua trung điểm AH QP QM QP + QM +  QP + QM = BC b) Vì = mà BC = AH  = BC AH BC  SMNPQ  Do chu vi (MNPQ) = 2BC (không đổi) Câu 5: ∆HCD đồng dạng với ∆ ABM (g.g) mà B AB = 2AM nên HC = 2HD Đặt HD = x HC = 2x Ta có: 126 A H M C DH2 = HM HC hay x2 = HM 2x  HM = 0,5x; MC = 2,5x; AM = 2,5x; AH = 3x Vậy AH = 3HD MỤC LỤC Trang - Lời giới thiệu _3 - A phần đề tài I – Phần ôn thi tuyển sinh lớp 10 THPT _ II – Đề ôn thi tuyển sinh lớp 10 chuyên toán _33 B- Phần lời giải 38 I – Lớp 10 THPT _38 II – Lớp 10 chuyên toán _ 122 127 128