1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Bài tốn tính giới hạn dãy số tốn khó học sinh trung học phổ thơng nói chung học sinh khối 11 nói riêng Bài toán thường xuất đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, đề thi Olympic 30 tháng 4, đề thi học sinh giỏi quốc gia Liên quan đến dạng tốn có nhiều sách giáo khoa, sách tham khảo đề cập đến, nhiên sách đề cập kỹ sở lý thuyết để dẫn đến phương pháp giải cụ thể phù hợp với kiến thức phổ thông chưa nhiều Đôi đưa cơng thức, quy trình giải cách áp đặt chưa logic Do đủ sở lý thuyết nên áp dụng kết học sinh thường thắc mắc “tại lại có vậy?” hay “Sao lại có kết đó?” ; Cũng khơng có đủ sở lý thuyết nên em học sinh khó nhớ cơng thức, khơng tìm mối liên hệ tốn, khơng tự xây dựng lớp tốn dạng quy trình để giải tốn đó; Điều làm ảnh hưởng đến khả tìm tòi sáng tạo tốn học sinh – yếu tố quan trọng người học tốn Để tính giới hạn dãy số ta có nhiều phương pháp, có phương pháp tìm số hạng tổng quát dãy số; để xác định số hạng tổng quát dãy số ta lại có nhiều phương pháp Vì lí thời lượng nên SKKN xin đề cập phương pháp xác định SHTQ số dạng dãy số có cơng thức truy hồi dạng đặc biệt cách sử dụng CSC-CSN.Vì tơi chọn sáng kiến kinh nghiệmlà:“Phát huy tính chủ động, sáng tạo học sinh thông qua tốn tìm số hạng tổng qt dãy số có công thức truy hồi đặc biệt cách sử dụng cấp số cộng-cấp số nhân” 1.2 Mục đích nghiên cứu Trong phạm vi đề tài tơi khơng có tham vọng đưa hệ thống kiến thức hoàn toàn mới, kết mặt toán học; tơi trình bày kết mà trình dạy học cấp số cộng, cấp số nhân, dãy số giới hạn tơi tích luỹ, tìm tòi; nhằm hướng tới mục đích giúp em học sinh chủ động, sáng tạo việc xác định SHTQ dãy số qua tính giới hạn dãy số cho hệ thức truy hồi Trên sở từ số toán điển hình tơi đưa phương pháp giải cho tốn nhóm tốn tương tự; đồng thời giúp học sinh khái quát hóa để toán đưa phương pháp giải tương ứng, qua giúp rèn luyện, phát triển tư giải toán cho học sinh 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài nghiên cứu dãy số cho cơng thức truy hồi đặc biệt mà dùng tính chất CSC-CSN để tìm số hạng tổng quát áp dụng vào học sinh lớp 11A1 trường THPT Vĩnh Lộc - Vĩnh Lộc - Thanh Hoá 1.4 Phương pháp nghiên cứu + Nghiên cứu lý luận dạy học, tìm hiểu tài liệu liên quan + Thực hành qua dạy + Khảo sát thực tế, thu thập thông tin + Thống kê, xử lý số liệu NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Cấp số cộng Định nghĩa: Cấp số cộng dãy số (hữu hạn vô hạn) thoả mãn: un1  un  d ( n �N ) [1], d số thực khơng đổi gọi “cơng sai” * Tính chất: �Số hạng tổng quát cấp số cộng: un  u1   n  1 d [1] �Tổng n số hạng đầu cấp số cộng: n n 2u1   n  1 d � � �  u1  un  S n  u1  u2   un  � [1] 2.1.2 Cấp số nhân Định nghĩa: * Cấp số nhân dãy số (hữu hạn hay vô hạn) thoả mãn: un 1  un q ( n �N ),q số khơng đổi gọi “cơng bội ”[1] Tính chất: �Số n 1 hạng tổng quát: un  u1.q [1] �Tổng n số hạng đầu cấp số nhân S n  u1  u2   un  u1 qn 1 q  (q 1)[1] (nếu q = hiển nhiên S = n.u1) 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Khi dạy chủ đề dãy số giới hạn dãy số ta bắt gặp số toán sách giáo khoa lớp 11 số đề thi học sinh giỏi sau: Bài tập u  10 � �1 � u  un  3, n �1 n  � Cho dãy số (un) xác định sau: � a) Chứng minh dãy số (vn) xác định b) Tính limun[1]  un  15 cấp số nhân � u1  � � u   un , n �1 Bài tập Cho dãy số ( un ) xác định �n1 Tính lim un [2] Sau nghiên cứu Sách giáo khoa giải toán ta rút số nhận xét sau đây: �Đây tốn tìm giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi, học sinh thường lúng túng việc tìm cách giải cho tốn �Nếu đề khơng cho câu a) mà yêu cầu giải câu b) tốn trở nên khó học sinh Việc đề yêu cầu thêm câu a) gợi ý giúp học sinh xác định hướng giải cho tốn Cụ thể xác định SHTQ dãy số (un ) nhờ vào việc tìm cơng thức tổng qt CSC-CSN qua tìm giới hạn dãy số �Với toán đề cập kỳ thi, đặc biệt kỳ thi chọn học sinh giỏi việc gợi mở cách cho câu a) không đưa Vấn đề học sinh biết cách nhận dạng, phân tích tốn để có hướng giải Đây vấn đề không dễ học sinh Vì giáo viên cần định hướng giúp cho học sinh chủ động sáng tạo việc giải vấn đề 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề Trong q trình tìm tòi, nghiên cứu, giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, tổng hợp đưa số dạng dãy số có cơng thức truy hồi đặc biệt xây dựng phương pháp xác định SHTQ dãy Trong khuôn khổ SKKN này, xin đưa số dạng sau đây: Ví dụ 1.1 Cho dãy số (un) xác định sau SHTQ dãy số[2] u1  � n �N * � un1  un  � Hãy xác định Nhận xét:Để giải tốn học sinh giải theo cách sau: Cách 1: (Dùng phương pháp quy nạp) Từ giả thiết ta có: u1 = = 1+0.2 =1+(1-1).2 u2 = = 1+1.2 =1+(2-1).2 u3 =5 = 1+2.2 =1+(3-1).2 Dự đoán un = 1+(n-1).2 Ta chứng minh kết qủa phương pháp quy nạp toán học Cách 2:(Sử dụng định nghĩa cấp số cộng) Từ giả thiết ta có: un+1 – un =  n N* Nên theo định nghĩa cấp số cộng (un) lập thành cấp số cộng với u1=1, công sai d=2 Suy un=u1+(n-1).d = 1+(n-1).2 Vậy un = -1+2n u  10 � �1 � un1  un  3, n �1 � Ví dụ 1.2 Cho dãy số (un) xác định bởi: � a) Chứng minh dãy số (vn) xác định b) Tính limun[1]  un  15 cấp số nhân Lời giải: a) Ta có 1  un 1  15 15 15  un    (vn  )   5 4 n 3 �1 � 25  v1.q n1  � � q  �5 � v1 Do Nên (vn) CSN có cơng bội n 3 15 �1 � 15 15 un    � �  lim un  4 �5 � Do b) Từ câu a) suy Nhận xét: Câu hỏi mà học sinh đặt lại nghĩ phép đổi biến  un  15 để dãy (vn) CSN? Từđó giáo viên gợi ý hướng giải ta cần tìm 1 1 15 un1  b  (un  b) � un1  b  b  un  un  � b  5 5 số b cho Do đặt  un  15 1  , n �1 nên (vn) cấp số nhân n n 1 Ngồi đặt  un , n �1 , ta có vn1   3.5 , n �1 n 3 15 v 15 5n  35 �1 � 15  (5n  1)  35 � un  nn  n  n  � �  5 �5 � Suy Từ toán giáo viên dẫn dắt, gợi ý cho học sinh đến vấn đề mới: "đềxuất toán tổng quát với quy trình để giải tốn đó" Bình luận: Thực chất toán dạng giải triệt để nhờ lý thuyết phương trình sai phân tuyến tính, nhiên đại đa số học sinh trung học phổ thơng kiến thức q tầm Trong phạm vi SKKN tơi đưa hoạt động toán học nhằm phát triển tư cho học sinh cách giúp học sinh xây dựng toán cách giải tốn kiến thức phổ thơng u Ví dụ 1.3.Cho dãy số  n  xác định bởi: u1  2, un  3un1  1, n �2 Hãy xác định SHTQ dãy số  1 Lời giải: Trong toán gặp khó khăn dãy ( un ) khơng phải CSC hay CSN! Ta thấy dãy ( un ) khơng phải CSN xuất số -1 VP Ta tìm cách làm -1 đưa dãy số CSN 1    2 nên viết công thức truy hồi dãy sau: Ta có un  Đặt  3un 1   3(un 1  ) 2  u n  (1) � v1   2  3vn 1 n �2 Dãy (vn ) CSN công bội q=3 5 un     3n 1          n  1, 2, , �  v1q n 1   3n 1 2 2 Vậy 1    2 để chuyển công Nhận xét: Mấu chốt cách làm ta phân tích thức truy hồi dãy (1), từ ta đặt dãy phụ để chuyển dãy  n  CSN Tuy nhiên việc làm không tự nhiên ! Làm ta biết phân tích v 1 1    1  k  3k � k  2 ? Ta làm sau:Ta phân tích u1  x0 � ; n �2 � un  aun 1  b ( u ) � n Với cách làm ta xác định SHTQ dãy : Thật vậy: *Nếu a=1 dãy ( un ) CSC có cơng sai d=b nên un = u1  (n  1)b *Nếu a �1 ta viết sau: un  b ab b  a  a  Khi cơng thức truy hồi dãy viết b b b b  a (un1  ) un   a n 1 (u1  ) a 1 a  , từ ta có : a 1 a 1 un  u1a n 1  b a n 1  a 1 Hay Vậy ta có kết sau: Dạng 1:Dãy số ( un ): u1  x0 , un  aun1  b     n �2 (a, b �0 số) có SHTQ là: u1  (n  1)b                   khi    a  � � un  � n 1 a n 1  u a  b         khi     a �1 �1 a 1 � Ví dụ 1.4.Xácđịnh SHTQ dãy ( un ) xác định: u1  2; un  2un 1  3n  1, n �2  3 Lời giải: Để tìm SHTQ dãy số ta tìm cách làm 3n-1 để chuyển dãy số CSN Muốn làm ta viết: 3n   3n   2[3(n  1)  5] (2) Khi cơng thức truy hồi dãy viết sau: un  3n   2[un  3(n  1)  5] n 1 n 1 Đặt  un  3n  5, ta có v1  10  2vn1 , n �2 �  v1  10.2 n Vậy SHTQ dãy (un ) : un   3n   5.2  3n  5.n  1, 2,3, Nhận xét : 1) Để phân tích đẳng thức (2), ta làm sau: a b  a  3 � � �� � b  b  5 3n   an  b  2[a(n  1)  b] cho n=1;n=2 ta có � � u1  b � n �2 � u  au  f ( n ) ( u ) n n  � 2) Trong trường hợp tổng quát dãy n : , f (n) đa thức bậc k theo n , ta xác định SHTQ sau: phân tích f (n) = g (n) -a g ( n  1) (3)Với g (n) đa thức theo n Khi ta có: un  g (n)  a[un 1  g (n  1)]= =a n 1[u1  g (1)] Vậy ta có: un  [u1  g (1)]a n 1  g (n) Vấn đề lại ta xác định g ( n) nào? Ta thấy: *Nếu a=1 hàm số g (n) - a.g (n  1) đa thức có bậc nhỏ bậc g (n) bậc không phụ thuộc vào hệ số tự g (n) , mà f (n) đa thức bậc k nên để có (3) ta chọn g (n) đa thức bậc k+1, có hệ số tự để xác định g (n) đẳng thức (3) ta cho k+1 giá trị n ta hệ k+1 phương trình, giải hệ ta tìm hệ số g (n) *Nếu a �1 g (n) - a.g ( n  1) đa thức bậc với g (n) nên ta chọn g ( n) đa thức bậc k đẳng thức (3) ta cho k+1 giá trị n ta xác định g (n) Vậy ta có kết sau: Dạng 2:Để xác địnhSHTQ dãy (un ) xác định u1  x0 � � un  aun1  f (n) � f (n) đa thức bậc k theo n; a số Ta làm sau: Ta phân tích: f (n) = g (n) - a.g (n  1) với g (n) đa thức theo n.Khi đó, ta đặt  un  g (n) ta có được: un  [u1  g (1)]a n 1  g (n) (Lưu ý a=1, ta chọn g (n) đa thức bậc k+1 có hệ số tự khơng, a �1 ta chọn g (n) đa thức bậc k) u 2 � (un ) : �1 un  un 1  2n  � Ví dụ 1.5 Cho dãy số Tìm SHTQ dãy (un )   2 Lời giải: Ta phân tích 2n   g (n)  g (n  1)  a[n  (n  1) ]+b[n  (n  1)] (Trong g (n)  an  bn ) a  b  � a 1 � �� � g ( n)  n  2n � � un  n  n  a  b  b  � Cho: n=0,n=1 ta có hệ � u1  � (un ) : � , n �N * n un 1  4un  3.4 � Ví dụ 1.6 Cho dãy số Tìm SHTQ dãy  un  tính lim 2n  3n   4 un (Đề thi chọn HSG cấp tỉnh năm học 2018-2019 Sở GD&ĐT Thanh Hóa) n n n 1 Lời giải: Trường hợp ta phân tích  n.4  4( n  1)4 � un  3n.4n  4(un 1  3(n  1).4n 1 )   4n1 (u1  3.4) � un  3(n  1)4n  2.4 n1 Đến dễ dàng tìm giới hạn Nhận xét lim 2n  3n  un n : Trong trường hợp tổng quát dãy (un ) : un  a.un1  b. , ta phân tích n n 1 n 1  n  k  n  ak  n 1 với (a � ) Khi đó: un  kb.  a (un 1  kb. )   a (u1  bk ) n 1 n Suy un  a (u1  bk )  kb. Trường hợp   a , ta phân tích n n 1 n 1  n  n. n   (n  1) n1 � un  bn.   (un1  b( n  1). )    (u1  b ) � un  b( n  1) n  u1 n 1 Vậy ta có kết sau: u1 � (un ) : � n �2 un  a.un1  b. n 1 � Dạng 3: Để xác định SHTQ dãy , ta làm sau: n n 1 �Nếu a   � un  b(n  1)  u1 �Nếu a � , ta Ta tìm được: n 1 n n n n 1 phân tích   k   ak  Khi đó: un  a (u1  bk )  bk  k   a u1  2 � (un ) : � un  5un 1  2.3n  6.7 n  12 � Ví dụ 1.7.Tìm SHTQ dãy ;n=2,3,…   � k � � � � 3n  k 3n  5k 3n 1 � �n l n n 1 Lời giải:Ta có �7  l.7  5.7 cho n=1, ta � Hơn 12=-3+5.3 nên công thức truy hồi dãy viết lại sau: un  3.3n  21.7 n   5(un 1  3.3n 1  21.7 n 1  3)   5n 1 (u1   147  3) n 1 n 1 n 1 Vậy un  157.5   3.7  u1  � (un ) : � un  2un 1  3n  n; n �2  3 � Ví dụ 1.8.Tìm SHTQ dãy Lời giải: Ta phân tích: � 3n  3.3n  2.3.3n1 � �n   n   [( n  1)  2] nên ta viết công thức truy hồi dãy n n 1 n 1 sau: un  3.3  n   2[un1  3.3  (n  1)  2]   (u1  12) n 1 n 1 Vậy un   n   11.2 u1  p � (un ) : � un  a.un 1  b. n  f (n) n �2 � Dạng 4: Để xác định SHTQ dãy , f (n) đa thức bậc k n n Nhận xét:Đây kết hợp dạng nên ta phân tích từ  f (n) cách phân tích dạng dạng Ví dụ 1.9 Xác định SHTQ dãy  un  : u0  1, u1  3, un  5un 1  6un 2 ; n �2 Lời giải:Để xác định SHTQ dãy số trên, ta thay dãy (un ) dãy số khác CSN Ta viết lại công thức truy hồi dãy sau: �x  x  x1 , x2 : �1 un  x1.un 1  x2 (un1  x1un  ) , ta phải chọn �x1 x2  hay x1 , x2 nghiệm phương trình : x  x   � x  2; x  Ta chọn x1  2; x2  Khi : un  2un 1  3(un 1  2un )   3n 1 (u1  2u0 )  5.3n 1 � un  2un 1  5.3n 1 n n Sử dụng kết dạng 3, ta tìm được: un  5.3  6.2 u1  2; u2  � (un ) : � ; n �N * un   5un 1  6un � Ví dụ 1.10 Cho dãy số Tìm SHTQ dãy  un  tính lim un 3n  4 (Đề thi chọn HSG cấp tỉnh năm học 2017-2018 Sở GD&ĐT Thanh Hóa) Lời giải: Từ giả thiết ta có un  2un1   un1  2un  , n �1 Suy dãy 1  un 1  2un � 1  3n 1.v2  3n 1   2.2   3n 1 cấp số nhân có cơng bội q3 (1) Cũng từ giả thiết ta có un  3un 1   un1  2un  , n �1 10 w n 1  un 1  3un Suy dãy cấp số nhân có cơng bội � w n 1  2n 1.w  2n 1   3.2   2n 1 q2 (2) Từ (1) (2) ta có hệ phương trình � un 1  2un  3n 1 � �� � un  3n 1  n 1 n 1 un 1  3un  2 � Nhận xét: Tương tự với cách làm ta xác định SHTQ dãy (un ) xác định bởi: u0 ; u1 � � un  a.un 1  b.un   , n �2 � , a,b số thực cho trước a  4b �0 sau: 2 Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình: x - ax + b = (phương trình gọi phương trình đặc trưng dãy) n 1 Khi đó: un  x1.un1  x2 (un 1  x1.un )   x2 (u1  x1u0 ) Sử dụng kết dạng 3, ta có trường hợp sau: �Nếu x1 �x2 nghiệm hệ: un  x2 x0  u1 n u1  x.u0 n x1  x2 n n x2  x1 yx Hay un  k x1  l.x2 , k,l k  l  u0 � � �x1.k  x2 l  u1 ua au � � un   n 1 �0  (u1  )n � n 1 �, hay un  (kn  l ) , k, l �2 �Nếu x1  x2 nghiệm hệ: l   u0 � � �k  l  u1 Vậy ta có kết sau: u0 ; u1 � (un ) : � un  a.un 1  b.un   n �2 � Dạng 5: Để xác định SHTQ dãy , a,b,c số thực khác không; a  4b �0 ta làm sau: Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình đặc trưng: x -ax+b=0 11 �Nếu x1 �x2 un  k.x  l.x , k , l nghiệm hệ: n n �Nếu x1  x2   un  (kn  l ) n 1 k  l  u0 � � �x1.k  x2 l  u1 , k , l nghiệm hệ: Ví dụ 1.11 Cho dãy số (un ) xác định bởi: l   u0 � � �k  l  u1 u0  1; u1  � ; � un 1  4un  un 1 n �1 � Hãy xác định SHTQ dãy ( un )   Lời giải: Phương trình x  x   có nghiệm x1   5; x2   n n � un  k.x1  l.x2 Vì u0  1; u1  nên ta có hệ : Vậy un   1� 2 � 2�   2 5 n n k l 1 � � � k  l  (2  5)k  (2  5)l  � � � � u0  1; u1  � (u n ) : � ; un  4un 1  4un   n �2  3 � Ví dụ 1.12 Xác định SHTQ dãy: Lời giải: un   kn  l  2n 1 x  x   Phương trình đặc trưng: có nghiệm kép x=2 nên l2 k 1 � � �� � n 1 Vì u0  1; u1  nên ta có hệ: �k  l  �l  Vậy un   n   u0  1; u1  � (un ) : � un  5un 1  6un   2n  2n  n �2 � Xác định SHTQ Ví dụ 1.13 Cho dãy dãy (un )   Lời giải: Với cách làm tương tự ví dụ 5, ta phân tích: 2n  2n    kn  ln  t   � k n  1  l ( n  1)  t � � k ( n  2)  l (n  2)  t � � � � � (1) 12 19k  7l  2t  k 1 � � � � 7k  5l  2t  � � l 8 � � � Ở (5) cho n=0;n=1;n=2 ta có hệ: �k  3l  2t  13 �t  19 Đặt  un  n  8n  19 � v0  20; v1  25  5vn1  6vn2      20   15 � � �� � �     Ta có hệ �3  2  25 �  35 n n �  15.3n  35.2 n � un  15.3n  35.2 n  n  8n  19 u0 ; u1 � � Nhận xét : Để xác định SHTQ dãy số (un ) : �un 1  aun  bun1  f (n) n �2 (trong f (n) đa thức bậc k theo n a  4b �0 ) ta làm sau: �Ta phân tích f (n)  g (n)  ag (n  1)  bg (n  2) Ta có dãy số (2) đặt v0  u0  g (0); v1  u1  g (1) � (vn ) : �  aun 1  bun 2  0    n �2 � Do ta xác định SHTQ  un  g (n) Đây dãy số mà ta xét dạng � un �Vấn đề lại ta xác định g ( n) để có (2)? Vì f ( n) đa thức bậc k nên ta phải chọn g ( n) cho g ( n)  ag ( n  1)  bg (n  2) đa thức bậc k theo n.Khi ta cần thay k  giá trị n vào (2) ta xác định Giả sử xm f ( n) g (n)  am n m  am1n m1   a1n  a0 (am �0) đa thức bậc m Khi hệ số m 1   a  2b  m.am    a  b  am 1 � � a (1  a  b) � � x VP m Do đó: i) Nếu PT: x  ax  b  (3) có hai nghiệm phân biệt khác  a  b �0 nên VP (2) đa thức bậc m ii ) Nếu PT (3) có hai nghiệm phân biệt có nghiệm x  �  a  b    a  2b  m.am    a  b  am 1    a  2b  m.am �0 nên VP (2) đa thức bậc m  13 iii ) Nếu PT (3) có nghiệm kép m2 x  � a  2; b  nên VP (2) đa thức bậc Vậy để chọn g ( n) ta cần ý sau: +) Nếu (3) có hai nghiệm phân biệt, g ( n) đa thức bậc với f ( n) +)Nếu (3) có hai nghiệm phân biệt, nghiệm ta chọn g (n)  n.h( n) h( n ) đa thức bậc với f ( n) g (n)  n h(n) h ( n) +)Nếu (1) có nghiệm kép x  ta chọn đa thức bậc với f ( n) Dạng 6: Để tìm SHTQ dãy u0 ; u1 � (u n ) : � un  a.un 1  b.un   f (n) n �2 � (trong f ( n) đa thức theo n bậc k b  4ac �0 ) ta làm sau: Xét g (n) �Nếu đa thức bậc k: g (n)  ak n k   a1k  a0 phương trình : x  ax  b  (1) có nghiệm phân biệt, ta phân tích f (n)  g (n)  ag (n  1)  bg (n  2) đặt  un  g (n) �Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt nghiệm x  , ta phân tích f (n)  n.g (n)  a ( n  1) g ( n  1)  b(n  2) g (n  2) �Nếu đặt  un  n.g (n) (1) có nghiệm kép x  , ta phân tích f (n)  n g (n)  a (n  1) g (n  1)  b(n  2) g (n  2) Ví dụ 1.14 Xác định SHTQ dãy Lời giải: đặt  un  n g (n) u0  1; u1  � (un ) : � un  3un1  2un   2n  n �2  3 � x  1; x  Vì phương trình x  x   có nghiệm nên ta phân tích 2n   n  kn  l    n  1 � k  n  1  l � k  n  2  l � � �  n   � � � , cho 5k  l  � �k  1 �� � 3k  l  � l  6 � Đặt  un  n  n   � v0  1; v1  11 n  0; n  ta có hệ:  3vn 1  2vn   14 �     n n với    1   10 � � ,  : � �� �2    11 �  9 �  10.2  � un  5.2n 1  n  6n  n  0,1, 2, n Ví dụ 1.15 Tìm SHTQ dãy số u0  1; u1  � (un ) : � ; un  4un 1  3un   5.2n n �2  3 � n n n 1 n Lời giải: Ta phân tích  a.2  4a.2  3a.2 v  u  5.4.2 n � v0  19; v1  43 Cho n  ta có  4a  8a  � a  4 Đặt n n  4vn 1  3vn      n Vậy x  1; x  Vì phương trình x  x   có hai nghiệm nên n Với     19   12 � � ,  : � �� �  12.3n      43   � � un  4.3n 1  5.2n   n  1, 2, Nhận xét: Với ý tưởng cách giải trên, ta tìm SHTQ dãy số (un ) xác định bởi: u0 ; u1 � (un ) : � un  a.un 1  b.un   c. n n �2 � (với a  4b �0 ) sau: n n n 1 n Ta phân tích   k   a.k   b.k  k    a.  b    Từ đây, ta tìm x  ax  b  k (1).Cho n  (1) trở thành: 2   a  b  khơng phải nghiệm phương trình: (8) Khi đó, ta đặt  un  kc. n , �  p.x1n  q.x2n ( x1 , x2 ta có dãy v0  u0  kc; v1  u1  kc � (vn ) : �  a.vn 1  b.vn   � n �2 nghiệm (2)) � un  p.x1n  q.x2n  kc. n Vậy x   nghiệm (2) , tức   a  b  ta xử lí nào? Nhìn lại cách giải dạng 3, ta phân tích: 15  n  kn. n  a.k  n  1  n 1  bk  n    n  Cho n  ta có: �  2 (3)  k  2  a    � k  2  a    � k   a  � 2  a ( ) có nghiệm k �  nghiệm đơn phương trình (2) Khi đó: � un  p.x1n  q.x2n  kcn. n x    Cuối ta xét trường hợp a nghiệm kép (2) Với tư tưởng  n  kn  n  a.k  n  1  n1  bk  n    n  2 trên, ta phân tích:   4k   ak  � k  Cho n  ta có : (10) � Khi đó: � un  p.x1n  qx2n  cn  n Dạng 7: Cho dãy số (un ) (un ) (4)   4  a Vậy ta có kết sau: xác định : Để xác định SHTQ dãy u0 ; u1 � � un  a.un 1  b.un 2  c. n n �2 � ; ta làm sau: Xét phương trình: x  ax  b  (1) �Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác  un  p.x1n  q.x2n  kc. n �Nếu với k 2   a  b phương trình (1) có nghiệm đơn x   un  p.x1n  q.x2n  kcn. n với k  2  a �Nếu x   nghiệm kép (1) thì: Ví dụ 1.16 Xác định SHTQ dãy Lời giải: � �n un  �p  qn  cn �  � � u0  1; u1  � (un ) : � un  5un1  6un   5.2 n n �2  3 � 16 x  2; x2  u  p.2n  q.3n  5kn.2n Phương trình x  x   có nghiệm , n Với Vậy  � k   2 � k  2 � 2  a  � � � �p  26 �p  q  1 � � p  3q  10k  q  25 � � � un  26.2n  25.3n  10 n.2n  25.3n  n 1  5n  13  Ví dụ 1.17 Tìm SHTQ dãy Lời giải: n  1, 2, u0  1; u1  � (un ) : � un  4un 1  4un   3.2n  3 � Phương trình x  x   có nghiệm kép x  nên Dựa vào u0 , u1 ta có hệ: �p  �p  �� � �p  q  �q  1 �n � un  �p  qn  n � 2 � � un   3n  2n   n1 n  1, 2, Vậy Với cách xây dựng tương tự ta có kết sau: Dạng 8:Cho dãy u0 ; u1; u2 � (un ) : � ; un  a.un 1  b.un   cun 3  n �3 � Để xác định SHTQ dãy ta xét phương trình: x  ax  bx  c  �Nếu (1) có nghiệm phân biệt tìm x1 , x2 , x3 � un   x1n   x2n   x3n Nếu (1) có nghiệm đơn, nghiệm kép: u0 , u1 , u2 � ta tìm Nếu (1) có nghiệm bội Dựa vào (1) Dựa vào u0 , u1 , u2 ta ,  , � Dựa vào u0 , u1 , u2  ,  , x1  x2 �x3 � un  (   n) x1n   x3n x1  x2  x3 � un  (   n   n ) x1n ta tìm ,  , 17 Nhận xét: Thực tế đến dạng toán bắt đầu phức tạp thêm, ví dụ trình bày lời giải mang tính minh họa Dạng ta gặp đề thi Ví dụ 1.18 Tìm SHTQ dãy u1  0, u2  1, u3  � (u n ) : � ; un  7un 1  11un   5un 3 n �4  3 � Lời giải: Xét phương trình đặc trưng : x  x  11x   Phương trình có nghiệm thực: Cho   n  1, n  2, n  3 ,   ,  16 16 x1  x2  1, x3  Vậy an     n   n giải hệ phương trình tạo thành, ta an   Vậy   n  1  5n 1 16 16 Bài tập vận dụng: Tơi xin trích số câu đề minh họa, giao lưu thi HSG cấp trường số trường địa bàn tỉnh thay cho đề minh họa cho dạng tốn hai lí do: thứ ví dụ minh họa cho dạng tốn tốt; thứ hai tơi muốn định hướng đến dạng toán mà kỳ thi HSG cấp tỉnh hay gặp (Đề giao lưu THPT Triệu Sơn 1) Cho dãy số xác định bởi: � u1  � � � un 1.un  un  2un1 , n �N * � Tính số hạng tổng quát dãy số   (Đề giao lưu THPT Thạch Thành 1) Cho dãy số xác định bởi: u1  � � un 1  3un  n  1, n �N * � Tính số hạng tổng quát dãy số  un  Từ tính tổng S 2019  u1  u2   u2019  5 (Đề minh họa nhóm tốn THPT Thanh Hóa năm học 2018-2019) Cho dãy số xác u1  � u lim n � n * định : �un 1  3un  , n �N Tính số hạng tổng quát dãy tìm un1   18 (Đề giao lưu trường THPT Dương Đình Nghệ) Cho dãy số xác định bởi: u1  2018, u2  2019 � � � un  un 1  un1   2un un 1, n  N * , n � Tính lim un   (Đề minh họa lớp tập huấn tốn THPT Thanh Hóa năm học 2017-2018) Cho dãy số xác định : un 1  aun  b, n �N Với a, b số thực dương cho trước Tính số * hạng tổng quát dãy theo u1 , a, b n   (Đề giao lưu trường THPT Vĩnh Lộc) Cho dãy số xác định bởi: � u1  2, u2  � � un 1  2un  un 1  1, n  N * , n � Tính lim un n  5 (Đề minh họa lớp tập huấn tốn THPT Thanh Hóa năm học 2017-2018) Cho dãy u1  � � u � 2017  u1  1  u2  1  un  1 un 1  n , n �N * lim � u   5 n 2018n số xác định bởi: � Tính 8.(Đề giao lưu trường THPT Đặng Thai Mai) Cho dãy số xác định bởi: u1  � � u � un 1  n , n �N * �  un � Tính un  5 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Đề tài giải vấn đề sau: � Đề tài số vướng mắc cách khắc phục lớp đối tượng học sinh giải tốn tìm số hạng tổng qt tìm giới hạn dãy số cho hệ thức truy hồi �Đề tài đưa dạng từ đơn giản đến phức tạp để tìm số hạng tổng quát dãy số cho hệ thức truy hồi cở sở từ toán sách giáo khoa toán khó đề thi học sinh giỏi 19 �Đề tài áp dụng tiết luyện tập, tiết tự chọn lớp buổi dạy bồi dưỡng học sinh giỏi cấp trường �Thông qua việc xuất phát từ toán bản, giáo viên gợi ý, dẫn dắt học sinh tổng quát tốn, tạo tốn mới, hình thành cho em khả làm việc độc lập, phát triển tư chủ động, sáng tạo, phát vấn đề giải vấn đề Phát huy tối đa tính tích cực học sinh theo tinh thần đổi Bộ Giáo dục Đào tạo Từ tạo cho em niềm tin, hứng thú học tập mơn Tốn �Đề tài tơi kiểm nghiệm năm học giảng dạy lớp 11,được học sinh nhiệt tình tham gia nâng cao chất lượng dạy học chuyên đề dãy số giới hạn dãy số Các em hứng thú học tập hơn, học sinh hướng dẫn phương pháp em học sinh với mức học trung bình trở lên có để giải tập khó Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt, chất lượng đội tuyển thi HSG cấp tỉnh tăng qua năm đảm bảo tiêu nhà trường giao Cụ thể nhóm học sinhthực nghiệm(II) nhóm đối chứng (I) tơi cho làm kiểm tra vaf thu kết sau : Năm Nhóm/ Lớp học 2018 2019 Tổng số HS Điểm trở lên Điểm từ đến Điểm Số lượn g Tỷ lệ Số lượng Tỷ lệ Số lượn g Tỷ lệ I /11B1 20 20 % 10 50 % 30 % II /11B1 20 13 65% 30% 5% PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Sáng kiến kinh nghiệm kết q trình tìm tòi, nghiên cứu đúc rút kinh nghiệm trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi Qua năm triển khai thực đề tài với cách xây dựng phát triển tốn, 20 xây dựng quy trình giải tốn cách "tự nhiên” vậy, tơi nhận thấy em nắm vấn đề, biết vận dụng kết vào giải tốn cách linh hoạt, sáng tạo Từ giúp cho em u thích mơn tốn hơn, chất lượng học nâng cao rõ rệt Trong năm học tới, tiếp tục nghiên cứu bổ sung để đề tài hoàn thiện hơn, đáp ứng nhu cầu bồi dưỡng cho học sinh giỏi để em đạt kết cao kỳ thi chọn học sinh giỏi kỳ thi trung học phổ thơng Quốc giasau Trong q trìnhbiên soạn đề tài tơi có nhiều cố gắng, nhiên khơng tránh khỏi thiếu sót.Tơi mong thầy giáo, bạn đồng nghiệp góp ý, bổ sung để đề tài hoàn thiện Hy vọng tài liệu sử dụng làm tài liệu tham khảo cho học sinh thầy cô giáo trình học tập, giảng dạy Xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 16 tháng năm 2019 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người thực Trịnh Đình Hiểu 21 22 ... tài số vướng mắc cách khắc phục lớp đối tượng học sinh giải toán tìm số hạng tổng quát tìm giới hạn dãy số cho hệ thức truy hồi �Đề tài đưa dạng từ đơn giản đến phức tạp để tìm số hạng tổng quát. .. xuất phát từ toán bản, giáo viên gợi ý, dẫn dắt học sinh tổng quát toán, tạo tốn mới, hình thành cho em khả làm việc độc lập, phát triển tư chủ động, sáng tạo, phát vấn đề giải vấn đề Phát huy. .. dụng sáng kiến kinh nghiệm Khi dạy chủ đề dãy số giới hạn dãy số ta bắt gặp số toán sách giáo khoa lớp 11 số đề thi học sinh giỏi sau: Bài tập u  10 � �1 � u  un  3, n �1 n  � Cho dãy số (un)