Giải phương trình – bất phương trình bằng phương pháp sử dụng tính chất của hàm số

19 92 0
Giải phương trình – bất phương trình bằng phương pháp sử dụng tính chất của hàm số

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Mục lục Thứ tự PHẦN 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 PHẦN 2.1 2.2 2.3 2.4 PHẦN 3.1 3.2 Danh mục MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Kế hoạch nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG ĐỀ TÀI Cơ sở lí luận Thực trạng đề tài Giải pháp thực 2.3.1 Giải phương trình , bất phương trình khơng chứa tham số a) Các ví dụ b) Bài tập rèn luyện 2.3.2 Giải phương trình , bất phương trình chứa tham số a) Các ví dụ b) Bài tập tự luyện Hiệu SKKN KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ Kết luận Kiến nghị TÀI LIỆU THAM KHẢO Trang 2 3 4 5 7 7 12 12 12 15 16 18 18 18 19 1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Đối với học sinh THPT khái niệm phương trình, bất phương trình lên lớp 10 định nghĩa, thực tế phương trình, bất phương trình học giải từ sớm tốn tìm số chưa biết thỏa mãn điều kiện cho trước Do học giải phương trình, bất phương trình học sinh quen thuộc, vấn đề giải cho hợp lôgic Những phương trình, bất phương trình học sinh thường gặp như: Lớp 10 có phương trình, bất phương trình quy bậc hai, chứa ẩn dấu Lớp 11 có phương trình lượng giác Lớp 12 có phương trình, bất phương trình mũ lơgarit Đặc biệt lớp 12 có phần ứng dụng đạo hàm gồm dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số Với tính ưu việt việc ứng dụng đạo hàm vào giải tốn, khơng đơn giải toán liên quan đến khảo sát hàm số biện luận số nghiệm phương trình hay tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số mà giải nhiều dạng tốn khảo sát nghiệm phương trình bất phương trình vơ tỉ, đặc biệt dạng phương trình, bất phương trình chứa tham số Tuy nhiên trình giảng dạy mơn tốn THPT tơi nhận tốn học nói riêng mơn khoa học tự nhiên nói chung thật xa lạ, chí nỗi “khiếp sợ” đơng đảo học sinh Điều khiến học sinh suy nghĩ vậy? Tôi nhận thấy, đa số học sinh thiếu tư độc lập, sáng tạo vận dụng kiến thức, khả “quy lạ quen” hay mở rộng kiến thức có vào dạng tốn cụ thể Trong kỳ thi, câu hỏi liên quan trực tiếp đến hàm số ta thường thấy có câu hỏi mà học sinh thường phải vận dụng tư hàm số công cụ đắc lực để giải tốn như: Giải phương trình, bất phương trình ,tìm cực trị , Các câu hỏi thường gây khó khăn cho thầy trò lên lớp Trong giảng em thường bị động nghe giảng lúng túng vận dụng vào việc giải toán Nguyên nhân em chưa hiểu chất vấn đề, chưa có kỹ kinh nghiệm việc vận dụng hàm số vào giải tốn, em ln đặt câu hỏi: “Tại nghĩ làm ? ’’ Để trả lời câu hỏi dạy, việc bồi dưỡng lực tư hàm số cho học sinh thông qua toán điều cần thiết Muốn làm tốt điều người thầy khơng có phương pháp truyền thụ tốt mà phải có kiến thức vừa chuyên ,vừa sâu, dẫn dắt học sinh tìm hiểu cách lơgic chất tốn học Từ giúp em có say mê việc học mơn Tốn - mơn học coi ơng vua mơn tự nhiên Để tốn học trở nên gần gũi yêu mến, hứng thú học hỏi, niềm say mê em học sinh THPT ta phải cần giải vấn đề sau: Một là: Việc giải phương trình, bất phương trình phép biến đổi tương đương thơng thường học sinh giải nhiều lớp 10 lớp 11, giải ứng dụng tính đơn điệu giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ đến lớp 12 học nên làm cần phải kết hợp hai việc với học sinh lại lúng túng lời giải, dẫn đến sai kết Hai là: Khi học sinh làm tập phương trình, bất phương trình tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức có điều kiện mà lời giải có bước đặt ẩn phụ tơi thấy nhiều học sinh mắc phải sai lầm: đặt ẩn phụ mà khơng nghĩ đến tìm điều kiện ẩn phụ tìm sai điều kiện nó, tìm xác điều ẩn phụ lập luận phương trình, bất phương trình theo ẩn phụ lại khơng xét điều kiện ràng buộc nên dẫn đến kết luận khơng xác Ba là: Từ thay đổi sách giáo khoa, tinh giảm chương trình dạng tốn phải sử dụng định lí đảo tam thức bậc hai vận dụng định lí bỏ, học sinh đọc sách tham khảo xuất trước có nhiều tốn sử dụng định lý nên học sinh đọc sách hoang mang phải giải Với nguyện vọng giúp học sinh thay đổi tư mơn tốn tơi tập trung khai thác cách giải phương trình, bất phương trình việc ứng dụng tính chất hàm số Với việc sử dụng phương pháp này, tốn phương trình, bất phương trình giải cách tự nhiên, túy, ngắn gọn đơn giản Đó lí để tơi chọn đề tài : “Giải phương trình – Bất phương trình phương pháp sử dụng tính chất hàm số” 1.2 Mục đích nghiên cứu Xuất phát từ mối liên hệ số nghiệm phương trình ẩn với số giao điểm hai hai đồ thị hai hàm số hai vế phương trình để giải tốn phương trình, bất phương trình Đặc biệt phương trình, bất phương trình chứa tham số Trong giải toán phương trình, bất phương trình tốn tìm GTLN , GTNN biểu thức có điều kiện mà phải thực việc đặt ẩn phụ việc tìm điều kiện ẩn phụ cần thiết, việc tìm điều kiện ẩn phụ thực tìm tập giá trị ẩn phụ tập xác định tốn cho hàm số Sau tìm điều kiện ẩn phụ yêu cầu đề tốn theo ẩn phải quy yêu cầu tương ứng cho tốn theo ẩn phụ điều kiện Đó điều quan trọng để chọn đặt hàm số tương ứng tập giá trị ẩn phụ Các vấn đề tơi trình bày viết hỗ trợ cho em học sinh lớp 12 có cách nhìn tồn diện cách tiếp cận hàm số để giải tốn phương trình, bất phương trình, đặc biệt phương trình, bất phương trình có tham số 1.3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Để hoàn thành viết với đề tài nói tơi phải nghiên cứu dạng toán phương trình, bất phương trình tốn tìm GTLN, GTNN đặc biệt tốn phương trình, bất phương trình chứa tham số - Phạm vi nghiên cứu: Phạm vi nghiên cứu đề tài tồn chương trình đại số giải tích thuộc mơn tốn Trung học phổ thơng đặc biệt phần: phương trình, bất phương trình, phương trình, bất phương trình vơ tỉ, phương trình lượng giác, phương trình, bất phương trình mũ logarit 1.4 Kế hoạch nghiên cứu (Bỏ) Trong trình dạy học với trăn trở trình bày phần sở thực tiến để đưa lý chọn đề tài cho em học sinh THPT, chủ yếu học sinh cuối cấp chuẩn bị bước vào kì thi làm tốn phương trình, bất phương trình Khi học sinh làm toán mà sau đặt ẩn phụ quy phương trình, bất phương trình bậc hai tính tốn đơn thông qua biệt thức đenta sau biến đổi cô lập tham số ta vế hàm số bậc hai ẩn phụ, nhiều em làm khơng xác khơng để ý tìm điều kiện ẩn phụ có tìm điều kiện ẩn phụ tìm khơng xác Với tốn có tham số mà sau đặt ẩn phụ lại quy phương trình, bất phương trình có chứa hàm số đa thứ bậc ba, bạc bốn hàm số phân thức học sinh khơng thể giải em chưa biết cách sử dụng tính chất hàm số có sử dụng máy móc, thiếu xác Các vướng mắc nói giải tồn diện học sinh học ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số Do từ đầu năm học 2017 – 2018 nghiên cứu đề tài nói thơng qua số tiết tự chọn ơn thi từ xây dựng, hồn thiện viết 1.5 Phương pháp nghiên cứu Trình bày cho học sinh kiến thức lí thuyết tính đơn điệu, GTLN – GTNN hàm số Thơng qua ví dụ cụ thể với cách giải đơn giản, tự nhiên nhằm làm cho học sinh thấy mạnh việc sử dụng phương pháp hàm số đồng thời có lời nhận xét trước sau giải giúp học sinh trả lời thỏa đáng câu hỏi: “Tại nghĩ làm vậy?” Phương pháp sử dụng nhiều là: Phân tích – Dẫn giải – Tổng hợp Vì hạn chế học sinh trình bày phần lý chọn đề tài phần khảo sát thực tiễn nên trình dạy lớp 12, bắt đầu phần ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số, với tiết học tự chọn ôn thi, tơi lồng ghép tập phương trình, bất phương trình mà giải phải cần đến hàm số Nhưng thời gian khơng có nhiều, để học sinh chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên ứng với phần cho học sinh số tập để em nhà nghiên cứu tìm lời giải Trên lớp cho số học sinh lên bảng làm số học sinh khác nhận xét lời giải Sau tơi phân tích lời giải cho lớp để em tìm lời giải tối ưu nhấn mạnh số điểm quan trọng bài, qua dạng NỘI DUNG ĐỀ TÀI 2.1 Cơ sở lý luận: 2.1.1.Tính đơn điệu hàm số Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm D Nếu f ' ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ D hàm số f ( x) đồng biến (tăng) D Nếu f ' ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ D hàm số f ( x) nghịch biến (giảm) D (Dấu “=” xảy số điểm hữu hạn D) Nếu hàm f ( x ) tăng (hoặc giảm) khoảng (a;b) phương trình f ( x ) = k ( k ∈ ¡ ) có không nghiệm khoảng (a;b) Nếu hàm f ( x ) tăng (hoặc giảm) khoảng (a;b) ∀u, v ∈(a,b) ta có f (u ) = f ( v ) ⇔ u = v Nếu hàm f ( x ) tăng (hoặc giảm) khoảng (a;b) ∀u, v ∈(a,b) ta có f (u ) < f ( v ) ⇔ u < v ( f (u ) < f ( v ) ⇔ u > v ) Nếu hàm f ( x ) tăng g ( x ) hàm giảm khoảng (a;b) phương trình f ( x ) = g ( x ) có nhiều nghiệm thuộc khoảng (a;b) Định lý Cauchy : Nếu hàm số f ( x ) liên tục [ a; b ] f ( a ) f ( b ) < tồn điểm x0 ∈ ( a; b ) để f ( x0 ) = Nếu hàm số f ( x ) đơn điệu liên tục [ a; b ] f ( a ) f ( b ) < tồn điểm x0 ∈ ( a; b ) để f ( x0 ) = Nếu f ( x ) hàm số đồng biến ( nghịch biến ) y = n f ( x), n ∈ N , n ≥ đồng biến (nghịch biến ), với f ( x) f ( x ) > nghịch biến ( đồng biến), y = − f ( x ) nghịch biến (đồng biến ) Tổng hàm đồng biến ( nghịch biến ) D đồng biến (nghịch biến ) D Tích hai hàm số dương đồng biến (nghịch biến ) D hàm đồng biến (nghịch biến ) D 2.1.2 Giá trị lớn (GTLN) giá trị nhỏ (GTNN) hàm số Cho hàm số y = f ( x) xác định D Số M gọi GTLN hàm số y = f ( x) D f ( x) ≤ M , ∀x ∈ D ∃x0 ∈ D cho f ( x0 ) = M Kí hiệu M = mDax f ( x) Số m gọi GTNN hàm số y = f ( x) D f ( x) ≥ m, ∀x ∈ D f ( x) ∃x0 ∈ D cho f ( x0 ) = m Kí hiệu m = D Quy tắc tìm GTLN GTNN hàm số * Từ việc lập BBT hàm số f ( x) tập xác định ta tìm thấy điểm đồ thị có tung độ lớn ( nhỏ ) giá trị GTLN ( GTNN ) hàm số * Nếu hàm số f ( x) xác định liên tục đoạn [ a; b ] ta tìm GTLN GTNN theo bước sau : - Tìm điểm x1 , x2 , , xn đoạn [ a; b ] mà f ' ( x) f ' ( x) không xác định - Tính giá trị f ( a), f (b), f ( x1 ), f ( x2 ), , f ( xn ) - Số lớn ( bé ) số GTLN (GTNN ) hàm số f ( x) đoạn [ a; b ] 2.1.3 Các dạng toán liên quan a) Giải phương trình, bất phương trình khơng chứa tham số Từ tính chất ta có phương án biến đổi sau: Phương án 1: Biến đổi phương trình dạng: f(x) = k, nhẩm nghiệm chứng minh f(x) đồng biến (nghịch biến) để suy phương trình có nghiệm Phương án 2: Biến đổi phương trình dạng: f(x) = g(x), nhẩm nghiệm dùng lập luận khẳng định f(x) đồng biến g(x) nghịch biến hàm suy phương trình có nghiệm Phương án 3: Biến đổi phương trình dạng: f(u) = f(v) chứng minh f đơn điệu ta có: u = v Đối với bất phương trình biến đổi dạng f (u ) < f ( v ) chứng minh f đơn điệu để kết luận b) Giải phương trình, bất phương trình chứa tham số có sử dụng GTLN-GTNN Xuất phát từ toán liên quan đến khảo sát hàm số dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x) biện luận số nghiệm phương trình f ( x ) = g (m) số nghiệm phương trình f ( x) = g (m) số giao điểm đồ thị hàm số y = f ( x) với đường thẳng y = g (m) Ta giải tốn phương trình, bất phương trình chứa tham số theo định hướng sau: Biến đổi phương trình, bất phương trình chứa tham số m dạng : f ( x) = g (m) với hàm số f ( x ) có GTLN - GTNN tập xác định D Khi đó: - Phương trình f ( x) = g (m) có nghiệm D f ( x) ≤ g (m) ≤ max f ( x) D D - Bất phương trình f ( x) > g (m) thỏa mãn ∀x ∈ D f ( x) > g ( m) D - Bất phương trình f ( x) < g (m) thỏa mãn ∀x ∈ D m ax f ( x) < g (m) D - Bất phương trình f ( x) > g (m) có nghiệm x ∈ D max f ( x) > g (m) D - Bất phương trình f ( x) < g (m) có nghiệm x ∈ D f ( x) < g ( m) D Trong trường hợp hàm số f ( x) khơng có GTLN GTNN tập D ta phải kết hợp với BBT đồ thị để có kết luận thích hợp Nếu bất phương trình có dạng " ≤ " " ≥ " bổ sung thêm dấu " = " cho điều kiện 2.2 Thực trạng đề tài: Đối tượng học sinh trực tiếp giảng dạy có học lực yếu, trung bình trung bình nên giải phương trình , bất phương trình học sinh lúng túng khơng biết giải vấn đề từ đâu Qua việc khảo sát, kiểm tra định kỳ việc học tập, làm tập hàng ngày nhận thấy học sinh thường làm không không làm 2.3 Giải pháp thực hiện: Qua nghiên cứu trao đổi đúc rút kinh nghiệm từ thực tế ý kiến đồng nghiệp mạnh dạn đưa hướng giải vấn đề theo hướng dễ tiếp cận học sinh Kiến thức bản: 2.3.1 Giải phương trình, bất phương trình khơng chứa tham số a) Các ví dụ Ví dụ 1: Giải phương trình: x − + x − = (1) Nhận xét: Quan sát vế trái phương trình (1), ta thấy x tăng giá trị biểu thức tăng Từ suy vế trái hàm đồng biến ,vế phải hàm hằng, điều kiện thích hợp để sử dụng tính đơn điệu Giải Điều kiện: Đặt x≥ f ( x ) = 4x − + 4x2 − Do hàm số f ( x) = Ta có f ' ( x) = f ( x ) = x − + 4x2 − 4x 1  + > 0, ∀x ∈  ; +∞ ÷ 2 4x −   4x −1 1  đồng biến  ; +∞ ÷, nên phương trình 2  có nghiệm nghiệm Hơn nữa, nghiệm phương trình cho Ví dụ 2: Giải phương trình: x + x − + x + + x + 16 = 14 Nhận xét: 1 f  ÷= 2 nên x= (2) Khi gặp dạng toán chứa căn, thường ta phải khử thức cách bình phương, lập phương nhân lượng liên hợp Trong nhân liên hợp hợp lí Giải Cách 1: Dùng lượng liên hợp Điều kiện: x ≥ Khi x + x − + x + + x + 16 = 14 ⇔ x − + x − − + x + − + x + 16 − = 1   ⇔ ( x − 9)  + + + ÷= ⇔ x = x−5 +2 x+7 +4 x + 16 +   x +3 1 1 + + + > 0, ∀x ≥ Do x +3 x−5 +2 x+7 +4 x + 16 + Vậy x = nghiệm phương trình Cách 2: Dùng hàm số Điều kiện: x ≥ Đặt f ( x) = x + x − + x + + x + 16 Ta có f ′( x) = x + 1 + + > 0, ∀x ∈ ( 5; +∞ ) x − x + x + 16 Do hàm số f ( x) = x + x − + x + + x + 16 đồng biến [ 5; +∞ ) Mà f (9) = 14 nên x = nghiệm phương trình Ví dụ 3: Giải phương trình sau: x + + x + + x + = (1) Giải Cách 1: 2x + + 2x + + 2x + = ⇔ 2x + + 2x + = − 2x + ⇔ ( 2x + + 2x + ) ( = − 2x + ) ( x + 1) ( x + ) ( x + 3) = x + ⇔ ( x + 1) ( x + ) ( x + 3) = ( x + ) ⇔ x + = ⇔ x = −1 ⇒ Ngược lại với x = −1 thay vào (1) thỏa mãn Vậy nghiệm phương trình cho x = −1 Cách 2: Đặt f ( x) = x + + x + + x + Ta có: f ' ( x) = (2 x + 1) + ( x + 2) + 3 > ; ∀ x ≠ − , − , − 2 (2 x + 3) Do hàm số f ( x ) đồng biến     f ( x) = ±∞ nên suy x = −1 Mà f  − ÷ = −1 + −2; f ( −1) = 0; f  − ÷ = + 2; xlim →±∞  2  2 nghiệm phương trình cho Ví dụ 4: Giải phương trình : x3 − + x − + x = Giải Điều kiện: x ≥ Đặt f ( x) = x3 − + x − + x Ta có f ′ ( x ) = 15 x 2 x3 − + 3 (2 x − 1) + > 0, ∀x ∈ ( ; +∞) nên hàm số đồng biến 5 ∈ [ ; +∞) Mà f ( 1) = nên x = nghiệm phương trình Ví dụ : Giải phương trình : x3 + 3x + x + 16 = + − x (1) Nhận xét : Bài tốn gây khó khăn cho ta từ bước đặt điều kiện  x + x + x + 16 ≥ ( x + 2)(2 x − x + 8) ≥ ⇔ ⇔ −2 ≤ x ≤ Điều kiện:   − x ≥ − x ≥   Khi đó, (1) ⇔ x3 + 3x + x + 16 − − x = Xét hàm số f ( x ) = x3 + 3x + x + 16 − − x [ −2; 4] Ta có f ′ ( x ) = 3( x + x + 1) x + 3x + x + 16 + > 0, ∀x ∈ ( −2; 4) 4− x Do hàm số f ( x ) = x3 + 3x + x + 16 − − x đồng biến [ −2; 4] Mà f ( 1) = nên x = nghiệm phương trình Ví dụ Giải phương trình : 3x(2 + x + 3) + (4 x + 2)(1 + + x + x ) = Giải Cách 1: Viết lại phương trình dạng (2 x + 1)(2 + (2 x + 1) + = ( −3 x ) (2 + ( −3 x) + 3) Nếu phương trình có nghiệm nghiệm thoả mãn 3x(2x+1) ( x + 1) nên ta có + (3x) + 3) > + (2 x + 1) + ⇒ ( −3x ) (2 + ( −3 x) + 3) > (2 x + 1)(2 + (2 x + 1) + x=− hay (2 x + 1)(2 + (2 x + 1) + + 3x(2 + (3 x) + 3) < suy phương trình vơ nghiệm   1 5 khong ; ữ vi − < x < làm tương tự ta thấy phương trình vơ nghiệm    − ;0 ÷ Vậy nghiệm phương trình x = −   Cách giải sử dụng phương pháp đoán nghiệm chứng minh nghiệm Cách 2: Viết lại phương trình dạng: (2 x + 1)(2 + (2 x + 1) + = ( −3 x ) (2 + ( −3 x) + 3) (1) ' Xét hàm số f (t ) = t (2 + t + 3) ¡ Ta có f (t ) = + t + + t2 t2 + > 0, ∀t ∈ ¡ Do hàm số đồng biến ¡ Từ (1) ⇔ f ( x + 1) = f ( −3x ) ⇔ x + = −3x ⇔ x = − Vậy phương trình có nghiệm x = − Ví dụ 7: Giải phương trình Giải Nhận xét: x + 15 = x − + x + x + 15 > x + 8, ∀x ∈ ¡ vô nghiệm Viết phương trình dạng nên 3x − ≤ ⇔ x ≤ phương trình x + 15 − x + − x + = 2  Xét hàm số f ( x ) = x + 15 − x + − x +  ; +∞ ÷ 3   1  ' − − < 0, ∀x > Do Ta có f ( x) = x  ÷ x2 +   x + 15 2 hàm số  f ( x ) = x + 15 − x + − 3x + nghịch biến  ; +∞ ÷   Mà f ( 1) = nên x = nghiệm phương trình Ví dụ 10: Giải phương trình x + − x + = x − x + Giải Ta có: x + − x + = x − x + ⇔ x + + x + = x + + x (*) 10 Xét hàm số f ( t ) = t + + t ¡ Ta có f ′( t ) = 3 ( t + 1) + 33 t Từ (*) ⇔ f ( x + 1) = f ( x ) > 0, ∀t ∈ ¡ \ { 0; −1} Suy hàm số đồng biến x =1 ⇔ 2x = x + ⇔ 2x − x − = ⇔  x = −  2 2 Vậy phương trình có nghiệm x = − ; x = Chú ý : Đối với bất phương trình ta sử dụng tính đơn điệu hàm số cách linh hoạt tốn trở nên đơn giản 15 + x − − x > (*) Ví dụ 11: Giải bất phương trình sau: Nhân xét: Đối với bất phương trình này, ta đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình để giải, giải trực tiếp khó khăn Giải 4 Giải bất phương trình 15 + x − − x > Cách 1: Đặt ẩn phụ Điều kiện: −15 ≤ x ≤ Với điều kiện ta đặt u = 15 + x ≥ 0; v = − x ≥ 0; u > v 4 u = 17 − v u + v = 17 u = 17 − v u = 17 − v ⇔ ⇔ ⇔ Khi ta có     4 17 − v > + v u − v > u > + v u > ( + v ) u = 17 − v u = 17 − v ⇔ ⇔   −2 < v < ( v − 1) ( v + ) v + v + < Do v ≥ nên ta ≤ v < Suy − x < ⇔ x > Kết hợp với điều kiện −15 ≤ x ≤ ta nghiệm bất phương trình cho < x ≤ ( ) Cách 2: Dùng tính đơn điệu hàm số Điều kiện: −15 ≤ x ≤ Xét hàm số f ( x ) = 15 + x − − x [ −15; 2] Ta có f ′( x) = 4 ( 15 + x ) + 44 ( − x) > 0, ∀x ∈ ( −15; ) Suy hàm số f ( x ) = 15 + x − − x đồng biến [ −15; 2] Mà f ( 1) = nên bất phương trình 15 + x − − x > ⇔ f ( x ) > f ( 1) ⇔ x > Kết hợp với điều kiện −15 ≤ x ≤ ta nghiệm bất phương trình cho < x ≤ Ví dụ 12 : Giải bất phương trình x + + x − + 49 x + x − 42 < 181 − 14 x (*) Giải Điều kiện: x ≥ 11 Bất phương trình (*) viết lại dạng ( 7x + + 7x − ) +( ) x + + x − − 182 < ⇔ x + + x − − 13 < 6  Xét hàm số f ( x ) = x + + x − − 13  ; +∞ ÷ 7  Do f ′( x) = 7 + >0 7x + 7x − 6   ; +∞ ÷ 7  nên hàm số 6  f ( x ) = x + + x − − 13 đồng biến  ; +∞ ÷ 7  Mà f ( ) = nên x + + x − − 13 < ⇔ f ( x ) < f ( ) ⇔ x < Kết hợp với điều kiện x ≥ ta nghiệm bất phương trình cho ≤ x < Qua ví dụ giải phương trình bất phương trình trên, ví dụ có hai cách giải ta thấy cách giải dùng tính đơn điệu hàm số hay tự nhiên nhiều so với cách giải đầu Cách giải đầu thường biến đổi phức tạp có thấy thiếu tự nhiên, khơng có “Manh mối” để tìm lời giải Đây dạng tốn khó học sinh lần đầu tiếp xúc , em khó khăn việc sử dụng phương pháp khác để giải Vì việc bồi dưỡng cho học sinh lực tư duy, sáng tạo, vận dụng kiến thức tính đơn điệu hàm số việc làm cần thiết Từ hình thành học sinh Tư linh hoạt giải tốn, để học sinh khơng bối rối trước toán lạ b) Bài tập rèn luyện Giải phương trình, bất phương trình sau: 1/ x + + x + ≤ 2/ x + x + − x − x + = − 3/ x + x − x + − x + + x + x + = 4/ x − x + − x − x + 11 > − x − x − 5/ x x + x + 12 = 12 ( 5− x + 4− x ) 6/ x − + 4− x = 7/ x3 + 3x + x + 16 − − x > 8/ x3 − x − x + = x + x − 2.3.2 Giải phương trình, bất phương trình chứa tham số a) Các ví dụ Ví dụ Tìm tham số m để phương trình: x − 3x − m = , (1) có ba nghiệm phân biệt có nghiệm bé Giải: Phương trình (1) ⇔ x3 − 3x = m , Xét hàm số f ( x ) = x − x Yêu cầu đề phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 cho x1 < ≤ x2 < x3 tức đường thẳng y = m phải cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) = x − x ba điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn x = x1 < ≤ x2 < x3 Ta có f ' ( x) = x − x ; f ' ( x ) = ⇔ 3x − x ⇔  x = 12 −∞ x f ′( x) Bảng biến thiên 0 + f ( x) - +∞ + +∞ -2 −∞ -4 − < m ≤ −2 Từ bảng biến thiên suy điều kiện phải tìm Ví dụ : Tìm m để phương trình: x + x + − x − x + = m có nghiệm Giải Xét hàm số: f ( x ) = x + x + − x − x + ¡ Ta có f ′( x) = 2x + x2 + x + − 2x −1 x2 − x + ( x − 1) ( x + 1) > f ′ ( x ) = ⇔ ( x − 1) x + x + = ( x + 1) x − x + ⇔  2 2 ( x − 1) ( x + x + 1) = ( x + 1) ( x − x + 1) (Vô nghiệm) Mặt khác: f ′ ( ) = > Suy f ′ ( x ) > nên hàm số đồng biến Hơn nữa, lim f ( x ) = lim x →−∞ lim f ( x ) = lim x →+∞ x →+∞ x →−∞ 2x x + x + + x2 − x + 2x x + x + + x2 − x + = −1 ; =1 Bảng biến thiên: x -∞ +∞ f ′( x) f ( x) + -1 Vậy phương trình có nghiệm −1 < m < Nhận xét: Trong tốn khơng thực việc xác định giới hạn hàm số, ngộ nhận tập giá trị hàm số ¡ dẫn đến việc kết luận sai lầm phương trình có nghiệm với m Do việc tìm giới hạn tốn khảo sát cần thiết để tìm tập giá trị Ví dụ Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực phân biệt x + = x + m Gi¶i: Điều kiện: x ≥ −1 Phương trình cho tương đương với x + − x = m 13 Xét hàm số f ( x) = x + − x Ta có f ′ ( x) = f ′ ( x) = ⇒ 1− x + = ⇔ x = 1− x + − 1= x+ x+ Bảng biến thiên x f ′( x) -1 +∞ + f ( x) - -∞ Dựa vào bảng biến thiên suy phương trình cho có nghiệm thực phân biệt ≤ m < Ví dụ 4.Chứng minh ∀m > , phương trình sau ln có hai nghiệm thực x + x − = m( x − 2) phân biệt: Giải Do m > nên x ≥ 2 (1) ⇔ ( x − 2)( x + 4) = m( x − 2) ⇔ [ ( x − 2)( x + 4) ] = m( x − 2) x = ⇔ ( x − 2) ( x − 2)( x + 4) − m  = ⇔   x + x − 32 − m = 0(*) Yêu cầu toán quy chứng minh phương trình (*) có nghiệm (2; +∞) Biến đổi (*) ⇔ m = x3 + x − 32 Xét hàm số f ( x) = x + x − 32 với x > Ta có f ' ( x) = x + 12 x ≥ 0, ∀x > Bảng biến thiên: lim f ( x) = +∞ x →+∞ x f ' ( x) + f ( x) Từ bảng biến thiên suy ∀m > phương trình (*) có nghiệm x > Vậy phương trình cho có hai nghiệm thực phân biệt ∀m > Nhận xét: 14 Sau tìm điều kiện x ≥ việc khảo sát hàm số f ( x) dễ dàng chủ yếu dùng đạo hàm nhiên dùng định nghĩa suy tính đồng biến hàm số f ( x) Ví dụ : Chứng minh phương trình sau có nhiệm ` x5 − x − x − = Nhận xét : Đây phương trình mà giải cần có có mặt tư hàm số Sau vài cách tiếp cận lời giải Cách 1: Với x ≠ , 2  x +1  1 ⇔ x = biến đổi phương trình dạng x =  ÷  + ÷ (*)Suy  x   x x>0 Mặt khác f ( x ) = x hàm số đồng biến ( 0;+∞ )  1 g ( x ) = 1 + ÷ nghịch biến ( 0;+∞ ) nên phương trình (*) có nhiều  x nghiệm Hơn hàm số h ( x ) = x − x − x − liên tục ¡ Hơn nữa, h ( 1) = −3 ; h ( ) = 23 nên h ( 1) h ( ) < Do phương trình h ( x ) = có nghiệm thuộc khoảng ( 1;2 ) Kết hợp với điều kiện ta có phương trình cho có nghiệm Cách 2: Biến đổi phương trình sau x = ( x + 1) , suy x ≥ Với ≤ x < ⇒ x < 1, ( x + 1) ≥ nên phương trình vơ nghiệm f ( x ) = x − x − x − 4 Ta có f ′ ( x ) = x − x − = x ( x − 1) + ( x − 1) + x > 0, ∀x ≥ nên f ( x ) = x − x − x − đồng biến [ 1;+∞ ) Do phương trình Với x ≥ Xét hàm số cho có nhiều nghiệm Cách 3: Biến đổi phương trình x = ( x + 1) ( x + 1) ≥ ⇒ x ≥ ⇒ ( x + 1) ≥ ⇒ x hàm số f ( x ) = x − x − x − Ta có 5 ≥ ⇒ x ≥ sau lại xét Ví dụ 6: Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực: 4 x − 13 x + m + x − = (*) Giải x ≤ 4 Phương trình (*) ⇔   x − 13x + m = − x ⇔  4 x − x − x − = −m Xét ham số f ( x ) = x − x − x − ( −∞;1] 15 Ta có f ′ ( x ) = 12 x − 12 x − Trên ( −∞;1] f ′ ( x ) = ⇔ 12 x − 12 x − = ⇔ x = − Bảng biến thiên: x f ′( x) f ( x) − -∞ + - -∞ -12 Từ bảng biến thiên suy phương trình cho có nghiệm thực 3   −m = m=−   ⇔    − m < −12  m > 12 b) Bài tập rèn luyện log(mx) 1.Tìm m để phương trình: log( x + 1) = có nghiệm Tìm m để bất phương trình: (x + 1) + m = x x + + với ∀x ∈ [ 0;1] Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x x + x + 12 = m ( 5− x + 4− x ) Tìm m để phương trình: − x + − x = m có nghiệm Tìm m để phương trình có nghiệm nhất: x + − x + 2m x ( − x ) − x ( − x ) = m Tìm m để bất phương trình có nghiệm: ( x x + x + < m log 2 + − x ) Tìm m để với ∀x ∈ [ 0; 2] thoả mãn: ( ) log x − x + m + log x − x + m = Tìm m để bất phương trình: x( − x) + m ( ) x − x + + = có nghiệm với ∀x ∈  2; +    16 Tìm m để phương trình sau có nghiệm nhất: ( log ( mx + 28 ) = − log 12 − x − x 25 ) 10 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: + + x + − x + m ( x − 8) 1+ x = 3m 8− x 11 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm với ∀x ∈ [ 0; 4] : ( ( x + 1) = ( x + m ) − 3x + ) 12 Tìm m để bất phương trình có nghiệm x ∈ [ 0;1] : (x ) + + m = x x + + 13 17 PHẦN KẾT LUẬN-KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Đất nước ta bước đường xây dựng, phát triển giáo dục Đảng, Nhà nước coi quốc sách hàng đầu, để chấn hưng giáo dục nước nhà việc đổi phương pháp giảng dạy Bộ Giáo dục coi nhiệm vụ cấp thiết cần phải thực cách có hiệu Muốn làm tốt cơng việc người thầy phải phấn đấu tự học, tự rèn nhằm nâng cao nhận thức, nghiệp vụ chun mơn, từ tìm cho phương pháp giảng dạy đạt hiệu cao nhất, tạo hứng thú niềm tin học trò nhằm góp phần nâng cao chất lượng giáo dục Một cách để tạo chuyển biến tích cực cơng tác giảng dạy giáo viên viết chuyên đề, sáng kiến kinh nghiệm phục vụ cho việc dạy học Mặc dù Sách giáo khoa giảm tải nhiều đề thi tuyển sinh vào đại học có nhiều khó phát triển từ tập sách giáo khoa, nên để giải tốn cần phải sử dụng linh hoạt tính đơn điệu hàm số Đề tài giới thiệu số cách giải số phương trình, bất phương trình , đặc biệt phương trình, bất phương trình chứa tham số việc sử dụng tính tính chất hàm số Mặc dù tham khảo số lượng lớn tài liệu để vừa viết, song lực thời gian có hạn, mong đóng góp bạn đồng nghiệp người u thích mơn tốn để đề tài có ý nghĩa thiết thực nhà trường Góp phần nhỏ bé vào việc nâng cao chất lượng Giáo dục phổ thông Giúp em học sinh có phương pháp - kỹ giải tốn phương trình bất phương trình đại số kỳ thi trung học phổ thông 3.2 Kiến nghị Đề nghị cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh giáo viên có nhiều tài liệu sách tham khảo đổi cho phòng thư viện để nghiên cứu học tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ Nhà trường cần tổ chức nhiều buổi trao đổi phương pháp giảng dạy Học sinh cần tăng cường học tập trao đổi, học nhóm nâng cao chất lượng học tập XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 25 tháng năm 2018 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Lê Thị Thủy 18 Tài liệu tham khảo Sách giáo khoa mơn Tốn 10, 11, 12 Sách tập mơn Tốn 10, 11, 12 Căn số tốn vơ tỉ - Nxb giáo dục Hồng Kỳ Khảo sát nghiệm phương trình – Nxb giáo dục Lê Hồnh Phò Hàm số - Nxb giáo dục Phan Huy Khải Tạp chí Tốn học Tuổi trẻ Bài giảng thư viện đề thi Violet Tài liệu , giảng mạng internet 19 ... giải tốn cần phải sử dụng linh hoạt tính đơn điệu hàm số Đề tài giới thiệu số cách giải số phương trình, bất phương trình , đặc biệt phương trình, bất phương trình chứa tham số việc sử dụng tính. .. Giải phương trình – Bất phương trình phương pháp sử dụng tính chất hàm số 1.2 Mục đích nghiên cứu Xuất phát từ mối liên hệ số nghiệm phương trình ẩn với số giao điểm hai hai đồ thị hai hàm số. .. tơi tập trung khai thác cách giải phương trình, bất phương trình việc ứng dụng tính chất hàm số Với việc sử dụng phương pháp này, tốn phương trình, bất phương trình giải cách tự nhiên, túy, ngắn

Ngày đăng: 31/10/2019, 14:17

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan