A MỞ ĐẦU I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Với mục tiêu “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài, hình thành đội ngũ lao động có tri thức tay nghề, có lực thực hành, động, sáng tạo, có đạo đức cách mạng, tinh thần yêu nước, yêu chủ nghĩa xã hội" (Trích văn kiện Đại hội Đảng tồn quốc lần thứ VII) Tại Hội nghị Ban Chấp hành Trung ương Đảng (khóa XI), ngày 29/10/2012 ban hành Kết luận số 51 KL/TW Đề án “Đổi bản, toàn diện giáo dục đào tạo, đáp ứng yêu cầu cơng nghiệp hóa, đại hóa điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ nghĩa hội nhập quốc tế” Trong năm qua giáo dục nước ta có đổi mạnh mẽ nội dung, phương pháp thu kết khả quan Việc đổi phương pháp dạy học vấn đề cấp bách, thiết thực nhằm đào tạo người có lực hoạt động trí tuệ tốt Đổi phương pháp dạy học khơng giảng lí thuyết, mà trình luyện tập Luyện tập ngồi việc rèn luyện kỹ tính tốn, kỹ suy luận mà thơng qua qua giúp học sinh biết tổng hợp, khái quát kiến thức học, xếp kiến thức cách hệ thống, giúp học sinh vận dụng kiến thức học vào giải tập cách động sáng tạo Về mặt phương pháp, từ phương pháp dạy truyền thống phương pháp dùng lời (thuyết trình, đàm thoại ), phương pháp trực quan, phương pháp thực hành, luyện tập đến xu hướng dạy học đại như: dạy học giải vấn đề, lý thuyết tình huống, dạy học phân hóa, dạy học có hỗ trợ cơng nghệ thơng tin, có sử dụng máy tính tạo khơng khí học tập hoàn toàn Một vấn đề đổi chương trình giáo dục phổ thơng đổi phương pháp dạy học, có đổi phương pháp dạy học Tốn trường phổ thơng Việc đổi phương pháp dạy học Tốn nhằm phát huy tính tích cực học sinh, qua khai thác tính chủ động tiếp thu khám phá tri thức em, tạo hứng thú học tập Với tinh thần đó, tơi có đổi mặt phương pháp để phù hợp với giáo dục giai đoạn Trong trình giảng dạy trường phổ thông, thân dự nhiều tiết dạy đồng nghiệp, trực tiếp bồi dưỡng học sinh ôn thi vào Đại hoc, Cao đẳng trước thi THPT Quốc Gia hay bồi dưỡng đội tuyển học sinh Giỏi, nhận thấy việc phát huy trí lực học sinh nhiều hạn chế Nhiều toán kỳ thi vào Đại học, Cao đẳng, thi THPT Quốc Gia, thi HSG áp dụng kiến thức thêm chút sáng tạo giải được, đa số em gặp khó khăn Chúng thấy rằng, việc dạy học theo hướng khuyến khích tư sáng tạo tìm mối liên hệ linh hoạt phần kiến thúc cần quan tâm hơn, đặc biệt việc bồi dưỡng HSG, bồi dưỡng học sinh ôn thi vào Đại học, thi THPT Quốc Gia trường phổ thông việc làm cần thiết II ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Rèn luyện cho học sinh biết cách vận dụng phương pháp giải phương trình, bất phương trình vô tỉ trường phổ thông Phân loại dạng tốn thường gặp chương trình theo chuẩn kiến thức kĩ kì thi THPT, thi HSG III NHIỆM VỤ CỦA NGHIÊN CỨU Trình bày đề tài thông qua hệ thống tập Hướng dẫn học sinh giải tốn số tình cụ thể Bồi dưỡng cho học sinh kỹ giải toán khả sáng tạo tư IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu Sách giáo khoa, Sách tập, Sách tham khảo, đề thi THPT, đề thi HSG tài liệu liên quan Phương pháp điều tra thực tiễn: Dự đồng nghiệp, quan sát việc dạy học phần tập Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tiến hành tập thể lớp Phương pháp thống kê B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I CỞ SỞ LÝ LUẬN: Muốn giải toán ta thường thực bước: Bước 1: Huy động kiến thức: Là thao tác tư nhằm tái kiến thức có liên quan với toán, từ lý thuyết, phương pháp giải, toán gặp, người làm tốn phải biết cần biết ý tưởng kiểu như: ta gặp toán gần gũi với toán hay chưa? Nhà bác học Polia viết sách kinh điển với nội dung: "Giải toán ơng có đề cập đến nội dung điều kiện thiết yếu” Bước 2: Tổ chức kiến thức: Là tổ hợp hành động, thao tác để xếp kiến thức biết yêu cầu toán lên hệ với để từ trình bày tốn theo thể thống Có nhiều cách lựa chọn cho việc tổ chức kiến thức mà phương pháp tương tự hay tổng quát hóa thao tác tư cần thiết cho người làm toán II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU Trong chương trình Tốn cấp THCS THPT học sinh thường gặp nhiều toán phương pháp tối ưu Như vấn đề đặt làm để giải tốt loại tốn này? Để trả lời câu hỏi thân học sinh cần có kiến thức nắm vững kỹ giải tốn Song hiểu theo cách nói lẽ, để giải tốt loại toán lại vấn đề không dễ Khi làm tập dạng đa số học sinh gặp nhiều khó khăn, lời giải thường thiếu chặt chẽ dẫn đến khơng có kết tốt, có kết khơng cao Với đặc điểm vừa nêu, nghiên cứu, tìm tòi qua nhiều tài liệu, suy nghĩ nhiều giải pháp với mong muốn giúp em học sinh tiếp cận tốn tối ưu cách đơn giản, nhẹ nhàng đảm bảo yêu cầu cần thiết nội dung này, giúp học sinh có nhìn cụ thể, rõ ràng vấn đề khó trường phổ thơng, tơi chọn đề tài “ Hướng dẫn học sinh giải số toán thực tiễn phương pháp sử dụng đạo hàm hàm biến” Tôi mong qua đề tài góp phần làm tăng thêm khả tư khoa học, khả thực hành, kỹ giải toán toán liên quan đến GTLN, GTNN hàm số mà đa phần em gặp khó khăn III NỘI DUNG VÀ BIỆN PHÁP TIẾN HÀNH PHẦN 1.2: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TRONG THỰC TẾ Qua tìm hiểu, tổng hợp phân tích, tác giả nhận thấy tốn thực tế liên quan đến việc sử dụng đạo hàm chia thành phần lớn: Một là, tốn thực tế mơ hình hóa hàm số tốn học Qua ví dụ minh họa sau đây, tác giả cho bạn đọc dạng tốn thường gặp gì? Các lĩnh vực khoa học khác ứng dụng đạo hàm việc giải toán mà họ đặt ra? Hai là, toán thực tế mà mơ hình thực tiễn chưa chuyển mơ hình tốn học Như biết, để ứng dụng đạo hàm hàm số trước tiên ta phải “thiết lập hàm số” Như ta mơ tả quy trình mơ hình hóa Hình sau mơ tả q trình việc mơ hình hóa tốn học cho tượng thực tế Bài tốn thực tế Đưa vào cơng thức Mơ hình tốn học Giải Kết luận tốn học Giải thích cho thực tế Dự đoán cho vấn đề thực tế Kiểm tra lại Ta cụ thể hóa bước q trình mơ hình hóa sau: Bước 1: Dựa giả thiết yếu tố đề bài, ta xây dựng mơ hình Tốn học cho vấn đề xét, tức diễn tả “dưới dạng ngơn ngữ Tốn học” cho mơ hình mơ thực tiễn Lưu ý ứng với vấn đề xem xét có nhiều mơ hình tốn học khác nhau, tùy theo yếu tố hệ thống mối liên hệ chúng xem quan trọng ta đến việc biểu diễn chúng dạng biến số, tìm điều kiện tồn chúng ràng buộc, liên hệ với giả thiết đề Bước 2: Dựa vào kiến thức liên quan đến vấn đề thực tế kinh tế, đời sống khoa học kỹ thuật Vật lý, Hóa học, Sinh học, … Ta thiết lập hoàn chỉnh hàm số phụ thuộc theo biến nhiều biến (Ở nội dung xét ta xét với tình biến) Bước 3: Sử dụng công cụ đạo hàm hàm số để khảo sát giải tốn hình thành bước Lưu ý điều kiện ràng buộc biến số kết thu có phù hợp với toàn thực tế cho chưa Sau để bạn đọc hiểu rõ hơn, tác giả lấy ví dụ minh họa trình bày theo chủ đề ứng dụng đạo hàm: Bài toán Từ lớn hình chữ nhật có kích thước a �b với a  b Người ta cắt bỏ hình vng góc gò thành hình hộp chữ nhật khơng có nắp Một cạnh hình vng cắt phải để hình hộp tích lớn nhất?  Phân tích  Trước tiên, với câu hỏi tốn ta nên đặt x cạnh hình vng cắt Như ta cần tìm điều kiện giới hạn biến số x Do cạnh nhơm sau bị cắt trở thành a  2x  � x  a a nên ta có  x  2  Và đồng thời ta có cạnh nhơm lại b  2x  Đến ta cần thiết lập công thức tính thể tích khối hộp V  x(a  2x)(b  2x)  Bài tốn trở thành tìm max V(x)  ? � a� x�� 0; � � 2� Mời bạn đọc xem lời giải! Hướng dẫn giải  Gọi x cạnh hình vng cắt đi, ta phải có điều kiện  x  a Khi thể tích hình hộp V  x(a  2x)(b  2x)  4x  2(a  b)x  abx  V(x)  Bài toán trở thành tìm max V(x)  ? � a� x�� 0; � � 2� Đạo hàm V '  f '(x)  12x  4(a  b)x  ab Ta có  '  4(a  b)  12ab  4(a  ab  b )  với a, b Do  '  lng có hai nghiệm phân biệt x1  a  b  a  ab  b a  b  a  ab  b  x2  6 ab � x1  x  0 � � Theo định lý Vi-et, ta có � �x x  ab  �1 12 Suy  x1  x a a a �� �� Hơn nữa, ta có V ' � � f ' � � a  ab  a(a  b)  Do  x1   x 2 2 �� �� Bảng biến thiên x V '(x) x1 + Max a  V(x) Dựa vào bảng biến thiên ta thấy V đạt giá trị lớn x  x1  a  b  a  ab  b  Bình luận: Qua tốn bày ta cần lưu ý: Một là, khâu tìm điều kiện cho biến cần đặt quan trọng Chúng ta khơng nên ghi x  theo cách hiểu số đo đại số số dương Hai là, không thuộc cơng thức tính thể tích khối hộp xem tốn khơng thể giải tiếp Điều đòi hỏi người giải phải biết cách vận dụng kiến thức học vào toán thực tế Ba là, việc giải nghiệm từ phương trình V '(x)  lập bảng biến thiên V(x) khơng đơn giản chút nào, đòi hỏi người giải phải có kỹ tốt biến đổi đại số Bài tốn Tìm chiều dài bé thang để tựa vào tưởng mặt đất, ngang qua cột đỡ cao 4m, song song cách tường 0,5m kể từ gốc cột đỡ A Xấp xỉ 5, 4902m B Xấp xỉ 5, 602m C Xấp xỉ 5,5902m D Xấp xỉ 6,5902m  Phân tích  Trước tiên, ta minh họa mơ hình hình vẽ sau Để xác định độ dài ngắn AC ta thử suy nghĩ xem nên phân tích độ dài AC theo hướng nào? Để từ định hướng cách đặt ẩn thích hợp Đối với hình vẽ quan hệ cạnh, ta nhận thấy có hướng phân tích tốt là: hướng thứ phân tích AC  AB2  AC2 hướng thứ hai AC  AM  MC  Nếu phân tích theo hướng thứ nhất, ta thử đặt HC  x  , đến cần tính AB theo x lập hàm số f (x) biểu diễn độ dài AC MH  Nhưng cách đây? ��� � Ta sử dụng đến quan hệ tỉ lệ định lý HC MH x Thales thuận (MH / /AB) nên ta có: BC  AB  x  0,5 Bài tốn trở thành tìm f (x)  ?  Nếu phân tích theo hướng thứ hai, ta đặt HC  x  ta biểu diễn độ dài AC  P(x)  Q(x) (việc khảo sát hàm không đơn giản chút nảo) Do ta chuyển hướng sang tìm quan hệ góc cạnh tam giác nhận thấy   R MCH  R AMK Đến ta thấy hướng phân tích tiếp hồn tồn thuận lợi MC  MH sin  AM  MK cos  Khi tốn trở thành tìm g()  ? Hướng dẫn giải HC MH x  Đặt HC  x  � BC  x  0,5 Theo định lý Thales ta có BC  AB  x  0, Do ta có AB  4(x  0,5) x Do ABC vuông B � AC2  AB2  BC  (x  0,5)2   Hay AC   x  0,5  x  16  x2 Đặt f (x)  x  x3  16(x  0,5) x2 65 x  16x  4 (x  0) x2 Bài tốn trở thành tìm f (x)  ? với x  65 65 � � � � 4x  3x  x  16 �x  2x �x  x  x  16x  � � Ta có f '(x)  � � � � x � f '(x)  2x  x  16x  x3 x20 � � Cho f '(x)  � (x  2)(2x  1)(x  2x  4)  � � x    0(loai) � 2 Lập bảng biến thiên ta có: x � f '(x)   f(2) f (x)  f (2)  Dựa vào bảng biến thiên ta có x 0 125 Do ta có AC  125 5  �5,5902 Đáp án C � � Cách khác: Đặt x  R ACB ��0; � � 2� Khi ta có AC  AM  MC  Đặt g(x)  g '(x)  KM MH    cos x sin x cos x sin x g(x)  ? �  Bài tốn trở thành tìm x�� 0; � � cos x sin x � 2� 8cos3 x  sin x , g '(x)  � tan x  � x o  acr tan(2) �63o 26 '6 '' 2sin x cos x g(x)  g(x o ) �5,5902m � Lập bảng biến thiên ta suy ACmin � x�� 0; � � � 2� Đáp án C  Bình luận: Qua toán ta cần lưu ý: Một là, thật dù giải theo cách nào, ta gặp phải số khó khăn định giải tìm nghiệm phương trình f '(x)  hay g '(x)  Dựa theo cách thi trắc nghiệm ta thử phương án từ đáp án để tìm nghiệm (bằng chức CALC máy tính cầm tay) sau kiểm tra qua f '(x)  hay g '(x)  Hai là, việc sử dụng “ứng dụng đạo hàm” để tìm GTLN – GTNN hàm số 1� � này, ta vận dụng bất đẳng thức Giả sử đặt AB  b, BC  a �b  0, a  � � x a y b Dựng hệ trục Bxy (BC �Bx, BA �By) Ta có AC :   1 �2 � � Khi M � ; ��AC � �  1 2a b 2� 2 Bài toán trở thành tìm AC   a  b  thỏa  1 ,a  ,b  2a b (việc giải tiếp xin dành cho bạn đọc!) Ba là, ta có: f (x)  x4  x3  65 x  16x  � 16 � � � 65  �x  � �x  � x x �� x � � 8 x x 65 Cauchy 65 125 � f (x)  x       � 3.4    42 43 x 4 4 2x 43x �3 82 �3 Dấu “=” xảy x  Bài toán Cần phải xây dựng hố ga, dạng hình hộp chữ nhật tích V ( m3 ) không đổi, hệ số k  cho trước (k tỉ số chiều cao hố chiều rộng đáy) Hãy xác định kích thước đáy để xây tiết kiệm nguyên vật liệu nhất?  Phân tích:  Với thể tích V cho trước quan hệ chiều rộng đáy chiều cao hình hộp ta hồn tồn biểu diễn độ dài theo biến  Như ta cần hiểu yêu cầu tốn “tiết kiệm ngun vật liệu gì?” Đó cho phần bao phủ bên ngồi hình hộp có diện tích nhỏ hay diện tích toàn phần khối hộp nhỏ Hướng dẫn giải  Gọi x, y (0  x  y) chiều rộng chiều dài đáp hố ga Gọi h chiều cao hố ga (h  0)  Theo đề ta có h  kx V  hxy � y  V V  hx kx Để tiết kiệm nguyên vật liệu ta cần tìm kích thước cho diện tích tồn phần hố ga nhỏ Khi ta có: Stp  2xh  2yh  2xy  2x(kx)  2(kx) 10 V V  2x 2 kx kx �k  � �k  � 2� V 2� � V � f (x) Suy S  2kx  � k � Xét hàm số k � �  2kx  x x Bài tốn trở thành tìm giá trị nhỏ f(x) với x  �k  � 2� � V (k  1)V 2k x  (k  1)V , cho f '(x)  � x o  0 k � � f '(x)  4kx  2 2k 2 x kx Lập bảng biến thiên ta có x xo � f '(x)   f(x) f (x o ) � (k  1)V � � � � 2k � f (x)  f � Dựa vào bảng biến thiên ta có � x 0 Khi y  4kV k(k  1)V h  (k  1)  Bình luận: Qua toán ta cần lưu ý: Một là, ta sử dụng bất đẳng thức để tìm Stp �k  � �k  � �k  � V � � V 2� V � � � 2(k  1)V k � �k � k � � �  2kx   � Stp  2kx  x x k x �k  � V � Khi dấu “=” xảy 2kx  � �k � �x  x 11 (k  1)V 2k Hai là, từ ba kích thước cho trước thỏa yêu cầu toán ta đến quan hệ tỉ lệ � (k  1)V �x  2k � � 4kV 2kx 2h � �y  chúng �y  (k  1) k 1 k 1 � � k(k  1)V � h3 � Ba là, từ toán giữ nguyên giả thiết V  const thay thể y  kx hay h  ky (k tỉ số kích thước hình hộp) liệu tốn có thay đổi? Câu trả lời kết tương tự ta khảo sát với h  kx Do V  const � 2kx 2y x,y,h  ? ���� Stp  ? � h   k 1 k 1 �y  kx, k  Nếu � �V  const 2ky 2h x,y,h  ? ���� Stp  ? � h   k 1 k 1 �y  ky, k  Nếu � Bài tập tương tự Cần phải xây dựng hố ga có dạng hình hộp chữ nhật tích V ( m3 ) , có chiều cao gấp lần chiều rộng cạnh đáy Hãy xác định kích thước đáy để xây tiết kiệm nguyên vật liệu nhất? Hướng dẫn giải Gọi x, y, h chiều rộng, chiều dài chiều cao hình hộp �V  kxy 6x 2h x,y,h ? ���� Stp  ? � y   4 �y  3x, k  Dựa vào tốn 3, ta có � Như chiều cao gấp lần chiều dài hình hộp Bài toán 4: Giả sử bạn chủ xưởng khí vừa nhận đơn đặt hàng thiết kế bồn chứa nước hình trụ có nắp với dung tích 20 lít Để tốn nguyên vật liệu nhất, bạn chọn giá trị cho độ cao bồn nước giá trị đây? A 0,3 mét B 0,4 mét C 0,5 mét Phân tích : Ta đặt số câu hỏi định hướng sau : Một Làm để tốn nguyên vật liệu ? 12 D 0,6 mét Hai là, tổng qt tốn lên khơng ? Ta nhận thấy để tốn ngun liệu diện tích xung quanh phần vỏ bao bên ngồi bồn chứa nước với diện tích đáy nắp phải nhỏ Hay xác ta cần tìm diện tích xung quanh nhỏ ứng với thể tích mà đề cho Mà ta biết Stp  S xq  2Sday  2 rh  2 r (với r, h bán kính đáy chiều cao bồn nước hình trụ) Ta nhận thấy diện tích phụ thuộc theo biến r h Và đến ta hiểu đề lại cho sẵn dung tích V   r h  const tức cho mối liên hệ bán kình đáy r chiều cao h hình trụ Từ V  r h � h  V r Như ta cso thể tìm Stp phụ thuộc theo biến r h Và ta thấy nên tổng quát tốn lên thành V = const thay xét riêng lẻ trường hợp V  20 (lít) Hướng dẫn giải Gọi r, h (r,h>0) bán kính đáy chiều cao khối trụ Khi ta có V  r h � h  V r Để tốn nguyên vật liệu nhất, ta cần tìm r cho diện tích tồn phần khối trụ nhỏ 2 Do Stp  2r  2rh  2r  2r Xét hàm số f  t   r  Ta có: f '  r   2r  V �2 V �  2 � r  � r � r � V f  r  ? Bài tốn trở thành tìm r 0 r V V 4V , f ' r  � r  �h  r 2  Lập bảng biến thiên, ta có r f’(r) f(r) - V 2 � + 13 � V � f� � 2 � � � � � V � � � � 2 � f  r  f � Dựa vào bảng biến thiên, ta có � r �0 � 4V � � 4.20 � � � � �  � ��2,94  dm   0, 29m Đáp án A  � �� � Khi h  f � � Bình luận: ngồi cách sử dụng đạo hàm, ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy V � V2 �2 V � �2 V Stp  2 � r  � 2 � r   �r ��23 4 � r � � 2r 2r � V �h 2 4V  Thay V = 20 vào ta h �2,94  dm   0, 29  m  Ta chọn đáp án A h Đồng thời với việc tổng quát toán trên, ta nhận thấy,  r 3 4V   � h  2r 4V 2 Bài toán Màn hình TV đặt thẳng đứng sân vận động, cao 2,4m, cạnh thấp nằm phía tầm mặt khán giả A ngồi 8,5m Một khán giả B có góc quan sát TV thuận lợi góc đối diện với hình TV cực đại, khoảng cách khán giả A B bao nhiêu?  Phân tích:  Do đề yêu cầu góc quan sát  thuận lợi (tức lớn nhất) nên ta tìm cách biểu thị khoảng cách x theo góc   Một nhận xét quan trọng max  � max(tan ) , lại có   2  1 nên ta thử tính 2,  8,5 8,5 2,  tan 2  tan 1 2, x x  x tan(2  1 )     tan 2 tan 1  2,  8,5 8,5  1853 x  1853 x x 20x 20x g( x ) g(x)  ?  Đến đây, tốn trở thành tìm x 0 Hướng dẫn giải 14 Gọi x khoảng cách từ khán giả B đến khán giả A Ta thấy u cầu tốn xác định max  để từ suy khoảng cách x  ? 2,  8,5 8,5 2,  tan 2  tan 1 2, x x x Ta có tan   tan(2  1 )   tan 2 tan 1  2,  8,5 8,5  1853  1853 1 1 x x x 20x 20x g( x ) Ta thấy max  � max(tan ) � g(x) Đặt g(x)  x  1853 g(x)  ? Bài toán trở thành tìm x 0 20x Ta có: g '(x)   1853 1853 , g '(x)  � x o  �9, 63 20x 20 Lập bảng biến thiên x a g '(x)  xo �  g(x) � 1853 � � �thỏa yêu cầu toán � 20 � g(x)  g � ta suy � x 0  Bình luận: Có vài điều ta cần lưu ý giải với tốn liên quan đến góc Một là, tỉ số lượng giác max   max sin  � max tan  với    10o Hai là, ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy nhằm tìm nhanh giá trị max g(x) sau: g(x)  x  Dấu “=” xảy � x  1853 Cauchy 1853 1853 �2 x 2 20x 20x 20 1853 1853 �x 20x 20 tan   tan  Ba là, việc sử dụng công thức tan   tan(2  1 )   tan  tan  giúp ta chuyển tốn từ việc tìm góc sang tìm cạnh (đúng với tinh thần đặt câu hỏi).Hai tập tương tự giúp bạn rèn luyện củng cố thêm cho 15 Bài tập tương tự 1: Một ảnh chữ nhật cao 1,4m đặt độ cao 1,8m so với tầm mắt (tính đầu mép ảnh) Để nhìn rõ phải xác định vị trí đứng cho góc nhìn lớn Xác định vị trí đó? Hướng dẫn giải Với toán ta cần xác định OA  ? � R BOC � max Điều xảy tan R BOC � max Đặt OA  x(m), x  Ta có tan R BOC  tan  R AOC  R AOB  AC AB  1, 4x tan R AOC  tan R AOB ,x    OC OA � f (x)  tan R BOC  x  5, 76  tan R AOC.tan R AOB  AC.AB OA Bài toán trở thành tìm x  để f (x) đạt giá trị lớn f '(x)  1, 4(x  5, 76) x 0 , f '(x)  � x  5, 76 ��� x  2, 2 (x  5, 76) x 2, � f '(x) +  84 193 f(x) Dựa vào bảng biến thiên, ta kết luận vị trí đứng cho góc nhìn lớn cách ảnh 2,4m Bài toán Một chất điểm chuyển động theo quy luật s(t)  6t  t  9t  1,s tính theo mét, t tính theo giây Trong giây đầu tiên, thời điểm t mà vận tốc chuyển động đạt giá trị lớn là: A t  B t  C t  D t   Phân tích:  Với kiến thức vật lý học, ta biết v(t)  s '(t) Do để tìm giá trị lớn giây t � 0;5 ta cần vận dụng kiến thức đạo hàm học 16 Hướng dẫn giải v(t)  s '(t)  12t  3t  9, v '(t)  6t  12, v '(t)  � t  Lập bảng biến thiên ta có: t v '(t) +  v(t) v(t)  v(2)  Dựa vào bảng biến thiên ta có max t� 0;5  Bình luận: Ứng dụng đạo hàm Vật lý đa dạng đặc biệt thể rõ nét qua toán chuyển động liên quan đến đại lượng quãng đường, vận tốc thời gian Không riêng tốn chuyển động vậy, ta bắt gặp ứng dụng đạo hàm Vật lý toán khác Mời bạn đọc tiếp tục theo dõi toán sau để hiểu rõ Bài tập tương tự 1: Một tên lửa bay vào không trung với quãng đường s(t) (km) hàm phụ thuộc theo biến t(giây) tuần theo biểu thức sau: s(t)  e t 3  2te3t 1 (km) Hỏi vận tốc tên lửa sau giây (biết hàm biểu thị vận tốc đạo hàm cấp hàm biểu thị quãng đường theo thời gian)? A 10e (km / s) B 5e (km / s) C 3e4 (km / s) D 9e (km / s) Hướng dẫn giải v(t)  s '(t)  2te t 3  2e3t 1  6te3t 1 � v(1)  2e  2e  6e  10e (km / s) Bài tập tương tự 2: Cho phương trình chuyển động chất điểm s  f (t)  t  6t  9t , với đơn vị đo t giây, s mét Khi chất điểm đứng yên biết biểu thức phương trình v(t) điểm t biết v(t)  f '(t) ? Hướng dẫn giải Theo đề ta có: v(t)  f '(t)  3t  12t  t 1 � t 3 � Chất điểm đứng yên v(t)  � 3t  12t   � � 17 Bài toán Khi cá hồi bơi với tốc độ v (km/h) ngược dòng nước, lượng sản đơn vị thời gian v3 (J) , đơn vị Jun Người ta thấy cá di cư cố gắng cực tiểu hóa lượng tổng thể để bơi cách định Nếu vận tốc dòng nước a (km/h) thời gian cần bơi khoảng cách L sản E(v)  qv3 L lượng va L q số dương Để giảm thiểu tối đa lượng va bơi quãng đường L tốc độ v cần thỏa mãn A v  a B v  3a C v  5a D v   Phân tích: Do toán cho ta sẵn hàm E(v)  qv3 7a L nên ta ứng dụng va đạo hàm tìm E (lưu ý v > a) Hướng dẫn giải E(v)  qv3 L 3v (v  a)  v3 v (2v  3a) � E '(v)  q  q , v  a va (v  a) (v  a) E '(v)  � v  3a Lập bảng biến thiên ta thấy v E '(v) E(v)  3a �  27 a �3a � 27 Dựa vào bảng biến thiên ta có: E(v)  E � � a �2 �  Bình luận: Trong thực tế, khảo sát việc bơi ngược dòng cá này, ta thấy tốc độ chúng gấp gấn 1,5 lần tốc độ dòng nước Bài tập tương tự 1: Lưu lượng xe ô tô vào đường hầm cho công thức f (v)  290, 4v (xe/giây), v(km / h) vận tốc trung bình 0,36v  13, 2v  264 18 xe vào đường hầm Tính vận tốc trung bình xe vào đường hầm cho lưu lượng xe lớn nhất? Hướng dẫn giải f (v)  290, 4v 0,36v  264 � f '(v)  290, ,v  0,36v  13, 2v  264 (0,36v  13, 2v  264) f '(v)  � v  264 10 66  �27, 08(km / h) 0, Lập bảng biến thiên ta có: v 10 66 f '(v) + f(v) max �  Bài tập tương tự 2: Một hải đăng đặt vị trí A cách bờ biển khoảng AB 1km kho hàng đặt vị trí C cách B khoảng 1km Người canh giữ hải đăng chèo thuyền từ vị trí A đến vị trí M bờ biển nằm B C với vận tốc km/h, sau đến vị trí C với vận tốc km/h M cần cách B khoảng ngắn để thời gian người đến kho hàng nhanh nhất? Hướng dẫn giải Đặt x  BM(km) Điều kiện: �x �2 Suy quãng đường AM   x quãng đường MC   x Thời gian người canh hải đăng chèo đò từ A đến M t AM  Thời gian người canh hải đăng từ M đến C t MC  2x Thời gian người canh hải đăng từ A đến C t  t AM  t MC  19 1 x2 1 x2  x  Xét hàm số f (x)  1 x2  x đoạn  0; 2  f (x)  ? Bài tốn trở thành tìm xmin � 0;2 Ta có f '(x)  Ta có f    1 x2  , f '(x)  �  x  � x  � 0;  3 11 �4 � 31 �0, 73;f � � �0, 68, f (2)  �0, 75 15 �3 � 45 Vậy yêu cầu toán � x  BM  km PHẦN BA: KẾT LUẬN Kết đạt 20 Sau thời gian giảng dạy thấy thu kết khả quan: Đa số học sinh tiếp thu kiến thức Nhiều kĩ giải tốn, trình bày tốn, cách tiến hành số dạng tập tập vận dụng nâng cao học sinh thực thành thạo Nhiều kĩ giải toán, trình bày tốn, cách tiến hành số dạng vận dụng nâng cao học sinh thực thành thạo Nhiều kĩ giải tốn, trình bày tốn, cách tiến hành số dạng vận dụng nâng cao học sinh thực thành Tinh thần học tập em học sinh nghiên cứu phần tăng lên đáng kể, em hứng thú việc tìm tòi, khám phá lời giải, đồng thời tạo động lực để thúc đẩy việc nghiên cứu tiếp thu phần kiến thức khác Kết học phần nâng lên rõ rệt Trong thi kiểm tra định kỳ, thi học kỳ, thi THPT có nhiều em đạt điểm 10 mơn Tốn, có nhiều em đạt kết điểm thi THPT với điểm số cao Trên sở chuyên đề với đồng ý Ban giám hiệu nhà trường, tổ chuyên môn ,tôi tiến hành thực nội dung chuyên đề nêu trên ba năm liên tục, lớp 12A1, 12A5 (năm học 2015 - 2016), lớp 12A1, 12A2, (năm học 2016 - 2017) lớp 12A1,12A8 năm học 2017 - 2018), (Tổng số học sinh bình quân 90), kết thu kì thi thử THPT Quốc Gia trường với bảng số liệu sau: Số em tham Đạt điểm Đạt từ 5,0 Đạt từ 6,5 Đạt từ 7,5 Đạt gia làm thi 5,0 đến 6,5 đến 7,5 đến 8,5 8,5 Thi lần 10 20 20 22 18 Thi lần 20 23 20 20 Thi lần 20 25 22 28 Bài học kinh nghiệm: Nắm vững chun mơn nghiệp vụ, có kiến thức sâu rộng, khả bao quát kiến thức, có tinh thần trách nhiệm công việc 21 Trong công tác giảng dạy cần đổi phương pháp dạy học, tìm phương pháp phù hợp cho nội dung học Trước lên lớp cần có nghiên cứu kĩ nội dung chương trình, đặc biệt tình hình học sinh để đưa học sát với khả học sinh, chọn lọc hệ thống tập phù hợp, có hướng dẫn hợp lý, dễ hiểu để học sinh vận dụng tốt Mặc dù cố gắng hoàn thiện viết cách cẩn thận nhất, song khơng tránh khỏi sai sót, mong cấp chun mơn đóng góp ý kiến bổ sung để chun đề ngày hồn thiện hữu ích Cũng mong góp ý quý đồng nghiệp để chúng tơi có dịp trau dồi tích lũy kiến thức nhằm hồn thành tốt nhiệm vụ giáo dục giao XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 25 tháng năm 2018 Tơi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Lê Đức Trung 22 ... chọn đề tài “ Hướng dẫn học sinh giải số toán thực tiễn phương pháp sử dụng đạo hàm hàm biến Tơi mong qua đề tài góp phần làm tăng thêm khả tư khoa học, khả thực hành, kỹ giải toán toán liên quan... NHIỆM VỤ CỦA NGHIÊN CỨU Trình bày đề tài thơng qua hệ thống tập Hướng dẫn học sinh giải tốn số tình cụ thể Bồi dưỡng cho học sinh kỹ giải toán khả sáng tạo tư IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Phương pháp. .. ứng dụng đạo hàm việc giải toán mà họ đặt ra? Hai là, tốn thực tế mà mơ hình thực tiễn chưa chuyển mơ hình tốn học Như biết, để ứng dụng đạo hàm hàm số trước tiên ta phải “thiết lập hàm số Như