SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT NHƯ XUÂN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 11 GIẢI QUYẾT HIỆU QUẢ BÀI TỐN TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN Người thực hiện: Phạm Thị Hiền Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc mơn: Tốn THANH HĨA NĂM 2018 MỤC LỤC MỞ ĐẦU Trang 01 1.1 Lí chọn đề tài Trang 01 1.2 Mục đích nghiên cứu …………………………….…… Trang 01 1.3 Đối tượng nghiên cứu …………………………….…… Trang 02 1.4 Phương pháp nghiên cứu ………………………….…… Trang 02 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Trang 02 2.1 Cơ sở lí luận Sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các sáng kiến giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Phương pháp tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 2.3.2 Phương pháp tính khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song 2.3.3 Phương pháp tính khoảng cách hai mặt phẳng song song 2.3.4 Phương pháp tính khoảng cách hai đường thẳng chéo 2.3.5 Bài tập củng cố, rèn luyện 2.4 Hiệu Sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Trang 02 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Trang 19 3.1 Kết luận ….…………………………………………… Trang 19 3.2 Kiến nghị ……………………………………………… Trang 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO ………………………………… Trang 21 Trang 03 Trang 04 Trang 04 Trang 10 Trang 11 Trang 12 Trang 16 Trang 18 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài: Khoảng cách kiến thức quan trọng hình học khơng gian, tốn khoảng cách thường xuyên xuất kì thi quốc gia, kì thi học sinh giỏi Nhưng trình dạy học vừa qua tơi nhận thấy học sinh chưa hứng thú, e ngại tốn tính khoảng cách, kết học tập chưa cao Bởi dạng toán tổng hợp nhiều loại kiến thức, tính trừu tượng cao, đòi hỏi nhiều kỹ Do để học tốt nội dung này, người học khơng phải nắm vững kiến thức, có tư trừu tượng, biết vẽ hình khai thác hình vẽ mà bên cạnh phải nắm vững phương pháp giải tốn rèn luyện để hình thành kỹ Mặt khác trương trình Sách giáo khoa Hình Học 11 hành, tốn khoảng cách trình bày cuối học kì II (Chương 3), phân phối chương trình có tiết nên giáo viên cần phải nghiên cứu để đưa phương pháp giảng dạy hiệu giúp cho học sinh nắm vững lý thuyết phương pháp giải tốn tính khoảng cách Trong giáo viên phải trọng giúp học sinh nắm vững dạng tốn phương pháp giải chúng, từ gây hứng thú cho học sinh, giúp học sinh học tập tự tin hơn, khơng e ngại bước khuyến khích học sinh học tập, rèn luyện hình thành kỹ năng, phát triển tư Bên cạnh đó, tơi nhận thấy chưa có nhiều đề tài, tài liệu tham khảo viết vấn đề sát với điều kiện thực tế đối tượng học sinh trường THPT Như Xuân, nhiều học sinh chưa biết tự sàng lọc tài liệu để học Ngoài ra, học sinh giải tốt tốn tính khoảng cách Hình Học 11 giúp em giải tốt tốn tính thể tích mơn Hình Học 12; hai dạng tốn quan trọng thường gặp chương trình tốn THPT Đặc biệt năm gần giáo dục sử dụng đề mơn tốn hình thức trắc nghiệm khách quan kì thi THPT quốc gia hai dạng tốn xuất nhiều đòi hỏi học sinh phải tư linh hoạt hơn, có kỹ để tính nhanh xác kết quả, điều khiến em lại thấy khó khăn, chí nhiều em có ý định bỏ qua dạng tốn Vì q trình dạy học tơi ln trăn trở ln nghiên cứu, tìm tòi đưa hệ thống dạng tập phương pháp giải tốt Từ năm học 2017-2018, chọn đề tài Sáng kiến kinh nghiệm "Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải hiệu tốn tính khoảng cách khơng gian" để giúp em có hướng làm tập hiệu thời gian ngắn 1.2 Mục đích nghiên cứu: Tơi nghiên cứu đề tài nhằm tìm phương pháp giảng dạy phù hợp với điều kiện thực tế đối tượng học sinh nhà trường, giúp học sinh lớp 11 giải tốt toán tính khoảng cách mơn hình học, từ học sinh tháo gỡ vướng mắc, khó khăn học, khơng e ngại mơn học này, có hứng thú học nâng cao chất lượng học tập môn học; giúp người dạy có thêm kinh nghiệm giảng dạy mơn này, từ nâng cao chất lượng giảng dạy mơn hình học khơng gian nói chung tốn tính khoảng cách mơn Hình Học 11 nói riêng, làm tiền đề để học sinh giải tốt tốn tính thể tích Hình Học 12 Đồng thời thân mong muốn Sáng kiến kinh nghiệm tài liệu tham khảo hữu ích cho người học người dạy, góp phần vào phong trào đổi phương pháp dạy học giai đoạn 1.3 Đối tượng nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu đề tài phương pháp giải toán tính khoảng cách giảng dạy nội dung chương III – Quan hệ vng góc, sách giáo khoa Hình Học 11, chương trình chuẩn [1] 1.4 Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp nghiên cứu chủ yếu Sáng kiến kinh nghiệm là: Phương pháp xây dựng sở lý thuyết phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin 1.5 Những điểm Sáng kiến kinh nghiệm: Sáng kiến kinh nghiệm phát triển từ đề tài thân năm học trước, bổ sung điểm sau: - Xây dựng lại hệ thống tập theo hình thức câu trắc nghiệm khách quan để phù hợp với xu thi THPT quốc gia - Điều chỉnh, bổ sung nội dung mục Lí chọn đề tài; điều chỉnh số mục hình thức trình bày - Bổ sung điều chỉnh lại số hướng dẫn giải tốn ví dụ để hướng dẫn dễ hiểu, sát với đối tượng học sinh NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận Sáng kiến kinh nghiệm: Sáng kiến kinh nghiệm áp dụng để giúp học sinh giải tốt tốn tính khoảng cách Chương III – Quan hệ vng góc, Hình Học 11, chương trình chuẩn, bao gồm: Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng; khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song; khoảng cách hai mặt phẳng song song; khoảng cách hai đường thẳng chéo Các kiến thức sử dụng sáng kiến thuộc phạm vi chương trình sách giáo khoa Hình Học 11 THPT, chương trình chuẩn ([1]) chủ yếu Chương III – Quan hệ vng góc, đảm bảo chuẩn kiến thức kỹ theo chương trình hành Ngồi ra, Sáng kiến sử dụng số kiến thức mà người dạy hướng dẫn học sinh dễ dàng suy từ kiến thức học, cụ thể sau: Tính chất Nếu hai điểm phân biệt M, A nằm đường thẳng song song với mặt phẳng (P) ta có: d ( M ,( P))  d ( A,( P)) Chứng minh: Gọi H, K hình chiếu vng góc M, A lên (P) MHKA hình chữ nhật nên MH  AK hay d ( M ,( P))  d ( A,( P)) M A H K P Tính chất Nếu hai điểm phân biệt M, A không thuộc (P) đường thẳng MA cắt (P) điểm I ta có: d ( M ,( P)) IM  d ( A,( P )) IA Chứng minh: Gọi H, K hình chiếu vng góc M, A lên (P) MH // AK I, H, K thẳng hàng nên theo định lí Ta-lét ta có d ( M ,( P)) IM MH IM   hay d ( A,( P )) IA AK IA A M I H K P Như vậy, với hai tính chất chứng minh cách đơn giản với kiến thức học sinh học chương trình tốn THPT, khẳng định học sinh hồn tồn có đủ kiến thức, khả để tiếp thu nội dung Sáng kiến hoàn toàn phù hợp với chuẩn kiến thức chương trình hành 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm: Trước áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm giảng dạy mơn Hình Học 11, tơi nhận thấy đa số học sinh e ngại, không hứng thú giải tốn tính khoảng cách khơng gian Khi giải tốn học sinh chưa định hướng phương pháp giải rõ ràng, mơ hồ, mò mẫm; chưa biết đặt câu hỏi định hướng như: Bài toán thuộc dạng nào? Phương pháp giải dạng nào? Thực theo bước nào, bước trước, bước sau? Khai thác giả thiết sao? Cần vận dụng kiến thức liên quan nào? Vẽ hình nào, có cần vẽ thêm hình phụ khơng? Trình bày lời giải nào? Lời giải trình bày có sai sót khơng?… Chính điều làm cho học sinh lúng túng giải toán không hứng thú học dẫn đến kết học tập chưa cao, đa số học sinh thường không giải tốn dù khơng khó gặp sai lầm, lời giải sai sót Từ kéo theo việc học sinh học yếu mơn Hình Học lớp 12 nói chung việc giải tốn tính thể tích đa diện nói riêng Bên cạnh đó, giảng dạy tốn tính khoảng cách người dạy khơng có nghiên cứu kỹ lưỡng khiến học sinh khó tiếp thu, kết giảng dạy không cao 2.3 Các sáng kiến giải pháp sử dụng để giải vấn đề: Để giải thực trạng trên, giảng dạy học sinh giải tốn tính khoảng cách nội dung Chương III, Hình Học 11, tơi nghiên cứu đưa dạng toán phương pháp giải, xếp cách hợp lý, sau hướng dẫn học sinh cách tỉ mỉ, có ví dụ cụ thể để học sinh nắm Đồng thời hình thành rèn luyện kỹ giải tốn thơng qua hệ thống tập luyện tập tập tự luyện lựa chọn cẩn thận Sau dạng toán bản, phương pháp giải, hệ thống ví dụ, tập mà tơi áp dụng để giúp học sinh giải tốt tốn tính khoảng cách chương trình Hình Học 11 Trước hết, tơi phân chia thành bốn dạng tốn tính khoảng cách xếp theo thứ tự, là: Dạng 1: Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Dạng 2: Tính khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Dạng 3: Tính khoảng cách hai mặt phẳng song song Dạng 4: Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo Sau đó, tơi hướng dẫn học sinh nắm vững phương pháp giải hình thành, rèn luyện kỹ giải dạng tốn Để đưa dạng tốn phương pháp giải tự nghiên cứu, đúc rút kinh nghiệm, kết hợp với tham khảo [2], [3] Cụ thể sau: 2.3.1 Phương pháp tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Xét tốn: Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) Trước hết, giáo viên phân tích để học sinh thấy đa số tốn tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng có giả thiết liên quan đến hình chóp quy tốn liên quan đến hình chóp Vì ta xét tốn trường hợp sau: Trường hợp 1: Điểm M trùng với chân đường cao hình chóp (P) mặt bên hình chóp Giáo viên giới thiệu trường hợp cụ thể, xem Bài toán gốc 1: Xét hình chóp S.ABC, có SA vng góc với đáy (ABC) Tính khoảng cách từ A đến (SBC) Phương pháp: (Xác định trực tiếp đường thẳng qua A vng góc với mặt phẳng (SBC)) Thực theo bước sau: S - Bước 1: Kẻ đường thẳng AK vng góc với BC K (Giáo viên nhấn mạnh BC giao tuyến mặt đáy (ABC) mặt (SBC)) H - Bước 2: Kẻ đường thẳng AH vng góc với SK H A C - Bước 3: Chứng minh AH  ( SBC ) K Thật vậy, ta có AH  BC (do BC  (SAK ) ) AH  SK nên AH  ( SBC ) B - Bước 4: Tính AH Lưu ý: Nếu toán chưa cho sẵn chân đường cao, giáo viên cần hướng dẫn học sinh tìm chân đường cao Khi giáo viên cần củng cố hướng dẫn học sinh vận dụng tính chất sau: 1) Nếu hai mặt phẳng vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng vng góc với giao tuyến vng góc với mặt phẳng [1] 2) Nếu hai mặt phẳng cắt vng góc với mặt phẳng giao tuyến chúng vng góc với mặt phẳng [1] 3) Nếu hình chóp có cạnh bên chân đường cao hình chóp trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy (ABCD) Gọi M trung điểm cạnh AB Tính theo a khoảng cách sau: a) d ( M ,( SBC )) b) d ( M ,( SCD)) Hướng dẫn: Chứng minh M chân đường cao Từ tính d ( M ,( SBC )) , d ( M ,( SCD)) theo bước Bài toán gốc Lời giải: S a) Ta có SM  AB (do tam giác SAB đều) Mà ( SAB)  ( ABCD ) , ( SAB) �( ABCD)  AB nên SM  ( ABCD ) Suy M chân đường cao hình chóp S.ABCD Ta thấy ( SBC ) �( ABCD )  BC nên: H2 - Kẻ MK1 vng góc với BC K1 A D H1 Suy K1 trùng với B (do AB  BC ) - Kẻ MH1 vng góc với SB H1 K2 M Khi MH1  SB MH1  BC (do BC  ( SAB ) nên MH1  ( SBC ) Suy d (M ,( SBC ))  MH1 B C 1 4 16 a     2  2 � d ( M ,( SBC ))  MH  MH1 MB MS a 3a 3a b) Ta thấy ( SCD) �( ABCD)  CD nên: - Kẻ MK2 vng góc với CD K2 Suy K2 trung điểm CD (do MK / / BC ) - Kẻ MH2 vng góc với SK2 H2 Suy d ( M ,( SCD))  MH 1 1 a 21     � d ( M ,( SCD ))  MH  2  MH MK MS a 3a 3a Trường hợp 2: Điểm M khơng trùng với chân đường cao hình chóp, (P) mặt bên hình chóp khơng chứa chân đường cao Phương pháp: (Tính gián tiếp thông qua phương pháp đổi điểm) Giả sử A chân đường cao hình chóp Giáo viên hướng dẫn học sinh đưa trường hợp trường hợp phương pháp đổi điểm M A M A sau: - Xét vị trí tương đối đường thẳng MA H P K mặt phẳng (P) - Nếu MA // (P), theo Tính chất (trang 2) ta có: d (M ,( P))  d ( A,( P)) (Gọi phương pháp đổi điểm song song) - Nếu MA cắt (P) I, theo Tính chất (trang 3) ta có: A d ( M ,( P)) IM  d ( A,( P )) IA hay d ( M ,( P ))  M IM d ( A,( P)) IA (Gọi phương pháp đổi điểm cắt nhau) I H K P Nhận xét: Phương pháp đổi điểm giúp ta chuyển tốn tính d ( M ,( P)) tốn tính d ( A,( P)) , A điểm mà việc thực tính khoảng cách tới (P) thuận lợi so với M Thông thường A chân đường cao A thuộc mặt đáy hình chóp Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh a, AC  a , SA  ( ABCD ) , góc cạnh SB mặt đáy (ABCD) 60 Gọi G trọng tâm tam giác SAB Tính theo a khoảng cách sau: a) d ( B,( SCD)) b) d (O,( SCD)) c) d (G ,( SCD )) Hướng dẫn: A chân đường cao nên tính d ( A,( SCD)) theo bước Bài toán gốc Vì để tính d ( B,( SCD)) , d (O,( SCD)) , d (G ,( SCD )) cần tính theo d ( A,( SCD )) cách đổi điểm B, O, G A Đối với điểm G, việc xét vị trí tương đối GA với (SCD) gặp khó khăn nên cần đổi G qua điểm trung gian thuộc mặt đáy hình chóp, sau đổi A Lời giải: S a) Ta có A chân đường cao hình chóp BA // CD, CD � (SCD) nên BA // (SCD) Suy d ( B,( SCD))  d ( A,( SCD)) Do ( SCD) �( ABCD)  CD nên ta thực hiện: - Kẻ AK vng góc với CD K H Suy K trung điểm CD AK  a G - Kẻ AH vuông góc với SK H (1) Suy AH  ( SCD) nên d ( A,( SCD))  AH Ta có: 1 a   , AK  2 AH AK SA M B A D K O C Góc SB (ABCD) góc SBA (do SA  ( ABCD) ) nên góc SBA 600 Do tam giác SAB, ta có SA  AB.tan 600  a Suy ra: a 15    � d ( B,( SCD))  d ( A,( SCD ))  AH  AH 3a 3a 3a b) Ta có OA cắt (SCD) C nên d (O,( SCD)) CO   d ( A,( SCD)) CA 2 hay d (O,( SCD))  d ( A,( SCD)) = AH  a 15 a 15 � d (O,( SCD))  10 10 c) Gọi M trung điểm AB GM cắt (SCD) S nên d (G , (SCD )) SG 2   hay d (G, ( SCD))  d ( M , ( SCD)) (3) d ( M ,( SCD)) SM 3 Mặt khác, MA // (SCD) nên d ( M ,( SCD))  d ( A,( SCD)) (4) 2 2a 15 Từ (3) (4) suy d (G , ( SCD))  d ( A,( SCD ))  AH  3 15 2a 15 Vậy d (G,( SCD))  15 Ví dụ Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a, hình chiếu vng góc A’ lên mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh AB, góc đường thẳng A’C đáy 60 Tính theo a khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACC’A’) [5] Hướng dẫn: Cần gắn toán vào hình chóp hợp lý (Gợi ý: Sao cho hình chiếu vng góc A’ lên (ABC) chân đường cao (ACC’A’) mặt phẳng chứa mặt bên hình chóp này) Sau sử dụng phương pháp đổi điểm để đổi điểm B chân đường cao A’ Lời giải: Gọi M trung điểm AB A’M  (ABC) M chân đường cao hình chóp A’.ABC Suy hình chiếu A’C lên (ABC) CM nên góc A’C (ABC) góc A’CM 60 BM � (ACC’A’) = A nên A d ( B,( ACC ' A ')) AB  2 d ( M ,( ACC ' A ')) AM hay d ( B,( ACC ' A '))  2.d ( M ,( ACC ' A ')) C’ H K B’ C M * Tính d ( M ,( ACC ' A ')) : B - Kẻ MK vng góc với AC K - Kẻ MH vng góc với A’K H Suy MH  (ACC’A’) nên d ( M ,( ACC ' A '))  MH a a a 3a  ; A’M = MC.tanA’CM  tan 600  2 2 1 16 52 3a 13      � MH  2 MH A'M MK 9a 3a 9a 26 3a 13 Vậy d ( B ,( ACC ' A '))  2.d (M ,( ACC ' A '))  2MH  13 MK = AM.sin600  Trường hợp 3: Mặt phẳng (P) chứa đường cao hình chóp, điểm M thuộc mặt đáy hình chóp Khi ta xét trường hợp cụ thể, xem Bài toán gốc sau: Xét hình chóp S.ABC có SA vng góc với đáy (ABC) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB) Phương pháp: (Trực tiếp xác định đường thẳng qua C vng góc với S mặt phẳng (SAB)) Thực theo bước sau: - Bước 1: Kẻ CH vng góc với AB H (Giáo viên nhấn mạnh AB giao tuyến mặt đáy (ABC) mặt bên (SAB)) - Bước 2: Chứng minh CH  ( SAB) A C Thật vậy, ta có CH  SA (do SA  ( ABC ) ) CH  AB nên CH  ( SAB) H - Bước 3: Tính CH B Lưu ý: Nếu điểm M khơng thuộc mặt đáy hình chóp sử dụng phương pháp đổi điểm, đổi M điểm thuộc mặt đáy hình chóp Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi Biết tứ diện SABD tứ diện cạnh a Gọi G trọng tâm tam giác SAB Tính theo a: a) d ( B,( SAC )) b) d (G ,( SAC )) Hướng dẫn: Hình chóp khơng có sẵn đường cao nên cần xác định đường cao với lưu ý sử dụng giả thiết tứ diện SABD đều, thấy (SAC) chứa đường cao hình chóp Do B thuộc mặt đáy hình chóp nên sử dụng trực tiếp bước Bài tốn gốc Điểm G khơng thuộc mặt đáy hình chóp nên đổi điểm thuộc mặt đáy Lời giải: a) Gọi O tâm tam giác ABD SO  ( ABD) (do SABD tứ diện đều) Suy SO đường cao hình chóp S.ABCD Ta thấy mặt phẳng (SAC) chứa đường cao SO ( ABCD) �( SAC )  AC nên S để tính d ( B,( SAC )) ta thực hiện: - Kẻ BH vng góc với AC H H giao điểm BD AC (do ABCD hình thoi) - Khi BH  SO (do SO  ( ABCD) ) G BH  AC nên BH  ( SAC ) A - Suy ra: d ( B,( SAC ))  BH  a Vậy d ( B,( SAC ))  a I B D K O H C b) Gọi I trung điểm AB GI cắt (SAC) S nên d (G ,( SAC )) SG 2   hay d (G ,( SAC ))  d ( I ,( SAC )) (1) d ( I ,( SAC )) SI 3 Mặt khác IB cắt (SAC) A nên d ( I ,( SAC )) AI 1   hay d ( I ,( SAC ))  d ( B,( SAC )) (2) d ( B,( SAC )) AB 2 1 a a Từ (1) (2) ta có d (G,(SAC ))  d ( B,( SAC ))   3 a Vậy d (G ,( SAC ))  Lưu ý: Có thể tính d ( I ,( SAC )) trực tiếp sau: Kẻ IK vng góc với AC K Khi IK // BD nên K trung điểm AH d ( I ,( SAC ))  IK Ví dụ Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD hình chữ nhật, AB  a , AD  a Hình chiếu vng góc A1 lên (ABCD) trùng với giao điểm AC BD Góc hai mặt phẳng (ADD 1A1) (ABCD) 600 Tính theo a khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A1BD) [6] Hướng dẫn: Cần tìm cách gắn tốn với hình chóp phù hợp Giáo viên gợi ý học sinh theo bước sau: - Gọi O = AC � BD A1O  (ABCD) (A1BD) chứa A1O - Từ cần tìm hình chóp có đường cao A1O (A1BD) mặt bên - Sau tìm hình chóp phù hợp, xét xem B1 có thuộc mặt đáy hình chóp khơng? Nếu khơng sử dụng phương pháp đổi điểm chuyển B1 điểm thuộc mặt đáy hình chóp (có thể đổi điểm song song đổi điểm cắt nhau) A1 B1 Lời giải: I D1 C1 A B H H1 D O C Gọi O giao điểm AC BD A1O  (ABCD) Xét hình chóp A1.ABD có O chân đường cao mặt bên (A 1BD) chứa đường cao A1O Gọi I giao điểm A1B AB1 B1A � (A1BD) = I d ( B1 ,( A1 BD)) IB1   hay d ( B1 ,( A1 BD))  d ( A,( A1 BD)) d ( A,( A1BD )) IA *Tính d ( A,( A1BD)) : Do đó: Kẻ AH vng góc với BD H Suy AH  (A1BD) nên d ( A,( A1BD))  AH Trong tam giác ABD vng A ta có: 1 1 a      � AH  2 AH AB AD a 3a 3a a Vậy d ( B1 ,( A1 BD))  d ( A,( A1 BD))  AH  Lưu ý: Do B1C // (A1BD) nên đổi điểm song song từ B C Khi xét hình chóp A1.BCD ta có mặt bên (A1BD) chứa đường cao A1O nên kẻ CH1 vng góc với BD H1 d ( B1 ,( A1BD))  d (C ,( A1 BD))  CH Kết luận mục 2.3.1 Mục 2.3.1 trình bày phương pháp tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng cách gắn toán vào hình chóp Khi vận dụng, giáo viên cần hướng dẫn học sinh: - Biết phát gắn tốn vào hình chóp phù hợp thuộc ba trường hợp (nếu đề chưa cho sẵn) - Phát chân đường cao hình chóp Hai điều chìa khố giúp học sinh giải tốt tốn tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Từ làm tiền đề giúp học sinh giải tốt dạng tốn tính khoảng cách 2.3.2 Phương pháp tính khoảng cách đường song song Xét tốn: Tính khoảng cách đường thẳng  (P) song song với Phương pháp: - Chọn điểm M thuộc  - Suy d (,( P ))  d ( M ,( P )) - Tính d ( M ,( P)) P thẳng mặt phẳng  mặt phẳng (P), M  H Nhận xét: Như tốn tính khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song quy tốn tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Mấu chốt tốn tính d (,( P )) chọn điểm M thuộc  phù hợp Thông thường ta chọn điểm chân đường cao, điểm thuộc mặt đáy; điểm đổi thuận lợi chân đường cao, điểm thuộc mặt đáy Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD, có SA vng góc với đáy (ABCD), SA  a , đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường tròn đường kính AD  2a Gọi G, G’ trọng tâm tam giác SAB SCD a) Chứng minh AD // (SBC) tính d(AD,(SBC)) theo a [4] b) Chứng minh GG’ // (SBC) tính d(GG’,(SBC) theo a Hướng dẫn: A chân đường cao, mặt phẳng (SBC) không chứa chân đường cao nên cần quy tốn tính khoảng cách từ A đến (SBC) Đối với câu b) đường thẳng GG’ không thuộc mặt đáy (ABCD) nên cần đổi điểm thuộc mặt đáy, nên ưu tiên đổi trực tiếp điểm A 10 Lời giải: a) Ta có AD // BC nên AD // (SBC) Suy d(AD, (SBC)) = d(A,(SBC)) *Tính d(A,(SBC)): - Kẻ AK vng góc với BC K - Kẻ AH vng góc với SK H Suy AH  (SBC) nên d(A,(SBC) = AH Vì ABCD nửa lục giác nội tiếp đường tròn đường kính AD = 2a nên AB = BC = DC = AD = a góc S ABC 1200, suy góc ABK 600 Do đó, tam giác vuông ABK a ; 1 1  2  2  2 AH SA AK 6a 3a 6a a � d ( A,( SBC ))  AH  (1) a Vậy d(AD,(SBC)) = d(A,(SBC))  SAK ta có: AK  AB.sin 600  M N G A G’ H K D C B b) Gọi M, N trung điểm SB SC GG’ // MN, BC // MN nên GG’ // BC, suy GG’ // (SBC) Do đó: d(GG’,(SBC)) = d(G,(SBC)) (2) Mặt khác, GA � (SBC) = M nên d (G ,( SBC )) MG 1   hay d (G,( SBC ))  d ( A,( SBC )) (3) d ( A,( SBC )) MA 3 Vậy từ (1), (2) (3) suy ra: d (GG ',( SBC ))  d ( A,( SBC ))  a 2.3.3 Phương pháp tính khoảng cách hai mặt phẳng song song Xét tốn: Tính khoảng cách hai mặt phẳng (P) (Q), (P) (Q) song song với Phương pháp: H’ M - Chọn điểm thuộc hai P mặt phẳng, giả sử chọn M thuộc (P) - Suy d((P),(Q)) = d(M,(Q)) - Tính d(M,(Q)) N Lưu ý: Nếu chọn N thuộc (Q) H Q d((P),(Q)) = d(N,(P)) Nhận xét: Việc tính khoảng cách hai mặt phẳng song song quy khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Cũng nhận xét mục 2.3.2, cần lưu ý chọn điểm thuộc hai mặt phẳng cho hợp lý 11 Ví dụ Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AA’ = a, AB = b, AD = c Chứng minh hai mặt phẳng (A’BD), (B’CD’) song song với tính theo a, b khoảng cách chúng Hướng dẫn: Có thể tính khoảng cách (A’BD) (B’CD’) sau: - Xác định hình chóp có mặt bên hai mặt phẳng (A’BD), (B’CD’) cho chân đường cao hình chóp dễ tìm (Chẳng hạn hình chóp A’.ABD B’.CC’D’) - Chọn điểm thuộc mặt phẳng lại cho việc tính khoảng cách đổi chân đường cao hình chóp cách thuận lợi Lời giải: C’ B' A’D // B’C nên A’D // (B’CD’); ’ A’B // D’C nên A’B // (B’CD’) Suy (A’BD) // (B’CD’) D’ A’ Do đó, d((B’CD’),(A’BD)) = d(B’,(A’BD)) (1) I Mặt khác, gọi I = B’A � A’B C H B B’A � (A’BD) = I nên: d ( B ',( A ' BD)) IB '  1 d ( A,( A ' BD)) IA hay d ( B ',( A ' BD))  d ( A,( A ' BD)) (2) K D A *Tính d(A,(A’BD)): (Xét hình chóp A’.ABD có A chân đường cao (A’BD) � (ABD) = BD nên để tính d(A,(A’BD)) ta thực sau) - Kẻ AK vng góc với BD K - Kẻ AH vng góc với A’K H � AH  (A’BD) � d(A,(A’BD)) = AH Trong tam giác vng A’AK ABD ta có: 1 1 � �1    �  � 2 2 AH A' A AK A ' A �AB AD � abc 1 a 2b  b c  c a � AH   2 2  (3) a b c a 2b c a 2b  b c  c a abc Vậy từ (1), (2) (3) ta có: d (( B ' CD '),( A ' BD))  2 2 2 a b b c c a Kết luận mục 2.3.2 2.3.3 Như vậy, để học sinh giải tốt tốn tính khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, hai mặt phẳng song song, giáo viên cần rèn luyện cho học sinh thành thạo kỹ tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, kỹ chọn điểm đổi điểm 2.3.4 Phương pháp tính khoảng cách hai đường thẳng chéo Xét tốn: Tính khoảng cách hai đường thẳng chéo a b Phương pháp: Xét mối quan hệ vng góc a b (hay xét xem có tồn mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với đường thẳng kia) Từ chia thành hai trường hợp: 12 Trường hợp 1: a b vng góc với - Bước 1: Xác định mặt phẳng (P) chứa đường thẳng vng góc với đường thẳng Giả sử (P) chứa b - Bước 2: Tìm giao điểm M a (P) - Bước 3: Kẻ MN vng góc với b N Suy d(a,b) = MN - Bước 4: Tính độ dài đoạn MN a b M N P Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy (ABCD), SA = a Tính theo a khoảng cách BD SC Hướng dẫn: Chứng minh BD  (SAC) thực theo bước giải Lời giải: Ta có BD  SA, BD  AC nên BD  (SAC) Suy (SAC) mặt phẳng chứa SC vng góc với BD Gọi O = BD � (SAC), kẻ ON vng góc với SC N Suy d(BD,SC) = ON Hai tam giác SAC ONC đồng dạng nên ON OC SA.OC a  � ON   SA SC SC a Vậy d(DB,SC)  S A D N O B C Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A, mặt bên SBC tam giác cạnh a mặt phẳng (SBC) vuông góc với đáy Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng SA BC [7] Hướng dẫn: Cần xác định mặt phẳng chứa SA vng góc với BC Lời giải: Gọi M trung điểm BC BC  SM BC  AM Suy BC  (SAM) Suy (SAM) mặt phẳng chứa SA vng góc với BC mà (SAM) � BC = M nên kẻ MN vng góc với SA N d(SA,BC) = MN Ta có SM  BC mà (SBC)  (ABC) (SBC) � (ABC) = BC nên SM  (ABC) Suy tam giác SAM vuông M S N A B M a a SM = , AM = BC  2 C 1 4 16 a      � MN  Do đó: 2 MN SM AM 3a a 3a a Vậy d(SA,BC)  13 Trường hợp 2: a b khơng vng góc với (hoặc chưa xác định mối quan hệ vng góc a b) - Bước 1: Xác định mặt phẳng (P) chứa hai đường a, b song song với đường thẳng lại Giả sử xác định (P) chứa a song song với b Cách xác định (P): Tìm a điểm thuận b M lợi để kẻ qua điểm đường thẳng b’ song song với b Khi (P) mặt phẳng chứa a b’ Chú ý: Với hai đường thẳng chéo a, b (P) tồn a b’ - Bước 2: Chọn điểm M thuộc b, suy H d(a,b) = d(b,(P))= d(M,(P)) P - Bước 3: Tính d(M,(P)) Nhận xét: S 1) Mấu chốt phương pháp xác định mặt phẳng (P) cách hợp lý Thơng thường ta gắn tốn vào hình chóp cho đường thẳng thuộc mặt đáy (giả sử b thuộc mặt a đáy), đường thẳng chứa cạnh bên hình chóp (giả sử a chứa cạnh bên), A D (P) xác định mặt phẳng chứa a b (cạnh bên) song song với b, cách O b’ kẻ đường thẳng b’ qua giao điểm a C mặt đáy hình chóp cho b’// b B lấy (P) mp(a,b’) 2) Do tồn mặt phẳng (P) nên phương pháp trường hợp áp dụng cho hai đường thẳng chéo Tuy nhiên nhận hai đường thẳng chéo vng góc với nên ưu tiên sử dụng phương pháp trường hợp để lời giải đơn giản 3) Với a b chéo ln tồn (duy nhất) cặp mặt phẳng (P), (Q) M a’ b chứa a, b song song với Khi đó: d(a,b) = d(a,(Q)) = d(b,(P)) Q = d((P),(Q)) = d(M,(P)) = d(N,(Q)) Với M �(Q), N�(P) a Từ cho thấy việc nắm vững cách tính ba b’ loại khoảng cách trước giúp học sinh P giải tốt tốn tính khoảng cách hai đường thẳng chéo Ví dụ 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng (ABCD), góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABCD) 45o [8] Tính theo a: a) Khoảng cách hai đường thẳng AB SC b) Khoảng cách hai đường thẳng SB AC 14 Hướng dẫn: Với câu a) có sẵn (SCD) chứa cạnh bên SC song song với AB Với câu b), cạnh bên SB cắt đáy B nên kẻ đường thẳng d qua B, song song với AC lấy (P) mp(d,SB) S Lời giải: SA  (ABCD) nên góc SC (ABCD) góc SCA bẳng 45o, suy tam giác SAC vuông cân đỉnh A H1 nên SA = AC = a a) Vì AB // CD nên AB // (SCD) H2 Do d(AB,SC) = d(AB,(SCD)) A D = d(A,(SCD)) (Chọn điểm A A chân đường cao d O K2 hình chóp) *Tính d(A,(SCD)): (Vì A chân C B đường cao (ABCD) �(SCD) = CD nên ta thực sau) - Kẻ AK1 vng góc với CD K1, suy K1 trùng với D - Kẻ AH1 vng góc với SD H1 Suy AH1  (SCD) nên d(A,(SCD)) = AH1 1 1 a  2   � AH1  2  AH1 SA AD 2a a 2a a Vậy d(AB,SC) = AH1 = Ta có: b) Kẻ qua B đường thẳng d song song với AC gọi (P) mặt phẳng (d,SB) (P) chứa SB song song với AC Suy d(SB,AC) = d(AC,(P)) = d(A,(P)) *Tính d(A,(P)): (Vì A chân đường cao (ABCD) �(P) = d nên ta thực sau) - Kẻ AK2 vng góc với d K2 - Kẻ AH2 vng góc với SK2 H2, ta có AK2 // BD Suy AH2  (P) d(A,(P)) = AH2 Gọi O = AC �BD AOBK2 hình vng nên AK2 = OB = a 1 1 a 10  2   � AH  2  AH SA AK 2a 2a 2a a 10 Vậy d(SB,AC) = AH2 = Ví dụ 11 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông B, AA’ = AC = 2a, BC = a Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng AB A’C Hướng dẫn: Xác định mặt phẳng (P) chứa A’C song song với AB cách qua C kẻ đường thẳng d song song với AB 15 Lời giải: Qua C kẻ đường thẳng d song song với AB, gọi (P) mặt phẳng (d,A’C) (P) chứa A’C song song với AB Suy d(AB,A’C) = d(AB,(P)) = d(A,(P)) A’ *Tính d(A,(P)): - Kẻ AK vng góc với d K Suy AK // BC (vì BC  AB nên BC vng góc với d) ABCK hình chữ nhật - Kẻ AH vng góc với A’K H Suy AH  (P) nên d(A,(P)) = AH B’ C’ H 1 1    2  2 2 AH A' A AK 4a a 4a 2a � AH  2a Vậy d(AB,A’C) = A K B d C Nhận xét: Mặt phẳng (P) cách giải mặt phẳng (A’B’C) có sẵn Tuy nhiên cách giải kẻ đường thẳng d để xác định (P) d phải xuất để xác định điểm K, H (d giao tuyến (A’B’C) (ABC)) Nếu không muốn kẻ thêm đường phụ d (sử dụng ln mặt phẳng (A’B’C)) ta làm sau: Sử dụng phương pháp đổi điểm cắt nhau, đổi điểm A điểm C’ xét hình chóp C.A’B’C’ (có C’ chân đường cao) để tính khoảng cách từ C’ đến (A’B’C)) Kết luận mục 2.3.4 Qua mục 2.3.4 ta thấy nói chung việc tính khoảng cách hai đường thẳng chéo quy việc tính khoảng cách từ điểm mặt phẳng Vì vậy, giáo viên cần ý rèn luyện cho học sinh thành thạo kỹ tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng trước hướng dẫn học sinh tính khoảng cách hai đường thẳng chéo Làm dạng tốn khơng trở ngại lớn học sinh, giúp em hứng thú, tự tin giải dạng toán Ngược lại, việc tính khoảng cách hai đường thẳng chéo giúp học sinh củng cố kỹ tính dạng khoảng cách lại 2.3.5 Bài tập củng cố, rèn luyện Sau trang bị cho học sinh phương pháp hình thành kỹ giải tốn tính khoảng cách thơng qua ví dụ cụ thể, giáo viên cần đưa thêm tập để học sinh củng cố, rèn luyện Sau số tập Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Khi khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) A a 21 B a 21 14 C a 21 D a 21 21 16 Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy SA = 2a Nếu điểm M thuộc đoạn AD khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC) a 2a a C D 5 B�� C có đáy tam giác cạnh a Hình Câu 3: Cho hình lăng trụ ABC.A� A a B chiếu A' lên (ABC) trùng với trung điểm H AC Biết A'H= 3a Khi khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (ABB'A') A 6a B 5a C 3a D 4a Câu 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B SA vng góc với đáy Biết SA = a AB = b Khi khoảng cách từ trung điểm M AC với mặt phẳng (SBC) A ab a  b2 B 2ab a  b2 C 3ab a  b2 D ab a  b2 Câu 5: Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi M trung điểm đoạn BC Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (ABD) a Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA  (ABCD), A a B a C a D SA = a Gọi G trọng tâm tam giác ABD Khi khoảng cách từ G đến mặt phẳng (SBC) A a B a C a D a Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O cạnh a SA = SB = SC = SD = a Gọi M trung điểm đoạn SA Khoảng cách từ M đến mặt phẳng (SBC) A a 42 14 B a C a 42 28 D a 42 Câu 8: Cho lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD hình vng tâm O cạnh a, hình chiếu vng góc A' lên mặt phẳng (ABCD) trùng với O AA'  a Khoảng cách từ điểm B' đến mặt phẳng (A'BD) A a B a C a D a Câu 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) Khoảng cách hai đường thẳng AB SC A a 21 B 2a 21 C a 21 14 D a 14 Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA = a Khi khoảng cách hai đường thẳng SC DB A a B a C a D a 17 Câu 11: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình chữ nhật Hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng (ABCD) trung điểm H đoạn thẳng AB, tam giác SAB vuông cân S Biết SH = a , CH = 3a Khi khoảng cách hai đường thẳng SD CH A 4a 66 11 B a 66 11 C a 66 22 D 2a 66 11 Câu 12: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Khoảng cách đường thẳng AD mặt phẳng (A'BC) A a B a C a D a Câu 13: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Khoảng cách hai mặt phẳng (AB'D') (BC'D) A a B a C a D a Câu 14: Cho hình thang ABCD vng A D, AD = 2a Trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng (ABCD) D lấy điểm S cho SD = a Tính theo a khoảng cách đường thẳng CD mặt phẳng (SAB) A 2a B a C 2a D a Câu 15: Cho hình chóp S.ABC có AB = BC = 2a đáy ABC tam giác vuông B Hai mặt phẳng (SAB), (SAC) vng góc với đáy (ABC) Gọi M trung điểm AB Mặt phẳng qua SM song song với BC cắt AC N Góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 60 Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng SN AB A C 2a 39 13 B B A D a 39 13 B D C Đáp án A D A a 39 26 10 B D 11 D 12 D 13 C a 13 13 14 C 15 A 2.4 Hiệu Sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Khi áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm giảng dạy, học sinh hứng thú học tập mơn hình học khơng gian nói chung tốn tính khoảng cách nói riêng, em khơng e ngại tự tin học tập Đa số học sinh nắm vững dạng tốn tính khoảng cách, phương pháp giải biết vận dụng; trước tốn có định hướng rõ ràng, khơng mò mẫm, lúng túng; tìm hướng giải, biết cách trình bày gặp sai lầm, thiếu sót, điểm số nâng cao Ngồi ra, sở học sinh nắm vững dạng tốn tính khoảng cách có kỹ giải toán giúp em nắm vững kiến thức quan hệ song song, quan hệ vng góc; em biết vận dụng để giải dạng toán khác làm tiền đề để học sinh 18 học tốt môn hình học khơng gian lớp 12, có tốn tính thể tích, từ kết học tập nâng cao Bản thân áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm giảng dạy, thấy hiệu tiết dạy nâng cao, truyền tải nội dung kiến thức có hệ thống, bản, hợp lý, đầy đủ, đảm bảo mạch kiến thức, tiến độ nội dung chương trình Bản thân cảm thấy tự tin, hứng thú giảng dạy nội dung này, cảm nhận thấy tiết dạy lôi cuốn; học sinh sôi nổi, ý, chủ động, tích cực Đối với đồng nghiệp nhà trường, Sáng kiến kinh nghiệm tài liệu tham khảo hướng thiết thực để khắc phục tượng e ngại dạy học mơn hình học khơng gian nói chung tốn tính khoảng cách nói riêng, từ nâng cao chất lượng dạy học mơn hình học khơng gian, góp phần vào phong trào đổi phương pháp giảng dạy nhà trường ngành giáo dục KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận: Qua Sáng kiến kinh nghiệm này, rút số kinh nghiệm giảng dạy mơn hình học khơng gian là: - Người dạy phải nghiên cứu để hệ thống dạng toán đưa phương pháp giải phù hợp nhất, dễ vận dụng - Hướng dẫn học sinh nắm vững kiến thức bản, dạng toán phương pháp giải - Hướng dẫn học sinh cách vẽ hình để hình vẽ trực quan nhất, cách khai thác hình vẽ - Hình thành kỹ rèn luyện kỹ giải dạng tốn thơng qua hệ thống tập chọn lựa kỹ có xếp phù hợp Giáo viên tìm phương pháp tốt để hướng dẫn học sinh cách phân tích, tư tìm lời giải, hướng dẫn học sinh lập luận trình bày chặt chẽ - Giao cho học sinh hệ thống tập rèn luyện có chọn lọc kiểm tra, chỉnh sửa việc làm tập học sinh - Thường xuyên kiểm tra ôn tập cho học sinh Bên cạnh người dạy phải có số kỹ sau: - Kỹ nêu vấn đề hướng dẫn học sinh giải vấn đề - Kỹ giúp học sinh biết quy lạ quen, biết phán đốn Sáng kiến kinh nghiệm áp dụng rộng rãi trường THPT phù hợp với tất đối tượng học sinh Đặc biệt, Sáng kiến kinh nghiệm có tác dụng thiết thực xu hướng đổi đề theo hình thức trắc nghiệm (dạng tốn tính khoảng cách, thể tích xuất nhiều) nên cần ý đòi hỏi rèn luyện cho học sinh kỹ tính nhanh xác kết Dựa Sáng kiến kinh nghiệm này, người dạy áp dụng cách làm dạng tốn khác, chương khác hay môn học khác 19 3.2 Kiến nghị: - Các tổ chuyên môn đẩy mạnh, nâng cao chất lượng việc báo cáo kết Sáng kiến kinh nghiệm thành viên tổ theo định kỳ - Nhà trường khuyến khích, tạo điều kiện nhiều để ngày nâng cao chất lượng viết Sáng kiến kinh nghiệm Sáng kiến kinh nghiệm hiệu triển khai áp dụng rộng rãi toàn trường - Sở Giáo dục Đào tạo cần giới thiệu, phổ biến, triển khai Sáng kiến kinh nghiệm có chất lượng tốt đến nhà trường để trao đổi áp dụng vào thực tế XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 20 tháng năm 2018 Tôi xin cam đoan Sáng kiến kinh nghiệm viết, khơng chép nội dung người khác Phạm Thị Hiền 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO Hình Học 11, Trần Văn Hạo - Nguyễn Mộng Hy - Khu Quốc Anh Nguyễn Hà Thanh, Phan Văn Viện, Nhà xuất Giáo dục, năm 2015 Video “Khoảng cách không gian”, Lê Anh Tuấn, Nguồn Internet (Youtube), năm 2017 Video “Khoảng cách”, Lê Đình Nam, Nguồn Internet (Youtube), năm 2017 Bài tập Hình Học 11, Nguyễn Mộng Hy – Khu Quốc Anh – Nguyễn Hà Thanh, Nhà xuất Giáo dục, năm 2007 Đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2014 Đề thi tuyển sinh Đại học khối B năm 2011 Đề thi tuyển sinh Đại học khối D năm 2014 Đề thi THPT Quốc gia năm 2015 21 ... phương pháp giải tốt Từ năm học 2017-2018, tơi chọn đề tài Sáng kiến kinh nghiệm "Hướng dẫn học sinh lớp 11 giải hiệu toán tính khoảng cách khơng gian" để giúp em có hướng làm tập hiệu thời gian ngắn... học sinh giải tốt tốn tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Từ làm tiền đề giúp học sinh giải tốt dạng tốn tính khoảng cách 2.3.2 Phương pháp tính khoảng cách đường song song Xét tốn: Tính khoảng. .. tế đối tượng học sinh nhà trường, giúp học sinh lớp 11 giải tốt tốn tính khoảng cách mơn hình học, từ học sinh tháo gỡ vướng mắc, khó khăn học, khơng e ngại mơn học này, có hứng thú học nâng cao