SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HỐ PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGA SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ BẰNG PHƯƠNG PHÁP “NHÂN BIỂU THỨC LIÊN HỢP” CHO HỌC SINH LỚP TRƯỜNG THCS NGA HẢI Người thực hiện: Lê Quang Công Chức vụ: Phó hiệu trưởng Đơn vị cơng tác: Trường THCS Nga Hải SKKN thuộc lĩnh mực (mơn): Tốn THANH HOÁ NĂM 2018 MỤC LỤC Mở đầu …………………………………………………………………….……………………………………………….… …2 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu ……………………………………… ….…… ……2 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm………………………… ………… ……4 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm……………………… …… ……4 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm ……… ……4 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề …………………………………………… …….5 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường………………………………………………… ……… ………… …………13 Kết luận, kiến nghị ………………………………………………………………… …………………… …… … 14 3.1 Kết luận ………………………………………………………………………………………… ………………………… 14 3.2 Kiến nghị …………………………………………………………………………………….………………………………14 1 Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Trong chương trình THCS tốn học mơn khoa học tự nhiên chiếm vị trí quan trọng suy nghĩ phương pháp học tập học sinh Toán học giúp cho em phát triển tư duy, óc sáng tạo, kỹ phân tích tổng hợp, tính cẩn thận, kiên trì, tính xác, lực sáng tạo, khả tìm tịi khám phá tri thức Qua em vận dụng hiểu biết vào thực tiễn vào mơn học khác Tốn học chìa khố ban đầu để em khám phá kho tàng tri thức nhân loại, từ em có vốn khoa học định để phát triển nhân cách phục vụ cho công tác xây dựng đất nước sau Với vai trò quan trọng việc giúp em thích học, hiểu sau đam mê mơn tốn để em mở rộng nâng cao kiến thức việc làm bắt buộc người dạy toán Tuy nhiên để em tự học tự tìm tịi, định hình óc cách giải theo hiểu biết thân mà không nắm thực chất vấn đề Trong chương trình Đại số lớp 9, việc tìm nghiệm phương trình phương trình vơ tỉ (phương trình có chứa ẩn số dấu căn) học sinh cịn gặp khó khăn như: chưa trình bày lời giải phương trình cách đầy đủ xác, học sinh thường vi phạm sai lầm như: chưa tìm tập xác định phương trình (điều kiện có nghĩa phương trình), thực phép biến đổi phương trình như: bình phương hai vế, lập phương hai vế chọn nghiệm kết luận khơng đối chiếu nghiệm với tập xác định để chọn nghiệm kết luận Học sinh thường bỏ qua phép biến đổi tương đương phương trình với hệ điều kiện trình bày phương trình rời rạc khơng theo quy trình Mặt khác, kỳ thi học sinh giỏi, thi vào THPT việc định dạng phương trình thường gặp chương trình, học sinh cịn lúng túng tìm hướng giải chưa có cách giải phù hợp với dạng Chỉ áp dụng máy móc bình phương liên tục (nhiều lần) phương trình làm cho việc trình bày lời giải dài dịng, thiếu hiệu Với suy nghĩ năm học qua trăn trở vấn đề Làm để học sinh tìm cách giải tốt mang lại hiệu cao? Vì tơi định chọn đề tài: Hướng dẫn giải phương trình vơ tỉ phương pháp “nhân biểu thức liên hợp” cho học sinh lớp trường THCS Nga Hải 1.2 Mục đích nghiên cứu Xây dựng cho học sinh kỹ định dạng phương trình vơ tỉ, từ em xác định hướng giải phù hợp với dạng đó, làm cho tốn tưởng chừng khó trở thành dễ dàng quen thuộc, nhằm tạo nên khơng khí học tập sơi nổi, gây hứng thú cho học sinh, làm cho em say mê u thích mơn tốn qua em tiếp nhận kiến thức cách tự nhiên Vận dụng thực yêu cầu đổi phương pháp dạy học nay: Giáo viên người tổ chức, hướng dẫn, điều khiển hoạt động học sinh học sinh đối tượng tham gia trực tiếp, chủ động, linh hoạt, sáng tạo hoạt động học tập Tạo điều kiện để em thể hiện, rèn luyện kỹ bản, em gần gũi nhau, gần gũi với giáo viên từ tạo điều kiện cho em phát huy hết khả 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài nghiên cứu kỹ xác định dạng giải phương trình vơ tỉ phương pháp “nhân biểu thức liên hợp” dạy học môn Toán 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Sử dụng phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lí thuyết: Giáo viên xây dựng cho học sinh kỹ nhận dạng, biến đổi phương trình xác định cần nhân hạng tử hai vế phương trình với biểu thức liên hợp, sau lấy ví dụ minh họa làm sáng tỏ vấn đề - Sử dụng phương pháp thực nghiệm: Bản thân tiến hành thực nghiệm tiết dạy toán - Sử dụng phương pháp thống kê, xử lí số liệu: Trong trình áp dụng vào tiết dạy lớp ôn luyện học sinh giỏi, giáo viên cho học sinh làm khảo sát để đánh giá kết học tập em Qua thống kê báo cáo số liệu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Trong trình phát triển xã hội đề yêu cầu cho nghiệp đào tạo người Chính mà dạy tốn không ngừng bổ xung đổi để đáp ứng với đời địi hỏi xã hội Vì người giáo viên nói chung phải ln tìm tịi, sáng tạo, đổi phương pháp dạy học để đáp ứng với chủ trương đổi Đảng Nhà nước đặt Trong chương trình mơn tốn lớp THCS kiến thức phương trình vơ tỉ khơng nhiều song lại quan trọng, tiền đề để học sinh tiếp tục học lên THPT Phương trình vơ tỉ phương trình đại số chứa ẩn dấu thức (ở đề cập đến phương trình mà ẩn nằm dấu bậc hai bậc ba) Phương trình vơ tỉ loại toán mà học sinh trung học sở coi loại tốn khó, nhiều học sinh khơng biết giải phương trình vơ tỉ nào? Có phương pháp nào? Khi giải tốn phương trình vơ tỉ địi hỏi học sinh nắm vững kiến thức thức, phương trình, hệ phương trình, phép biến đổi đại số,… Học sinh biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo kiến thức, kỹ đơn giản đến phức tạp Các tốn phương trình vơ tỉ đề cập nhiều đề thi học sinh giỏi cấp, thi vào lớp 10 THPT Tuy nhiên tài liệu viết vấn đề hạn chế chưa hệ thống thành phương pháp định, gây nhiều khó khăn việc học tập học sinh, công tác tự bồi dưỡng giáo viên Mặt khác, việc tìm hiểu phương pháp giải phương trình vơ tỉ cịn giáo viên nghiên cứu Vì hướng dẫn học sinh giải phương trình vơ tỉ phương pháp “nhân biểu thức liên hợp” giúp học sinh phát triển tư duy, phát huy tính tích cực chủ động, sáng tạo giải toán, đồng thời giáo dục tư tưởng, ý thức, thái độ, lịng say mê học tốn cho học sinh 2.2 Thực trạng vấn đề trước viết sáng kiến kinh nghiệm Qua nhiều năm trình giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi nhận thấy việc giải tốn phương trình vơ tỉ thường gặp nhiều, đặc biệt kỳ thi học sinh giỏi thi vào lớp 10 THPT lại phần kiến thức khó học sinh, đa số học sinh thường bỏ qua có số học sinh giỏi giành thời gian để suy nghĩ, song kết không cao Các em lúng túng gặp dạng tốn chưa có phương pháp giải, vấn đề SGK tốn THCS lại đề cập ít, khơng sâu Các tài liệu tham khảo không nhiều mà chung chung khơng có phương pháp cụ thể Trước thực trạng vấn đề tìm cách khắc phục đầu năm học 20172018 Trong kiểm tra khảo sát 35 HS lớp 9B, ghi lại kết sau: Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém Lớp Số HS SL % SL % SL % SL % SL % 9B 35 8,6 17,1 15 42,8 22,9 8,6 Từ thực trạng để góp phần nâng cao chất lượng dạy học, mạnh dạn cải tiến nội dung, phương pháp sâu vào việc: Hướng dẫn giải phương trình vơ tỉ phương pháp “nhân biểu thức liên hợp” cho học sinh lớp trường THCS Nga Hải 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề Trong viết này, muốn đưa sáng kiến làm rõ việc giải dạng phương trình vơ tỉ cách nhân tử mẫu phân thức với biểu thức liên hợp Vấn đề quan trọng phương pháp phải nhẩm nghiệm phương trình (nghiệm phương trình nằm khoảng tập xác định phương trình), từ xác định cần phải nhân với biểu thức liên hợp biến đổi phương trình dạng phương trình tích giải Ta có số công thức thường dùng (giả thiết mẫu thức khác 0) 3 a b a b với a, b �0 a b a b a b với a, b �0 a b a3b  a3b a b a  ab  b 2 ab a  ab  b Một số ví dụ sử dụng phương pháp nhân biểu thức liên hợp Bài 1: Giải phương trình x    x  x  x  11  (1) Phân tích tốn: Ta tìm số x (  �x �6 ) cho 2x + – x số phương thỏa mãn phương trình Dễ thấy x = thỏa mãn PT (1) Vì ta đưa PT (1) dạng: (x – 2).f(x) = Do ta cần làm xuất nhân tử chung (x – 2) từ vế trái phương trình phương pháp nhân liên hợp Muốn tìm hai số a, b > cho hệ phương trình sau có nghiệm x = � � 2x   a  � �a 3 �� � �b  6 x  �b  Lời giải: Điều kiện:  �x �6 Phương trình (1) � x      x  x  x  10  � ( x   3)( x   3) (2   x )(2   x )   x  x  10  2x   2 6 x � 2( x  2) x2   ( x  2)( x  5)  2x     x � � � ( x  2) �   x  � (*) � 2x     x � Do  �x �6 nên   2x   2x     x Từ PT (*) � x  (thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình (1) có nghiệm x = Nhận xét: Khi giải phương trình học sinh thường hay mắc sai lầm khơng tìm điều kiện xác định, giải thường bình phương hai vế phương trình biến đổi, làm cho phương trình trở nên phức tạp rơi vào bế tắc Đối với dạng phương trình sử dụng phương pháp nhân liên hợp Để xác định biểu thức liên hợp cần nhân, nhẩm nghiệm ta nên chọn giá trị biến thỏa mãn biểu thức bậc hai số phương bình phương số hữu tỉ Bài 2: Giải phương trình x    x  x  x   (2) Phân tích tốn: Ta tìm số x ( 3 �x �2 ) cho x + – x số phương thỏa mãn phương trình Dễ thấy x = thỏa mãn PT (2) Vì ta đưa PT (2) dạng: (x – 1).f(x) = Do ta cần làm xuất nhân tử chung (x – 1) từ vế trái phương trình phương pháp nhân liên hợp Muốn tìm hai số a, b > cho hệ phương trình sau có nghiệm x = � � x3  a  � �a  �� � �b  2 x  �b 1 Lời giải: Điều kiện: 3 �x �2 Phương trình (2) � ( x   2)  (1   x )  ( x  x  3)  � ( x  3)   (2  x)   ( x  1)( x  3)  x   1  x � � � ( x  1) �    x � (*) � x   1  x � 1   3 x  x   1  x Do 3 �x �2 nên Từ PT (*) � x – = � x = (thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình cho có nghiệm x = Bài 3: Giải phương trình x   46  10 x   x  x  12 x  17 (3) Phân tích tốn: 23 Ta tìm số x (  �x � ) cho 8x + 46 – 10x số phương thỏa mãn phương trình Dễ thấy x = thỏa mãn PT (3) Vì ta đưa PT (3) dạng: (x – 1).f(x) = Do ta cần làm xuất nhân tử chung (x – 1) từ vế trái phương trình phương pháp nhân liên hợp Muốn tìm hai số a, b > cho hệ phương trình sau có nghiệm x = � � � 8x   a  �a 3 �� � � b  46  10 x  � b  23 Lời giải: Điều kiện:  �x � Phương trình (3) � ( x   3)  ( 46  10 x  6)   x  x  12 x  � 8(1  x) 10(1  x)   (1  x)( x  x  8) 8x   46  10 x   x  (*) � � � 10 � 8   x  x  (**) � 8x   46  10 x  Ta có: PT (*) � x = (thỏa mãn điều kiện) 23 nên Vì  �x � 8 10    �( x  2)   x  x  8x   46  10 x  Do phương trình (**) vơ nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm x = Bài 4: Giải phương trình x   x   x  x  (4) Nhận xét: Đối với tốn ta nhận thấy vế phải phương trình phân tích thành nhân tử: (2 x  3)( x  1) , nhân tử (2 x  3) lại hiệu hai biểu thức dấu vế trái phương trình Vì số phương trình vơ tỉ giải nhờ vào quan sát tinh tế, lựa chọn hợp lý biểu thức liên hợp phương trình Ta giải tốn sau: Lời giải: Điều kiện: x � ( x   x  1)( 3x   x  1)  (2 x  3)( x  1) Phương trình (4) � 3x   x  � 2x   (2 x  3)( x  1) 3x   x  1 � � � (2 x  3) �  x  1� � 3x   x  � x   (*) � � � �  x  (**) � 3x   x  Ta có: PT (*) � x  Vì x � nên (thỏa mãn điều kiện)   x  Do PT (**) vơ nghiệm 3x   x  Vậy phương trình cho có nghiệm x  Bài 5: Giải phương trình 2x   x  2x  (5) Nhận xét: Đối với toán ta nhận thấy vế phải phương trình phân tích thành nhân tử: 2( x  3) lại bội hiệu hai biểu thức dấu vế trái phương trình Vì ta giải tốn sau: Lời giải: Điều kiện: x � Phương trình (5) � ( x   x )( x   x )  2( x  3) 2x   x � x 3 � �  2( x  3) � ( x  3) � 2 � 2x   x 2x   x � � x   (*) � � � � 2  (**) 2x   x � Ta có PT (*) � x  (thỏa mãn điều kiện) Vì x � nên 1 1 � 2  Do PT (**) vô nghiệm 2x   x 2x   x Vậy phương trình cho có nghiệm x = Bài 6: Giải phương trình    1 x 1  x  x   x (6) Lời giải: Điều kiện x �1 Nhận thấy với x = khơng phải nghiệm phương trình, nên nhân vế phương trình với  x  �0 , ta có: PT (6) �   x  1   x  1   x  x    x   x  1 �x     x  2x   x   x 1 �  x  x    x  � x  � x  (thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình cho có nghiệm x = Nhận xét: Qua tốn cho thấy khơng quan sát tinh tế lựa chọn biểu thức liên hợp không hợp lý làm cho tốn trở nên phức tạp Bài 7: Giải phương trình x  3x   x  3x   3x (7) Lời giải: Nhận thấy vế trái phương trình: x  3x   x  3x   với x Suy phương trình có nghiệm x > Nhân vế phương trình với x  3x   x  3x  �0 Ta có PT (7) � x  3x  x  3x   x  3x   � x  3x   x  3x   (*) , x > Lấy (*) cộng với (7) theo vế ta có: 2 x  3x   3x  � 4(2 x  x  5)  (3 x  2) � x  16 � x  (vì x > 0) Vậyphương trình cho có nghiệm x = Nhận xét: Qua tốn cho thấy vai trị tầm quan trọng việc sử dụng biểu thức liên hợp Ta giải số tốn tương tự sau: Bài 8: Giải phương trình x  12   x  x  (8) Lời giải: Phương trình (8) � x  12  3x   x  (*) Vì x  12  x  nên từ (*) suy 3x   � x  Ta có (*) � x  12   3( x  2)  ( x   3) � � x2  x  12  x2   3( x  2)  ( x  2)( x  2) x  12   3( x  2)  x2   ( x  2)(x  2) x2   � x2 x2 � � ( x  2) � 3 � 2 x  12  x   � � x   (**) � � � x2 � x2 3  (***) 2 � x  12  x   � Ta có PT (**) � x = (thỏa mãn) Vì x  nên x   Nên suy x2 x  12  x  12   x    3 x2 x2    Do PT (***) vơ nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm x = Bài 9: Giải phương trình 4( x  1)  (2 x  10)(1  x  3) (9) Lời giải: Điều kiện: x � Phương trình (9) � 4( x  1)2 (1  x  3)  (2 x  10)(1  x  3)2 (1  x  3) � 4( x  1)2 (1  x  3)  (2 x  10)(1  x  3) � 4( x  1) � (1  x  3)  (2 x  10) � � � 10 � 4( x  1) (2 x   6)  x 1  � x  1 � �� � � (thỏa mãn điều kiện) x3 � �2x   Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = -1; x = Bài 10: Giải phương trình x  11x  21  3 x  (10) Lời giải: Phương trình (10) � ( x  3)(2 x  5)  3( x   2) � ( x  3)(2 x  5)  � ( x  3)(2 x  5)  3( x   2)( (4 x  4)  x   2 ) (4 x  4)  x   2 12( x  3) (4 x  4)  x   2 � � 12 � � ( x  3) � 2x   � (4 x  4)  x   � � � x   (*) � � 12 �� 2x    (**) 3 � (4 x  4)  x   � Ta có PT (*) � x = (thỏa mãn) - Nếu x > 2x – > t  x   nên t  2t   12 � 12  t  2t  Do PT (**) khơng có nghiệm x > - Nếu x < 2x – < t  x   nên t  2t   12 � 12  t  2t  Do PT (**) khơng có nghiệm x < Vậy phương trình cho có nghiệm x = Bài 11: Giải phương trình x   x  3x   (11) Lời giải: Điều kiện: x � Phương trình (11) � ( x   1)  x  3x   � 2( x  1)  ( x  1)( x  2)  2x 1 1 11 � � � ( x  1) �  x  � � 2x 1  � x   (*) � � � �  x   (**) � 2x 1  PT (*) � x  (thỏa mãn điều kiện) Giải PT (**): Đặt t  x  �0 t2 1    � (t  1)(t  2t  1)  PT (**) � t 1 � 2x 1  t 1 x 1 � � �� �� �� (thỏa mãn điều kiện) t  1 � 2x 1  1 � x  2 � Vậy phương trình cho có nghiệm x  1; x   Bài 12: Giải phương trình x  24  12  x  (12) Lời giải: Điều kiện: x �12 Phương trình (12) � ( x  24  3)  ( 12  x  3)  � x3 ( x  24)  3 x  24   3 x 0 12  x  � � 1 � � ( x  3) �  �3 ( x  24)  3 x  24  12  x  � � � x  (t / m) � �� �12  x  ( x  24)  x  24   (*) Thay  x  24  12  x vào (*) ta có: ( x  24)  x  24  � x  24; x  88 (thỏa mãn đk) Vậy phương trình cho có nghiệm: x  3; x  24; x  88 Bài tập vận dụng Giải phương trình sau: a) 3x   ( x  6) x   b) 2x   x  2x  c) x  x  20  3x  10 12 d)  6 3 x 2 x e) 1 x 2x  x2  x  x2 f) x   x 1  x2 1 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Khi thực giảng dạy ơn luyện phương trình vơ tỉ phương pháp “nhân biểu thức liên hợp” cho học sinh lớp trường THCS Nga Hải tơi thấy có hiệu rõ rệt Giúp em có tư duy, sáng tạo tháo gỡ, giải vướng mắc phương trình vơ tỉ mà trước em chưa tìm hướng giải Và từ chất lượng học tập mơn tốn nâng lên đáng kể Cụ thể: Kết khảo sát cuối năm học 2017 – 2018 Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém Lớp Số HS SL % SL % SL % SL % SL % 9B 35 17,1 10 28,6 14 40,0 14,3 0 Trong trình tổ chức thực thân nhận giúp đỡ, ủng hộ nhiệt tình thành viên tổ KHTN trường THCS Nga Hải buổi hội thảo chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, chuyên đề nâng cao chất lượng đại trà, tiết thể nghiệm lớp, góp ý chân thành đồng nghiệp Qua chúng tơi học hỏi lẫn nhau, trau dồi chuyên môn để tiến Việc sử dụng phương pháp “nhân biểu thức liên hợp” chun đề giải phương trình vơ tỉ góp phần nâng cao chất lượng mơn tốn nói chung tốn nói riêng, nhờ mà chất lượng giáo dục nhà trường nâng lên Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận 13 Phương trình vơ tỉ dạng tốn khơng thể thiếu chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi THCS chương trình thi vào lớp 10 THPT Nếu dừng lại chương trình SGK chưa đủ, địi hỏi giáo viên phải tích cực tự học, tự nghiên cứu, tìm tịi sáng tạo, thường xuyên bổ xung kiến thức tích lũy kinh nghiệm vấn đề Để dạy cho học sinh hiểu vận dụng tốt phương pháp giải phương trình vơ tỉ phương pháp “nhân biểu thức liên hợp” cần phân biệt nắm phương pháp giải dạng phương trình vơ tỉ, đồng thời quan sát tinh tế, biến đổi lựa chọn hợp lý biểu thức liên hợp Tuy nhiên trình nghiên cứu áp dụng vào giảng dạy mơn tốn 9, tơi rút số kinh nghiệm nêu trên, hy vọng đề tài: Hướng dẫn giải phương trình vơ tỉ phương pháp “nhân biểu thức liên hợp” cho học sinh lớp trường THCS Nga Hải, thân nhận thấy cịn nhiều thiếu sót Rất mong quan tâm góp ý đồng nghiệp cấp để tơi tiếp tục bổ xung, nghiên cứu hồn thiện hơn, góp phần nâng cao lực tư duy, sáng tạo rèn luyện kỹ giải phương trình vô tỉ cho học sinh đạt kết tốt 3.2 Kiến nghị Bản thân muốn kiến nghị với phòng giáo dục Nga Sơn tổ chức đợt hội thảo trao đổi vấn đề viết sáng kiến kinh nghiệm triển khai sáng kiến đạt giải cao cấp tỉnh để học tập Xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Nga Sơn, ngày 05 tháng năm 2018 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người thực Lê Quang Công TÀI LIỆU THAM KHẢO 14 Tạp chí Tốn tuổi thơ (Trung học sở) - Nhà xuất Giáo dục Việt Nam - Năm 2017 23 chuyên đề giải 1001 toán sơ cấp - Nguyễn Văn Vĩnh (chủ biên) - Nhà xuất Giáo dục - Năm 2005 Nguồn từ Internet DANH MỤC 15 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đà ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Lê Quang Cơng Chức vụ đơn vị cơng tác: Phó hiệu trưởng, trường THCS Nga Hải TT Tên đề tài SKKN Hướng dẫn HS giải phương trình nghiệm nguyên Một số phương pháp chứng minh đẳng thức cho học sinh lớp trường THCS Nga Thái Ứng dụng bất đẳng thức Cauchy mở rộng tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ Tổng ba lập phương ứng dụng Phương pháp dồn biến tìm GTLN, GTNN đa thức bậc hai nhiều biến Đưa dần biến vào bình phương tổng để tìm GTLN, GTNN đa thức bậc hai Nâng cao kỹ giải phương trình vơ tỉ cho học sinh lớp phương pháp đặt ẩn phụ Nâng cao hiệu dạy học số tiết Toán kỹ thuật “khăn phủ bàn” Nâng cao hiệu dạy học số tiết Toán kỹ thuật “khăn phủ bàn” 10 Nâng cao hiệu dạy học số tiết Toán kỹ thuật “khăn phủ bàn” Cấp đánh giá xếp loại Kết đánh giá xếp loại Năm học đánh giá xếp loại (Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh ) (A, B, C) Cấp huyện B 2006-2007 Cấp huyện C 2007-2008 Cấp huyện C 2008-2009 Cấp huyện B 2009-2010 Cấp huyện C 2010-2011 Cấp huyện B 2011-2012 Cấp huyện B 2012-2013 Cấp huyện A 2013-2014 Cấp huyện A 2014-2015 Cấp tỉnh C 2014-2015 16 ... phương pháp ? ?nhân biểu thức liên hợp? ?? cho học sinh lớp trường THCS Nga Hải 1.2 Mục đích nghiên cứu Xây dựng cho học sinh kỹ định dạng phương trình vơ tỉ, từ em xác định hướng giải phù hợp với dạng... pháp giải phương trình vơ tỉ phương pháp ? ?nhân biểu thức liên hợp? ?? cần phân biệt nắm phương pháp giải dạng phương trình vơ tỉ, đồng thời quan sát tinh tế, biến đổi lựa chọn hợp lý biểu thức liên. .. ? ?nhân biểu thức liên hợp? ?? cho học sinh lớp trường THCS Nga Hải 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề Trong viết này, muốn đưa sáng kiến làm rõ việc giải dạng phương trình vơ tỉ cách nhân tử