(Luận văn thạc sĩ) Về phương pháp lặp tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian banach

37 92 0
(Luận văn thạc sĩ) Về phương pháp lặp tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian banach

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

(Luận văn thạc sĩ) Về phương pháp lặp tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian banach(Luận văn thạc sĩ) Về phương pháp lặp tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian banach(Luận văn thạc sĩ) Về phương pháp lặp tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian banach(Luận văn thạc sĩ) Về phương pháp lặp tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian banach(Luận văn thạc sĩ) Về phương pháp lặp tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian banach(Luận văn thạc sĩ) Về phương pháp lặp tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian banach(Luận văn thạc sĩ) Về phương pháp lặp tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian banach(Luận văn thạc sĩ) Về phương pháp lặp tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian banach(Luận văn thạc sĩ) Về phương pháp lặp tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian banach(Luận văn thạc sĩ) Về phương pháp lặp tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian banach(Luận văn thạc sĩ) Về phương pháp lặp tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian banach(Luận văn thạc sĩ) Về phương pháp lặp tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian banach(Luận văn thạc sĩ) Về phương pháp lặp tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian banach

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - PHẠM QUANG DŨNG VỀ PHƯƠNG PHÁP LẶP TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHƠNG GIÃN TRONG KHƠNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - PHẠM QUANG DŨNG VỀ PHƯƠNG PHÁP LẶP TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN TRONG KHÔNG GIAN BANACH Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Trần Xuân Quý THÁI NGUYÊN - 2019 ▼ư❝ ❧ư❝ ▼ð ✤➛✉ ❈❤÷ì♥❣ ✶✳ ❑❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ✶✳✶ ✶✳✷ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷ ✹ ✹ ✶✳✶✳✶ ❑❤æ♥❣ ỗ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ổ ỗ t ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺ ❇➔✐ t♦→♥ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼ ✶✳✷✳✶ ⑩♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✼ ✶✳✷✳✷ ❇➔✐ t♦→♥ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✾ ❈❤÷ì♥❣ ✷✳ ❱➲ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ t➻♠ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ✶✶ ✷✳✶ ✷✳✷ ✷✳✸ ❈❤➼♥❤ q✉② t✐➺♠ ❝➟♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶ ✷✳✶✳✶ ❉→♥❣ ✤✐➺✉ ❝❤➼♥❤ q✉② t✐➺♠ ❝➟♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✶ ✷✳✶✳✷ ❉→♥❣ ✤✐➺✉ ❝❤➼♥❤ q✉② t✐➺♠ ❝➟♥ ✤➲✉ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✹ ❙ü ❤ë✐ tö ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✵ ✷✳✷✳✶ ✣à♥❤ ỵ tử ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ỵ tử ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✸ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ❦✐➸✉ ❍❛❧♣❡r♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✹ ✷✳✸✳✶ ▼ỉ t↔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✹ ✷✳✸✳✷ ❙ü ❤ë✐ tö ✷✹ ❑➳t ❧✉➟♥ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✸ ✸✹ ▼ð ✤➛✉ ❇➔✐ t♦→♥ t➻♠ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ✤➣ ✈➔ ✤❛♥❣ ❧➔ ♠ët ❝❤õ ✤➲ t❤✉ ❤ót sü q✉❛♥ t➙♠ ❝õ❛ ♥❤✐➲✉ ♥❤➔ t♦→♥ ❤å❝ tr♦♥❣ ✈➔ ♥❣♦➔✐ ữợ ởt tr ỳ ữợ ự t ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❧➔ ①➙② ❞ü♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t➻♠ ✭①➜♣ ①➾✮ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt ❤♦➦❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳ ◆❤✐➲✉ ❜➔✐ t♦→♥ ❧✐➯♥ q✉❛♥ tợ ữỡ ữủ t r ✈➔ ❣✐↔✐ q✉②➳t ❝❤♦ tø♥❣ ❧ỵ♣ →♥❤ ①↕ ❦❤→❝ ♥❤❛✉✱ ❝❤➥♥❣ ❤↕♥ ❧ỵ♣ →♥❤ ①↕ ❝♦✱ ❧ỵ♣ →♥❤ ①↕ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐➣♥✱✳ ✳ ✳ ❱ỵ✐ ❧✉➟♥ ✈➠♥ tèt ♥❣❤✐➺♣ t❤↕❝ s➽✱ tæ✐ ❧ü❛ ❝❤å♥ ♠ët ♣❤➛♥ tr♦♥❣ ❜➔✐ t♦→♥ ①➜♣ ①➾ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤♦ ❧ỵ♣ →♥❤ ①↕ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐➣♥ tr♦♥❣ ổ ữợ sỹ ữợ r ỵ tổ t ữỡ ♣❤→♣ ❧➦♣ t➻♠ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✧✳ ◆ë✐ ❞✉♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✤÷đ❝ tr➻♥❤ ❜➔② tr♦♥❣ ❤❛✐ ❝❤÷ì♥❣✱ ❝ư t❤➸ ♥❤÷ s❛✉✿ ❈❤÷ì♥❣ r ổ ỗ ỗ ❝❤➦t ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ t➻♠ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐➣♥ tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳ ❈❤÷ì♥❣ ✷✿ ❚r➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ①➜♣ ①➾ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐➣♥ tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❝ò♥❣ ỵ tử tử ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣✳ ❚r♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣ ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ t↕✐ ❚r÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❑❤♦❛ ❤å❝✱ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ ❡♠ ❧✉ỉ♥ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ sü q✉❛♥ t➙♠ ❣✐ó♣ ✤ï ✈➔ ✤ë♥❣ ✈✐➯♥ ❝õ❛ ❝→❝ t❤➛② ❝æ tr♦♥❣ ❇❛♥ ●✐→♠ ❤✐➺✉✱ ♣❤á♥❣ ✣➔♦ t↕♦✱ ❑❤♦❛ ❚♦→♥ ✕❚✐♥✳ ❱ỵ✐ ❜↔♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔②✱ ❡♠ ♠♦♥❣ ♠✉è♥ ✤÷đ❝ ❣â♣ ♠ët ♣❤➛♥ ♥❤ä ❝æ♥❣ sù❝ ❝õ❛ ♠➻♥❤ ✈➔♦ ✈✐➺❝ ❣➻♥ ❣✐ú ✈➔ ♣❤→t sỹ ỳ ỵ t♦→♥ ❤å❝ ✈è♥ ❞➽ ✤➣ r➜t ✤➭♣✳ ✣➙② ❝ô♥❣ ❧➔ ♠ët ❝ì ❤ë✐ ❝❤♦ ❡♠ ❣û✐ ❧í✐ tr✐ ➙♥ tỵ✐ t➟♣ t❤➸ ❝→❝ t❤➛② ❝ỉ ❣✐↔♥❣ ✈✐➯♥ ❝õ❛ tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❑❤♦❛ ❤å❝ ✕ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥ ♥â✐ ✷ ✸ ❝❤✉♥❣ ✈➔ ❑❤♦❛ ❚♦→♥ ✕ ❚✐♥ ♥â✐ r✐➯♥❣✱ ✤➣ tr tử tự qỵ ❜→✉ tr♦♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥ ❡♠ ✤÷đ❝ ❧➔ ❤å❝ ✈✐➯♥ ❝õ❛ tr÷í♥❣✳ ❚→❝ ❣✐↔ ①✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥ ❇❛♥ ●✐→♠ ❤✐➺✉ tr÷í♥❣ ❚❍P❚ ❚❤❛♥❤ ❚❤õ②✱ P❤ó ❚❤å ❝ò♥❣ t♦➔♥ t❤➸ ỗ t tèt ♥❤➜t ❝❤♦ t→❝ ❣✐↔ tr♦♥❣ t❤í✐ ❣✐❛♥ ✤✐ ❤å❝ ❈❛♦ ❤å❝❀ ❝↔♠ ì♥ ❝→❝ ❛♥❤ ❝❤à ❡♠ ❤å❝ ✈✐➯♥ ợ ỗ ✤➣ tr❛♦ ✤ê✐✱ ✤ë♥❣ ✈✐➯♥ ✈➔ ❦❤➼❝❤ ❧➺ t→❝ ❣✐↔ tr♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣ ✈➔ ❧➔♠ ❧✉➟♥ ✈➠♥ t↕✐ tr÷í♥❣ ✣↕✐ ❤å❝ ❑❤♦❛ ❤å❝✱ ✣↕✐ ❤å❝ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✳ ✣➦❝ ❜✐➺t ❡♠ ①✐♥ ✤÷đ❝ ❜➔② tä ❧á♥❣ ❜✐➳t ì♥ s➙✉ s tợ ữợ r ỵ ✤➣ ❧✉æ♥ q✉❛♥ t➙♠ ➙♥ ❝➛♥ ❝❤➾ ❜↔♦✱ ✤ë♥❣ ✈✐➯♥ ú ù t t õ ỵ s s➢❝ ❝❤♦ ❡♠ tr♦♥❣ s✉èt q✉→ tr➻♥❤ ❤å❝ t➟♣ ❝ô♥❣ ♥❤÷ t❤ü❝ ❤✐➺♥ ✤➲ t➔✐✳ ❈❤➦♥❣ ✤÷í♥❣ ✈ø❛ q✉❛ s➩ ỳ ợ ỵ ✤è✐ ✈ỵ✐ ❝→❝ ❛♥❤ ❝❤à ❡♠ ❤å❝ ✈✐➯♥ ❧ỵ♣ ❑✶✶ ♥â✐ ❝❤✉♥❣ ✈➔ ✈ỵ✐ ❜↔♥ t❤➙♥ ❡♠ ♥â✐ r✐➯♥❣✳ ❉➜✉ ➜♥ ➜② ❤✐➸♥ ♥❤✐➯♥ ❦❤ỉ♥❣ t❤➸ t❤✐➳✉ sü ❤é trđ✱ s➫ ❝❤✐❛ ✤➛② ②➯✉ t❤÷ì♥❣ ❝õ❛ ❝❤❛ ♠➭ ❤❛✐ ❜➯♥ ✈➔ ❝→❝ ❛♥❤ ❝❤à ❡♠ ❝♦♥ ❝❤→✉ tr♦♥❣ ❣✐❛ ✤➻♥❤✳ ❳✐♥ ❝❤➙♥ t❤➔♥❤ ❝↔♠ ì♥ t➜t ❝↔ ♥❤ú♥❣ ♥❣÷í✐ t❤➙♥ ú ù ỗ ũ tr ✤÷í♥❣ ✈ø❛ q✉❛✳ ▼ët ❧➛♥ ♥ú❛✱ ❡♠ ①✐♥ tr➙♥ trå♥❣ ❝↔♠ ì♥✦ ❚❤→✐ ◆❣✉②➯♥✱ ♥❣➔② ✷✷ t❤→♥❣ ✹ ♥➠♠ ✷✵✶✾ ❍å❝ ✈✐➯♥ P❤↕♠ ◗✉❛♥❣ ❉ơ♥❣ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ❑❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❈❤÷ì♥❣ ♥➔② tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❤➻♥❤ ❤å❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ✈➔ ❜➔✐ t♦→♥ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤✳ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣ ✤÷đ❝ tê♥❣ ❤đ♣ tø ❝→❝ t➔✐ ❧✐➺✉ ❬✶❪✱ ❬✷❪ ✈➔ ❬✹❪✳ ✶✳✶ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ✶✳✶✳✶ ❑❤æ♥❣ ỗ X ổ x0 X trữợ ỵ Sr (x0 ) ♠➦t ❝➛✉ t➙♠ x0 ❜→♥ ❦➼♥❤ r > 0✱ Sr (x0 ) := {x ∈ X : ||x − x0 || = r} ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ X ữủ ỗ (0, 2] t ý tỗ t = ( ) > s❛♦ ❝❤♦ ♥➳✉ x, y ∈ X ✈ỵ✐ ||x|| = 1, ||y|| = ✈➔ ||x − y|| ≥ ✱ t❤➻ (x + y) ≤ − δ t q ữợ ởt ổ ỗ ỵ ổ Lp[a, b] ợ < p < ổ ỗ ỵ sỷ X ổ ỗ õ ợ t ý d > 0, >0 tỡ tũ ỵ x, y ∈ X ✈ỵ✐ ||x|| ≤ d, ||y|| ≤ d, ||x y|| tỗ t > s❛♦ ❝❤♦ (x + y) ≤ − δ d d ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❱ỵ✐ ❜➜t ❦ý x, y ∈ X ✱ ①➨t z1 = xd , z2 = yd ✱ ✈➔ t➟♣ ¯ = d ✳ ❍✐➸♥ ♥❤✐➯♥ ¯ > ❍ì♥ ♥ú❛✱ ||z1 || ≤ 1, ||z2 || ≤ ✈➔ ||z1 − z2 || = ||x − y|| ≥ = ¯ d d ❚ø t ỗ t õ = d > 0, (z1 + z2 ) − δ(¯), ♥❣❤➽❛ ❧➔ (x + y) ≤ − δ , 2d d s✉② r❛ (x + y) ≤ − δ d d ❚❛ ❝â ✤✐➲✉ ♣❤↔✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳✹✳ ❈❤♦ X ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ỗ sỷ (0, 1) > 0✳ ❑❤✐ ✤â ✈ỵ✐ ❜➜t ❦ý d > 0✱ ♥➳✉ x, y ∈ X t❤ä❛ ♠➣♥ ||x|| ≤ d✱ ||y|| d ||x y|| t tỗ t↕✐ δ = δ > s❛♦ ❝❤♦ d ||αx + (1 − α)|| ≤ − 2δ d min{α, } d ổ ỗ t ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✺✳ ❑❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ X ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ỗ t ợ x, y X x = y, ||x|| = ||y|| = 1✱ t❛ ❝â ||λx + (1 − λ)y|| < ∀λ ∈ (0, 1) ỵ ổ ỗ ổ ỗ t ỵ r ởt ợ ổ ỗ t ổ ổ ỗ t ữợ ❧➔ ♠ët ✈➔✐ ✈➼ ❞ư ✈➲ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ❧➔ ỗ t ữ ỗ trữợ > t C[0, 1] ợ ||.||à ữ s x2 (t)dt ||x||à := ||x||0 + ợ ||.||0 ❝❤✉➞♥ s✉♣✳ ❑❤✐ ✤â ||x||0 ≤ ||x||µ (1 + µ)||x||0 , x ∈ C[0, 1], ✈➔ ❤❛✐ ❝❤✉➞♥ ♥➔② t÷ì♥❣ ữỡ ||.||à ||.||0 ợ (C[0, 1], ||.||0 ) ổ ỗ tr ợ t ý > 0, (C[0, 1], ||.||à ) ỗ ▼➦t ❦❤→❝ ✈ỵ✐ ❜➜t ❦ý x+y ✈➔ ∈ (0, 2] tỗ t x, y C[0, 1] ợ ||x||à = ||y||µ = 1, ||x − y|| = ✱ tò② þ ❣➛♥ 1✳ ❱➻ ✈➟② (C[0, 1], ||.||µ ) ❦❤ỉ♥❣ ỗ t à0 c0 = c0(N) ợ ||.||à ợ x = {xn} c0 ữ s ||x||à := ||x||c0 + i=1 xi i 2 tr♦♥❣ ✤â ||.||c0 ❧➔ ❝❤✉➞♥ t❤ỉ♥❣ t❤÷í♥❣✳ ◆❤÷ tr♦♥❣ ✈➼ ❞ư tr➯♥✱ (c0 , ||.||à ) ợ > ỗ t ữ ổ ỗ tr c0 ợ tổ tữớ ổ ỗ t t tr ữủ t ỗ ổ X ỵ X : (0, 2] [0, 1]) ✈➔ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❤➔♠ ♥➔② ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳✾✳ (a) ❱ỵ✐ ♠å✐ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥✱ ❤➔♠ δX ( ) ❦❤æ♥❣ ❣✐↔♠ tr➯♥ (0, 2] (b) ❍➔♠ s t ỗ ổ tử ỗ (c) r ổ ỗ X s t ỗ ổ ❣✐❛♥ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥ δX ✱ ❧➔ ❤➔♠ t➠♥❣ t❤ü❝ sü✳ ❚r♦♥❣ ♠ư❝ ♥➔② tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ✤➦❝ tr÷♥❣ ❝õ❛ ❦❤ỉ♥❣ ỗ ỵ ổ X ỗ X ( ) > ✈ỵ✐ ♠å✐ ∈ (0, 2] ✼ ❍➺ q✉↔ r ổ ỗ X t ỗ t t ỵ X ổ ỗ t X ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♣❤↔♥ ①↕✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳✶✸✳ ✶✳ ❈❤✉➞♥ ❝õ❛ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ X ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤↔ ✈✐ ●➙t❡❛✉① ♥➳✉ ✈ỵ✐ ♠é✐ y ∈ SX t❤➻ ❣✐ỵ✐ lim t0 x + ty x t tỗ t ợ x SX ỵ y, x ✳ ❑❤✐ ✤â ✭✶✳✶✮ x ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ✤↕♦ ❤➔♠ ●➙t❡❛✉① ❝õ❛ ❝❤✉➞♥✳ ✷✳ ❈❤✉➞♥ ❝õ❛ X ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤↔ ✈✐ ●➙t❡❛✉① ✤➲✉ ♥➳✉ ✈ỵ✐ ♠é✐ y ∈ SX ợ t ữủ ợ x ∈ SX ✳ ✸✳ ❈❤✉➞♥ ❝õ❛ X ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤↔ ✈✐ ❋r➨❝❤❡t ♥➳✉ ✈ỵ✐ ♠é✐ x ∈ SX ợ tỗ t ợ y ∈ SX ✳ ✹✳ ❈❤✉➞♥ ❝õ❛ X ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ rt ợ tỗ t ✤➲✉ ✈ỵ✐ ♠å✐ x, y ∈ SX ✳ ✶✳✷ ❇➔✐ t t ổ ỵ ❤✐➺✉ 2X ❧➔ t➟♣ t➜t ❝↔ ❝→❝ t➟♣ ❝♦♥ ❝õ❛ X ✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✶✳ ⑩♥❤ ①↕ J s : X → 2X ✱ s > ✭♥â✐ ❝❤✉♥❣ ❧➔ ✤❛ trà✮ ①→❝ ∗ ✤à♥❤ ❜ð✐ J s (x) = x∗ ∈ X ∗ : x∗ , x = x∗ x , x∗ = x s−1 x ∈ X, ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ →♥❤ ①↕ ✤è✐ ♥❣➝✉ tê♥❣ q✉→t ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ X ✳ ❑❤✐ s = 2✱ →♥❤ ①↕ J ữủ ỵ J ữủ ố t X ỵ ❤✐➺✉ →♥❤ ①↕ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ✤ì♥ trà ❧➔ j ✳ ✽ ❱➼ ❞ư ✶✳✷✳✷✳ ❚r♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt H ✱ →♥❤ ①↕ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ❧➔ →♥❤ ①↕ ✤ì♥ ✈à I ✳ ❚➼♥❤ ✤ì♥ trà ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ❝â ♠è✐ ❧✐➯♥ ❤➺ ✈ỵ✐ t➼♥❤ ❦❤↔ ✈✐ ❝õ❛ ❝❤✉➞♥ ❝õ❛ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ♥❤÷ tr ỵ s ỵ ✶✳✷✳✸✳ ❈❤♦ X ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ✈ỵ✐ →♥❤ ①↕ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝❤✉➞♥ t➢❝ ❑❤✐ ✤â ❝→❝ ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ s❛✉ ❧➔ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✿ (i) X ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ trì♥❀ (ii) J ❧➔ ✤ì♥ trà❀ (iii) ❈❤✉➞♥ ❝õ❛ X ❧➔ ❦❤↔ t ợ x = x Jx ỵ ✶✳✷✳✹✳ ●✐↔ sû X ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥ t❤ü❝✱ ✈➔ →♥❤ ①↕ Jp : X −→ 2X , < p < ∞✱ ❧➔ →♥❤ ①↕ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❝❤✉➞♥ t➢❝✳ ❑❤✐ ✤â ✈ỵ✐ ❜➜t ❦ý x, y ∈ X, t❛ ❝â ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ s❛✉ ∗ J : X → 2X ∗ ||x + y||p ≤ ||x||p + p y, jp (x + y) ✭✶✳✷✮ ✈ỵ✐ ♠å✐ jp(x + y) ∈ Jp(x + y) ✣➦❝ ❜✐➺t ♥➳✉ p = t❤➻ ||x + y||2 ≤ ||x||2 + y, j( x + y) ✭✶✳✸✮ ✈ỵ✐ ♠å✐ j(x + y) ∈ J(x + y) ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✺✳ ❈❤♦ C ❧➔ t➟♣ ❝♦♥ ❦❤→❝ ré♥❣ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ E ✳ (i) ⑩♥❤ ①↕ T : C → E ✤÷đ❝ L tử st tỗ t ❤➡♥❣ sè L ≥ s❛♦ ❝❤♦ Tx − Ty ≤ L x − y ∀x, y ∈ C ✭✶✳✹✮ (ii) ❚r♦♥❣ ✭✶✳✹✮✱ ♥➳✉ L ∈ [0, 1) t❤➻ T ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ →♥❤ ①↕ ❝♦❀ ♥➳✉ L = t❤➻ T ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ →♥❤ ①↕ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐➣♥✳ ▼å✐ →♥❤ ①↕ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐➣♥✱ ✈ỵ✐ t➟♣ ❝→❝ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❦❤→❝ ré♥❣ ❧➔ tü❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳✻✳ ●✐↔ sû K ❧➔ t➟♣ ❝♦♥ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥ X ✳ ❳➨t T : K → E ❧➔ →♥❤ ①↕ t❤ä❛ ♠➣♥ ❋✐①(T ) = ∅✳ ⑩♥❤ ①↕ T ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ tü❛ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐➣♥ ♥➳✉ T x − T x∗ ≤ x − x∗ t❤ä❛ ♠➣♥ ✈ỵ✐ ♠å✐ x ∈ K ✈➔ x∗ ∈ F (T )✳ ✷✶ ❈❤å♥ N, K ∈ N + ✤õ ❧ỵ♥✳ ❚ø ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✶✶✮ t❛ ❝â✱ ✈ỵ✐ i = N + K ✱ ∆xN +K = ∆f (xN +K ) = β > ❳➨t f ∗ ∈ X ∗ s❛♦ ❝❤♦ = ✈➔ f ∗ (∆xN +K ) = f ✭✷✳✶✷✮ ∆xN +K ✳ ❑❤✐ ✤â ✈ỵ✐ j = 0, 1, 2, ✱ f ∗ (∆f (xN +K−j )) ≤ f ∗ ∆f (xN +K−j ) = ∆f (xN +K−j ) = s ✭✷✳✶✸✮ ❚ø xN +K−j+1 = (1 − CN +K−j )xN +K−j + CN +K−j f (xN +K−j ) ✈➔ Ci = Ci−1 ✈ỵ✐ ♠å✐ i✱ t❛ ❝â ∆xN +K−j+1 = (1 − CN +K−j )∆xN +K−j + CN +K−j ∆f (xN +K−j ) ✭✷✳✶✹✮ ❚✐➳♣ t❤❡♦ t❛ s➩ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✿ f ∗ (∆xN +K−j ) ≥ β ✈ỵ✐ j = 0, 1, ✭✷✳✶✺✮ ❚❛ s➩ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ t tự q t trữợ ❤➳t t❛ ❝â f ∗ (∆xN +K ) = ∆xN +K = β t❤ä❛ ♠➣♥ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✶✺✮ ✈ỵ✐ j = 0✳ ❈á♥ ♥➳✉ j = 1✱ tø ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✶✹✮ ✈➔ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✶✸✮ t❛ ❝â f ∗ (∆xN +K−1 ) = ≥ f ∗ (∆xN +K ) − CN +K−1 CN +K−1 − f ∗ (∆f (xN +K−1 )) − CN +K−1 CN +K−1 β− β = β − CN +K−1 − CN +K−1 ●✐↔ sû ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✶✺✮ ✤ó♥❣ ✈ỵ✐ j = 0, 1, , t✳ ❑❤✐ ✤â →♣ ❞ö♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✶✸✮ ✈➔ ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✶✹✮ ✈➔ ❣✐↔ t❤✐➳t q✉② ♥↕♣ t❛ ❝â f ∗ (∆xN +K−t−1 ) = ≥ f ∗ (∆xN +K−t ) − CN +K−t−1 CN +K−t−1 − f ∗ (∆f (xN +K−t−1 )) − CN +K−t−1 CN +K−t−1 β− β = β − CN +K−t−1 − CN +K−t−1 ❚÷ì♥❣ tü ❝→❝❤ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ỵ tờ t tự t❤❡♦ j = 0, 1, , K − t❛ t❤✉ ✤÷đ❝ xN +K − xN ≥ f ∗ (xN +K − xN ) ≥ Kβ, ✭✷✳✶✻✮ ✷✷ ∞ ❤❛② ❞➣② {xi }∞ i=0 ❦❤æ♥❣ ❝â ❞➣② ❝♦♥ ❤ë✐ tư✱ ♠➙✉ t❤✉➝♥ ✈ỵ✐ ❣✐↔ t❤✐➳t {xn }n=0 ❝â ✤✐➸♠ tö✳ ❉♦ ✤â β = ✈➔ f (q) = q ✳ ◆❣❤➽❛ ❧➔ xn → q ✈➻ f ❧➔ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥✳ ✣➲ tr➻♥❤ ❜➔② ❝→❝ ❦➳t q✉↔ t✐➳♣ t❤❡♦✱ t❛ ❝➛♥ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ s❛✉✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✷✳✷✳ ❈❤♦ C ❧➔ t➟♣ ❝♦♥ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ t✉②➳♥ t➼♥❤ ✤à♥❤ ❝❤✉➞♥ t❤ü❝ X ✳ ⑩♥❤ ①↕ f : C → X ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♥û❛ ❝♦♠♣❛❝t ✭❞❡♠✐❝♦♠♣❛❝t✮ t↕✐ h ∈ X ♥➳✉✱ ✈ỵ✐ ❜➜t ❦ý ❞➣② ❜à ❝❤➦♥ {xn }∞ n=0 tr♦♥❣ C s❛♦ ❝❤♦ xn − f (xn ) h n tỗ t↕✐ ❞➣② ❝♦♥ {xnj }∞ j=0 ✈➔ x ∈ C s❛♦ ❝❤♦ xnj → x ❦❤✐ j → ∞ ✈➔ x − f (x) = h✳ ❍➺ q✉↔ ✷✳✷✳✸✳ ❈❤♦ X ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤ü❝✱ C ❧➔ t➟♣ ❝♦♥ ✤â♥❣ ❜à ❝❤➦♥ ❝õ❛ X ✈➔ f : C → C ❧➔ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥✳ ●✐↔ sû✱ ❤♦➦❝ (i) f ❧➔ ♥û❛ ❝♦♠♣❛❝t t↕✐ 0✱ ❤♦➦❝ (ii) (I − f ) →♥❤ ①↕ t➟♣ ❝♦♥ ✤â♥❣ ❜à ❝❤➦♥ ❝õ❛ X ✈➔♦ t➟♣ ❝♦♥ ✤â♥❣ ❝õ❛ X ✳ ❱ỵ✐ x0 ∈ C ①➨t {xn}∞n=0 ⊆ C ❧➔ ❞➣② ❝❤➜♣ ♥❤➟♥ ữủ ự ợ số tỹ {Cn}n=0 ỗ tớ tọ ♠➣♥ < a ≤ Cn ≤ b < ✈ỵ✐ ♠å✐ n ≥ 1✳ ❑❤✐ ✤â {xn }∞ n=0 ❧➔ ❞➣② ❤ë✐ tư ♠↕♥❤ tỵ✐ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ f tr♦♥❣ C ✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ (i) ❚ø xn+1 = (1 − Cn)xn + Cnf (xn) t❛ ❝â xn − f (xn ) = {xn − xn−1 } Cn ∞ ❱➻ t➟♣ C ❜à ❝❤➦♥✱ ♥➯♥ ❞➣② {xn }∞ n=0 ❜à ❝❤➦♥ ✈➔ ❞➣② {Cn }n=1 ❝ô♥❣ ❜à ❝❤➦♥ ữợ ỵ s r❛ {xn − f (xn )} ❤ë✐ tư tỵ✐ ✈➻ ✈➟② tø t➼♥❤ ♥û❛ ❝♦♠♣❛❝t ❝õ❛ →♥❤ ①↕ f t↕✐ 0✱ ❞➣② {xn }∞ n=0 ❝â ✤✐➸♠ tö tr♦♥❣ C ỵ t õ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ (ii) ◆➳✉ q ❧➔ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ f ✱ t❤➻ ❞➣② { xn − q }∞ n=0 ❦❤æ♥❣ t➠♥❣ t❤❡♦ n✳ ❉♦ ✤â✱ t❛ ❝❤➾ r tỗ t {xn } n=0 ❤ë✐ tư ♠↕♥❤ tỵ✐ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ f ✳ ❱ỵ✐ x0 ∈ C ✱ ①➨t K ❧➔ ❜❛♦ ✤â♥❣ ♠↕♥❤ ❝õ❛ t➟♣ {xn }∞ n=0 ✳ ❚❤❡♦ ỵ {(I f )(xn )} tư ♠↕♥❤ tỵ✐ ❦❤✐ n → ∞✳ ❱➻ ✈➟②✱ t❤✉ë❝ ✈➔♦ ❜❛♦ ✤â♥❣ ♠↕♥❤ ❝õ❛ t➟♣ (I − f )(K)✱ (I − f )(K) ❧➔ t➟♣ ✤â♥❣ ✭✈➻ t➟♣ K ✤â♥❣ ✈➔ ❜à ❝❤➦♥✮✱ ✈➻ ✈➟② ∈ (I f )(K) tỗ t {xnj }∞ j=0 s❛♦ ❝❤♦ xnj → µ ∈ C ợ tọ (I f )à = õ xn ỵ ❤ë✐ tö ②➳✉ ❚❛ ♥❤➢❝ ❧↕✐ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ →♥❤ ①↕ ♥û❛ ✤â♥❣✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✷✳✹✳ ⑩♥❤ ①↕ T : K → X ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♥û❛ ✤â♥❣ t↕✐ y ♥➳✉ ✈ỵ✐ ∞ ❜➜t ❦ý ❞➣② {xn }∞ n=0 ⊆ K ❤ë✐ tư ②➳✉ tỵ✐ x ∈ K ✱ ❞➣② {T (xn )}n=0 ❤ë✐ tư ♠↕♥❤ tỵ✐ y ∈ K s✉② r T x = y ỵ X ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❖♣✐❛❧ ✈➔ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ f : K → K ✱ ✈ỵ✐ K ❧➔ t➟♣ ỗ t tr X t ý x0 K ✱ ①➨t {xn}∞n=0 ⊆ K ❧➔ ❞➣② ❝❤➜♣ ♥❤➟♥ ữủ ự ợ ổ t {Cn}n=1 tọ < a ≤ Cn < ✈ỵ✐ ♠å✐ n ≥ 1✳ ❑❤✐ ✤â {xn}∞n=0 ❤ë✐ tư ②➳✉ tỵ✐ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ f ✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❱➻ X ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❖♣✐❛❧ ✈➔ f ❧➔ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥✱ ♥➯♥ (I −f ) ♥û❛ ✤â♥❣✳ ◆❣♦➔✐ r❛✱ t❤❡♦ ỵ f t q ✤â✱ t❤❡♦ ❇r♦✇❞❡r ✈➔ P❡tr②s❤②♥ ✭✶✾✻✻✮✱ ✈ỵ✐ ❜➜t ❦ý ✤✐➸♠ tö ②➳✉ ❝õ❛ {xn }∞ n=0 ⊆ K ✤➲✉ ❧➔ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ f ✳ ❚❛ s➩ ❝❤➾ r❛ {xn }∞ n=0 ⊆ K ❝â ❞✉② ♥❤➜t tử t sỷ tỗ t ✤✐➸♠ tö ②➳✉ ♣❤➙♥ ❜✐➺t ❝õ❛ {xn }∞ n=0 ✱ ❧➔ ∞ ∞ q1 ✈➔ q2 ✱ ✈➔ ❤❛✐ ❞➣② ❝♦♥ {xni }∞ i=1 ❱➔ {xnj }j=1 s❛♦ ❝❤♦ {xni }i=1 ❤ë✐ tư ②➳✉ tỵ✐ q1 ✈➔ {xnj }∞ j=1 ❤ë✐ tư ②➳✉ tỵ✐ q2 ✳ ❳➨t p ∈ ❋✐①(f ) ✈ỵ✐ ❋✐①(f ) ❧➔ t➟♣ ❝→❝ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ f ✳ ❑❤✐ ✤â t❛ ❞➵ ❞➔♥❣ ❝â xn+1 − p ≤ xn − p ✈ỵ✐ ♠é✐ n s lim xn p tỗ t↕✐ ✈ỵ✐ ♠å✐ p ∈ ❋✐①(f )✳ ❱➻ ✈➟② ✭X ❧➔ ❦❤æ♥❣ n→∞ ❣✐❛♥ ❖♣✐❛❧✮ t❛ ❝â lim xn − q1 = lim xni − q1 < lim xni − q2 = lim xn − q2 n→∞ i→∞ i→∞ n→∞ ✈➔ lim xn − q2 = lim xnj − q2 < lim xnj − q1 = lim xn − q1 , n→∞ i→∞ i→∞ n→∞ ✤✐➲✉ ♥➔② ♠➙✉ t❤✉➝♥ ✈ỵ✐ tt s r tỗ t t ởt tö ②➳✉ ∞ q ❝õ❛ ❞➣② {xn }∞ n=0 ⊆ K ✳ ❚❤❡♦ t➼♥❤ ❝♦♠♣❛❝t ②➳✉ ❝õ❛ K ✱ t❛ ❝â {xn }n=0 ❤ë✐ tư ②➳✉ tỵ✐ q ✳ ✣à♥❤ ỵ K t ỗ õ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ♣❤↔♥ ①↕ X✱ ✈➔ T : K → X ❧✐➯♥ tö❝ t❤ä❛ ♠➣♥ (i) ❋✐①(T ) = ∅❀ ✷✹ ◆➳✉ T p = p✱ t❤➻ T x − p ≤ x − p ✈ỵ✐ ♠å✐ x ∈ K (iii) ỗ t x0 K tữỡ ù♥❣ ❞➣② ❝❤➜♣ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ {xn }∞ n=0 ⊆ K ❀ (iv) T ❝❤➼♥❤ q✉② t✐➺♠ ❝➟♥ t↕✐ x0 ❀ ∞ ∞ (v) ◆➳✉ {xn }∞ j=1 ❧➔ ❞➣② ❝♦♥ ❝õ❛ {xn }n=0 s❛♦ ❝❤♦ {xn }j=1 ❤ë✐ tö ②➳✉ tỵ✐ x ∈ K ✈➔ {xn − T xn } ❤ë✐ tư ♠↕♥❤ tỵ✐ t❤➻ x − T x = 0❀ (vi) X ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❖♣✐❛❧✳ ❑❤✐ ✤â ❞➣② {xn}∞n=0 ❤ë✐ tư ②➳✉ tỵ✐ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ T tr♦♥❣ K ✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚❤❡♦ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ P❡tr②s❤②♥ ❛♥❞ ❲✐❧❧✐❛♠s♦♥ ✭✶✾✼✸✮✱ s✉② r❛ ❞➣② (ii) j j j j {xn }∞ n=0 ❝❤ù❛ ❞➣② ❝♦♥ ❤ë✐ tư ②➳✉ ✈ỵ✐ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❝õ❛ ♥â t❤✉ë❝ ❋✐①(T ) ✈➔✱ ♥❣♦➔✐ r❛✱ ✈ỵ✐ ♠å✐ ❞➣② ❝♦♥ ❤ë✐ tư ②➳✉ {xn }∞ n=0 ❝â ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ q ∈ ❋✐①(T ) ữỡ tỹ ữ tr ự ỵ ❞➣② {xn }∞ n=0 ❝â ❞✉② ♥❤➜t ✤✐➸♠ tö ②➳✉ q ∈ K ✳ ❚ø t➼♥❤ ❝♦♠♣❛❝t ②➳✉ ❝õ❛ K ✱ s✉② r❛ ❞➣② {xn }∞ n=0 ❤ë✐ tö ②➳✉ tợ q Pữỡ r r ♠ư❝ ♥➔② t❛ tr➻♥❤ ❜➔② ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ❦✐➸✉ ❍❛❧♣❡r♥ ①➜♣ ①➾ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥✳ ✷✳✸✳✶ ▼ỉ t↔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❈❤♦ X ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ tỹ K t ỗ õ X ✈➔ →♥❤ ①↕ T : K → K ❧➔ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥✳ ❈è ✤à♥❤ t ∈ (0, 1)✱ ✈➔ u K tũ ỵ sỷ zt K ❧➔ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ →♥❤ ①↕ Tt ①→❝ ✤✐♥❤ ❜ð✐ Tt x := tu + (1 − t)T x✱ x ∈ K ✳ ●✐↔ sû ❋✐①(T ) := {x ∈ K : T x = x} = ∅✳ ❱ỵ✐ {αn } ⊂ [0, 1] ✈➔ u ∈ K ✱ ①➨t ❞➣② ❧➦♣ {xn } ∈ K ①→❝ ✤à♥❤ ♥❤÷ s❛✉ x0 ∈ K ✱ ✈➔ xn+1 := α + (1 − αn )T xn , ✷✳✸✳✷ ❙ü ❤ë✐ tö ◆➠♠ ✶✾✽✸✱ ❘❡✐❝❤ ✤➦t r❛ ❝➙✉ ❤ä✐ s❛✉✳ n ≥ ✭✷✳✶✼✮ ✷✺ ❈➙✉ ❤ä✐✳ ❈❤♦ X ❧➔ ổ ỗ t ổ {n} s ợ t ý t ỗ t K ❝õ❛ X ❝â ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥✱ t❤➻ ❞➣② {xn } ①→❝ ✤à♥❤ tr♦♥❣ ✭✷✳✶✼✮ ❤ë✐ tư tỵ✐ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ T ✈ỵ✐ ❜➜t ❦ý u ∈ K ✈➔ →♥❤ ①↕ ❦❤ỉ♥❣ T : K K rữợ õ ✶✾✻✼✱ ❍❛❧♣❡r♥ ✤➣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ t➼♥❤ ❤ë✐ tö ❝õ❛ ❞➣② ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ ✭✷✳✶✼✮ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt tr♦♥❣ ❦➳t q s ỵ K t ỗ õ ổ rt H ✈➔ T : K → K ❧➔ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥✳ ❈❤♦ ❞➣② sè t❤ü❝ {αn} ⊂ [0, 1] ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ αn = n−θ , θ ∈ (0, 1)✳ ợ u K tũ ỵ t {xn} ∈ K ①→❝ ✤à♥❤ ♥❤÷ s❛✉ x1 ∈ K, xn+1 = αn u + (1 − αn )T xn , n ≥ ❑❤✐ ✤â ❞➣② {xn} ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ tỵ✐ ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ t➟♣ ❋✐①(T ) := {x ∈ K : T x = x} ❣➛♥ u ♥❤➜t✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ ❞➣② ❧➦♣ ♥❤÷ tr♦♥❣ ✭✷✳✶✼✮ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❧➦♣ ❦✐➸✉ ❍❛❧♣❡r♥✳ ◆➠♠ s t ỵ tr tr÷í♥❣ ❤đ♣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt✱ ❝❤➾ r❛ sü ❤ë✐ tư ♠↕♥❤ ❝õ❛ ❞➣② {xn } tỵ✐ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ T ♥➳✉ ❞➣② sè t❤ü❝ {αn } t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉ ✭❈✶✮ n→∞ lim αn = 0❀ ✭❈✷✮ αn = ∞❀ n=1 | = 0✳ ✭❈✸✮ n→∞ lim |α −α α ∞ n n−1 n ◆➠♠ ✶✾✽✸✱ ❘❡✐❝❤ ❣✐↔✐ q✉②➳t ❜➔✐ t♦→♥ tr➯♥ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ X ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ trì♥ ✤➲✉ ✈➔ αn = n−a ✈ỵ✐ < a < 1✳ ❚❛ t❤➜② r➡♥❣ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝õ❛ ❍❛❧♣❡r♥ ✈➔ ▲✐♦♥s ✤è✐ ✈ỵ✐ ❞➣② sè t❤ü❝ αn := (n + 1)−1 ❜à ❧♦↕✐ trø✳ ✣✐➲✉ ♥➔② ✤➣ ✤÷đ❝ ❦❤➢❝ ♣❤ư❝ ❜ð✐ ❲✐tt♠❛♥♥ ✭✶✾✾✷✮✱ ✈➝♥ ①➨t ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❍✐❧❜❡rt✱ ❞➣② {xn } ❤ë✐ tư ♠↕♥❤ ♥➳✉ {αn } t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭❈✹✮ ✭❈✶✮✱ ✭❈✷✮ ✈➔ ∞ |αn+1 − αn | < ∞ ✭✷✳✶✽✮ n=1 ◆➠♠ ✶✾✾✹✱ ❘❡✐❝❤ ✤➣ ♠ð rë♥❣ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❲✐tt♠❛♥♥ ❝❤♦ ❧ỵ♣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ trì♥ ✤➲✉ ✈➔ ❝â ❞➣② →♥❤ ①↕ ✤è✐ ♥❣➝✉ ❧✐➯♥ tö❝ ❞➣② ②➳✉ t❤❡♦ ❞➣②✱ tr♦♥❣ ✷✻ ✤â ❞➣② {αn } ♣❤↔✐ t❤ã❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝ô♥❣ t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭❈✶✮✱ ✭❈✷✮ ✈➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐↔♠ ✭tù❝ ❧➔ ✭❈✸✮ tr♦♥❣ ✭✷✳✶✽✮✮✳ ◆➠♠ ✶✾✾✼✱ ❙❤✐♦❥✐ ✈➔ ❚❛❦❛❤❛s❤✐ ✤➣ ♠ð rë♥❣ ❦➳t q✉↔ ♥➔② ❝õ❛ ❲✐tt♠❛♥♥ ❧➯♥ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ✈ỵ✐ ❝❤✉➞♥ ❦❤↔ ✈✐ ●✂t❡❛✉① tr tr ộ t ỗ õ ❝❤➦♥ ❦❤→❝ ré♥❣ ❝õ❛ K ❝â ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐➣♥✳ ❑➳t q✉↔ ✤÷đ❝ ♣❤→t ❜✐➸✉ ữ s ỵ X ổ ❇❛♥❛❝❤ ✈ỵ✐ ❝❤✉➞♥ ❦❤↔ ✈✐ ●➙t❡❛✉① ✤➲✉ ✈➔ K ❧➔ t ỗ õ X t T : K → K ❧➔ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥ s❛♦ ❝❤♦ ❋✐①(T ) = ∅✳ ❳➨t ❞➣② {αn} t❤✉ë❝ ✤♦↕♥ [0, 1] t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭❈✶✮✱ ✭❈✷✮ ✈➔ ✭❈✸✮✳ ❱ỵ✐ u ∈ K ✱ ❞➣② {xn} ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ x0 ∈ K, xn+1 = αn u + (1 − αn )T xn , n ≥ ●✐↔ sû ❞➣② {zt} ❤ë✐ tư ♠↕♥❤ tỵ✐ z ∈ ❋✐①(T ) ❦❤✐ t ⇓ 0✱ tr♦♥❣ ✤â < t < 1, zt ❧➔ ♣❤➛♥ tû ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ K t❤ä❛ ♠➣♥ zt = tu + (1 − t)T zt✳ ❑❤✐ ✤â ❞➣② {xn} ❤ë✐ tư ♠↕♥❤ tỵ✐ z ✳ ◆➠♠ ✶✾✽✵✱ ❘❡✐❝❤✱ ♥➠♠ ✶✾✽✹ ❚❛❦❛❤❛s❤✐ ✈➔ ❯❡❞❛ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷đ❝ r➡♥❣ ♥➳✉ K t❤ä❛ ♠➣♥ t❤➯♠ ♠ët sè ✤✐➲✉ ❦✐➺♥✱ t❤➻ {zt } ①→❝ ✤à♥❤ ♥❤÷ tr➯♥ ❤ë✐ tư ♠↕♥❤ tỵ✐ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ T ✳ ✣➦❝ ❜✐➺t✱ ❦❤➥♥❣ s ú ỵ sỷ X ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ✈ỵ✐ ❝❤✉➞♥ ❦❤↔ ✈✐ ●➙t❡❛✉① ✤➲✉ ✈➔ K t ỗ t X T : K → K ❧➔ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥✳ ❱ỵ✐ u ∈ K ✈➔ zt ❧➔ ♣❤➛♥ tû ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ K t❤ä❛ ♠➣♥ zt = tu + (1 − t)T zt ✈ỵ✐ < t < 1✳ ●✐↔ t❤✐➳t ♠é✐ →♥❤ ①↕ ❜➜t ❜✐➳♥ ✤è✐ ✈ỵ✐ ❝→❝ ❝→❝ t ỗ õ K ự ởt t ✤ë♥❣ ❝õ❛ T ✳ ❑❤✐ ✤â ❞➣② {zt} ❤ë✐ tö ♠❛♥❤ tỵ✐ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ T ✳ ◆➠♠ ✷✵✵✵✱ ▼♦r❛❧❡s ✈➔ ❏✉♥❣ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷đ❝ ❦➳t q✉↔ s❛✉✳ ỵ K t ỗ õ ❦❤→❝ ré♥❣ ❝õ❛ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ ♣❤↔♥ ①↕ X ✈ỵ✐ ❝❤✉➞♥ ❦❤↔ ✈✐ ●➙t❡❛✉① ✤➲✉ ✈➔ T : K → K ❧➔ →♥❤ ①↕ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐➣♥ ✈ỵ✐ ❋✐①(T ) = sỷ r t ỗ ✤â♥❣ ❦❤→❝ ré♥❣ ❝õ❛ K ❝â t➼♥❤ ❝❤➜t ✤✐➸♠ ❜➜t ố ợ ổ õ tỗ t↕✐ q✉ÿ ✤↕♦ ❧✐➯♥ tö❝ t → zt, < t < t❤ä❛ ♠➣♥ zt = tu + (1 − t)T zt✱ ✈ỵ✐ ❜➜t ❦ý u ∈ K ✱ ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ ✈➲ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ T ✳ ✷✼ ◆➠♠ ✷✵✵✷✱ ❳✉ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷đ❝ r➡♥❣ ❦➳t q✉↔ ❍❛❧♣❡r♥ ✤ó♥❣ tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ trì♥ ✤➲✉ ♥➳✉ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭❈✸✮✬ ✭❈✸✮ ❝õ❛ ▲✐♦♥s t❤❛② t❤➳ ❜➡♥❣ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ |αn − αn−1 | = n→∞ αn lim ◆➠♠ ✷✵✵✷ ❳✉ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ✤÷đ❝ ❦➳t q s ỵ X ổ trỡ K t rộ ỗ ✤â♥❣ ❝õ❛ X, T : K → K ❧➔ →♥❤ ①↕ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐➣♥ ✈ỵ✐ ❋✐①(T ) = ∅✳ ❱ỵ✐ u, x0 K trữợ {n} [0, 1] t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭❈✶✮✱ ✭❈✷✮ ✈➔ ✭❈✸✮✬✳ ❑❤✐ ✤â ❞➣② {xn} ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ x0 ∈ K, xn+1 := (1 − αn )T xn + αn u, n≥0 ❤ë✐ tư ♠↕♥❤ tỵ✐ x∗ ∈ ❋✐①(T )✳ ◆❤➟♥ ①➨t ✷✳✸✳✻✳ ✈ỵ✐ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭❛✮ ◆➠♠ ✶✾✾✷✱ ❲✐tt♠❛♥ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ữủ ỵ t ❈→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭❈✸✮✬ ✈➔ ✭❈✹✮ ❦❤ỉ♥❣ t❤➸ s♦ s→♥❤✈ỵ✐ ♥❤❛✉✳ ❈❤➥♥❣ ❤↕♥✱ ❞➣② {αn} ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ n− 21 , αn := (n− 12 − 1)−1 , ♥➳✉ n ❧➫ ♥➳✉ n ❝❤➤♥, ✭❈✸✮✬ ♥❤÷♥❣ ❦❤ỉ♥❣ t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭❈✹✮✳ ✭❜✮ ❍❛❧♣❡r♥ ❝❤➾ r❛ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭❈✶✮ ✈➔ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭❈✷✮ ❧➔ ❝➛♥ t❤✐➳t ❝❤♦ sü ❤ë✐ t❤ä❛ ♠➣♥ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ tö ❝õ❛ ❞➣② {xn } ①→❝ ✤à♥❤ tr♦♥❣ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✶✼✮✳ ▼ët sè ❦➳t q✉↔ ✤➣ ❝❤➾ r❛ ♥➳✉ ❞➣② ❧➦♣ ①→❝ ✤à♥❤ ♥❤÷ tr♦♥❣ ✭✷✳✶✼✮✱ T xn t❤❛② ❜➡♥❣ Tn xn := t❤➻ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ n n−1 T k xn , k=0 ✭❈✶✮ ✈➔ ✭❈✷✮ ❧➔ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤õ✳ ❇ê ✤➲ ✷✳✸✳✼✳∞ ❈❤♦ {an} ❧➔ ❞➣② sè t❤ü❝ ❦❤æ♥❣ ➙♠ t❤ä❛ ♠➣♥ an+1 ≤ an +σn, n ≤ s❛♦ ❝❤♦ σn < ∞✳ ❑❤✐ õ limn an tỗ t t {an} n=1 ❝â ❞➣② ❝♦♥ ❤ë✐ tö ✈➲ 0✱ t❤➻ an ❤ë✐ tö ✈➲ ❦❤✐ n → ∞✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❚ø ✤→♥❤ ❣✐→ ≤ an+1 ≤ an + σn, n ≥ 0✱ t❛ ❝â 0, ∞ n ≤ an+1 ≤ a1 + σn ≤ a1 + σn < ∞, n ≥ 0, ✷✽ ✈➻ ✈➟② ❞➣② {an } ❜à ❝❤➦♥✳ ◆❣♦➔✐ r❛✱ ❝è ✤à♥❤ m ∈ N✱ t❛ ❝â ≤ an+m ≤ an+m−1 + σn+m−1 ≤ an+m−2 + σn+m−2 + σn+m−1 : n+m−1 ≤ αn + σi i=1 ∞ ▲➜② ✧❧✐♠s✉♣✧ ❦❤✐ m → ∞✱ t❛ t❤✉ ✤÷đ❝ lim sup an ≤ an + m→∞ σi ✳ ❚✐➳♣ t❤❡♦✱ i=n ❧➜② ✧❧✐♠✐♥❢✧ ❦❤✐ n → ∞✱ t❛ ❝â lim sup an ≤ lim inf an ✳ ❱➻ ✈➟② n→∞ lim inf an = lim sup an , n n ợ tỗ t ◆➳✉ t❤➯♠ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❞➣② {an } ❝â ❞➣② ❝♦♥ ❤ë✐ tư ✈➲ 0✱ ✈➻ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❝õ❛ {an } tỗ t {an } tử n → ∞✳ ❇ê ✤➲ ✷✳✸✳✽✳ ❈❤♦ ❝→❝ ❞➣② {xn} ✈➔ {yn} ❜à ❝❤➦♥ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ X ✈➔ {βn} ⊂ [0, 1] ✈ỵ✐ < lim inf βn ≤ lim sup βn < 1✳ ●✐↔ sû n→∞ n→∞ xn+1 = βn yn + (1 − βn )xn ✈ỵ✐ ♠å✐ sè ♥❣✉②➯♥ n ≥ ✈➔ lim sup( yn+1 − yn − xn+1 − xn ) ≤ n→∞ ❑❤✐ ✤â n→∞ lim yn − xn = 0✳ ❇ê ✤➲ ✷✳✸✳✾✳ ❈❤♦ {an} ❧➔ ❞➣② ❝→❝ sè t❤ü❝ ❦❤æ♥❣ ➙♠ t❤ä❛ ♠➣♥ an+1 ≤ (1 − αn )an + αn σn + γn , n ≥ 0, tr♦♥❣ ✤â (i) {αn } ⊂ [0, 1], ∞ n=1 αn = ∞❀ (ii) lim sup σn ≤ 0; n→∞ (iii) γn ≥ 0; (n ≥ 0), ∞ n=1 γn ❑❤✐ ✤â an → ❦❤✐ n → ∞✳ < ∞✳ ✷✾ ❚✐➳♣ t❤❡♦✱ ❣✐↔ sû ❞➣② {zt } ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ tỵ✐ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ z ❝õ❛ T ❦❤✐ t → 0✱ tr♦♥❣ ✤â zt ❧➔ ♣❤➛♥ tû ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ K t❤ä❛ ♠➣♥ zt = tu + (1 − t)T zt ợ t ý u K ỵ K t ỗ õ rộ ❝õ❛ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ t❤ü❝ X ✈ỵ✐ ❝❤✉➞♥ ❦❤↔ ✈✐ ●➙t❡❛✉① ✤➲✉ ✈➔ T : K → K ❧➔ →♥❤ ①↕ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐➣♥ ✈ỵ✐ ❋✐①(T ) = ∅✳ ❱ỵ✐ δ (0, 1) trữợ t S : K K ❝❤♦ ❜ð✐ Sx := (1 − δ)x + δT x, ∀x ∈ K ●✐↔ sû {αn} ⊂ (0, 1) t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭❈✶✮ ✈➔ ✭❈✷✮✳ ❱ỵ✐ u, x0 ∈ K ✱ ①➨t ❞➣② ❧➦♣ {xn} ①→❝ ✤à♥❤ ♥❤÷ s❛✉ xn+1 = αn u + (1 − αn )Sxn , ✭✷✳✶✾✮ n ≥ ❑❤✐ ✤â ❞➣② {xn} ❤ë✐ tư ♠↕♥❤ tỵ✐ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ T ✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❱➻ →♥❤ ①↕ S ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥✱ ✈➔ ❝â ❝ò♥❣ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ✈ỵ✐ T ✳ ✣➦t βn := (1 − δ)αn + δ∀n ≥ 0; yn := xn+1 − xn + βn xn , βn n ≥ ✭✷✳✷✵✮ ❚❛ t❤➜② βn → δ ❦❤✐ n → ∞✱ ✈➔ ♥➳✉ ❞➣② {xn } ❜à ❝❤➦♥✱ t❤➻ ❞➣② {yn } ❝ô♥❣ ❜à ❝❤➦♥✳ ❳➨t x∗ ∈ ❋✐①(T ) = ❋✐①(S)✳ ❇➡♥❣ q✉② ♥↕♣ t❛ ❝â xn − x∗ ≤ max{ x0 − x∗ , u − x∗ } ✈ỵ✐ ♠å✐ sè ♥❣✉②➯♥ n ≥ 0✱ ✈➻ ✈➟② {xn }, {yn }, {T xn } ✈➔ {Sxn } ❜à ❝❤➦♥✳ ❱➔ ❝â xn+1 − Sxn = αn u − Sxn → 0, ❦❤✐ n → ∞✳ ❚ø ❝→❝❤ ✤➦t βn ✈➔ S ✱ t❛ t❤✉ ✤÷đ❝ yn = (αn u + (1 − αn )δT xn ) βn ✈➻ ✈➟② αn+1 αn − u βn+1 βn (1 − αn+1 ) + δ T xn+1 − T xn βn+1 yn+1 − yn − xn+1 − xn ≤ ✭✷✳✷✶✮ ✸✵ + − αn+1 δ T xn − xn+1 − xn , βn+1 ❞♦ ✤â✱ tø {xn } {T xn } t t ữủ ợ ♠é✐ ❤➡♥❣ sè M1 > 0, ✈➔ M2 > 0, αn+1 αn − ||u|| βn+1 βn n→∞ (1 − αn+1 ) δ − M1 + βn+1 − αn+1 − αn − + δM2 ≤ βn+1 βn lim sup(||yn+1 − yn || − ||xn+1 − xn ||) ≤ lim sup n→∞ ❱➻ ✈➟②✱ t❤❡♦ ❇ê ✤➲ ✷✳✸✳✽ t❛ ❝â ||yn − xn || → ❦❤✐ n → ∞ ❉♦ ✤â✱ lim ||xn+1 − xn || = lim βn ||yn − xn || = n→∞ n→∞ t ủ ợ t t ữủ ||xn Sxn || → ❦❤✐ n → ∞ ✭✷✳✷✷✮ ❚✐➳♣ t❤❡♦✱ t❛ ♣❤↔✐ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣ lim sup u − z, j(xn − z) ≤ n→∞ ✭✷✳✷✸✮ ❱ỵ✐ ♠é✐ sè ♥❣✉②➯♥ n ≥ 1✱ ①➨t tn ∈ (0, 1) s❛♦ ❝❤♦ tn → 0, ✈➔ ||xn − Sxn || → 0, tn n → ∞ ✭✷✳✷✹✮ ●✐↔ sû ztn ∈ K ❧➔ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ❝♦ Stn ①→❝ ✤à♥❤ ❜ð✐ Stn x := tn u+(1−tn )Sx, x ∈ K ✳ ❑❤✐ ✤â ztn −xn = tn (u−xn )+(1−tn )(Sztn −xn )✳ ⑩♣ ❞ö♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭✶✳✸✮✱ t❛ ❝â ||ztn − xn ||2 ≤ (1 − tn )2 ||Sztn − xn ||2 + 2tn u − xn , j(ztn − zn ) ≤ (1 − tn )2 (||Sztn − Sxn || + ||Sxn − xn ||)2 + 2tn (||ztn − xn ||2 + u − ztn , j(ztn − xn ) ) ≤ (1 + t2n )||ztn − xn ||2 + ||Sxn − xn ||× (2||ztn − xn || + ||Sxn − xn ||) + 2tn u − ztn , j(ztn − xn ) , ✈➻ ✈➟② u − ztn , j(xn − ztn ) ≤ tn ||Sxn − xn || ||ztn − xn ||2 + × (2||ztn − xn || 2tn ✸✶ + ||Sxn − xn ||) ❱➻ ❝→❝ ❞➣② {xn }, {ztn } ✈➔ {Sxn } ❜à ❝❤➦♥ ✈➔ t❛ ❝â ||Sxn − xn || → 0, n → ∞✱ ♥➯♥ 2tn lim sup u − ztn , j(xn − ztn ) ≤ n→∞ ✭✷✳✷✺✮ ◆❣♦➔✐ r❛✱ u − ztn , j(xn − ztn ) = u − z, j(xn − z) + u − z, j(xn − ztn ) − j(xn − z) + z − ztn , j(xn − ztn ) ✭✷✳✷✻✮ ◆❤÷♥❣✱ t❤❡♦ ❣✐↔ t❤✐➳t ztn → z ∈ ❋✐①(S), n → ∞✳ ❙û ❞ö♥❣ t➼♥❤ ❜à ❝❤➦♥ ❝õ❛ {xn } t❛ t❤✉ ✤÷đ❝ z − ztn , j(xn − ztn ) → 0, n → ∞✳ ❚❛ ❝ô♥❣ ❝â✱ u − z, j(xn − ztn ) − j(xn − z) → 0, n → ∞✳ ❱➻ ✈➟②✱ t❛ t❤✉ ✤÷đ❝ ✭✷✳✷✺✮ ✈➔ ✭✷✳✷✻✮ lim sup u − z, j(xn − z) ≤ 0✳ ◆❣♦➔✐ r❛ tø ✭✷✳✶✾✮ t❛ ❝â n→∞ xn+1 − z = αn (u − z) + (1 − αn )(Sxn − z)✳ ❑❤✐ ✤â ||xn+1 − z||2 ≤ (1 − αn )2 ||Sxn − z||2 + 2αn u − z, j(xn+1 − z) ≤ (1 − αn )||xn − z||2 + αn σn , ✈ỵ✐ σn := u − z, j(xn+1 − z) ; γn ≡ ∀n ≥ ❱➻ ✈➟② t❤❡♦ ❇ê ✤➲ ✷✳✸✳✾✱ ❞➣② {xn } ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ ✈➲ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ T ◆❤➟♥ ①➨t ✷✳✸✳✶✶✳ ▼å✐ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ❇❛♥❛❝❤ trì♥ ✤➲✉ ❝â ❝❤✉➞♥ ❦❤↔ t t rộ ỗ ✤â♥❣ ❜à ❝❤➦♥ X ❝â t➼♥❤ ❝❤➜t ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ✤è✐ ✈ỵ✐ →♥❤ ①↕ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐➣♥✳ ❳➨t Sn (x) := n q✉↔ s❛✉✳ n−1 S k x✱ ✈ỵ✐ S : K → K ❧➔ →♥❤ ①↕ ❦❤æ♥❣ ❣✐➣♥✳ ❚❛ õ t k=0 ỵ sỷ X ổ tỹ trỡ ỗ ợ u, x0 K trữợ t {xn} s xn+1 = αn u + (1 − αn )Sn xn , n ≥ ✭✷✳✷✼✮ ✸✷ ●✐↔ sû ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✭❈✶✮ ✈➔ ✭❈✷✮ t❤ä❛ ♠➣♥✳ ❑❤✐ ✤â ❞➣② {xn} ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ ✈➲ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ S ✳ ❑➳t ❧✉➟♥ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ✤➣ tr➻♥❤ ❜➔② ♥❤÷♥❣ s r sỡ ữủ ổ ỗ ổ ỗ t t ỗ ỗ t t t t ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣✳ • ❉→♥❣ ✤✐➺✉ ❝õ❛ t✐➺♠ ❝➟♥ ❝❤➼♥❤ q✉②✱ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ t✐➺♠ ❝➟♥ ❝❤➼♥❤ q✉②✱ t➼♥❤ ❝❤➼♥❤ q✉② ❝õ❛ t✐➺♠ ❝➟♥ ✈➔ ♠è✐ ❧✐➯♥ ❤➺ ❣✐ú❛ t➼♥❤ ❝❤➼♥❤ q t ợ sỹ tỗ t t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕✳ ❙ü ❤ë✐ tö ♠↕♥❤ tr➻♥❤ ❜➔② tử tợ t ❙ü ❤ë✐ tö ②➳✉ tr➻♥❤ ❜➔② ✈➲ sü ❤ë✐ tö tợ t Pữỡ r ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ t➼♥❤ ❤ë✐ tư tỵ✐ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ✈➔ ❤ë✐ tư ♠↕♥❤ tỵ✐ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕✳ ✸✸ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❚✐➳♥❣ ❱✐➺t t ỗ ố ❬✷❪ ❍♦➔♥❣ ❚ö② ✭✷✵✵✸✮✱ ❍➔♠ t❤ü❝ ✈➔ ●✐↔✐ t➼❝❤ ❤➔♠✱ ◆❳❇ ❑❤♦❛ ❤å❝ ❑ÿ t❤✉➟t✳ ❬✶❪ ✣é ❱➠♥ ▲÷✉ ✭✷✵✵✵✮✱ ❚✐➳♥❣ ❆♥❤ ❬✸❪ ❇r♦✇❞❡r✱ ❋✳❊✳ ❛♥❞ P❡tr②s❤②♥✱ ❲✳❱✳ ✭✶✾✻✻✮✱ ✏❚❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ ❜② ✐t❡r❛t✐♦♥ ♦❢ ♥♦♥❧✐♥❡❛r ❢✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥s ✐♥ ❇❛♥❛❝❤ s♣❛❝❡s✧✱ ❇✉❧❧✳ ❆♠❡r✳ ▼❛t❤✳ ❙♦❝✳✱ ✼✷✱ ♣♣✳ ✺✼✶✕✺✼✺✳ ❬✹❪ ❈❤✐❞✉♠❡✱ ❈✳ ✭✷✵✵✾✮✱ ●❡♦♠❡tr✐❝ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ ❇❛♥❛❝❤ s♣❛❝❡s ❛♥❞ ◆♦♥❧✐♥✲ ❡❛r ■t❡r❛t✐♦♥s✱ ❙♣r✐♥❣❡r✲❱❡r❧❛❣✱ ◆❡✇ ❨♦r❦✳ ❬✺❪ ●✐✉s❡♣♣❡✱ ▼✳ ✭✷✵✵✻✮✱ ✏❆ ❣❡♥❡r❛❧ ✐t❡r❛t✐✈❡ ♠❡t❤♦❞ ❢♦r ♥♦♥❡①♣❛♥s✐✈❡ ♠❛♣✲ ❏✳ ▼❛t❤✳ ❆♥❛❧✳ ❆♣♣❧✳✱ ✸✶✽✱ ♣♣✳ ✹✸✕✺✷✳ ❬✻❪ ●❧♦✇✐♥s❦✐✱ ❘✳ ✭✶✾✽✹✮✱ ◆✉♠❡r✐❝❛❧ ▼❡t❤♦❞s ❢♦r ◆♦♥❧✐♥❡❛r ❱❛r✐❛t✐♦♥❛❧ Pr♦❜✲ ❧❡♠s✱ ❙♣r✐♥❣❡r✲❱❡r❧❛❣✱ ◆❡✇ ❨♦r❦✳ ♣✐♥❣s ✐♥ ❍✐❧❜❡rt s♣❛❝❡s✑✱ ❬✼❪ ■s❤✐❦❛✇❛✱ ❙✳ ✭✶✾✼✻✮✱ ✏❋✐①❡❞ ♣♦✐♥ts ❛♥❞ ✐t❡r❛t✐♦♥ ♦❢ ♥♦♥❡①♣❛♥s✐✈❡ ♠❛♣♣✐♥❣ ✐♥ ❛ ❇❛♥❛❝❤ s♣❛❝❡✧✱ Pr♦❝✳ ❆♠❡r✳ ▼❛t❤✳ ❙♦❝✳✱ ✼✸✱ ♣♣✳✻✶✕✼✶✳ ❬✽❪ ❑r❛s♥♦s❡❧s❦✐✙✱ ▼✳❆✳ ✭✶✾✺✺✮✱ ✏❚✇♦ ♦❜s❡r✈❛t✐♦♥s ❛❜♦✉t t❤❡ ♠❡t❤♦❞ ♦❢ s✉❝✲ ❯s♣❡❤✐ ▼❛t❤✳ ◆❛✉❦✱ ✶✵✱ ♣♣✳✶✷✸✕✶✷✼✳ ❬✾❪ ❑✐♥❞❡r❧❡❤r❡r✱ ❉✳✱ ❙t❛♠♣❛❝❝❤✐❛✱ ●✳ ✭✶✾✽✵✮✱ ❆♥ ■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ t♦ ❱❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ■♥❡q✉❛❧✐t✐❡s ❛♥❞ ❚❤❡✐r ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✱ ❆❝❛❞❡♠✐❝ Pr❡ss✱ ■♥❝✳✱ ◆❡✇ ❨♦r❦✲ ❝❡ss✐✈❡ ❛♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥s✧✱ ▲♦♥❞♦♥✳ ✸✹ ✸✺ ❬✶✵❪ ◗✐♥❛✱ ❳✳✱ ❈❤♦✱ ❙✳❨✳✱ ▲✐♥ ❲✳ ✭✷✵✶✽✮✱ ✏❙tr♦♥❣ ❝♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ ♦❢ ❛♥ ✐t❡r❛t✐✈❡ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✐♥✈♦❧✈✐♥❣ ♥♦♥❧✐♥❡❛r ♠❛♣♣✐♥❣s ♦❢ ♥♦♥❡①♣❛♥s✐✈❡ ❛♥❞ ❛❝❝r❡t✐✈❡ t②♣❡✑✱ ❖♣t✐♠✐③❛t✐♦♥✱ ❤tt♣s✿✴✴❞♦✐✳♦r❣✴✶✵✳✶✵✽✵✴✵✷✸✸✶✾✸✹✳✷✵✶✽✳✶✹✾✶✾✼✸✳ ❬✶✶❪ ❙✉③✉❦✐✱ ❚✳ ✭✷✵✵✼✮✱ ✏❆ ❙✉❢❢✐❝✐❡♥t ❛♥❞ ◆❡❝❡ss❛r② ❈♦♥❞✐t✐♦♥ ❢♦r ❍❛❧♣❡r♥✲ ❚②♣❡ ❙tr♦♥❣ ❈♦♥✈❡r❣❡♥❝❡ t♦ ❋✐①❡❞ P♦✐♥ts ♦❢ ◆♦♥❡①♣❛♥s✐✈❡ ▼❛♣♣✐♥❣s✑✱ Pr♦❝❡❡❞✐♥❣s ♦❢ t❤❡ ❆♠❡r✐❝❛♥ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❙♦❝✐❡t②✱ ✶✸✺✭✶✮✱ ♣♣✳ ✾✾✕✶✵✻✳ ❬✶✷❪ ❩❡✐❞❧❡r✱ ❊✳ ✭✶✾✽✺✮✱ ◆♦♥❧✐♥❡❛r ❋✉♥❝t✐♦♥❛❧ ❆♥❛❧②s✐s ❛♥❞ ■ts ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✳ ■■■✳ ❱❛r✐❛t✐♦♥❛❧ ▼❡t❤♦❞s ❛♥❞ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s✱ ❙♣r✐♥❣❡r✲❱❡r❧❛❣✱ ◆❡✇ ❨♦r❦✳ ...  - PHẠM QUANG DŨNG VỀ PHƯƠNG PHÁP LẶP TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHƠNG GIÃN TRONG KHƠNG GIAN BANACH Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số : 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG

Ngày đăng: 31/10/2019, 09:08

Từ khóa liên quan

Mục lục

  • Mở đầu

  • Chương Không gian Banach và bài toán điểm bất động

    • Không gian Banach

      • Không gian Banach lồi đều

      • Không gian Banach lồi chặt

    • Bài toán điểm bất động

      • Ánh xạ không giãn

      • Bài toán điểm bất động

  • Chương Về phương pháp lặp tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Banach

    • Chính quy tiệm cận

      • Dáng điệu chính quy tiệm cận

      • Dáng điệu chính quy tiệm cận đều

    • Sự hội tụ

      • Định lý hội tụ mạnh

      • Định lý hội tụ yếu

    • Phương pháp lặp kiểu Halpern

      • Mô tả phương pháp

      • Sự hội tụ

  • Kết luận

  • Tài liệu tham khảo

  • Bia L.V Khoa hoc.doc

    • ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

    • VỀ PHƯƠNG PHÁP LẶP

    • TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN

    • TRONG KHÔNG GIAN BANACH

    • LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

    • THÁI NGUYÊN - 2019

    • ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

    • VỀ PHƯƠNG PHÁP LẶP

    • TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN

    • TRONG KHÔNG GIAN BANACH

    • LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

    • NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

    • TS. Trần Xuân Quý

    • THÁI NGUYÊN - 2019

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan