1 Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Đạo hàm ứng dụng đạo hàm chiếm vai trò quan trọng chương trình Tốn THPT Nội dung đạo hàm ứng dụng đạo hàm trình bày tồn chương trình giải tích 11 giải tích 12, đạo hàm trình bày học kỳ II lớp 11, ứng dụng đạo hàm trình bày học kỳ I lớp 12 Qua nhiều lần thay sách với nhiều thay đổi song đạo hàm ứng dụng đạo hàm nội dung bắt buộc đề thi Tốt nghiệp THPT, ĐH-CĐ thi THPT Quốc gia Chúng ta kể đến số ứng dụng đạo hàm: Xét tính đơn điệu hàm số; tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số; cực trị hàm số… Phần ứng dụng đạo hàm để giải toán liên quan đến cực trị hàm số bậc ba phần khơng q khó với học sinh khơng muốn nói phần “lấy điểm” học sinh Tuy nhiên, việc giải toán cực trị hàm số bậc ba nhanh hiệu điều mà học sinh làm bối cảnh kỳ thi THPT Quốc gia năm 2017, 2018 đổi từ hình thức thi tự luận sang trắc nghiệm Ngồi ra, việc trình bày kiến thức SGK, SBT sách tham khảo, hệ thống tập dàn trải học sinh thường thời gian giải tập phần Từ kinh nghiệm thân năm giảng dạy tìm tòi, tham khảo tổng hợp tài liệu Tốn internet, tơi lựa chọn đề tài: “Hình thành tư - kỹ giải nhanh toán trắc nghiệm phần cực trị hàm số bậc ba cho học sinh trường THPT Như Thanh II luyện thi THPT Quốc Gia” với mong muốn trang bị cho học sinh tảng kiến thức nâng cao từ rút số cơng thức giải nhanh phần cực trị hàm số bậc ba giúp em học sinh nắm bắt cách nhận dạng cách giải dạng tốn nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy học, tạo tự tin cho học sinh kỳ thi 1.2 Mục đích nghiên cứu - Tạo cho học sinh say mê, hứng thú môn học; - Giúp học sinh nâng cao tư duy, kĩ tính tốn Từ cung cấp cho học sinh dạng tốn nhỏ để bổ sung vào hành trang kiến thức bước vào kì thi THPT Quốc gia; - Giúp cho thân đồng nghiệp có thêm tư liệu để ơn tập cho học sinh 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài nghiên cứu toán ứng dụng đạo hàm để giải toán liên quan đến cực trị hàm số bậc ba 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu tài liệu Toán lớp 11 lớp 12 - Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết; - Phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm Nội dung 2.1 Cơ sở lí luận 2.1.1 Khái niệm cực trị hàm số 2.1.1.1 Khái niệm cực trị hàm số [3] Cho f : D → ¡ x0 ∈ D a) x0 gọi điểm cực đại f tồn khoảng ( a; b ) cho  x0 ∈ ( a; b ) ⊂ D   f ( x ) < f ( x0 ) ∀x ∈ ( a; b ) \ { x0 } b) x0 gọi điểm cực tiểu f tồn khoảng ( a; b ) cho  x0 ∈ ( a; b ) ⊂ D  f x > f x ∀ x ∈ a ; b \ x ( ) ( ) ( ) { }  0 c) Điểm cực đại điểm cực tiểu gọi chung điểm cực trị Bảng sau tóm tắt khái niệm sử dụng phần này: x0 f ( x0 ) ( x0 ; f ( x0 ) ) Điểm cực đại f ( x) Điểm cực tiểu f ( x) Điểm cực trị Giá trị cực đại (cực đại) Điểm cực đại đồ thị hàm f ( x) số f ( x) Giá trị cực tiểu (cực tiểu) Điểm cực tiểu đồ thị hàm f ( x) số f ( x) Cực trị f ( x) Điểm cực trị đồ thị hàm số f ( x) f ( x) 2.1.1.2 Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị [6] Giả sử hàm f ( x) có đạo hàm x0 Khi đó: f ( x) đạt cực trị x0 f ' ( x0 ) = 2.1.1.3 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị [6] a) Quy tắc • Nếu f ' ( x ) đổi dấu từ dương sang âm x qua x0 f ( x) đạt cực đại x0 ; • Nếu f ' ( x ) đổi dấu từ âm sang dương x qua x0 f ( x) đạt cực tiểu x0 b) Quy tắc 2:  f ' ( x0 ) = ⇒ f ( x ) đạt cực đại x0 ;  f " ( x0 ) < •   f ' ( x0 ) = ⇒ f đạt cực tiểu x0 f " x > ( )  •  2.1.2 Cực trị hàm số bậc ba [5] Xét hàm y = ax3 + bx + cx + d ( a ≠ ) Đạo hàm: y ' = 3ax + 2bx + c 2.1.2.1 Điều kiện tồn cực trị: Hàm số có cực trị y ' = có hai nghiệm phân biệt hay ∆ ' = b − 3ac > 2.1.2.2 Kỹ tính nhanh cực trị: Giả sử ∆ ' = b − 3ac > , y ' = có hai nghiệm phân biệt −b ± b − 3ac hàm số đạt cực trị x1 , x2 x1,2 = 3a Thực phép chia y cho y’ ta có: b  2 b2  bc  1  f ( x) =  x + ÷ f '( x) +  c − ÷x +  d − ÷ 9a  3 3a  9a  3  Tức f ( x) = q ( x) f '( x) + r ( x )  2 b2  bc    y1 = f ( x1 ) =  c − ÷x1 +  d − ÷ 3 3a  9a    f '( x1 ) =  Do  nên   f '( x2 ) =  y = f ( x ) =  c − b  x +  d − bc  ÷  ÷   3 3a  9a    Từ ta có phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu hàm số là: 2 b  bc  bc  y =  c − ÷x +  d − ÷ = ( 3ac − b ) x + (d − ) 3 3a  9a  9a 9a  −2∆ ' bc   = x + d − ÷ 9a 9a   Gọi A ( x1; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) điểm cực trị hàm số Khi khoảng cách hai điểm cực trị là: AB = = ( x2 − x1 ) ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) 2   −2 ∆ ' bc    −2∆ ' bc      + x2 +  d − ÷ −  x1 +  d − ÷ ÷ 9a    9a 9a        9a = ( x2 − x1 ) 2  −2 ∆ '  + ( x2 − x1 ) ÷  9a  2  −2 b − 3ac   −2∆ ' −2 b − 3ac  =  ÷ + ÷  ÷  9a ÷ a a     = 4∆ ' 16 + ∆ ') ( (3a) 9(3a) Đặt k = 3a ta AB = 4∆ ' 16 + ( ∆ ') k 9k Vậy khoảng cách hai điểm cực trị AB = 4∆ ' 16 + ( ∆ ') với k 9k k = 3a hệ số x phương trình y ' = Như k số khoảng cách hai điểm cực trị ngắn ∆ ' nhỏ 2.2 Thực trạng vấn đề Trong kỳ thi tốt nghiệp, ĐH- CĐ thi THPT Quốc gia chuyển từ hình thức tự luận sang trắc nghiệm toán cực trị thường hay xuất hiện, với mục đích nhà giáo dục dành cho học sinh có học lực trung bình Đối với trường THPT Như Thanh II trường miền núi, chất lượng đầu vào học sinh thấp nên gần học sinh nhiều thời gian việc định hướng cách làm trình làm thường mắc sai sót Đặc biệt thi trắc nghiệm có phương án nhiễu học sinh dễ mắc sai lầm 2.3 Giải pháp sử dụng để giải vấn đề - Tổ chức cho học sinh hình thành kỹ giải tốn thơng qua (hay nhiều) buổi học có hướng dẫn giáo viên - Tổ chức rèn luyện khả định hướng giải toán học sinh Trong yêu cầu khả lựa chọn lời giải ngắn gọn sở phân tích toán cực trị hàm số bậc ba - Tổ chức kiểm tra để thu thập thông tin khả nắm vững kiến thức học sinh - Trong toán cực trị hàm bậc ba yêu cầu học sinh thực phân tích chất hình học phẳng đưa hướng khai thác mở rộng cho toán - Cung cấp hệ thống tập mở rộng để học sinh tự rèn luyện * Cụ thể: Một số cực trị hàm số bậc ba thường gặp 2.3.1 Tìm m để hàm số đạt cực đại cực tiểu x = x0 Cách làm: Tính đạo hàm y’ ⇒ y’ = Điều kiện cần: Thay x0 vào phương trình y’ = ⇒ giá trị m (nếu có) Điều kiện đủ: Kết hợp xét dấu y’’:  Nếu y’’(x0) > hàm số đạt cực tiểu x0  Nếu y’’(x0) < hàm số đạt cực đại x0 (hoặc dùng bảng biến thiên) để suy giá trị m thỏa mãn yêu cầu Ví dụ mẫu 1: Cho hàm số y = x3 − 3mx + (m − 1) x + Tìm m để hàm số đạt cực tiểu x = [3] Giải Ta có : y ' = 3x − 6mx + m − y ' = ⇔ x − 6mx + m − = (*) Điều kiện cần: thay x = vào (*) ⇒ m = Điều kiện đủ: y '' = x − 6m Với m = ⇒ ⇒y ''(2) = > (thỏa mãn) Vậy m = hàm số có cực tiểu x = 2 Ví dụ mẫu 2: Cho hàm số y = x − mx + ( m − m + 1) x + Tìm m để hàm số [3] đạt cực đại x = Giải 2 Ta có: y ' = x − 2mx + m − m + y ' = ⇔ x − 2mx + m − m + = (*) Điều kiện cần: thay x = vào (*) ⇒m − 3m + = (m = m = 2) Điều kiện đủ: y '' = x − 2m  Với m = ⇒ y '' = x − ⇒y ''(1) = −2 < ( thỏa mãn)  Với m = ⇒ y '' = x − ⇒ ( không xét dấu) Nhưng đó: y ' = x − x + = ( x − 1) ≥ (∀x) ⇒ hàm số đồng biến nên ko có cực trị Hay m = khơng thỏa mãn Vậy m = hàm số có cực đại x = 2.3.2 Biện luận theo m số cực trị hàm số Số cực trị hàm số phụ thuộc vào số nghiệm phương trình y’ = Ví dụ mẫu 1: Cho hàm số y = x3 − 3mx + (m − 1) x + Tìm m để hàm số khơng đạt cực trị [3] Giải Ta có: y ' = 3x − 6mx + m − y ' = ⇔ x − 6mx + m − = (*) Hàm số không đạt cực trị khi: ∆ ' = 9m − 3m + ≤ ⇔ 3m − m + ≤ (vơ lý) Vậy khơng có giá trị m để hàm số không đạt cực trị Ví dụ mẫu 2: Cho hàm số y = mx + (m − 1) x + Tìm m để hàm số không đạt cực trị [3] Giải + Nếu m = hàm số trở thành y = − x + PT đường thẳng nên khơng có cực trị hay m = thỏa mãn + Nếu m ≠ Ta có: y ' = 3mx + m − 1− m y ' = ⇔ 3mx + m − = ⇔ x = 3m m ≥ 1− m ≤0⇔ Hàm số không đạt cực trị khi: 3m m < m ≥ Vậy để hàm số khơng đạt cực trị thì:  m ≤ 2.3.3 Tìm m để hàm số có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước Các bước làm: 1) Tính: y ' = 3ax + 2bx + c y ' = ⇔ g ( x) = 3ax + 2bx + c = a ≠ Để hàm số có cực trị g ( x) = có nghiệm x1 x2 hay  ∆ > 2) Gọi rõ ràng tọa độ điểm cực trị: A, B ( nghiệm x1 x2 gọn – đẹp) Hoặc biểu thị tọa độ A, B theo x1; x2 nghiệm xấu khơng nên tính 3) Sử dụng tính chất quen thuộc xử lý yêu cầu đề 4) Kết luận giá trị m thỏa mãn Chú ý: Nếu biểu thị tọa độ A, B theo x1 x2 nghiệm xấu sau phải dùng hệ thức Vi-ét Ví dụ mẫu 1: THPT Quốc Gia 2016 Tìm m để hàm số f ( x) = x − x + mx − có hai điểm cực trị Gọi x1 x2 hoành độ hai điểm cực trị tìm m để x12 + x22 = Giải Ta có : f '( x) = 3x − x + m f '( x) = ⇔ x − x + m = (*) Để hàm số có điểm cực trị phương trình (*) có nghiệm x1 x2 phân biệt ĐK : ∆ ' > ⇔ − 3m > ⇔ m < (**) b  x + x = − =2  a Theo định lý vi-ét:   x x = c = m  a 2m 2 =3⇔ m= Theo ta có : x1 + x2 = ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 = ⇔ − 3 Kết hợp điều kiện (**) ⇒ m = thỏa mãn đề Ví dụ mẫu 2: Tìm m để hàm số f ( x) = x − x + mx − có hai điểm cực trị Gọi x1 x2 hồnh độ hai điểm cực trị tìm m để x1 x2 độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng có cạnh huyền [2] Giải Ta có : f '( x) = 3x − x + m f '( x) = ⇔ x − x + m = (*) Để hàm số có điểm cực trị phương trình (*) có nghiệm x1 x2 phân biệt : ĐK : ∆ ' > ⇔ − 3m > ⇔ m < (**) b  x + x = − =2  a Theo định lý vi-ét:   x x = c = m  a  Để x1 x2 độ dài hai cạnh góc vng tam giác thì:  x1 + x2 > ⇔ m > (***)   x1.x2 >  Để tam giác vuông có cạnh huyền thì: x12 + x22 = ⇔ ( x1 + x2 ) − x1 x2 = ⇔ − Kết hợp điều kiện (**) (***) ⇒ m = 2m =3⇔ m = 3 thỏa mãn đề Ví dụ mẫu 3: KD – 2012 2 Cho hàm số : y = x − mx − 2(3m − 1) x + Tìm m để hàm số có hai điểm cực 3 trị x1 x2 cho: x1.x2 + 2( x1 + x2 ) = Giải Ta có y ' = x − 2mx − 2(3m − 1) y ' = ⇔ x − 2mx − 2(3m − 1) = (*) Để hàm số có điểm cực trị phương trình (*) có nghiệm x1 x2 phân biệt :   m > 13 2 ĐK : ∆ ' > ⇔ m + 4(3m − 1) > ⇔ 13m − > ⇔  (**)  m < −2  13 b   x1 + x2 = − a = m Theo định lý vi-ét:   x x = c = − 3m  a m = Theo ta có : x1.x2 + 2( x1 + x2 ) = ⇔ − 3m + 2m = ⇔  m =  Đối chiếu với (**) ta m = thỏa mãn điều kiện đề Ví dụ mẫu 4: Cho hàm số : y = x3 − (2m − 1) x + (2 − m) x + Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1 x2 hồnh độ điểm cực trị dương [2] Giải Ta có : y ' = 3x − 2(2m − 1) x + − m y ' = ⇔ x − 2(2m − 1) x + − m = (*) Để hàm số có điểm cực trị phương trình (*) có nghiệm x1 x2 phân biệt  m < −1 2 ĐK : V' > ⇔ ( 2m − 1) − ( − m ) > ⇔ 4m − m − > ⇔  (**) m >  b 2(2m − 1)  x + x = − =  a Theo định lý vi-ét:   x x = c = − m  a Để hàm số có hai điểm cực trị có hoành độ dương :  2(2m − 1) >0   x1 + x2 >  m > ⇔ ⇔ ⇔ m <  Kết hợp điều kiện (**) ta < m < Ví dụ mẫu 5: Cho hàm số : y = (m + 2) x3 + x + mx − Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1 x2 hoành độ điểm cực trị dương Giải Ta có : y ' = 3(m + 2) x + x + m y ' = ⇔ 3( m + 2) x + x + m = (*) Để hàm số có điểm cực trị phương trình (*) có nghiệm x1 x2 phân biệt :  m ≠ −2 a ≠ m + ≠ m ≠ −2 ⇔ ⇔ ⇔ (**)   ∆ ' > 9 − 3m(m + 2) > −3m − 6m + > −3 < m < b −2   x1 + x2 = − a = m + Theo định lý vi-ét:  m  x1.x2 = c = a 3(m + 2)  Để hàm số có hai điểm cực trị có hồnh độ dương : b −2   −2 x + x > = − =   m + > m + < a m+2 ⇔ ⇔ ⇔ m < −2   m  c m m <   x1.x2 > = =  >0 a 3(m + 2)   3(m + 2) Kết hợp điều kiện (**) ta −3 < m < −2 Ví dụ mẫu 6: Cho hàm số : y = x3 − 2(m + 1) x + (m − 3m + 2) x + Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị nằm hai phía trục tung Giải 2 Ta có : y ' = 3x − 4( m + 1) x + m − 3m + y ' = ⇔ x − 4(m + 1) x + m − 3m + = (*) Để hàm số có điểm cực trị phương trình (*) có nghiệm x1 x2 phân biệt :  −17 − 33 m < ∆ ' > ⇔ 4( m + 1) − 3(m − 3m + 2) > ⇔ m + 17 m − > ⇔   −17 + 33 m >  (**) Theo định lý vi-ét: b 4(m + 1)  x + x = − =  a   x x = c = m − 3m +  a Để cực trị nằm hai phía trục tung quan sát hình ảnh đồ thị bậc sau : ⇒ Để cực trị nằm hai phía trục tung cần : x1 x2 < ⇔ m − 3m + < ⇔ < m < Kết hợp điều kiện (**) < m < Ví dụ mẫu 7: Cho hàm số : y = x3 − 2(m + 1) x + (m − 3m + 2) x + Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị nằm cùng phía so với trục tung [6] Giải 2 Ta có : y ' = 3x − 4( m + 1) x + m − 3m + y ' = ⇔ x − 4(m + 1) x + m − 3m + = (*) Để hàm số có điểm cực trị phương trình (*) có nghiệm x1 x2 phân biệt : ∆ ' > ⇔ 4( m + 1) − 3(m − 3m + 2) > ⇔ m + 17 m − >  −17 − 33 m < ⇔  −17 + 33 m >  (**) 10 b 4(m + 1)  x + x = − =  a Theo định lý vi-ét:   x x = c = m − 3m +  a Để cực trị nằm cùng phía so với trục tung quan sát hình ảnh đồ thị bậc sau (hoặc ảnh đối ngược ảnh bên trái Oy): ⇒ Để cực trị nằm cùng m > x1 x2 > ⇔ m − 3m + > ⇔  m < phía so với trục tung  −17 − 33 m<  Kết hợp điều kiện (**) ta   m > Ví dụ mẫu 8: Cho hàm số : y = x3 − 3x + mx − Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị nằm khác phía đường thẳng (d): x = Giải Ta có : y ' = 3x − x + m y ' = ⇔ x − x + m = (*) Để hàm số có điểm cực trị phương trình (*) có nghiệm x1 x2 phân biệt : ∆ ' > ⇔ − 3m > ⇔ m < (**) 11 b  x + x = − =2  a Theo định lý vi-ét:   x x = c = m  a Ta có : (d): x = ⇒ x – = Để hàm số có hai điểm cực trị nằm khác phía đường thẳng (d) m ( x1 − 1) ( x2 − 1) < ⇔ x1x2 − ( x1 + x2 ) + < ⇔ − < ⇔ m < Kết hợp điều kiện (**) ta m < Ví dụ mẫu 9: KB - 2014 Cho hàm số : y = x3 − 3mx + A( 2; 3) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị B C để tam giác ABC cân A Giải Ta có : y ' = 3x − 3m y ' = ⇔ x − 3m = (*) Để hàm số có điểm cực trị B C phương trình (*) có nghiệm x1 x2 phân biệt hay m > (**) Gọi tọa độ : B − m ;2m m + ( ) C ( m ;2m m + 1) uuu r AB ( − m ;2m m + 1) Suy ra: uuur AC ( m ;2m m + 1) Để tam giác ABC cân A nên AB = AC hay: (− ) m − + (2m m − 2) = ( m − 2) + ( −2m m − 2) m = ⇔ 16m m − m = ⇔  m =  Kết hợp điều kiện (**) ta m = 2.3.4 Áp dụng số công thức giải nhanh 2.3.4.1 Công thức phương trình đường thẳng qua điểm cực trị 2.3.4.1.1 Công thức TS Nguyễn Thái Sơn [4] Gọi phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị là: y = Ax + B A, y ' y '' B xác định sau: Ax + B = y − 18a 12 Ví dụ mẫu 1: viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị hàm số: y = x3 − x + 3x + Giải Áp dụng công thức học nhanh: 3x − x + 3) ( x − ) ( Ax + B = ( x − x + 3x + 1) − 18 - Thay x = vào đẳng thức ta được: B = - Thay x = vào lại đẳng thức ta lại được: 28 28 16 A+ B = ⇒ A= −B= 9 16 Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị là: y = x + Ví dụ mẫu 2: viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị hàm số: y = x3 + 3x + Giải Áp dụng công thức học nhanh: x + 3) 12 x ( Ax + B = ( x + x + ) − 36 - Thay x = vào đẳng thức ta được: B = - Thay x = vào lại đẳng thức ta lại được: A + B = ⇒ A = − B = Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị là: y = x + 2.3.4.1.2 Cơng thức có cách chia y cho y’ −2 ∆ ' bc   y= x +d − ÷ 9a 9a   Ví dụ mẫu 1: Cho hàm số : y = x3 − 3x − mx + Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị A, B cho đường thẳng qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng d: y = −4 x + [1] Giải: Ta có y ' = 3x − x − m (*) Để hàm số có điểm cực trị phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt ĐK: ∆ ' > ⇔ + 3m > ⇔ m > −3 Ta có hệ số góc đường thẳng qua điểm cực trị −2∆ ' −2 k= = ( + 3m ) 9a Do đường thẳng qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng d: −2 y = −4 x + nên ( + 3m ) = ⇔ m = (tm) 13 Vậy m = thỏa mãn u cầu tốn Ví dụ mẫu 2: Cho hàm số : y = x3 + mx + x + Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị A, B cho đường thẳng qua hai điểm cực trị vuông góc với đường thẳng d: y = x + 2017 [1] Giải: Ta có: y ' = 3x + 2mx + (*) Để hàm số có điểm cực trị phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt  m > 21 ĐK: ∆ ' > ⇔ m − 21 > ⇔   m < − 21 Ta có hệ số góc đường thẳng qua điểm cực trị −2∆ ' −2 k= = ( m − 21) 9a Do cho đường thẳng qua hai điểm cực trị vng góc với đường thẳng d: −2 −2 m − 21) = ⇔ m = 24 ⇔ m = ± 24 (tm) y = x + 2017 nên ( Vậy m = ± 24 thỏa mãn yêu cầu toán 2.3.4.2 Cơng thức tính độ dài hai điểm cực trị Khoảng cách hai điểm cực trị AB = hệ số x phương trình y ' = 4∆ ' 16 + ( ∆ ') với k = 3a k 9k Khi k số khoảng cách hai điểm cực trị ngắn ∆ ' nhỏ Ví dụ mẫu 1: Cho hàm số : y = x − mx − x + Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị A, B cho độ dài AB ngắn [2] Giải 2 Ta có: y ' = x − 2mx − ; ∆ ' = m + Hàm số có hai điểm cực trị A, B cho độ dài AB ngắn ∆ ' nhỏ ∆ 'min = m = Vậy với m = thỏa mãn yêu cầu toán Ví dụ mẫu 2: Cho hàm số : y = x3 + 3(m + 1) x + 3m(m + 2) x + m + m Biết hàm số ln có hai điểm cực trị A, B với m Tính khoảng cách giũa hai điểm cực trị Giải Ta có: y ' = 3x + 6( m + 1) x + 3m(m + 2) ∆ ' = 9(m + 1) − 9m(m + 2) = 14 4∆ ' 16 + ( ∆ ') = k 9k Vậy khoảng cách giũa hai điểm cực trị Áp dụng cơng thức: AB = Ví dụ mẫu 3: Cho hàm số : y = x − mx − x + Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị A, B cho độ dài AB = 15 Giải: Ta có: y ' = x − 2mx − ; ∆ ' = m + Theo ra: hàm số có hai điểm cực trị A, B cho độ dài AB = 15 4∆ ' 16 + ( ∆ ') ta Áp dụng công thức: AB = k 9k AB = 4∆ ' 16 16 3 + ( ∆ ') = 15 ⇔ ( ∆ ') + 4∆ '− 60 = k 9k ⇔ ∆ ' = ⇔ m + = ⇔ m2 = ⇔ m = ± Vậy với m = ± thỏa mãn yêu cầu toán 2.3.5 Một số tập trắc nghiệm Câu 1: Đồ thị hàm số y = ax + bx + cx + d số A a > B a < C a ≥ dạng hình vẽ có hệ D a ≤ Câu 2: Đồ thị hàm số y = ax + bx + cx + d dạng hình vẽ có hệ số 15 A d = B d = C d = D d = Câu 3: Đồ thị hàm số dạng hình vẽ bốn đồ thị hàm số liệt kê phương án A, B, C, D Đó đồ thị hàm số A y = x3 − 3x + C y = − x3 + x + B y = x3 D y = x3 + x + Câu 4: Đồ thị hàm số dạng hình vẽ Hỏi phương trình y = có nghiệm 16 A B C D Câu 5: Đồ thị hàm số có dạng hình vẽ Khi A ac > B ac < C ad > D ad < Câu 6: Đồ thị hàm số dtrong hình vẽ bốn đồ thị hàm số liệt kê phương án A, B, C, D Đó đồ thị hàm số A y = x3 − 3x + B y = x3 − 3x + C y = − x3 + x + D y = x3 + x + Câu 7: Biết đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu : A(x1; y1), B(x2; y2) Hàm số đã cho nghịch biến khoảng A ( x1; x2 ) B ( x2 ; x1 ) C ( − x1; − x2 ) D ( − x2 ; − x1 ) Câu 8: Biết đồ thị hàm số có hai điểm cực trị có tích hai giá trị cực trị nhỏ Khi đồ thị hàm số cắt trục hoành A điểm B điểm C điểm D điểm 17 Câu 9: Biết đồ thị hàm số có hai điểm cực trị có tích hai giá trị cực trị lớn Khi đồ thị hàm số cắt trục hồnh A điểm B điểm C điểm D điểm Câu 10: Biết đồ thị hàm số có hai điểm cực trị có tích hai giá trị cực trị Khi phương trình y = có A nghiệm B nghiệm C nghiệm D nghiệm Câu 11: Cho hàm số: y = x3 − 3x + (C) Đồ thị (C) đạt cực đại x A x = B x = C x = D x = - Câu 12: Cho hàm số: (C) Đồ thị (C) đạt giá trị cực tiểu A y = B y = C y = - D y = - Câu 13: Cho hàm số: y = x − 3x + 20 x − (C) Đồ thị (C) có điểm cực trị A B C D Câu 14: Cho hàm số: (C) Đường thẳng qua hai điểm cực tiểu đồ thị (C) A y = −2 x − B y = −2 x C y = x − D y = −2 x + Câu 15: Cho hàm số: (C) Đồ thị (C) có điểm cực trị A, B Độ dài AB A B C D Câu 16: Cho hàm số: y = − x3 − 3x + x − (C) Đồ thị (C) có hoành độ điểm cực trị A xCD > xCT B xCD < xCT C xCD xCT = D xCD + xCT = Câu 17: Cho hàm số: y = x3 − 3mx + x − (Cm) Đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị 2 A m > B m > C m > D m > 3 3 Câu 18: Cho hàm số: y = x3 − 3x + mx − (Cm) Đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị A m < B m < C m > D m > 18 Câu 19: Cho hàm số: y = x3 − 3x + m + (Cm) Đồ thị (Cm) có giá trị cực đại đạt nhỏ A m = B m = C m = D m = −1 Câu 20: Cho hàm số: y = − x3 − 3x + m − (C) Đồ thị (C) có giá trị điểm cực đại hai lần hoành độ điểm cực tiểu A m = B m = C m = −1 D m = −2 Câu 21: Cho hàm số: y = x3 − 3x − 3m(m + 2) x − (Cm) Đồ thị (Cm) có hồnh độ hai điểm cực trị cùng dấu  −2 < m < −1  −2 < m < −1  −3 < m < −1  −2 < m < −1 A  B  C  D   −1 < m <  −1 < m <  −1 < m <  −1 < m < Câu 22: Cho hàm số: y = x3 − 3mx + (m − 1) x + (Cm) Đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị có hồnh độ dương A m < B m > C m < D < m < Câu 23: Cho hàm số: y = x + (1 − 2m) x + (2 − m) x + m + (Cm) Tìm m để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị A, B cho xA.xB = A m = B m = C m = D m = 3 Câu 24: Cho hàm số: y = x + (m − 1) x + 3(m − 2) x + (Cm) Tìm m để đồ 3 thị (Cm) có hai điểm cực trị có tổng hồnh độ A m = B m = C m = D m = Câu 25: Cho hàm số: y = − x3 + (2m + 1) x − (m − 3m + 2) x − (Cm) Tìm m để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị nằm hai phía trục tung A < m < B < m < C < m < D < m < Câu 26: Cho hàm số: y = − x3 + 3mx + (Cm) Tìm m để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị A, B cho tam giác OAB vuông O −1 A m = B m = C m = D m = 2 Câu 27: Cho hàm số: y = x3 + x + m (Cm) Tìm m để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị A, B cho góc AOB 1200 −12 ± −12 + A m = B m = 19 C m = −12 − D m = −12 − 3 Câu 28: Cho hàm số: y = x3 − 3mx + 3(m − 1) x − m3 + m (Cm) Tìm m để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị A, B cho tam giác OAB cân O A m = B m = C m = D m = Câu 29: Cho hàm số: y = x3 + 3(m − 3) x + 11 − 3m (Cm) C (0; −1) Tìm m để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị A, B cho A, B, C thẳng hàng A m = B m = C m = D m = Câu 30: Cho hàm số: y = x3 − 3x − mx + (Cm) Tìm m để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị A, B cho đường thẳng qua A, B song song với đường thẳng: y = −4 x + 2017 1 A m = B m = C m = D m = 3 Câu 31: Cho hàm số: (Cm) Tìm m để đồ thị (Cm) có hai điểm cực trị A, B cho đường thẳng qua A, B vng góc với đường thẳng: x − y + 2017 = A m = − B m = − C m = −1 D m = −2 2 ĐÁP ÁN: 1A 10B 19A 28B 2D 11A 20D 29D 3D 12C 21A 30D 4C 13D 22C 31B 5A 14A 23C 6C 15B 24C 7A 16B 25B 8C 17D 26C 9A 18A 27B 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Đối với thân, sáng kiến kinh nghiệm hội để tơi tiếp tục hồn thiện nữa, làm sở cho trình đổi phương pháp giảng dạy nhằm đem lại hiệu cao cho học sinh Thông qua việc áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy học sinh đã hứng thú học tập mơn tốn, em đã bước đầu biết gắn học lý thuyết với thực tế, em chủ động, linh hoạt, sáng tạo khơng bị động, em đã cởi bỏ tâm lý e ngại, lười hoạt động Từ nâng cao chất lượng giáo dục nhà trường Đây tiền đề để phụ huynh học sinh quyền địa phương yên tâm gửi gắm em vào nhà trường 20 Trong năm học 2016 – 2017 đã áp dụng sáng kiến kinh nghiệm cho lớp 12C1, không áp dụng cho lớp 12C5 Sau kết thúc kỳ thi THPT Quốc gia năm 2017 kết làm cho thấy lớp 12C1 có 95% học sinh giải tốn liên quan đến cực trị hàm số bậc ba lớp 12C5 có 31,33% 21 Kết luận – Kiến nghị 3.1 Kết luận Sau thời gian giảng dạy thực tế nhiều năm, thông qua tài liệu tham khảo học hỏi đồng nghiệp; đã hệ thống lại số dạng toán cực trị hàm số bậc ba đưa số cơng thức tính nhanh, cụ thể: Tìm m để hàm số đạt cực đại cực tiểu x = x0 • • Biện luận theo m số cực trị hàm số • Tìm m để hàm số có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước • Cơng thức phương trình đường thẳng qua điểm cực trị • Cơng thức tính độ dài hai điểm cực trị Từ dạng toán thường gặp từ việc vận dụng công thức tính nhanh tơi đã đưa hệ thống trắc nghiệm nhằm củng cố đồng thời giúp học sinh tiếp cận với toán trắc nghiệm Thông qua sáng kiến kinh nghiệm mong muốn đóng góp phần cơng sức nhỏ bé việc hướng dẫn học sinh ứng dụng khai thác tốt toán cực trị hàm số bậc ba Đồng thời hình thành khả tư duy, sáng tạo, kỹ giải nhanh toán trắc nghiệm, từ tạo hứng thú cho em học toán Tuy nhiên kinh nghiệm giảng dạy chưa nhiều, trình độ thân hạn chế nên tơi mong đóng góp bổ sung Hội đồng khoa học cấp bạn đồng nghiệp 3.2 Kiến nghị - Đối với nhà trường : Cần đầu tư nhiều trang thiết bị dạy học ; Tích cự tổ chức buổi thảo luận, hội thảo chuyên môn - Đối với Sở giáo dục : Chúng mong muốn tham dự nhiều buổi tập huấn chuyên môn, buổi hội thảo khoa học để trao đổi kinh nghiệm ; Ngồi sáng kiến kinh nghiệm có chất lượng đề nghị Sở phổ biến rộng rãi trường để chúng tơi áp dụng q trình dạy học XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 12 tháng năm 2018 Tôi xin cam đoan SKKN mình, khơng chép nội dung người khác Mạc Lương Thao 22 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đồn Quỳnh, Hướng dẫn ơn tập kỳ thi THPT Quốc Gia năm học 2015-2016, Nxb Giáo dục Việt Nam [2] Lê Hồnh Phò, 10 trọng điểm bồi dưỡng HSG, Nxb ĐHQG Hà Nội [3] Nguyễn Duy Hiếu, Giải toán giải tích 12, Nxb ĐH sư phạm [4] Nguyễn Thái Sơn, Giải tốn THPT với máy tính cầm tay Fx-570VNPlus, Nxb ĐHSP TP Hò Chí Minh [5] Trần Phương, Hàm số, Nxb ĐHQG Hà Nội [6] Trần Thành Minh, Phan Lưu Biên, Trần Quang Nghĩa, Giải toán câu hỏi giải tích 12, Nxb Giáo dục 23 ... hướng dẫn học sinh ứng dụng khai thác tốt toán cực trị hàm số bậc ba Đồng thời hình thành khả tư duy, sáng tạo, kỹ giải nhanh tốn trắc nghiệm, từ tạo hứng thú cho em học toán Tuy nhiên kinh nghiệm. .. học hỏi đồng nghiệp; đã hệ thống lại số dạng toán cực trị hàm số bậc ba đưa số công thức tính nhanh, cụ thể: Tìm m để hàm số đạt cực đại cực tiểu x = x0 • • Biện luận theo m số cực trị hàm số. .. 1) ≥ (∀x) ⇒ hàm số ln đồng biến nên ko có cực trị Hay m = không thỏa mãn Vậy m = hàm số có cực đại x = 2.3.2 Biện luận theo m số cực trị hàm số Số cực trị hàm số phụ thuộc vào số nghiệm phương