CHUN ĐỀ: Hai đường thẳng vng góc (HÌNH HỌC 11) Câu hỏi trắc nghiệm lí thuyết hai đường thẳng vng góc Xác định góc hai vecto, góc hai đường thẳng Tính tích vơ hướng hai vectơ Hai đường thẳng vng góc khơng gian Chủ đề: Hai đường thẳng vng góc Câu hỏi trắc nghiệm lí thuyết hai đường thẳng vng góc A Phương pháp giải Góc hai vectơ khơng gian Định nghĩa Trong không gian, cho u→ v→ hai vectơ khác 0→ Lấy điểm A bất kì, gọi B C hai điểm cho AB→ = u→, AC→ = v→ Khi ta gọi góc kí hiệu (u→, v→) góc hai vectơ u→ v→ khơng gian, Tích vơ hướng hai vectơ không gian Định nghĩa Trong không gian, cho hai vectơ u→ v→ khác 0→ Tích vơ hướng hai vectơ u→ u→ số, kí hiệu u→.v→, xác định cơng thức: Trong trường hợp u→ = 0→ v→ = 0→, ta quy ước u→.v→ = II – Vecto phương đường thẳng Định nghĩa Vectơ a→ khác 0→ gọi vectơ phương đường thẳng d giá vectơ a→ song song trùng với đường thẳng d Nhận xét a) Nếu a→ vectơ phương đường thẳng d vectơ k.a→ với k ≠ vectơ phương d b) Một đường thẳng không gian hoàn toàn xác định biết điểm A thuộc d vectơ phương a→ c) Hai đường thẳng song song với chúng hai đường thẳng phân biệt có hai vectơ phương phương III – Góc hai đường thẳng khơng gian Định nghĩa Góc hai đường thẳng a b không gian góc hai đường thẳng a’ b’ qua điểm song song với a b Nhận xét a) Để xác định góc hai đường thẳng a b ta lấy điểm O thuộc hai đường thẳng vẽ đường thẳng qua O song song với đường thẳng lại b) Góc hai đường thẳng không vượt 90° c) Nếu u→ vectơ phương đường thẳng a v→ vectơ phương đường thẳng b (u→, v→) = α góc hai đường thẳng a b α 0° ≤ α ≤ 90° 180° - α 90° < α ≤ 180° Nếu a b song song trùng góc chúng 0° IV – Hai đường thẳng vng góc Định nghĩa Hai đường thẳng gọi vng góc với góc chúng 90° Người ta kí hiệu hai đường thẳng a b vng góc với a ⊥ b Nhận xét a) Gọi u→ v→ vectơ phương hai đường thẳng a b thì: a ⊥ b ⇔ u→.v→ = b) Cho hai đường thẳng song song Nếu đường thẳng vng góc với đường thẳng vng góc với đường thẳng c) Hai đường thẳng vng góc với cắt chéo B Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Trong khơng gian cho ba đường thẳng phân biệt a;b;c Khẳng định sau đúng? A Nếu a b vng góc với c a//b B Nếu a // b c ⊥ a c ⊥ b C Nếu góc a c góc b c a // b D Nếu a b nằm mp(α) // c góc a c góc b c Hướng dẫn giải Chọn B Ta xét phương án: + Phương án A: Nếu a b vuông góc với c a b song song chéo ⇒ A sai + Phương án C sai do: Giả sử hai đường thẳng a b chéo nhau, ta dựng đường thẳng c đường vuông góc chung a b Khi góc a c với góc b c 90°, hiển nhiên hai đường thẳng a b không song song + Phương án D sai do: giả sử a vng góc với c; bsong song với c, góc a c 90°, góc b c 0° Do B Ví dụ 2: Trong mệnh đề sau mệnh đề đúng? A Góc hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng a c b song song với c (hoặc b trùng với c) B Góc hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng a c b song song với c C Góc hai đường thẳng góc nhọn D Góc hai đường thẳng góc hai véctơ phương hai đường thẳng Hướng dẫn giải Chọn A Ta xét phương án: + Phương án B sai: Ví dụ hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có: (AD; AB) = (AD; AA’) = 90° AB AA’ lại vng góc với + Phương án C sai : Vì góc hai đường thẳng khơng vượt q 90° Mà 90° lại khơng góc nhọn + Phương án D: Góc hai đường thẳng góc hai véctơ phương hai đường thẳng góc hai vecto phương khơng vượt 90° ⇒ Phương án A Ví dụ 3: Trong mệnh đề mệnh đề là? A Cho hai đường thẳng song song, đường thẳng vng góc với đường thẳng thứ vng góc với đường thẳng thứ hai B Trong khơng gian, hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng thứ ba song song với C Hai đường thẳng phân biệt vng góc với chúng cắt D Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng thứ ba vng góc với Hướng dẫn giải Chọn A Theo lý thuyết Ví dụ 4: Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề đúng? A Một đường thẳng cắt hai đường thẳng cho trước ba đường thẳng nằm mặt phẳng B Ba đường thẳng cắt đôi không nằm mặt phẳng đồng quy C Một đường thẳng cắt hai đường thẳng cắt cho trước ba đường thẳng nằm mặt phẳng D Ba đường thẳng cắt đơi nằm mặt phẳng Hướng dẫn giải Chọn B Gọi a; b; c đường thẳng cắt đôi Giả sử a; b cắt A, c khơng nằm mặt phẳng với a; b mà c cắt a; b nên c phải qua A Thật giả sử c không qua A phải cắt a; b hai điểm B; C ⇒ Đường thẳng c cắt (a; b) điểm B; C điều vơ lí, đường thẳng cắt mặt phẳng hai điểm phân biệt Ví dụ 5: Trong khẳng định sau, khẳng định ? A Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng thứ ba song song với B Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b đường thẳng b vng góc với đường thẳng c a vng góc với c C Cho hai đường thẳng phân biệt a b Nếu đường thẳng c vng góc với a b a; b; c khơng đồng phẳng D Cho hai đường thẳng a b song song, a vng góc với c b vng góc với c Hướng dẫn giải Ta xét phương án: + Phương án A sai: hai đường thẳng vng góc với đường thẳng thứ ba song song với vng góc với + Phương án B sai đường thẳng a vng góc với đường thẳng b đường thẳng b vng góc với đường thẳng c a song song với c(khi đường thẳng a; b; c đồng phẳng) + Phương án C sai với đường thẳng a // b đường thẳng a; b; c đồng phẳng Nếu đường thẳng c vng góc với a c vng góc với b + Theo nhận xét phần hai đường thẳng vng góc SGK đáp án D C Bài tập vận dụng Câu 1: Mệnh đề sau đúng? A Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng vng góc song song với đường thẳng lại B Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng song song với C Hai đường thẳng vuông góc với đường thẳng vng góc với D Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng song song vng góc với đường thẳng Hiển thị lời giải Theo nhận xét phần hai đường thẳng vng góc SGK đáp án D Câu 2: Cho hình lập phương ABCD.EFGH Hãy xác định góc cặp vectơ AB→ DH→ A 45° B.90° C 120° D 60° Hiển thị lời giải Chọn B Câu 3: Cho hai đường thẳng a b vng góc với Biết a vng góc với đường thẳng c Tìm mệnh đề ? A b vng góc với c B b // c C Cả A B D Tất sai Hiển thị lời giải + Phương án A sai: Ví dụ a; b c nằm mặt phẳng Khi đó; b // c (vì vng góc với đường thẳng a) + Phương án B sai Ví dụ hình chóp S.ABC có SA; SB SC đơi vng góc Rõ ràng SA vng góc SB SC SB SC không song song với Chọn D Câu 4: Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng thứ ba thì: A Song song với B Vng góc với C Chéo D Tất sai Hiển thị lời giải + Phương án A sai: ví dụ hình chóp S.ABC có SA, SB SC đơi vng góc Có SA SB vng góc với SC SA SB khơng song song với Đồng thời ta thấy SA SB cắt S ⇒ A C sai + Phương án B sai: Ví dụ đường thẳng a; b c đồng phẳng Có a c vng góc với b Khi đó; a // c ⇒ B sai Chọn D Câu 5: Chọn mệnh đề sai? A Nếu a // b b // c a //c B Nếu a vng góc với b ; b vng góc với c a // c C Cho a // b Nếu a vng góc với c b vng góc với c D Hai đường thẳng vng góc với tích vơ hướng hai vecto phương hai đường thẳng Xác định góc hai vecto, góc hai đường thẳng A Phương pháp giải Để tính góc hai đường thẳng d 1; d2 khơng gian ta thực theo hai cách Cách Tìm góc hai đường thẳng d 1, d2 cách chọn điểm O thích hợp (O thường nằm hai đường thẳng) Từ O dựng đường thẳng d1, d2 song song ( tròng O nằm hai đường thẳng) với d1 d2 Góc hai đường thẳng d1, d2 góc hai đường thẳng d1, d2 Lưu ý 1: Để tính góc ta thường sử dụng định lí cơsin tam giác Cách Tìm hai vec tơ phương u1, u2 hai đường thẳng d1, d2 Khi góc hai đường thẳng d1, d2 xác định cos(d1, d2) = Lưu ý 2: Để tính u1→, u2→, |u1→|, |u2→| ta chọn ba vec tơ a→, b→, c→ khơng đồng phẳng mà tính độ dài góc chúng,sau biểu thị vec tơ u1→, u2→ qua vec tơ a→, b→, c→ thực tính tốn B Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD.EFGH Hãy xác định góc cặp vectơ AB→ DH→ Câu 9: Cho tứ diện ABCD Tìm giá trị k thích hợp thỏa mãn: A k = B k = C k = D k = Hiển thị lời giải Chọn đáp án C Câu 10: Trong không gian cho tam giác ABC có trọng tâm G Chọn hệ thức đúng? A AB2 + AC2 + BC2 = 2.(GA2 + GB2 + GC2) B AB2 + AC2 + BC2 = GA2 + GB2 + GC2 C AB2 + AC2 + BC2 = 4.(GA2 + GB2 + GC2) D AB2 + AC2 + BC2 = 3.(GA2 + GB2 + GC2) Hiển thị lời giải Cách Ta có Tương tự ta suy GA2 + GB2 + GC2 Chọn đáp án D Hai đường thẳng vng góc khơng gian A Phương pháp giải Để chứng minh hai đường thẳng vng góc với ta làm theo cách sau: + Gọi u→ v→ hai vecto phương hai đường thẳng; chứng minh: u→ v→ = ⇒ (u→ ; v→) = 90° + Dùng định lí Pytago đảo chứng minh hai đường thẳng vng góc + Nếu a // a’; b // b’ a ⊥ b a' ⊥ b' B Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có AC = a; BD = 3a Gọi M; N trung điểm AD BC Biết AC vng góc với BD Tính MN Hướng dẫn giải Gọi P trung điểm AB ⇒ PN; PM đường trung bình tam giác ABC ABD Suy Ta có AC ⊥ BD ⇒ PN ⊥ PM hay tam giác PMN vng P Do Chọn B Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có AB vng góc với CD Mặt phẳng (P) song song với AB CD cắt BC; DB; AD; AC M; N; P; Q Tứ giác MNPQ hình gì? A Hình thang B Hình bình hành C Hình chữ nhật D Tứ giác khơng phải hình thang Hướng dẫn giải Ta có Tương tự ta có: MN // CD; NP // AB QP // CD Do tứ giác MNPQ hình bình hành Lại có MN ⊥ MQ(do AB ⊥ CD) ⇒ Tứ giác MNPQ hình chữ nhật Chọn C Ví dụ 3: Trong khơng gian cho hai tam giác ABC ABC’ có chung cạnh AB nằm hai mặt phẳng khác Gọi M; N; P; Q trung điểm cạnh AC; CB; BC’ C’A Tứ giác MNPQ hình gì? A Hình bình hành B Hình chữ nhật C Hình vng D Hình thang Hướng dẫn giải Vì M; N; P; Q trung điểm cạnh AC; CB; BC’ C’A ⇒ MNPQ hình bình hành Gọi H trung điểm AB Vì hai tam giác ABC ABC’ nên Suy AB ⊥ (CHC') Do AB ⊥ CC' Ta có Vậy tứ giác MNPQ hình chữ nhật Chọn B Ví dụ 4: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cạnh Trong mệnh đề sau, mệnh đề sai? A A'C' ⊥ BD B BB' ⊥ BD C A'B ⊥ DC' D BC' ⊥ A'D Hướng dẫn giải Chọn B Chú ý: Hình hộp có tất cạnh gọi hình hộp thoi A vì: Ví dụ 5: Cho tứ diện ABCD Chứng minh AB→.AC→ = AC→.AD→ = AD→.AB→ AB ⊥ CD, AC ⊥ BD, AD ⊥ BC Điều ngược lại không? Sau lời giải: Bước 1: AB→.AC→ = AC→.AD→ ⇔ AC→.(AB→ - AD→) = ⇔ AC.DB = ⇔ AC ⊥ BD Bước 2: Chứng minh tương tự, từ AC→.AD→ = AD→.AB→ ta AD ⊥ BC AB→.AC→ = AD→.AB→ ta AB ⊥ CD Bước 3: Ngược lại đúng, trình chứng minh bước trình biến đổi tương đương Bài giải hay sai? Nếu sai sai đâu? A Đúng B Sai từ bước C Sai từ bước D Sai bước Hướng dẫn giải Chọn A C Bài tập vận dụng Câu 1: Cho tứ diện ABCD có cạnh a Gọi M, N, P, Q, R trung điểm AB, CD, AD, BC AC Tính góc hai đường thẳng AB CD? A (AB, CD) = 60° B (AB, CD) = 30° C (AB, CD) = 45° D (AB, CD) = 90° Hiển thị lời giải + Ta chứng minh MN vng góc với RQ : Ta có MC = MD = (a√3)/2 nên tam giác MCD cân M, MN ⊥ CD Lại có RP // CD ⇒ MN ⊥ RQ + Tương tự ta có QP ⊥ AD + Trong tam giác vng PDQ ta có : Chọn D Câu 2: Trong không gian cho hai tam giác ABC ABC’ có chung cạnh AB nằm hai mặt phẳng khác Gọi M, N, P, Q trung điểm cạnh AC, CB, BC’ C’A Tứ giác MNPQ hình gì? A Hình bình hành B Hình chữ nhật C Hình vng D Hình thang Hiển thị lời giải Chọn B + xét tam giác ABC có MN đường trung bình nên MN // AB MN = (1/2)AB (1) + Tương tự có: PQ // AB PQ = 1/2 AB (2) Từ (1) (2) suy ra: MNPQ hình bhình hành Gọi H trung điểm AB Vì hai tam giác ABC ABC’ nên Câu 3: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a Trên cạnh DC BB' lấy điểm M N cho MD = NB = x (0 ≤ x ≤ a) Khẳng định sau đúng? a) Khẳng định sau đúng? A AC' ⊥ B'D' B AC’ cắt B’D’ C AC’ B’D’ đồng phẳng D Cả A, B, C b) khẳng định sau ? A AC' ⊥ MN B AC’ MN cắt C AC’ MN đồng phẳng D Cả A, B, C Hiển thị lời giải Câu 4: Cho tứ diện ABCD có AC = a, BD = 3a Gọi M N trung điểm AD BC Biết AC vng góc với BD Tính MN Hiển thị lời giải Chọn A Gọi E, F trung điểm AB CD Ta có: Mà: Từ (1), (2) ⇒ MENF hình chữ nhật Từ ta có: Chọn D Câu 5: Cho tứ diện ABCD có AB = a ; BD = 3a Gọi M N trung điểm AD BC Biết AC vng góc với BD Tính MN Hiển thị lời giải Chọn B Kẻ NP // AC, nối MP Do NP đường trung bình tam giác ABC ⇒ PN = (1/2).AC = a/2 Do MP đường trung bình tam giác ABD ⇒ PM = (1/2).BD = 3a/2 Lại có (AC, BD) = (PN, PM) = ∠MPN = 90° ⇒ Tam giác MNP vuông P Vậy Câu 6: Cho tứ diện ABCD có AB = CD Gọi I; J; E; F trung điểm AC; BC; BD; AD Góc (IE; JF) A 30° B 45° C 60° D 90° Hiển thị lời giải Chọn D Tam giác ABC có IJ đường trung bình nên IJ // AB IJ = 1/2 AB (1) Tam giác ABD có EF đường trung bình nên EF // AB EF = 1/2 AB (2) Từ (1) (2) suy : Tứ giác IJEF hình bình hành Mặt khác Do IJEF hình thoi Suy (IE ; JF) = 90° mà AB = CD nên IJ = JE ... góc hai đường thẳng a c b song song với c (hoặc b trùng với c) B Góc hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng a c b song song với c C Góc hai đường thẳng góc nhọn D Góc hai đường thẳng góc hai. .. A Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng vng góc song song với đường thẳng lại B Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng song song với C Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng vng góc với... vng góc với c b vng góc với c D Hai đường thẳng vng góc với tích vơ hướng hai vecto phương hai đường thẳng Xác định góc hai vecto, góc hai đường thẳng A Phương pháp giải Để tính góc hai đường thẳng