CHUN ĐỀ HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC HÌNH HỌC 11 Câu hỏi trắc nghiệm lí thuyết hai mặt phẳng vng góc Tính góc hai mặt phẳng khơng gian Chứng minh hai mặt phẳng vng góc khơng gian Tính độ dài đoạn thẳng khơng gian Xác định thiết diện chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng Chủ đề: Hai mặt phẳng vng góc Câu hỏi trắc nghiệm lí thuyết hai mặt phẳng vng góc A Phương pháp giải Góc hai mặt phẳng a Định nghĩa: Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai đường thẳng b Cách xác định góc hai mặt phẳng: Giả sử (P) ∩ (Q) = c Từ I ∈ c, dựng c Diện tích hình chiếu đa giác Gọi S diện tích đa giác (H) (P), S' diện tích hình chiếu (H') (H) (Q), φ = ((P), (Q)) Khi đó: S' = S.cosφ Hai mặt phẳng vng góc a Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi vng góc góc hai đường thẳng 90° (P) ⊥ (Q) ⇔ ((P), (Q)) = 90° b Điều kiện để hai mặt phẳng vng góc với nhau: Nếu mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng khác hai mặt phẳng vng góc với c Tính chất hai mặt phẳng vng góc + Định lí: Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc với đường thẳng a nằm (P) vng góc với giao tuyến (P) và( Q) vng góc với (Q) + Hệ 1: Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc với A điểm nằm (P) đường thẳng a qua điểm A vng góc với (Q) nằm (P) + Hệ 2: Nếu hai mặt phẳng cắt vng góc với mặt phẳng thứ ba giao tuyến chúng vng góc với mặt phẳng thứ ba + Hệ 3: Qua đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng (P) có mặt phẳng (Q) vng góc với mp(P) Hình lăng trụ đứng Hình hộp chữ nhật hình lập phương a Hình lăng trụ đứng : Là hình lăng trụ có cạnh bên vng góc với mặt đáy b Hình lăng trụ đều: Là hình lăng trụ đứng có đáy đa giác c Hình hộp đứng: Là hình lăng trụ đứng có đáy hình bình hành d Hình hộp chữ nhật: hình hộp đứng có đáy hình chữ nhật e Hình lập phương: Là hình hộp chữ nhật có tất cạnh Hình chóp hình chóp cụt Định nghĩa: Một hình chóp gọi hình chóp đáy đa giác cạnh bên Định nghĩa: Khi cắt hình chóp mặt phẳng song song với đáy để hình chóp cụt gọi hình chóp cụt B Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A Hai mặt phẳng vng góc với mặt phẳng thứ ba vng góc với B Qua đường thẳng cho trước có mặt phẳng vng góc với mặt phẳng cho trước C Các mặt phẳng qua điểm cho trước vng góc với mặt phẳng cho trước ln qua đường thẳng cố định D Hai mặt phẳng song song với mặt phẳng thứ ba song song với Hướng dẫn giải Chọn C Đường thẳng thỏa mãn cần tìm đường thẳng qua điểm A cho trước vng góc với mặt phẳng (P) cho trước Đây đường thẳng cố định Ví dụ 2: Chọn mệnh đề mệnh đề sau đây: A Cho hai đường thẳng a b vng góc với nhau, mặt phẳng vng góc với đường song song với đường B Cho đường thẳng a ⊥ (α) , mặt phẳng (β) chứa a (β) ⊥ (α) C Cho hai đường thẳng chéo a b, ln ln có mặt phẳng chứa đường vng góc với đường thẳng D Cho hai đường thẳng a b vng góc với nhau, mặt phẳng (α) chứa a mặt phẳng (β) chứa b (α) ⊥ (β) Hướng dẫn giải Chọn B Định lí: Nếu mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng khác hai mặt phẳng vng góc với Ví dụ 3: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình vng có cạnh bên vng góc với đáy Xét bốn mặt phẳng chứa bốn mặt bên mặt phẳng chứa mặt đáy Trong mệnh đề sau mệnh đề đúng? A Có ba cặp mặt phẳng vng góc với B Có hai cặp mặt phẳng vng góc với C Có năm cặp mặt phẳng vng góc với D Có bốn cặp mặt phẳng vng góc với Hướng dẫn giải Xét hình chóp S.ABCD có đáy hình vng SA ⊥ (ABCD) + Do SA ⊂ (SAB) SA ⊥ (ABCD) nên (SAB) ⊥ (ABCD) + Do SA ⊂ (SAD) SA ⊥ (ABCD) nên (SAD) ⊥ (ABCD) + Do AD ⊥ SA, AD ⊥ AB nên AD ⊥ ( SAB) AD ⊂ (SAD) AD ⊥ (SAB) nên (SAD) ⊥ (SAB) + Chứng minh tương tự; ta có: (SAD) ⊥ (SCD) (SAB) ⊥ (SBC) ⇒ có tất năm cặp mặt phẳng vng góc với Chọn C Ví dụ 4: Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A Hai đường thẳng phân biệt vuông góc với đường thẳng vng góc với B Hai đường thẳng phân biệt song song với mặt phẳng song song với C Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng cắt D Một mặt phẳng (P) đường thẳng a không thuộc (P) vuông góc với đường thẳng b (P) // a Hướng dẫn giải Chọn D Ví dụ 5: Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A Nếu hình hộp có bốn mặt bên hình chữ nhật hình hộp chữ nhật B Nếu hình hộp có ba mặt bên hình chữ nhật hình hộp chữ nhật C Nếu hình hộp có hai mặt bên hình chữ nhật hình hộp chữ nhật D Nếu hình hộp có năm mặt bên hình chữ nhật hình hộp chữ nhật Hướng dẫn giải Chọn D Định nghĩa: Hình hộp chữ nhật hình hộp đứng có đáy hình chữ nhật Khi tất mặt hình hộp hình chữ nhật Hình hộp đứng : Là hình lăng trụ đứng có đáy hình bình hành Khi có mặt hình hộp hình chữ nhật Ví dụ 6: Trong mệnh đề sau đây, tìm mệnh đề A Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng thứ ba song song với B Nếu hai mặt vng góc với đường thẳng thuộc mặt phẳng vng góc với mặt phẳng C Hai mặt phẳng (α) (β) vng góc với cắt theo giao tuyến d Với mỗi điểm A thuộc (α) mỗi điểm B thuộc (β) ta có đường thẳng AB vng góc với d D Nếu hai mặt phẳng (α) (β) vng góc với mặt phẳng (γ) giao tuyến d (α) (β) có vng góc với (γ) Hướng dẫn giải Chọn D Đây định lí Ví dụ 7: Cho hai mặt phẳng (α) (β) vng góc với gọi d = (α) ∩ (β) I Nếu a ⊂ (α) a ⊥ d a ⊥ (β) II Nếu d' ⊥ (α) d' ⊥ d III Nếu b ⊥ d b ⊂ (α) b ⊂ (β) IV Nếu (γ) ⊥ d (γ) ⊥ (α) (γ) ⊥ (β) Các mệnh đề A I, II III B III IV C II III D I, II IV Hướng dẫn giải Chọn D Dựa theo tính chất hai mặt phẳng vng góc nên suy : I ; II IV Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A S.ABC hình chóp mặt bên tam giác cân đỉnh B S.ABC hình chóp góc mặt phẳng chứa mặt bên mặt phẳng đáy C S.ABC hình chóp mặt bên tam giác cân D S.ABC hình chóp mặt bên có diện tích Hướng dẫn giải Chọn A + Định nghĩa: Hình chóp hình chóp có đáy đa giác cạnh bên + Nếu hình chóp S.ABC có mặt bên tam giác cân S SA = SB = SC Lại có đáy ABC tam giác ⇒ S.ABC hình chóp Ví dụ 9: Trong lăng trụ đều, khẳng định sau sai? A Đáy đa giác B Các mặt bên hình chữ nhật nằm mặt phẳng vng góc với đáy C Các cạnh bên đường cao D Các mặt bên hình bình hành Hướng dẫn giải A Vì lăng trụ nên cạnh Do đáy đa giác B Vì lăng trụ lăng trụ đứng nên mặt bên vng góc với đáy C Vì lăng trụ lăng trụ đứng nên cạnh bên vng góc với đáy D Vì lăng trụ lăng trụ đứng nên cạnh bên vuông góc với đáy Do mặt bên hình vng Chọn D Ví dụ 10: Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng? A Nếu hình hộp có hai mặt hình chữ nhật hình hộp chữ nhật B Nếu hình hộp có năm mặt hình chữ nhật hình hộp chữ nhật C Nếu hình hộp có bốn mặt hình chữ nhật hình hộp chữ nhật D Nếu hình hộp có ba mặt hình chữ nhật hình hộp chữ nhật Hướng dẫn giải Chọn đáp án B A sai đáy hình bình hành B C sai đáy hình bình hành D sai đáy hình bình hành Ví dụ 11: Hình hộp ABCD.A'B'C'D' trở thành hình lăng trụ tứ giác phải thêm điều kiện sau đây? A Tất cạnh đáy cạnh bên vng góc với mặt đáy B Có mặt bên vng góc với mặt đáy đáy hình vng C Các mặt bên hình chữ nhật mặt đáy hình vng D Cạnh bên cạnh đáy cạnh bên vng góc với mặt đáy Hướng dẫn giải Chọn đáp án C + Định nghĩa: Hình lăng trụ tứ giác hình lăng trụ đứng có đáy hình vng + Do đó; để hình hộp ABCD.A’B’C’D’ trở thành hình lăng trụ tứ giác mặt bên hình chữ nhật đáy hình vng C Bài tập vận dụng Câu 1: Cho hai mặt phẳng (P) (Q) cắt điểm M không thuộc (P) (Q) Qua M có mặt phẳng vng góc với (P) (Q)? A B C D Vô số Hiển thị lời giải Chọn A Qua điểm M có đường thẳng a vng góc với mặt phẳng (P) Đồng thời qua điểm M có đường thẳng b vng góc với mặt phẳng (Q) Hai đường t thẳng a b cắt M nên hai đường thẳng xác định mặt phẳng (R) vng góc với hai mặt phẳng (P) (Q) ; (R) qua điểm M Câu 2: Cho hai mặt phẳng (P) (Q), a đường thẳng nằm (P) Mệnh đề sau sai ? A Nếu a // b với b = (P) ∩ (Q) a // (Q) B Nếu (P) ⊥ (Q) a // (Q) C Nếu a cắt (Q) (P) cắt (Q) D Nếu (P) // (Q) a // (Q) Hiển thị lời giải Hiển thị lời giải Gọi H trung điểm CD Vì tam giác ACD cân A ( AC = AD = a) tam giác BCD cân B ⇒ AH ⊥ CD, BH ⊥ CD Ta có Câu 7: Cho hình chóp S.ABC có cạnh đáy a, góc mặt bên mặt đáy 60° Tính độ dài đường cao SH Hiển thị lời giải Chọn A Ta có: (SBC) ∩ (ABC) = BC Gọi M N trung điểm cạnh BC AC Do S.ABC hình chóp nên tam giác SBC cân S Lại có SM đường trung tuyến nên đồng thời đường cao: ⇒ SM ⊥ BC Tương tự ta chứng minh được: AM ⊥ BC ((SBC), (ABC)) = (SM, AM) = ∠SMA = ∠SMH = 60° Tam giác ABC cạnh a nên AM = a√3/2 Vì H chân đường cao hình chóp S ABC nên H trùng với trọng tâm tam giác ABC Áp dụng hệ thức lượng tam giác SHM vng H ta có : Câu 8: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có AB = AA’= a, BC = 2a, CA = a√5 Khẳng định sau sai? A Đáy ABC tam giác vng B Hai mặt (AA’B’B) (BB’C’) vng góc C Góc hai mặt phẳng (ABC) (A’BC) có số đo 45° D AC' = 2a√2 Hiển thị lời giải Chọn D Ta chứng minh khẳng định D sai: Do ABC.A’B’C’ hình lăng trụ đứng nên CC’ = AA’ = a Áp dụng định lý Pytago tam giác ACC’ vng C ta có: AC'2 = AC2 + CC'2 = 5a2 + a2 = 6a2 ⇒ AC' = a√6 ⇒ Khẳng định D sai Chọn D Câu 9: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy ABCD hình thoi tâm I cạnh a góc ∠A = 60°, cạnh SC = a√6/2 SC vng góc với mặt phẳng (ABCD) Trong tam giác SCA kẻ IK ⊥ SA K Tính độ dài IK Hiển thị lời giải Tam giác AKI đồng dạng tam giác ACS (g.g) + Tam giác BCD tam giác ABD hai tam giác cạnh a Tam giác SAC vuông C Vậy IK = a/2 Chọn A Xác định thiết diện chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng Xác định thiết diện chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng A Phương pháp giải Cho mặt phẳng (α) đường thẳng a khơng vng góc với (α) Xác định mặt phẳng (β) chứa a vng góc với (α) - Để giải toán ta làm theo bước sau: + Chọn điểm A ∈ a + Dựng đường thẳng b qua A vng góc với (α) Khi mp(a; b) mặt phẳng (β) B Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hai mặt phẳng vng góc (P) (Q) có giao tuyến Δ Lấy A; B thuộc Δ lấy C (P), D (Q) cho AC ⊥ AB, BD ⊥ AB AB = AC = BD Thiết diện tứ diện ABCD cắt mặt phẳng (α) qua A vng góc với CD hình gì? A Tam giác cân B Hình vng C Tam giác D Tam giác vng Hướng dẫn giải Gọi I trung điểm BC Vì tam giác ABC vng cân A nên AI ⊥ BC Ta có Trong (ACD) , dựng đường thẳng qua A vng góc với CD cắt CD H Thiết diện tứ diện ABCD cắt mặt phẳng (α) tam giác AHI Vì AI ⊥ (BCD) ⇒ AI ⊥ HI nên tam giác AHI tam giác vng I Chọn D Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình vng, SA ⊥ (ABCD) Gọi (α) mặt phẳng chứa AB vng góc với (SCD), (α) cắt chóp S.ABCD theo thiết diện hình gì? A hình bình hành B hình thang vng C hình thang khơng vng D hình chữ nhật Hướng dẫn giải Dựng AH ⊥ CD Ta có Từ thiết diện hình thang ABKH Mặt khác AB ⊥ (SAD) nên AB ⊥ AH Vậy thiết diện hình thang vng A H Chọn đáp án B Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD với ABCD hình chữ nhật tâm O có AB = a ; AD = 2a ; SA vng góc với đáy SA = a Gọi (P) mặt phẳng qua SO vng góc với (SAD) Diện tích thiết diện (P) hình chóp S.ABCD bao nhiêu? Hướng dẫn giải Trong (ABCD) dựng đường thẳng d qua O d // AB Gọi M N giao điểm d với BC AD Ta có : AB ⊥ AD AB ⊥ SA nên AB ⊥ (SAD) Lại có: MN // AB ⇒ MN ⊥ (SAD) ⇒ ( SMN) ⊥ (SAD) (1) Mà SO ⊂ (SMN) nên (P) (SMN) ⇒ Thiết diện hình chóp cắt mp (P) tam giác SMN Do MN ⊥ (SAD) nên MN ⊥ SN; tam giác SMN vng N Ví dụ 4: Cho hai mặt phẳng vng góc (P) (Q) có giao tuyến Δ Lấy A; B thuộc Δ lấy C (P), D (Q) cho AC ⊥ AB, BD ⊥ AB AB = AC = BD = a Diện tích thiết diện tứ diện ABCD cắt mặt phẳng (α) qua A vng góc với CD là? Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: Gọi H trung điểm BC, ta có Trong mặt phẳng (BCD), kẻ HI ⊥ CD ta có CD ⊥ (AHI) Khi mặt phẳng (α) cắt tứ diện ABCD theo thiết diện tam giác AHI Mặt khác tam giác ABC vuông cân A nên BC = a√2 ⇒ AH = a√2/2 Trong tam giác BCD, kẻ đường cao BK BK = a√2/√3 HI = a/√6 Vậy: thiết diện cần tìm tam giác AHI vng H có diện tích S = a2√3/12 Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ đứng AbC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vng A, với AB = c; AC = b , cạnh bên AA’ = h Mặt phẳng (P) qua A’ vng góc với B’C Thiết diện lăng trụ cắt mặt phẳng (P) có hình: A h1 h2 B h2 h3 C h2 D h1 Hướng dẫn giải Gọi (P) mặt phẳng qua A’ vng góc với BC Từ A’ ta dựng A'K' ⊥ B'C', Vì (ABC) ⊥ (BCC'B') nên A'K' ⊥ B'C' ⇒ A'K' ⊥ (BCC'B') ⇒ A'K' ⊥ BC' (1) Mặt khác mặt phẳng (BCC'B') dựng K'x ⊥ B'C cắt BB’ điểm N(2) Từ (1) (2) ta có : Chọn đáp án A C Bài tập vận dụng Câu 1: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh a Cắt hình lập phương mặt phẳng trung trực AC’ Thiết diện hình gì? A Hình vng B Lục giác C Ngũ giác D Tam giác Hiển thị lời giải Ta có AC hình chiếu AC’ lên (ABCD) mà AC ⊥ BD nên AC' ⊥ BD (1) Ta có Mặt phẳng trung trực AC’ mặt phẳng (α) qua trung điểm I AC’ (α) ⊥ AC' (4) Từ (3) (4) suy Do : Qua I dựng MQ // BD Dựng: MN // A'D NP // B'D' // BD QK // B'C // A'D KH // BD Mà MN = NP = PQ = QK = KM = a√2/2 Suy thiết diện lục giác Chọn đáp án B ... vng góc với mặt phẳng B Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng vng góc với C Hai mặt phẳng phân biệt vuông góc với mặt phẳng song song với D Hai mặt phẳng vng góc với đường thẳng nằm mặt. .. vng góc với hai mặt phẳng cắt cho trước D Hai mặt phẳng vng góc với mặt phẳng thứ ba vng góc với Hiển thị lời giải Giả sử hai mặt phẳng cắt theo giao tuyến c Khi ta dựng mặt phẳng (R) vng góc. .. đúng? A Hai mặt phẳng vng góc với mặt phẳng thứ ba vng góc với B Qua đường thẳng cho trước có mặt phẳng vng góc với mặt phẳng cho trước C Các mặt phẳng qua điểm cho trước vng góc với mặt phẳng