CHUN ĐỀ KHOẢNG CÁCH HÌNH HỌC 11 Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (sử dụng hình chiếu) Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (dùng quan hệ song song) Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Khoảng cách hai mặt phẳng song song Đoạn vng góc chung hai đường thẳng chéo Đoạn vng góc chung hai đường thẳng chéo không gian (dùng quan hệ song song) Chủ đề: Khoảng cách Tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng A Phương pháp giải - Để tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ ta cần xác định hình chiếu H điểm M đường thẳng Δ Khi MH khoảng cách từ M đến đường thẳng Điểm H thường dựng theo hai cách sau: + Trong mp(M; Δ) vẽ MH vng góc Δ ⇒ d(M; Δ) = MH + Dựng mặt phẳng (α) qua M vng góc với Δ H ⇒ d(M; Δ) = MH - Hai cơng thức sau thường dùng để tính MH: + Tam giác AMB vng M có đường cao AH + MH đường cao tam giác MAB B Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hình chóp tam giác S.ABC với SA vng góc với (ABC) SA = 3a Diện tích tam giác ABC 2a2; BC = a Khoảng cách từ S đến BC bao nhiêu? A 2a B 4a C.3a Hướng dẫn giải + Kẻ AH vng góc với BC Ta có: SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ BC D 5a Lại có: AH ⊥ BC nên BC ⊥ (SAH) ⇒ SH ⊥ BC khoảng cách từ S đến BC SH + Ta có tam giác vng SAH vng A nên ta có Chọn D Ví dụ 2: Cho hình chóp ABCD có cạnh AC ⊥ (BCD) BCD tam giác cạnh a Biết AC = a√2 M trung điểm BD Khoảng cách từ C đến đường thẳng AM Hướng dẫn giải + Do tam giác BCD cạnh a nên đường trung tuyến CM đồng thời đường cao MC = a√3/2 + Ta có: AC ⊥ (BCD) ⇒ AC ⊥ CM Gọi H chân đường vng góc kẻ từ C đến AM Ta có: Chọn đáp án C Ví dụ 3: Cho tứ diện SABC SA; SB; SC vng góc với đôi SA = 3a; SB = a; SC = 2a Khoảng cách từ A đến đường thẳng BC bằng: Hướng dẫn giải Chọn đáp án B Xét tam giác SBC vng S có SH đường cao ta có: + Ta dễ chứng minh AB ⊥ (SBC) ⊃ SH ⇒ AS ⊥ SH ⇒ tam giác SAH vuông S Áp dụng định lsi Pytago tam giác ASH vuông S ta có: Chọn B Ví dụ 4: Cho hình chóp A.BCD có cạnh AC ⊥ (BCD) BCD tam giác cạnh a Biết AC = a√2 M trung điểm BD Khoảng cách từ A đến đường thẳng BD bằng: Hướng dẫn giải Chọn D Ta có: (Định lý đường vng góc) ⇒ d(A, BD) = AM, CM = a√3/2 (vì tam giác BCD đều) + AC vng góc ( BCD) nên AC vng góc CM hay tam giác ACM vng C ⇒ Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) , đáy ABCD hình thoi cạnh a ∠B = 60° Biết SA = 2a Tính khoảng cách từ A đến SC Hướng dẫn giải Chọn C Kẻ AH ⊥ SC, d(A; SC) = AH + Do ABCD hình thoi cạnh a ∠B = 60° nên tam giác ABC ⇒ AC =a + Do SA vng góc (ABCD) nên SA vng góc AC hay tam giác SAC vng A Trong tam giác vng ta có: Ví dụ 6: Cho hình chóp S ABCD có SA ⊥ (ABCD) ; SA = 2a, ABCD hình vng cạnh a Gọi O tâm ABCD, tính khoảng cách từ O đến SC Hướng dẫn giải Chọn A + Kẻ OH ⊥ SC , d(O; SC) = OH + Ta có: ΔSAC ∼ ΔOHC (g.g) (g-g) nên Ví dụ 7: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a góc hợp cạnh bên mặt đáy α Khoảng cách từ tâm đáy đến cạnh bên Hướng dẫn giải Chọn D + Gọi O tâm hình vng ABCD + Do S.ABCD hình chóp tứ giác nên SO ⊥ (ABCD) + Theo giả thiết góc cạnh bên mặt đáy α nên : ∠SDO = α Kẻ OH ⊥ SD, d(O, SD) = OH Ta có: BD = a√a nên OD = (1/2)BD = (1/2).a√2 = (a√2)/2 + Xét tam giác vuông OHD: OH = OD.sinα = (a√2/2).sinα C Bài tập vận dụng Câu 1: Cho hình chóp S.ABC SA; AB; BC vng góc với đơi Biết SA = 3a, AB = a√3, BC = a√6 Khoảng cách từ B đến SC A a√2 B 2a C 2a√3 D a√3 Hiển thị lời giải Chọn B + Vì SA, AB, BC vng góc với đôi nên CB ⊥ (SAB) ⇒ CB ⊥ SB Chọn đáp án D Câu 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh (đvd) Khoảng cách giữaAA’ BD’ bằng: Hiển thị lời giải Ta có: AA’ // DD’ (tính chất hình lập phương) Mà DD ⊂ (BDD’B’) ⇒ AA’ // (BDD’B’) ⇒ d(AA’; BD’) = d(AA’; (BDD’B’)) = d(A; BDD’B’) Gọi O trung điểm BD ⇒ AO ⊥ BD (tính chất hình vng) Lại có: AO ⊥ BB’ ⇒ AO ⊥ (BDD’B’) ⇒ d(A; (BDD’B’) ) = AO + Xét tam giác ABD có: Chọn D Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, BC = a√3; AB = a Hai mặt phẳng (SAC) (SBD) vuông góc với mặt đáy đường thẳng SC tạo với mặt đáy góc 60° Khoảng cách hai đường thẳng SB AC Hiển thị lời giải Chọn D Gọi O giao điểm AC BD + Do OC hình chiếu vng góc SC mặt phẳng (ABCD) ⇒ (SC, (ABCD)) = ∠SCO = 60° + Gọi M trung điểm SD Khi đó; MO đường trung bình tam giác SBD nên MO // SB ⇒ SB // (ACM) + Trong mặt phẳng (SBD) kẻ MH // SO ⇒ MH ⊥ (ABCD) Khi d(SB; AC) = d(SB; (ACM)) = d(B; (ACM)) = 2d(H; (ACM)) + Ta có: khoảng cách từ D đến AC d: Xét tam giác vuông MHK đường cao MI có: Câu 4: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân B; AB = BC = a, SA vng góc với mặt phẳng (ABC) góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABC) 60° Khoảng cách hai đường thẳng SB AC Hiển thị lời giải Chọn D + Gọi I trung điểm AC Qua B kẻ đường thẳng d song song với AC Trong mặt phẳng ( ABC) kẻ AE vng góc với d E Khi AE ⊥ BE AE ⊥ AC + Ta có: AC // BE nên AC // (SBE) ⇒ d (AC, SB) = d(A, (SBE)) + Gọi AH đường cao (SAE) , ta có Vì SA ⊥ (ABC) nên hình chiếu SC mặt phẳng (ABC) AC suy góc SC mặt phẳng (ABC) ∠SCA = 60° Câu 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cân A Gọi H M trung điểm cạnh BC SC; SH vng góc với (ABC), SA = 2a tạo với mặt đáy góc 60° Khoảng cách hai đường thẳng AM BC là: Hiển thị lời giải + Hình chiếu vng góc SA mặt phẳng (ABC) HA nên góc SA (ABC) ∠SAH ⇒ suy AH = SA.cos60° = a; SH = a√3 + Gọi N; I trung điểm SB SH SI = SH/2 = a√3/2 Ta có mặt phẳng (AMN) // BC (vì MN // BC) ⇒ d(AM; BC) = d(BC, (AMN)) = d(H; (AMN)) + Dựng HK ⊥ AI + Xét tam giác IAH vuông H, đường cao HK Đáp án C Câu 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng (ABC) , gọi I trung điểm cạnh BC Biết góc đường thẳng SI mặt phẳng ( ABC) 60° Khoảng cách hai đường thẳng SB AC Hiển thị lời giải + Hình chiếu vng góc SI mặt phẳng (ABC) AI nên góc SI mặt phẳng (ABC) ∠SIA (vì tam giác SIA vng A nên ∠SIA nhọn) Suy ra: ∠SIA = 60° + Xét tam giác SIA vuông A, ∠SIA = 60° AI = a√3/2 nên SA = AI.tan60° = 3a/2 + Dựng hình bình hành ABCD, tam giác ABC nên tam giác ABD + Ta có AC // BD nên AC // (SBD) ⇒ d(AC; SB) = d(AC, (SBD)) = d(A; (SBD)) + Gọi K trung điểm đoạn BD, tam giác ABD cạnh a suy AK ⊥ BD AK = a√3/2 mà BD ⊥ SA nên BD ⊥ (SAK) + Dựng AH ⊥ SK, H ∈ SK lại có AH ⊥ BD suy AH ⊥ (SBD) Vậy d(A, (SBD)) = AH + Xét tam giác SAK vng vng A, đường cao AH ta có Đáp án B Câu 7: Cho hình chóp S.ABC tam giác ABC vuông B; BC = a; AC = 2a tam giác SAB Hình chiếu S lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm M AC Khoảng cách hai đường thẳng SA BC là: Hiển thị lời giải + Tam giác ABC vuông B, BC = a AC = 2a suy AB = a√3 Tam giác SAM vuông M, SA = a√3 ( tam giác SAB đều); AM = AC/2 = a ⇒ SM = a√2 + Dựng hình bình hành ABCD, gọi N trung điểm AD Do ∠ABC = 90° suy ABCD hình chữ nhật suy MN ⊥ AD Lại có: SM ⊥ AD nên AD ⊥ (SMN) Dựng MH ⊥ AD, H ∈ SN Theo có AD ⊥ (SMN) nên AD ⊥ MH ⇒ MH ⊥ ( SAD) Vậy d(M; (SAD)) = MH + Do BC // AD nên BC // (SAD) ⇒ d(SA; BC) = d(BC; (SAD) = d(C; (SAD)) = 2d(M; (SAD)) = 2.MH + Xét tam giác SMN vuông M, đường cao MH: Chọn C Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a ∠ABC = 60° Hai mặt phẳng (SAC) (SBD) vng góc với đáy, góc hai mặt phẳng (SAB) (ABCD) 30° Khoảng cách hai đường thẳng SA CD theo a bằng: Hiển thị lời giải Gọi O giao điểm AC BD Kẻ: OI ⊥ AB; OH ⊥ SI + Do CD // AB nên CD // (SAB) ⇒ d(CD; SA) = d(CD, (SAB)) = d(C; (SAB)) = 2d(O; (SAB)) Ta có: AB ⊥ SO, AB ⊥ OI ⇒ AB ⊥ (SOI) ⇒ AB ⊥ OH Nên OH ⊥ (SAB) ⇒ d(O, (SAB)) = OH Mà tam giác ACB cân B có ∠ABC = 60° nên tam giác ABC ⇒ OC = (1/2)AC = (1/2)AB = a/2 + xét tam giác OAB có: Chọn đáp án B Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm I, AB = 2a ; BD = √3AC, mặt bên SAB tam giác cân đỉnh A; hình chiếu vng góc đỉnh S mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H AI Khoảng cách hai đường thẳng SB CD bằng: Hiển thị lời giải + Ta có: CD // AB ⇒ CD // (SAB) ⇒ d(CD; SB) = d(CD; (SAB)) = d(C; (SAB)) = 4.d(H; (SAB)) + Kẻ MH ⊥ AB; HK ⊥ SM Ta có: tan(BAC) = BI/IA = √3 ⇒ ∠BAC = 60° ⇒ ΔABC Do đó: Chọn đáp án B Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng ABCD cạnh a Các cạnh bên SA = SB = SC = SD = a√2 Khoảng cách hai đường thẳng AD SB là: Hiển thị lời giải + Do AD // BC nên AD // (SBC) ⇒ d(AD; SB) = d(AD, (SBC)) = d(H; (SBC)) Trong H trung điểm AD + Gọi M trung điểm BC K hình chiếu vng góc H lên SM ⇒ d(H; (SBC)) = HK + Diện tích tam giác SMH là: Chọn đáp án C ... SBC vng B ta có: Câu 2: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Khoảng cách từ đỉnh A hình lập phương đến đường thẳng CD’ Hiển thị lời giải Gọi M trung điểm CD’ Do ABCD.A’B’C’D’ hình lập phương... giải + Kẻ AH vng góc với BC Ta có: SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ BC D 5a Lại có: AH ⊥ BC nên BC ⊥ (SAH) ⇒ SH ⊥ BC khoảng cách từ S đến BC SH + Ta có tam giác vng SAH vng A nên ta có Chọn D Ví dụ 2: Cho hình. .. AC’) Đáp án B Câu 5: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a đường cao SO = a√3/3 Khoảng cách từ điểm O đến cạnh bên SA Hiển thị lời giải Chọn B Vì hình chóp S.ABC có SO đường cao ⇒ O tâm tam