SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI CỤM TRƯỜNG THPT THANH XNCẦU GIẤY-THƯỜNG TÍN Câu ĐỀ OLYMPIC MƠN TỐN 10 NĂM HỌC 2018 – 2019 Mơn: Tốn Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian phát đề) Cho hàm số y  x  x  1 a) Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị  P  hàm số 1 b) Tìm m để phương trình  x  x   m  có hai nghiệm x1 x2 thỏa mãn: x1  1   x2 Câu a) Giải bất phương trình sau:  x2  x  x2  5x   2 2 x  xy  y  x  y   b) Giải hệ phương trình sau:   x  y  x  y   x2  4x  m  nghiệm x  x2  2x  Cho tam giác ABC ; đặt a  BC , b  AC , c  AB Gọi M điểm tùy ý c) Tìm m để bất phương trình: 2  Câu ? a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  MA2  MB  MC theo a, b, c   b) Giả sử a  cm, b  cm, c   cm Tính số đo góc nhỏ tam giác ABC diện tích tam giác ABC Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD Gọi H hình chiếu A lên BD ; I trung điểm BH Biết đỉnh A  2;1 , phương trình đường chéo BD là: x  y  19  ,  42 41  điểm I  ;   13 13  a) Viết phương trình tham số đường thẳng AH Tìm tọa độ điểm H ? b) Viết phương trình tổng quát cạnh AD Câu Cho ba số dương a , b, c thỏa mãn: a  b  c  Chứng minh a b c 3    2 b c c a a b 2 HẾT Câu HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Cho hàm số y  x  x  1 a) Lập bảng biến thiên vẽ đồ thị  P  hàm số 1 b)Tìm m để phương trình  x  x   m  có hai nghiệm x1 x2 thỏa mãn: x1  1   x2 Lời giải a) Tập xác định: D  Tọa độ đỉnh I 1;1 Hệ số a   nên hàm số đồng biến khoảng 1;    nghịch biến khoảng  ;1 Bảng biến thiên: + Đồ thị:  P  có trục đối xứng đường thẳng x   P  qua điểm A  0;  ; B  2;  b)  x  x   m   x  x    m 1 Số nghiệm phương trình 1 số giao điểm  P  với đường thẳng d : y  m ,  d  đường thẳng ln song song trùng với Ox Dựa vào đồ thị  P  ta thấy phương trình 1 có nghiệm thỏa mãn x1  1   x2  m   m  5 Câu a) Giải bất phương trình sau:  x2  x  x2  5x   2 x  xy  y  x  y   b) Giải hệ phương trình sau:   x  y  x  y   x2  4x  m  nghiệm x  x2  2x  Lời giải  x  3 a) Điều kiện x  x     x   + Ta thấy x  3 , x  nghiệm bất phương trình cho  x  3 x  x   , suy x  x   nên: + Khi  x    x  4 x2  x x  5x    x  x    x   c) Tìm m để bất phương trình: 2   ?  1  Suy trường hợp bất phương trình có tập nghiệm S2   ; 4   ;   2  1  Vậy bất phương trình có tập nghiệm S   ; 4   ;    3 2  2 x  xy  y  x  y   b)  2  x  y  x  y   Ta có: x  xy  y  x  y    y  xy  y  xy  x  x  y  x    y  y  x  1  x  y  x  1   y  x  1  y  2 x   y  x   y  x  1     y  2x 1 Như thế:   y   x  2 2   x    x   x    x    2 x  xy  y  x  y     2  x  y  x  y     y  x     x   x  1  x   x  1    x    y   x  y     2 x  x      x    y  2x 1       5 x  x   13  y     13  Vậy hệ có nghiệm  x; y  là: 1;1 ;   ;    5 c) Ta có x  x    x  1   , x  Câu nên: 2 x2  4x  m 2 x  x   x  x  m 3x  x  m   (1) 2  3   2 x  2x  2 x  x   m  (2)  x  x  m  3x  x  Yêu cầu toán trở thành tìm m để bất phương trình (1), (2) nghiệm với x thuộc Ta thấy:  1  42   m     m   (1) với x thuộc 17 (2) với x thuộc   2  12    m    m   17  Vậy m    ;   2 Cho tam giác ABC ; đặt a  BC , b  AC , c  AB Gọi M điểm tùy ý c) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  MA2  MB  MC theo a, b, c   d) Giả sử a  cm, b  cm, c   cm Tính số đo góc nhỏ tam giác ABC diện tích tam giác ABC Lời giải a) Gọi G trọng tâm tam giác ABC  GA  GB  GC  2 Ta có P  MA2  MB2  MC  MA  MB  MC        MA2  MG  GA  MG  2MG.GA  GA2   Với  MB  MG  GB  MG  2MG.GB  GB  2  MC  MG  GC  MG  2MG.GC  GC   MA  MB  MC  3MG   GA2  GB2  GC  2 Khi P  3MG   GA2  GB  GC  P  MG  MG  M  G  4  b2  c2 a      2b  2c  a  GA  ma   9   4  a  c2 b2       2a  2c  b  Mặt khác GB  mb2   9 4    2  GC  mc2   a  b  c    2a  2b  c  9 4  Suy Pmin  b) a  b2  c2     * Ta có a  cm, b  cm, c   cm Vì b  a, b, c suy góc B tam giác ABC có số đo nhỏ Áp dụng định lí Cosin tam giác ABC , ta được: b  a  c  2ac cos B   a  c2  b2    62  cos B      B  45 2ac 2 6 2    Vậy B  45 1 * Diện tích tam giác ABC : S  ac sin B  6.2  2 Vậy S  (đvdt) Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD Gọi H hình chiếu A lên BD ; I trung điểm BH Biết đỉnh A  2;1 , phương trình đường chéo BD là: x  y  19  ,  42 41  điểm I  ;   13 13  c) Viết phương trình tham số đường thẳng AH Tìm tọa độ điểm H ? d) Viết phương trình tổng quát cạnh AD Lời giải a) B C I H A D BD : x  y  19  có véc tơ pháp tuyến nBD  1;5 AH  BD nên AH nhận véc tơ pháp tuyến BD : nBD  1;5 làm vec tơ phương Vậy AH qua A  2;1 có véc tơ phương u AH  1;5 nên phương trình tham số x   t đường thẳng AH là:   y   5t b) H   AH  BD nên tọa độ H thỏa mãn hệ phương trình:  x   t x   t    32 43    y   5t  H  ;   y   5t  13 13   x  y  19    t   13  42 41   32 43  Vì I  ;  trung điểm BH với H  ;  nên tọa độ B  4;3  13 13   13 13  Có AD  AB nên đường thẳng AD nhận véc tơ AB  2;  làm véc tơ pháp tuyến Đường thẳng AD qua điểm A  2;1 có véc tơ pháp tuyến AB  2;  nên có phương trình tổng quát là:  x     y  1   x  y   Lời giải a) B C H I A D BD : x  y  19  có vtpt nBD  1;5 AH  BD nên vtcp u AH  vtpt nBD  1;5 qua A  2;1 x   t  Vậy AH :   y   t vtcp u  1;5     AH  b) H   AH  BD nên tọa độ H thỏa mãn hệ phương trình:  x   t x   t    32 43    y   5t  H  ;   y   5t  13 13   x  y  19    t   13  xB  xI  xH  42 41   32 43   B  4;3 Vì I  ;  trung điểm BH với H  ;  nên tọa độ B :   13 13   13 13   yB  yI  yH AB   2;  Có AD  AB nên vtpt nAD  AB   2;   qua A  2;1   x     y 1    x  y 3  Vậy AD :  vtpt n  2;2    AD  Câu Cho ba số dương a , b, c thỏa mãn: a  b  c  Chứng minh a b c 3    2 b c c a a b 2 Lời giải: Do a, b, c  thỏa mãn a  b  c  nên a, b, c   0;1 Ta có a b c 3 a b c 3        2 2 2 b c c a a b 1 a 1 b 1 c 2 Ta chứng minh Thật 3  a , a   0;1 (1) 1 a      3  a  a  a2   a  a  a (*) 1 a 27 3 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số dương 2a , 1  a  , 1  a  ta có:     2a  a  a  a  a  3   2a    a2   a2 27    a 1  a  1  a   27 27 Dấu “=” xảy 2a   a  a  Vậy (*) Tương tự ta có: 3 b  b , b   0;1 (2) Dấu “=” xảy  b  1 b 3 c c c , c   0;1 (3) Dấu “=” xảy  c  1 c Lấy (1), (2), (3) cộng theo vế ta có: Dấu “=” xảy  a  b  c  a b c 3    2 b c c a a b 2