TRƯỜNG THPT CHUYÊN NBK TỔ TOÁN Ngày ĐỀ KIỂM TRA CHUN ĐỀ HỌC KÌ (2018-2019) MƠN TỐN KHỐI 10 THỜI GIAN: 120 phút Học sinh làm toán sau Bài ( điểm) Bài ( điểm) Bài ( điểm) a) Giải phương trình 8cos x cos 2 x + − cos 3x + = x + y − x y − xy = b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình Bài ( điểm) a) Tìm sớ dư phép chia 20182019 cho 13 p b) Cho số nguyên tố khác khác Chứng minh dãy 9, 99,999,9999, p có vơ sớ sớ hạng chia hết cho HẾT • • Học sinh không phép sử dụng tài liệu; Giám thị coi thi khơng giải thích thêm HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KIỂM TRA CHUN ĐỀ MƠN TỐN LỚP 10 – HỌC KÌ - NĂM 2017 – 2018 Bài Nội dung Bài Điểm Bài a) Bài b) Bài 3a) 1đ 8cos x cos 2 x + − cos 3x + = Giải phương trình 8cos x cos 2 x + − cos x + = ⇔ cos x(1 + cos x) + − cos x + = ⇔ (4 cos x + cos x + 1) + − cos x = ⇔ (2 cos x + 1) + − cos x = 2 cos x + = ⇔  − cos x = π kπ  cos x = − ⇔ x = ± + ⇔ cos x = ⇔ x = k 2π  Bài 3b (2đ) Tìm nghiệm nguyên của phương trình x + y − x y − xy = 0,25 0,25 0,25x2 x3 + y − x y − xy = ⇔ ( x + y )( x − xy + y ) − xy(x + y) = ⇔ (x + y)(x − xy + y ) = ⇔ (x + y)(x − y) = ≥ Do (x-y)2 x, y thuộc Z nên xảy hai trường hợp:  x + y = x =   x + y = x − y = y = =>   x = ( x − y ) =   x + y =   y =   x − y = −1 Th1:  x + y = x + y = =>  (L)  ( x − y ) =  x − y = ± Th2: 0,5 0,5 0,5 0,5 Vậy phương trình có hai nghiệm ngun Bài 4a (1đ) Tìm sớ dư phép chia 2018 ≡ 3(mod13) Ta có: 33 ≡ (mod 13) ⇒ 20182019 ≡ 32019 = Vậy Bài 4b (1đ) (3 ) 673 20182019 ≡ 1(mod13) ( x; y ) ∈ {(3; 2);(2;3)} 20182019 cho 13 0,25 0,25 0,25 0,25 ≡ 1672 ≡ 1(mod13) hay 20182109 chia 13 dư 9, 99,999,9999, số nguyên tố khác khác Chứng minh dãy có p vơ sớ sớ hạng chia hết cho gcd ( p,10 ) = p Do số nguyên tố khác khác nên 0.25 10 p −1 ≡ 1( mod p ) Theo định lý Fermat nhỏ, ta có: n( p −1) n p −1 10 ≡ 1( mod p ) ⇒ 10 ( ) − 1Mp n n 0,25 Do đó, với ngun dương với ngun dương 10 n( p −1) − = 99 0.25 { Cho p Mặt khác, n( p −1) Từ suy tồn vô số số hạng của dãy 9, 99,999,9999, chia hết cho p 0,25 ...HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KIỂM TRA CHUN ĐỀ MƠN TỐN LỚP 10 – HỌC KÌ - NĂM 2017 – 2018 Bài Nội dung Bài Điểm Bài a) Bài b) Bài 3a) 1đ 8cos... 1(mod13) hay 2018 2109 chia 13 dư 9, 99,999,9999, số nguyên tố khác khác Chứng minh dãy có p vơ sớ sớ hạng chia hết cho gcd ( p ,10 ) = p Do số nguyên tố khác khác nên 0.25 10 p −1 ≡ 1( mod... mod p ) Theo định lý Fermat nhỏ, ta có: n( p −1) n p −1 10 ≡ 1( mod p ) ⇒ 10 ( ) − 1Mp n n 0,25 Do đó, với ngun dương với ngun dương 10 n( p −1) − = 99 0.25 { Cho p Mặt khác, n( p −1) Từ suy