Chuyên đề: Viết phương trình Tiếp tuyến (hình học 11) Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp điểm Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến qua điểm Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết hệ số góc Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số qua điểm Viết phương trình tiếp tuyến thỏa mãn điều kiện cho trước 60 tập trắc nghiệm Viết phương trình tiếp tuyến có đáp án chi tiết (phần 1) 60 tập trắc nghiệm Viết phương trình tiếp tuyến có đáp án chi tiết (phần 2) Viết phương trình Tiếp tuyến Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp điểm A Phương pháp giải & Ví dụ - Đường cong (C): y = f(x) có tiếp tuyến điểm có hồnh độ x o hàm số y = f(x) khả vi x o Trong trường hợp (C) có tiếp tuyến điểm có hồnh độ xothì tiếp tuyến có hệ số góc f ’(xo) - Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C): y = f(x) điểm M(xo; f(xo)) có dạng : y = f’(xo)(x-xo) + f(xo) Bài tốn Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) điểm M(x o; f(xo)) Giải: Tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) M(xo;f(xo)) là: y = f’(xo)(x-xo)+f(xo) (1) Bài tốn Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) biết hoành độ tiếp điểm x = xo Giải: Tính yo = f(xo) f’(xo) Từ suy phương trình tiếp tuyến: y = f’(xo)(x-xo) + yo Bài tốn Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) biết tung độ tiếp điểm yo Giải Gọi M(xo, yo) tiếp điểm Giải phương trình f(x) = yo ta tìm nghiệm xo Tính y’(xo) thay vào phương trình (1) Ví dụ minh họa Bài 1: Cho hàm số y = x3+3x2+1 có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) : Tại điểm M( -1;3) Tại điểm có hồnh độ Hướng dẫn: Hàm số cho xác định D = R Ta có: y’ = 3x2 + 6x Ta có: y’(-1) = -3, phương trình tiếp tuyến M là: y = -3.(x + 1) + = - 3x Thay x = vào đồ thị (C) ta y = 21 Tương tự câu 1, phương trình là: y = y’(2).(x – 2) + 21 = 24x – 27 Bài 2: Gọi (C) đồ thị hàm số Gọi M điểm thuộc (C) có khoảng cách đến trục hồnh độ Viết phương trình tiếp tuyến (C) M Hướng dẫn: Khoảng cách từ M đến trục Ox ⇔ yM = ±5 Phương trình tiếp tuyến (C) điểm M(-7/3,-5) y = 9x + 16 Phương trình tiếp tuyến (C) điểm M( - 4, 5) y = 4x + 21 Bài 3: Cho hàm số y = x3 + 3x2 – 6x + (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết hoành độ tiếp điểm Hướng dẫn: Gọi M(xo; yo) tọa độ tiếp điểm Ta có xo = ⇒ yo = - y = x3 + 3x2 – 6x + nên y’ = 3x2 + 6x – Từ suy y’(1) = Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm y = 3(x – 1) – = 3x – Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số: y = 2x – 4x2 + biết tung độ tiếp điểm Hướng dẫn: Gọi M(xo; yo) tọa độ tiếp điểm Ta có yo = ⇒ 2xo4 - 4xo2 + = ⇔ Ta có y’ = 8x3 – 8x Với M(0;1) phương trình tiếp tuyến là: y = Với M(√2;1) phương trình tiếp tuyến là: y = 8√2 (x - √2) + = 8√2x – 15 Với M(-√2;1) phương trình tiếp tuyến là: y = - 8√2 (x + √2) + = - 8√2x – 15 Bài 5: Cho hàm số y = x3 – 3x + (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết tiếp điểm M(0,1) Hướng dẫn: y’ = 3x2 – y’(0) = - Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = -3x – Bài 6: Cho hàm số y = x4 + x2 + (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết hồnh độ tiếp điểm nghiệm phương trình x2 = Hướng dẫn: Gọi M(xo; yo) tọa độ tiếp điểm Ta có: xo2 = ⇔ xo = ±1 Ta có: y’ = 4x3 + 2x Với M(1; 3) phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 6(x – 1) + = 6x – Với M( -1; 3) phương trình tiếp tuyến cần tìm y = -6(x + 1) + = -6x – Bài 7: Cho hàm số có hồnh độ xo = qua A(4;3) Tìm m để tiếp tuyến (Cm) điểm Hướng dẫn: x=0⇒y=-m–1 Ta có Từ suy y’(0) = - m – Phương trình tiếp tuyến (0; - m – 1) là: y = (- m – 3)x – m – Tiếp tuyến qua A(4; 3) nên ta có: = 4( - m – 3) – m – ⇔ m = 16/5 B Bài tập vận dụng Bài 1: Cho hàm số y = f(x), có đồ thị (C) điểm M o(xo ; f(xo)) ∈ (C) Phương trình tiếp tuyến (C) Mo là: A y = f'(x)(x-xo )+yo B y = f'(xo )(x-xo ) C y - yo = f'(xo)(x-xo ) D y - yo = f'(xo )x Hiển thị đáp án Đáp án: C Chọn C Bài 2: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = (x + 1) 2(x – 2) điểm có hồnh độ x = A y = - 8x + B y = 9x + 18 C y = -4x + D y = 9x – 18 Hiển thị đáp án Đáp án: D Chọn D Gọi M(xo ; yo) tọa độ tiếp điểm Ta có xo = ⇒ yo = y = (x + 1)2(x – 2) = x3 – 3x – nên y’ = 3x2 – Từ suy y’(2) = Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm y = 9(x – 2) = 9x – 18 Bài 3: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x(3 – x) điểm có hoành độ x = A y = -3x + B y = -3x + C y = 3x – D y = 3x – Hiển thị đáp án Đáp án: A Chọn A Gọi M(xo ; yo) tọa độ tiếp điểm Ta có xo = ⇒ yo = y = (3 – x)2x = x3 – 6x2 + 9x nên y’ = 3x2 – 12x + Từ suy y’(2) = - Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm y = -3(x – 2) + = -3x + Bài 4: Cho đường cong (C): y = x2 Phương trình tiếp tuyến (C) điểm M( -1; 1) A y = -2x + B y = 2x + C y = -2x - D y = 2x – Hiển thị đáp án Đáp án: C Chọn C Ta có y = x2 nên y’ = 2x Từ suy y’(-1) = -2 Vậy phương trình tiếp tuyết cần tìm : y = -2(x + 1) +1 = -2x – Bài 5: Cho hàm số A y = - 4( x – 1) – B y = - 5( x – 1) + Phương trình tiếp tuyến A(1; -2) C y = - 5( x – 1) – D y = -3(x – 1) – Hiển thị đáp án Đáp án: C Chọn C Ta có Phương trình tiếp tuyến cần tìm: y = -5(x – 1) – = -5x + Bài 6: Cho hàm số A(0 ; 2) là: Phương trình tiếp tuyến A y = 7x + B y = 7x - C y = - 7x + D y = - 7x - Hiển thị đáp án Đáp án: A Chọn A Ta có : y’ = x2 – 6x + Hệ số góc tiếp tuyến y’(0) = Phương trình tiếp tuyến A(0 ; 2): y = 7x + Bài 7: Gọi (P) đồ thị hàm số y = 2x – x + Phương trình tiếp tuyến với (P) điểm mà (P) cắt trục tung là: A y = - x + B y = - x - C y = 4x – D y = 11x + Hiển thị đáp án Đáp án: A Chọn A Ta có : (P) cắt trục tung điểm M(0 ; 3) y’ = 4x – Hệ số góc tiếp tuyến : y’(0) = - Phương trình tiếp tuyến đồ thị (P) M(0 ;3) y = -x + Bài 8: Đồ thị (C) hàm số (C) điểm A có phương trình là: A y = - 4x – B y = 4x – C y = 5x – D y = - 5x – Hiển thị đáp án Đáp án: A Chọn A Ta có : điểm A(0 ; -1) cắt trục tung điểm A Tiếp tuyến ⇒ hệ số góc tiếp tuyến y’(0) = -4 Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm A(0 ; -1) : y = -4x – Bài 9: Cho hàm số có đồ thị (H) Phương trình tiếp tuyến giao điểm (H) với trục hoành là: A y = 2x – B y = 3x + C y = - 2x + D y = 2x Hiển thị đáp án Đáp án: C Chọn C Giao điểm (H) với trục hồnh A(2;0) Ta có: Phương trình tiếp tuyến cần tìm y = -2(x – 2) = -2x + Bài 10: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số f(x) = x – 2x2 + 3x điểm có hồnh độ xo = -1 là: A y = 10x + B y = 10x – C y = 2x – Hiển thị đáp án Đáp án: C Chọn C Bài 17: Hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số đồ thị hàm số với trục hoành : A B 1/9 C -9 giao điểm D -1/9 Hiển thị đáp án Đáp án: A Chọn A Tập xác định:D = R\{1} Đạo hàm: Đồ thị hàm số cắt trục hoành A(2/3; 0) Hệ số góc tiếp tuyến y’(2/3) = Bài 18: Cho hàm số tiếp tuyến đồ thị hàm số kẻ từ điểm (-6; 5) Hiển thị đáp án Đáp án: B Chọn B Ta có: y' = (-4)/(x-2)2 Gọi A(a; b) tọa độ tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến Δ A: Với a = 0, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = -x-1 Với a = 6, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = (-1/4)(x-6)+2 = (-1/4)x + 7/2 Bài 19: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = (x + 1) 2(x – 2) điểm có hồnh độ x = A y = - 8x + B y = 9x + 18 C y = -4x + D y = 9x – 18 Hiển thị đáp án Đáp án: D Chọn D Gọi M(xo; yo) tọa độ tiếp điểm Ta có xo = ⇒ yo = y = (x + 1)2(x – 2) = x3 – 3x – nên y’ = 3x2 – Từ suy y’(2) = Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm y = 9(x – 2) = 9x – 18 Bài 20: Hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số trục tung : A -2 B C giao điểm với D -1 Hiển thị đáp án Đáp án: B Chọn B Tập xác định: D = R\{-1} Đạo hàm: Đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có xo = ⇒ y’(0) = 60 tập trắc nghiệm Viết phương trình tiếp tuyến có đáp án chi tiết (phần 2) Bài 21: Tiếp tuyến kẻ từ điểm (2; 3) tới đồ thị hàm số A y = -28x + 59; y = x + B y = -24x + 51; y = x + C y = -28x + 59 D y = - 28x + 59; y = -24x + 51 Hiển thị đáp án Đáp án: C Chọn C là: Ta có: Gọi A(a; b) tọa độ tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến Δ A: Với a = 3/2, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = -28(x - 3/2) + 17 = -28x + 59 Bài 22: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x(3 – x) điểm có hồnh độ x = A y = -3x + B y = -3x + C y = 3x – D y = 3x – Hiển thị đáp án Đáp án: A Chọn A Gọi M(xo ; yo) tọa độ tiếp điểm Ta có xo = ⇒ yo = y = (3 – x)2x = x3 – 6x2 + 9x nên y’ = 3x2 – 12x + Từ suy y’(2) = - Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm y = -3(x – 2) + = -3x + Bài 23: Cho hàm số y = x3 – 3x2 có đồ thị (C) có tiếp tuyến (C) song song đường thẳng y = 9x + 10 A B C D Hiển thị đáp án Đáp án: C Chọn C Tập xác định: D = R Đạo hàm: y’ = 3x2 – 6x.k = ⇒ 3xo2-6xo = ⇔ Vậy có tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu toán Bài 24: Cho hàm số qua điểm A(- 1; 0) là: A y = (3/4)x có đồ thị (C) Phương trình tiếp tuyến (C) B y = (3/4)(x+1) C y = 3(x + 1) Hiển thị đáp án Đáp án: B Chọn B Ta có: Gọi d phương trình tiếp tuyến (C) có hệ số góc k Vì A(-1; 0) ∈ d suy d: y = k(x + 1) = kx + k D y = 3x + d tiếp xúc với (C) hệ có nghiệm Thay (2) vào (1) ta x = 1, suy k = y’(1) = 3/4 Vậy phương trình tiếp tuyến (C) qua điểm A(-1; 0) là: y = (3/4)(x+1) Bài 25: Cho đường cong (C): y = x Phương trình tiếp tuyến (C) điểm M( -1; 1) A y = -2x + B y = 2x + C y = -2x - D y = 2x – Hiển thị đáp án Đáp án: C Chọn C Ta có y = x2 nên y’ = 2x Từ suy y’(-1) = -2 Vậy phương trình tiếp tuyết cần tìm : y = -2(x + 1) +1 = -2x – Bài 26: Gọi (C) đồ thị hàm số y = x + x Tiếp tuyến (C) vuông góc với đường thẳng d: x + 5y = có phương trình là: A y = 5x – B y = 3x – C y = 2x – D y = x + Hiển thị đáp án Đáp án: A Chọn A Ta có : y’ = 4x3 + Vì tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = (-1/5)x nên tiếp tuyến có hệ số góc Khi ta có : 4x3 + = ⇔ x = ⇒ y = Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số M(1; 2) có dạng y = 5(x – 1) + = 5x – Bài 27: Qua điểm A(0; 2) kẻ tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = x4 - 2x2 + A B C D Hiển thị đáp án Đáp án: B Chọn B Gọi d tiếp tuyến đồ thị hàm số cho Vì A(0; 2) ∈ d nên phương trình d có dạng: y = kx + Vì d tiếp xúc với đồ thị (C) nên hệ Thay (2) (1) ta suy Chứng tỏ từ A kẻ tiếp tuyến đến đồ thị (C) có nghiệm Bài 28: Cho hàm số Phương trình tiếp tuyến A(1; -2) A y = -4( x – 1) – B y = -5( x – 1) + C y = -5( x – 1) – D y = -3(x – 1) – Hiển thị đáp án Đáp án: C Chọn C Ta có Phương trình tiếp tuyến cần tìm: y = -5(x – 1) – = -5x + Bài 29: Gọi (C) đồ thị hàm số Tìm tọa độ điểm (C) mà tiếp tuyến với (C) vng góc với đường thẳng có phương trình y = x + A (1 + √3; 5+3√3),(1-√3; -3√3) B (2; 12) C (0; 0) D (-2; 0) Hiển thị đáp án Đáp án: A Chọn A Tập xác định: D = R\{1} Đạo hàm: Giả sử a hoành độ điểm thỏa mãn yêu cầu toán ⇒ y’(a) = -1 Bài 30: Cho hàm số y = - x4 + 2x2 có đồ thị (C) Xét hai mệnh đề: (I) Đường thẳng Δ: y = tiếp tuyến với (C) M(-1; 1) N(1; 1) (II) Trục hoành tiếp tuyến với (C) gốc toạ độ Mệnh đề đúng? A Chỉ (I) B Chỉ (II) C Cả hai đều sai D Cả hai đều đúng Hiển thị đáp án Đáp án: D Chọn đáp án D Ta có y’(-1) = y’(1) = ⇒ (I) đúng Ta có y’(0) = ⇒ (II) đúng Bài 31: Cho hàm số A(0;2) là: Phương trình tiếp tuyến A y = 7x + B y = 7x - C y = - 7x + D y = - 7x - Hiển thị đáp án Đáp án: A Chọn A Ta có : y’ = x2 – 6x + Hệ số góc tiếp tuyến y’(0) = Phương trình tiếp tuyến A(0 ; 2): y = 7x + Bài 32: Biết tiếp tuyến (d) hàm số y = x – 2x + vng góc với đường phân giác góc phần tư thứ nhất Phương trình (d) là: Hiển thị đáp án Đáp án: C Chọn C Tập xác định: D = R y’ = 3x2 – Đường phân giác góc phần tư thứ nhất có phương trình Δ: x = y ⇒ (d) có hệ số góc – 3x2 – = -1 ⇔ x = ± 1/√3 Phương trình tiếp tuyến cần tìm Bài 33: Cho hàm số y = x3 – 6x2 + 9x – có đồ thị (C) Từ điểm bất kì đường thẳng x = kẻ tiếp tuyến đến (C): A B C D Hiển thị đáp án Đáp án: B Chọn đáp án B Xét đường thẳng kẻ từ điểm bất kì đường thẳng x = có dạng d: y = k(x – 2) d tiếp tuyến (C) ⇔ Phương trình bậc ba có nhất nghiệm tương ứng cho ta giá trị k Vậy có tiếp tuyến Bài 34: Gọi (P) đồ thị hàm số y = 2x – x + Phương trình tiếp tuyến với (P) điểm mà (P) cắt trục tung là: A y = -x + B y = -x - C y = 4x – D y = 11x + Hiển thị đáp án Đáp án: A Chọn A Ta có : (P) cắt trục tung điểm M(0; 3) y’ = 4x – Hệ số góc tiếp tuyến : y’(0) = - Phương trình tiếp tuyến đồ thị (P) M(0; 3) y = -x + Bài 35: Tìm hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị y = tanx điểm có hồnh độ x = π/4 A k = B k = 0.5 C k = √2/2 D Hiển thị đáp án Đáp án: D Chọn D y = tanx ⇒ y’ = 1/(cos2x) Hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị y = tanx điểm có hồnh độ x = π/4 k = y’(π/4) = Bài 36: Đường thẳng y = 3x + m tiếp tuyến đồ thị hàm số y = x + m A -1 B C -2 D -3 Hiển thị đáp án Đáp án: B Chọn B Đường thẳng y = 3x + m đồ thị hàm số y = x3 + tiếp xúc Bài 37: Đồ thị (C) hàm số (C) điểm A có phương trình là: cắt trục tung điểm A Tiếp tuyến A y = - 4x – B y = 4x – C y = 5x – D y = - 5x – Hiển thị đáp án Đáp án: A Chọn A Ta có : điểm A(0 ; -1) y’ = (-4)/(x-1)2 ⇒ hệ số góc tiếp tuyến y’(0) = -4 Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm A(0 ; -1) : y = -4x – Bài 38: Hệ số góc tiếp tuyến đường cong điểm có hồnh độ xo = π là: A -√3/12 B √3/12 C -1/12 D 1/12 Hiển thị đáp án Đáp án: C Chọn C Bài 39: Định m để đồ thị hàm số y = x3 – mx2 + tiếp xúc với đường thẳng d: y = 5? A m = -3 B m = C m = -1 D m = Hiển thị đáp án Đáp án: A Chọn A Đường thẳng y = đồ thị hàm số y = x3 – mx2 + tiếp xúc + Với x = thay vào (1) không thỏa mãn + Với x = 2m/3 thay vào (1) ta có: m3 = -27 ⇔ m = -3 Bài 40: Cho hàm số có đồ thị (H) Phương trình tiếp tuyến giao điểm (H) với trục hoành là: A y = 2x – B y = 3x + C y = - 2x + D y = 2x Hiển thị đáp án Đáp án: C Chọn C Giao điểm (H) với trục hồnh A(2;0) Ta có: Phương trình tiếp tuyến cần tìm y = -2(x – 2) = -2x + ... Tung độ tiếp điểm nên = x4 + 2x2 – ⇔ Tại M(1;2) Phương trình tiếp tuyến y = 8x – Tại N( -1;2) Phương trình tiếp tuyến y = -8x – Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc A Phương pháp... có hệ số góc Ta có phương trình: Tại M(2; 0) Phương trình tiếp tuyến y = 1.(x – 2) = x – Tại N(-2; 4) Phương trình tiếp tuyến y = x + + = x + Bài 6: Lập phương trình tiếp tuyến đường cong (C):... (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết tiếp điểm M(0,1) Hướng dẫn: y’ = 3x2 – y’(0) = - Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = -3x – Bài 6: Cho hàm số y = x4 + x2 + (C) Viết phương trình