SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT TĨNH GIA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH TRƯỜNG THPT TĨNH GIA GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ Người thực hiện: Lê Văn Dũng Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc mơn: Tốn THANH HĨA NĂM 2018 MỤC LỤC NỘI DUNG Mở đầu TRAN G 1.1.Lý chọn đề tài 1.2.Mục đích nghiên cứu 1.3.Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 2 Nội dung nghiên cứu 2.1.Cơ sở lý luận 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các giải pháp giải vấn đề Bài toán Bài toán Bài toán Bài toán Bài toán Bài toán 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Kết luận, kiến nghị 12 13 3.1 Kết luận 13 3.2 Kiến nghị 14 Tài liệu tham khảo 15 1.1 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Trong chương trình tốn bậc THPT học sinh gặp nhiều toán liên quan đến hệ phương trình Đặc biệt kì thi Đại học, Cao đẳng, kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh mơn tốn tốn hệ phương trình tốn khó gây nhiều khó khăn cho học sinh Chính mà dạng tốn hệ phương trình có hấp dẫn, kích thích tìm tịi người u tốn Việc giúp học sinh tìm tịi nhiều cách giải cho tốn việc mà thầy giáo tâm huyết cần phải làm Là giáo viên trực tiếp giảng dạy mơn tốn với thời gian 10 năm trường THPT Tĩnh Gia 3, giao trọng trách giảng dạy đội tuyển toán nhà trường học sinh thi đại học không ngừng tìm tịi, nghiên cứu để tìm phương pháp giảng dạy hiệu nhất, phương pháp giải phù hợp với nhiều đối tượng học sinh đơn vị công tác Dưới xin trao đổi với quý đồng nghiệp đề tài: "Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh trường THPT Tĩnh Gia giải hệ phương trình phương pháp hàm số" 1.2 Mục đích nghiên cứu Qua sáng kiến kinh nghiệm mong muốn trang bị cho học sinh phương pháp giải hệ phương trình mang lại hiệu rõ nét Bồi dưỡng cho học sinh phương pháp, kỹ giải toán Qua học sinh nâng cao khả tư duy, sáng tạo Đối tượng nghiên cứu Các dạng toán giải hệ phương trình nằm chương trình tốn phổ thơng Một số tốn giải hệ phương trình đề thi tốt nghiệp THPT Quốc gia đề thi học sinh giỏi tỉnh 1.4 Phương pháp nghiên cứu Thơng qua ví dụ, tập cụ thể với cách giải đơn giản nhằm làm cho học sinh thấy mạnh việc sử dụng phương pháp hàm số để giải hệ phương trình Từ học sinh biết sử dụng phương pháp hàm số để giải hệ phương trình cách hiệu Thực nghiệm sư phạm NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 2.1 Cơ sở lí luận 1.3 • • • • Sử dụng phương pháp hàm số để giải hệ phương trình phương pháp có tính đại, cách giải hay, nhanh gọn độc đáo Do giảm tải kiến thức bậc THPT nên SGK không đề cập đến dạng tập liên quan đến phương pháp đề thi có Do phương pháp không phổ biến bắt buộc Chính lẽ mà đại đa số học sinh sử dụng phương pháp cách máy móc chưa biết sử dụng Đối với học sinh giỏi việc tiếp cận phương pháp để giải toán vấn đề cấp thiết giúp em có kỹ năng, kỹ xảo việc giải tập phương pháp hàm số đồng thời chuẩn bị cho em kiến thức vững vàng đạt kết cao kỳ thi học sinh giỏi, tốt nghiệp THPT Quốc gia Do vậy, mạnh dạn đưa sáng kiến kinh nghiệm với mục đính giúp cho học sinh THPT vận dụng tìm phương pháp giải hệ phương trình gặp tốn liên quan đến sử dụng phương pháp hàm số Để giúp cho hoc sinh phân tích tốn tìm phương pháp giải, hướng dẫn học sinh tiến hành theo bước sau đây: • Bước 1: Dự đốn hàm đặc trưng • Bước 2: Chứng minh hàm đặc trưng đơn điệu miền xác định, từ tìm mối liên hệ ẩn Để thực bước ta phải nắm vững dạng toán sau: f ( x) = k Dạng 1: phương trình y = f ( x) Bước 1: Xét hàm số , dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu (giả sử hàm số đồng biến)  Bước 2: nhận xét: x = x0 ⇔ f ( x ) = f ( x0 ) = k x = x0 - Với , nghiệm phương trình x > x0 ⇔ f ( x ) > f ( x0 ) = k - Với , phương trình vơ nghiệm x < x0 ⇔ f ( x ) < f ( x0 ) = k - Với , phương trình vơ nghiệm x = x0 Vậy nghiệm phương trình f ( x) = g ( x) Dạng 2: Phương trình  y = f ( x)  Bước 1: Xét hàm số  đồng biến hàm số nghịch biến x0 f ( x0 ) = g ( x0 ) Bước 2: Xác định cho , suy phương trình có nghiệm x = x0 y = f ( x) y = g ( x) y = g ( x) , dùng lập luận khẳng định hàm số Dạng 3: Phương trình f (u ) = f ( v ) y = f ( x) Bước 1: Xét hàm số , dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu f (u ) = f (v) ⇔ u = v ∀u, v ∈ D f  Bước 2: 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm • Trong sách giáo khoa Tốn bậc trung học phổ thơng tốn hệ phương trình sử dụng phương pháp hàm số có số lượng mức độ khó chưa tương xứng với yêu cầu đề thi Hầu hết học sinh gặp khó khăn giải tốn dạng • Trong suốt trình giảng dạy trường THPT Tĩnh gia nhận thấy học sinh gặp toán "Sử dụng phương pháp hàm số giải hệ phương trình" thường tỏ hoang mang khó khăn giải • " Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh trường THPT Tĩnh Gia giải hệ phương trình phương pháp hàm số " chìa khóa gỡ nút thắt tốn hệ phương trình • " Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh trường THPT Tĩnh Gia giải hệ phương trình phương pháp hàm số " cho ta cách nhìn đa chiều tốn, kích thích sáng tạo tính ham học hỏi, ham khám phá học sinh 2.3 Các giải pháp giải vấn đề - Nhằm giúp cho học sinh có kĩ giải tốn hệ phương thình, giúp cho em có kiến thức vững vàng có kết cao kì thi tuyển sinh - Giáo viên nên mạnh dạn giới thiệu phương pháp cho học sinh từ năm lớp 11, 12 Giáo viên phải dựa vào trình độ khối lớp để đưa dạng tập từ cấp độ thấp đến cấp độ cao mang tính vừa sức, giúp cho em quen dần với phương pháp - Đối với học sinh ôn thi học sinh giỏi ôn thi đại học cần tạo thành chuyên đề rõ ràng, học sinh biết nhận dạng có kỹ làm tốt  Một số toán giải hệ phương trình áp dụng phương pháp hàm số: Bài tốn 1:  Giải hệ phương trình :  20 − x − 17 − y − 3x − x + y − y = ( 1) ( I 1)   2 x + y + + 3x + y + 11 = x + x + 13 ( ) ( x, y ∈ R ) ( Đề thi chọn HSG cấp tỉnh mơn tốn Thanh Hóa 2014-2015) Lời giải: Điều kiện: x ≤ 6; y ≤ 5;2 x + y + ≥ 0; x + y + 11 ≥ ( 20 − 3x ) − x = ( 17 − y ) − y ⇔ ( 3( − x ) + ) − x = ( 3( − y ) + ) Xét hàm số f ( t ) = ( 3t + ) t f '( t ) = t + Kết hợp với ( 3) ta có với t≥0 , ta có 3t + > 0, ∀t > t ( 2) hệ, ta x + + x + = x + x + 13 x≥− ⇔ ( ) ( 3x + − ( x + ) + −2 x ( x + 1) 3x + + ( x + ) ( 3) f ( − x) = f ( − y) ⇔ − x = − y ⇔ y = x −1 Thay vào phương trình ⇔2 5− y + , với ) x + − ( x + 3) = x + x −3x ( x + 1) x + + ( x + 3) = x2 + x   ⇔ x ( x + 1)  + + 1÷ =  3x + + ( x + ) ÷ x + + ( x + 3)   ⇔ x = 0; x = −1 (vì + +1>1 3x + + ( x + ) x + + ( x + 3) với x thuộc TXĐ) Với x = ⇒ y = −1 Với x = −1 ⇒ y = −2 Thử lại ta thấy nghiệm hệ phương trình cho ( x; y ) ∈ { ( 0; −1) ; ( −1; −2 ) } Bài tốn 2: Giải hệ phương trình  x + x ( x − 3x + ) = y + + y + + (1)  ( I 2)  3 x − − x −6 x + = y + + (2) Lời giải: Đk:  x ( x − x + 3) ≥  x ≥ +   y + ≥ ⇒  1 ≤ x ≤ − ( *)  x −1 ≥   y ≥ −3  x2 − 6x + ≥  a = y + ≥ −1 ⇒ y + = a + Đặt ( x − 1) Khi , phương trình + + ( x − 1) = a + + a ( 3) f ( t ) = t + + t , t ≥ −1 Xét hàm số 3t f ' ( t) = + > 0, ∀t ⇒ f ( t ) t +1 ( 3) ⇔ f ( x − 1) = f ( a ) ⇔ x − = a (1) trở thành hàm đồng biến R Khi ( 2) ⇔ x − − x −6 x + = x ⇔ x − x + = x − − x 3 x − − x ≥ ( **) ⇔ 2  x − x + = ( x − 1) + x − x x − ( 3) x =1  x −1 =  ⇔  x ≥ ( 3) ⇔ x x − = ( x − 1) ⇔  5 x − = x  4 x − 25 x + 25 =  x =1   x =1  x ≥  ⇔    x = ⇔  x =    x = x =     4 Đối chiếu với (**) Vậy hệ có nghiệm ( *) x=5 thấy thỏa mãn ( x; y ) = ( 5;62 ) Nhận ⇒ a = ⇒ y = 62 f (t ) xét: Ở hai tốn việc tìm hàm đặc trưng quan trọng,là sở tìm mối liên hệ ẩn, khơng tìm hàm dặc trưng toán phức tạp Bài tốn 3: Giải hệ phương trình 4 x = ( x + + 1)( x − y + y − 2) (1)  ( I 3)  − x2 x + ( y + 1) = 2(1 + ) (2)  y  Lời giải: Giải phương trình  y = −2 (2) ⇔ y ( x + y + y + 1) = 2( y + − x ) ⇔ ( y + 2)( x + y − 1) = ⇔  2 x + y =1 +) Với y = −2 thay vào (1) ta x = x = x = x ( x + + 1) ⇔  ⇔  x + =  x = ±2 +) −1 ≤ x ≤ x2 + y2 = ⇒  −1 ≤ y ≤ ( x + 1) − 1 = ( từ phương trình (1) ta có ) x2 + + ( x2 − y3 + y − 2) ⇔ x2 + − x2 + y3 − y − = Xét hàm số f ( x) = x + − x ; ∀x ∈ [ −1;1] ; g ( y ) = y − y − ∀y ∈ [ −1;1] Min f ( x) = f (0) = [ −1;1] Min g ( y ) = g (1) = −4 [ −1;1] ⇒ f ( x ) + g ( y ) ≥ ∀x, y ∈ [ −1;1] Dấu "=" xảy x = 0; y = { ( )( ) T = ( 0; −2 ) , 2; −2 , −2 2; −2 , ( 0;1) Vậy tập nghiệm hệ } Bài tốn 4: Giải hệ phương trình ( )( )  x + x + y + y + = (1) ( I )  12 y − 10 y + = x + (2) Lời giải: ( 1) ⇔ x + x2 + = ( ) y2 + − y ⇔ x + x2 + = f ( t) = t + t2 + Xét hàm số , hàm (3) ⇒ f ( x ) = f ( −2 y ) ⇔ x = −2 y f ( t) ( −2 y ) + + ( −2 y ) (3) đồng biến R (2) ⇒ x + x + = x + Với x = −2 y Xét hàm số ⇔ ( x + 1) + ( x + 1) = ( x + 1) + x + (4) , g ( t ) = t + 2t đồng biến R (4) ⇔ x + = x + ⇔ ( x + 1) = x + x = ⇔ 3x + 3x = ⇔   x = −1 ( 0,0 ) ,  −1, Vậy hệ phương trình có nghiệm:  1 ÷ 2 Nhận xét: Đây hai tốn khó đề thi đại học, nhờ cách ứng dụng phương pháp hàm số ta có lời giải nhẹ nhàng Bài tốn 5: Giải hệ phương trình 2 x + = y + y + y  I ( ) 2 y + = z + z + z  2 z + = x + x + x ( 1) ( 2) ( 3) 10 Lời giải: Xét hàm đặc trưng: Ta có f ( t ) = t3 + t + t với f ' ( t ) = 3t + 2t + = 2t + (t + 1)2 > ⇒ f ( t ) Giả sử: t∈R đồng biến x ≤ y ≤ z ⇒ f ( x) ≤ f ( y ) ≤ f ( z ) ⇒ 2z + ≤ 2x + ≤ y + ⇔ z ≤ x ≤ y ⇒ x = y = z Hệ 2 x + = y + y + y x = y = z  ( I 5) 2 y + = z + z + z ⇔  2 x + = x + x + x 2 z + = x + x + x  x = y = z x = y = z = ⇔ ⇔  x = y = z = −1  ( x + 1)( x − 1) = T = { (1;1;1),(−1; −1; −1)} Vậy tập nghiệm hệ Bài toán : Giải hệ phương trình :  x − x + 6.log ( − y ) = x   ( I 6)  y − y + 6.log ( − z ) = y   z − z + 6.log ( − x ) = z (Đề thi HSG quốc gia THPT năm 2006) Lời giải: Điều kiện: x, y , z < Hệ cho tương đương với: 11  x log ( − y ) = x2 − 2x +   y log ( − z ) = y − 2y +   z log ( − x ) = z − 2z +  f ( t) = Xét hàm số ⇒ f '( t ) = ⇒ f ( t) t t − 2t + ( 2) ( 3) ( 6;+∞ ) 2t − t − 2t + − t 6−t t − 2t + = > ∀t ∈ ( 6; +∞ ) t − 2t + ( t − 2t + ) t − 2t + hàm số đồng biến Xét hàm số g ( t ) = log ( − t ) ⇒ g '( t ) = − ⇒ g( t) ( 6;+∞ ) ( 6;+∞ ) < ∀t ∈ ( 6;+∞ ( − t ) ln hàm số nghịch biến Khi hệ ban đầu có dạng Giả sử ( 1) ) ( 6;+∞ )  f ( x) = g ( y)   f ( y) = g ( z)   f ( z) = g ( x) ( x; y; z ) nghiệm hệ phương trình Khơng tính tổng qt ta x = max { x; y; z} giả sử xảy hai trường hợp sau: 12 x≥ y≥z f ( t) Do Do g ( t) hàm số đồng biến nên hàm số nghịch biến nên Thay vào (2) (3) ta có : Vậy Do f ( t) g ( t) mà y=z log3 ( − x ) = log ( − z ) ⇔ x = z hàm số đồng biến nên f ( x) ≥ f ( z) ≥ f ( y) ⇒ g ( y ) ≥ g ( x) ≥ g ( z ) hàm số nghịch biến nên y≤x≤z Suy x=z log3 ( − x ) = log ( − y ) ⇔ x = y x=y=z Vậy hệ (I.6) Do Suy Thay vào (1) (3) ta có : Vậy y≤z≤x x=y=z x≥z≥ y Do f ( x) ≥ f ( y) ≥ f ( z ) ⇒ g ( y) ≥ g ( z ) ≥ g ( x) f ( x)  x = y = z ⇔  f ( x ) = g ( x ) hàm số đồng biến f ( 3) = g ( 3) Vậy hệ (I.6) nên ( 6; +∞ ) f ( x) = g ( x) ⇔ x = , g ( x) hàm số nghịch biến ( 6;+∞ ) ⇔ x= y = z =3 Nhận xét: Hai hệ phương trình (I.5) (I.6) hệ phương trình hốn vị ẩn, sử dụng phương pháp hàm số để giải toán trở nên nhẹ nhàng Sau tơi đưa cách giải tổng qt có sử dụng phương pháp hàm số để giải hệ phương trình hốn vị ẩn 13 Xét hệ phương trình hốn vị ẩn dạng: Trong hàm số  f ( x) = g ( y)  ( I 7)  f ( y ) = g ( z )   f ( z) = g ( x) f ( t) ,g( t) hai hàm số đơn điệu x = y = z ⇔  f ( x) = g ( x) tương tự ta có hệ (I.7) D cách lý luận Chứng minh: f ( t) ,g( t) D hai hàm số đồng biến Vì hệ khơng x, y , z thay đổi hốn vị vịng quanh nên khơng tính tổng qt ta giả x = max { x; y; z} sử Trường hợp 1: Giả sử x≥ y≥z Nếu f ( t) Do hàm số đồng biến nên f ( x) ≥ f ( y) ≥ f ( z ) ⇒ g ( y) ≥ g ( z ) ≥ g ( x) • Do g ( t) Suy hàm số đồng biến nên Vậy x≥ y≥z≥x x= y=z x≥z≥ y • y≥z≥x f ( t) Nếu Do hàm số đồng biến nên f ( x) ≥ f ( z ) ≥ f ( y) ⇒ g ( y) ≥ g ( x) ≥ g ( z ) Do g ( t) Suy hàm số đồng biến nên y≥x≥z Vậy x≥ z≥ y≥x≥ z x= y=z 14 Vậy hệ (I.7) x = y = z ⇔  f ( x) = g ( x) Trường hợp 2: Giả sử f ( t) hàm số đồng biến, g( t) hàm số nghịch biến Vì x, y , z hệ khơng thay đổi hốn vị vịng quanh nên khơng tính tổng x = max { x; y; z} quát ta giả sử x≥ y≥z Nếu f ( t) Do hàm số đồng biến nên f ( x) ≥ f ( y) ≥ f ( z ) ⇒ g ( y) ≥ g ( z ) ≥ g ( x) • Do g ( t) hàm số nghịch biến nên Thay vào hệ ta có: f ( x) = f ( y) ⇔ x = y Vậy • Nếu f ( x) = f ( y) y≤z≤x Do f ( t) Suy ra: y=z hàm số đồng biến nên x= y=z x≥z≥ y f ( t) Do hàm số đồng biến nên f ( x) ≥ f ( z) ≥ f ( y) ⇒ g ( y) ≥ g ( x) ≥ g ( z ) Do g( t) hàm số nghịch biến nên Thay vào hệ ta có: g ( x) = g ( y ) ⇔ x = y g ( x) = g ( y) y≤x≤z Do g( t) Suy ra: x=z hàm số nghịch biến nên 15 Vậy x= y=z Vậy hệ (I.7) 2.4 x = y = z ⇔  f ( x) = g ( x) Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường "Sử dụng phương pháp hàm số giải hệ phương trình" thân đồng nghiệp đơn vị thí điểm em có học lực từ trở lên Kết thu khả quan, em học tập cách say mê hứng thú Tất em đội tuyển toán làm hệ phương trình đề thi học sinh giỏi Trên 80% học sinh lớp 12C1 làm tốn hệ phương trình đề thi khảo sát Bộ, Sở Nhà trường tổ chức Tuy nhiên với đề tài người thầy phải biết vận dụng sáng tạo phương pháp, ln khơng ngừng tìm tòi, tham khảo tài liệu, tham khảo đồng nghiệp, xâu chuỗi chúng lại cho học sinh tập định hướng để em học tập, tìm hiểu Đối tượng học sinh học sinh giỏi, tin tưởng thầy, có điều kiện học tập, nghiên cứu 3.1 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Kết luận Sáng kiến kinh nghiệm thu số kết sau đây: Đã hệ thống hóa, phân tích, diễn giải khái niệm kĩ hình thành kĩ học giải tập toán cho học sinh Thống kê số dạng toán điển hình liên quan đến nội dung chuyên đề thực Xây dựng số biện pháp sư phạm để rèn luyện kĩ giải vấn đề liên quan đến nội dung chuyên đề thực Thiết kế thức dạy học số ví dụ, hoạt động theo hướng dạy học tích cực Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh học tính khả thi hiệu biện pháp sư phạm đề xuất 16 Như khẳng định rằng: mục đích nghiên cứu thực hiện, nhiệm vụ nghiên cứu hoàn thành giả thuyết khoa học chấp nhận Trong trình giảng dạy mơn Tốn trường THPT Tĩnh Gia 3, từ việc áp dụng hình thức rèn luyện cách trình bày lời giải tốn cho học sinh có kết rõ rệt, thân rút nhiều học kinh nghiệm phương pháp rèn luyện cách trình bày lời giải tốn cho học sinh : – Trình bày giải mẫu – Trình bày phương pháp giải tốn liên quan đến chuyên đề – Hệ thống hóa thành nhóm tốn có sử dụng phương pháp chuyên đề Cũng qua thực tế kinh nghiệm giảng dạy thân, với nội dung phương pháp nêu giúp học sinh có nhìn tồn diện Tốn học nói chung Vấn đề tơi thấy học sinh khá, giỏi hứng thú với việc làm mà giáo viên áp dụng chuyên đề 3.2 Kiến nghị Với Sở giáo dục đào tạo - Quan tâm đến việc bồi dưỡng chun mơn, nghiệp vụ cho giáo viên dạy tốn Nên tổ chức hội thảo chuyên đề chuyên sâu cho giáo viên tỉnh Với Ban Giám Hiệu nhà trường - Nhà trường cần quan tâm việc trang bị thêm sách tham khảo mơn Tốn để học sinh tìm tịi, học tập giải tốn để em tránh sai lầm làm tập nâng cao hứng thú, kết học tập mơn tốn nói riêng, nâng cao kết học tập học sinh nói chung Với Phụ huynh học sinh - Quan tâm việc tự học, tự làm tập nhà Thường xuyên kiểm tra sách, việc soạn trước đến trường Để có tiết học đạt hiệu cao ngồi trình độ chuyên môn người giáo viên phải tâm huyết với nghề,luôn học hỏi trau dồi phương pháp đổi Phải có trách nhiệm "thắp sáng lửa" truyền cảm hưng đến học 17 sinh, kích thích em hăng say nghiên cứu, khả tự học Qua nghiên cứu áp dụng " Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh trường THPT Tĩnh Gia giải hệ phương trình phương pháp hàm số " cho học sinh Trường THPT Tĩnh Gia thu hiệu định, em học sinh tự tin kết có nhiều tiến Để kết thật bền vững có tính kế thừa, tơi kính mong đồng nghiệp hội đồng khoa học trường THPT Tĩnh Gia hội đồng khoa học Sở Giáo Dục Đào Tạo Tỉnh Thanh Hóa góp ý kiến thêm để đề tài tơi hồn thiện hơn, có ứng dụng rộng rãi trình giảng dạy bồi dưỡng học sinh Trong chờ xem xét, nghiên cứu đánh giá Hội đồng khoa học cấp xin chân thành cảm ơn nhiều Chúc hội đồng khoa học cấp sức khỏe, hạnh phúc, thành đạt TÀI LIỆU THAM KHẢO 1.Các toán về hàm số, Phan Huy Khải - NXB Hà Nội 1997 2.Các chuyên đề Hàm số ,Trần Phương,NXB Hà Nội 2006 Các sáng kiến kinh nghiệm đạt giải cấp tỉnh trường trường 4.Đề luyện thi tuyển sinh mơn tốn, NXB Giáo dục Việt Nam 2006 Đề thi Đại học , Cao Đẳng năm 6.Sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao-NXB Giáo dục Việt Nam 2013 7.Tạp chí tốn học tuổi trẻ( năm 2009-2018) XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 25 tháng 04 năm 2018 Tơi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Lê Văn Dũng 18 ... nghiệm hướng dẫn học sinh trường THPT Tĩnh Gia giải hệ phương trình phương pháp hàm số " chìa khóa gỡ nút thắt tốn hệ phương trình • " Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh trường THPT Tĩnh Gia. .. tài: "Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh trường THPT Tĩnh Gia giải hệ phương trình phương pháp hàm số" 1.2 Mục đích nghiên cứu Qua sáng kiến kinh nghiệm tơi mong muốn trang bị cho học sinh phương. .. dụng " Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh trường THPT Tĩnh Gia giải hệ phương trình phương pháp hàm số " cho học sinh Trường THPT Tĩnh Gia thu hiệu định, em học sinh tự tin kết có nhiều tiến