1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Bài tốn tính giới hạn dãy số tốn khó học sinh trung học phổ thơng nói chung học sinh khối 11 nói riêng Bài toán thường xuất đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, đề thi Olympic 30 tháng 4, đề thi học sinh giỏi quốc gia Liên quan đến dạng tốn có nhiều sách giáo khoa, sách tham khảo đề cập đến, nhiên sách đề cập kỹ sở lý thuyết để dẫn đến phương pháp giải cụ thể phù hợp với kiến thức phổ thông chưa nhiều Đôi đưa cơng thức, quy trình giải cách áp đặt chưa logic Do đủ sở lý thuyết nên áp dụng kết học sinh thường thắc mắc “tại lại có vậy?” hay “Sao lại có kết đó?” ; Cũng khơng có đủ sở lý thuyết nên em học sinh khó nhớ cơng thức, khơng tìm mối liên hệ tốn, khơng tự xây dựng lớp tốn dạng quy trình để giải tốn đó; Điều làm ảnh hưởng đến khả tìm tòi sáng tạo tốn học sinh – yếu tố quan trọng người học tốn Để tính giới hạn dãy số ta có nhiều phương pháp, có phương pháp tìm số hạng tổng quát dãy số; để xác định số hạng tổng quát dãy số ta lại có nhiều phương pháp Vì lí thời lượng nên SKKN xin đề cập phương pháp xác định SHTQ số dạng dãy số có cơng thức truy hồi dạng đặc biệt cách sử dụng CSC-CSN.Vì tơi chọn sáng kiến kinh nghiệmlà:“Phát huy tính chủ động, sáng tạo học sinh thông qua tốn tìm số hạng tổng qt dãy số có công thức truy hồi đặc biệt cách sử dụng cấp số cộng-cấp số nhân” 1.2 Mục đích nghiên cứu Trong phạm vi đề tài tơi khơng có tham vọng đưa hệ thống kiến thức hoàn toàn mới, kết mặt toán học; tơi trình bày kết mà trình dạy học cấp số cộng, cấp số nhân, dãy số giới hạn tơi tích luỹ, tìm tòi; nhằm hướng tới mục đích giúp em học sinh chủ động, sáng tạo việc xác định SHTQ dãy số qua tính giới hạn dãy số cho hệ thức truy hồi Trên sở từ số toán điển hình tơi đưa phương pháp giải cho tốn nhóm tốn tương tự; đồng thời giúp học sinh khái quát hóa để toán đưa phương pháp giải tương ứng, qua giúp rèn luyện, phát triển tư giải toán cho học sinh 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài nghiên cứu dãy số cho cơng thức truy hồi đặc biệt mà dùng tính chất CSC-CSN để tìm số hạng tổng quát áp dụng vào học sinh lớp 11A1 trường THPT Vĩnh Lộc - Vĩnh Lộc - Thanh Hoá 1.4 Phương pháp nghiên cứu + Nghiên cứu lý luận dạy học, tìm hiểu tài liệu liên quan + Thực hành qua dạy + Khảo sát thực tế, thu thập thông tin + Thống kê, xử lý số liệu NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Cấp số cộng Định nghĩa: Cấp số cộng dãy số (hữu hạn vô hạn) thoả mãn: un+1 = un + d n ∈ N * ( ) [1], d số thực khơng đổi gọi “cơng sai” Tính chất: • • Số hạng tổng quát cấp số cộng: un = u1 + ( n − 1) d [1] Tổng n số hạng đầu cấp số cộng: n n = ( u1 + un ) =  u + n − d  ( )   S n = u1 + u2 + + un 2 [1] 2.1.2 Cấp số nhân Định nghĩa: Cấp số nhân dãy số (hữu hạn hay vô hạn) thoả mãn: số không đổi gọi “công bội ”[1] un +1 = un q ( n∈ N* ),q Tính chất: • • Số hạng tổng quát: un = u1.q n −1 [1] Tổng n số hạng đầu cấp số nhân S n = u1 + u2 + + un = u1 qn −1 q −1 ≠ (q 1)[1] (nếu q = hiển nhiên S = n.u1) 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Khi dạy chủ đề dãy số giới hạn dãy số ta bắt gặp số toán sách giáo khoa lớp 11 số đề thi học sinh giỏi sau: Bài tập Cho dãy số (un) xác định sau: = un − a) Chứng minh dãy số (vn) xác định b) Tính limun[1] Bài tập Cho dãy số ( Tính lim un un ) xác định 15 u1 = 10   un+1 = un + 3, ∀n ≥ cấp số nhân u1 =  un+1 = + un , ∀n ≥ [2] Sau nghiên cứu Sách giáo khoa giải toán ta rút số nhận xét sau đây: • Đây tốn tìm giới hạn dãy cho hệ thức truy hồi, học sinh thường lúng túng việc tìm cách giải cho tốn • Nếu đề không cho câu a) mà yêu cầu giải câu b) tốn trở nên khó học sinh Việc đề yêu cầu thêm câu a) gợi ý giúp học sinh xác định hướng giải cho toán Cụ thể xác định SHTQ (u n ) dãy số nhờ vào việc tìm cơng thức tổng qt CSC-CSN qua tìm giới hạn dãy số • Với tốn đề cập kỳ thi, đặc biệt kỳ thi chọn học sinh giỏi việc gợi mở cách cho câu a) không đưa Vấn đề học sinh biết cách nhận dạng, phân tích tốn để có hướng giải Đây vấn đề khơng dễ học sinh Vì giáo viên cần định hướng giúp cho học sinh chủ động sáng tạo việc giải vấn đề 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề Trong q trình tìm tòi, nghiên cứu, giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi, tổng hợp đưa số dạng dãy số có cơng thức truy hồi đặc biệt xây dựng phương pháp xác định SHTQ dãy Trong khuôn khổ SKKN này, tơi xin đưa số dạng sau đây: Ví dụ 1.1 Cho dãy số (un) xác định sau SHTQ dãy số[2] u1 = ∀n ∈ N *  un+1 = un + Hãy xác định Nhận xét:Để giải toán học sinh giải theo cách sau: Cách 1: (Dùng phương pháp quy nạp) Từ giả thiết ta có: u1 = = 1+0.2 =1+(1-1).2 u2 = = 1+1.2 =1+(2-1).2 u3 =5 = 1+2.2 =1+(3-1).2 Dự đốn un = 1+(n-1).2 Ta chứng minh kết qủa phương pháp quy nạp toán học Cách 2:(Sử dụng định nghĩa cấp số cộng) Từ giả thiết ta có: un+1 – un = ∀ ∈ * n N Nên theo định nghĩa cấp số cộng (un) lập thành cấp số cộng với u1=1, công sai d=2 Suy un=u1+(n-1).d = 1+(n-1).2 Vậy un = -1+2n Ví dụ 1.2 Cho dãy số (un) xác định bởi: u1 = 10   un+1 = un + 3, ∀n ≥ = un − a) Chứng minh dãy số (vn) xác định b) Tính limun[1] 15 cấp số nhân Lời giải: +1 = un +1 − a) Ta có 15 15 15 = un + − = (vn + ) − = 5 4 Nên (vn) CSN có cơng bội q= v1 n −3 b) Từ câu a) suy 15   un = + =  ÷ 4 5 + 25 = 15 n −3 = v1.q n −1 Do lim un = Do 15 1 =  ÷ 5 Nhận xét: Câu hỏi mà học sinh đặt lại nghĩ phép đổi biến = un − 15 để dãy (vn) CSN? Từđó giáo viên gợi ý hướng giải ta cần tìm số b cho 1 1 15 un+1 − b = (un − b) ⇒ un+1 = b − b + un = un + ⇒ b = 5 5 = un − Do đặt 15 Ngồi đặt +1 = , ∀n ≥ = 5n.un , ∀n ≥ nên (vn) cấp số nhân , ta có vn+1 − = 3.5n +1 , ∀n ≥ n −3 Suy 15 n 15 5n − 35   = (5 − 1) + 35 ⇒ un = n = n + n =  ÷ 5 45 + 15 Từ toán giáo viên dẫn dắt, gợi ý cho học sinh đến vấn đề mới: "đềxuất toán tổng qt với quy trình để giải tốn đó" Bình luận: Thực chất tốn dạng giải triệt để nhờ lý thuyết phương trình sai phân tuyến tính, nhiên đại đa số học sinh trung học phổ thơng kiến thức tầm Trong phạm vi SKKN tơi đưa hoạt động tốn học nhằm phát triển tư cho học sinh cách giúp học sinh xây dựng toán cách giải tốn kiến thức phổ thơng Ví dụ 1.3.Cho dãy số ( un ) [ 1] định SHTQ dãy số xác định bởi: u1 = −2, un = 3un−1 − 1, ∀n ≥ Hãy xác Lời giải: un Trong tốn gặp khó khăn dãy ( ) CSC hay CSN! un Ta thấy dãy ( ) khơng phải CSN xuất số -1 VP Ta tìm cách làm -1 đưa dãy số CSN Ta có un − −1 = − + 2 nên viết công thức truy hồi dãy sau: = 3un −1 − = 3(un −1 − ) 2 = u n − Đặt ⇒ v1 = − 2 ⇒ = v1q n −1 = − 3n −1 (1) = 3vn −1 ∀n ≥ un = + Vậy (vn ) Dãy CSN công bội q=3 = − 3n −1 +         ∀n = 1, 2, , 2 Nhận xét: Mấu chốt cách làm ta phân tích −1 = − + 2 để chuyển công ( ) thức truy hồi dãy (1), từ ta đặt dãy phụ để chuyển dãy CSN Tuy nhiên việc làm khơng tự nhiên ! Làm ta biết phân tích −1 = − + 2 ? Ta làm sau:Ta phân tích −1 = k − 3k ⇒ k = Với cách làm ta xác định SHTQ dãy Thật vậy: un *Nếu a=1 dãy ( ) CSC có cơng sai d=b nên ≠ b= *Nếu a ta viết un + sau: ab b − a −1 a −1 b b = a (un−1 + ) a −1 a −1 un = u1a n −1 + b u1 = x0 ; ∀n ≥  (un ) un = aun −1 + b : un u1 + ( n − 1)b = Khi cơng thức truy hồi dãy viết un + , từ ta có : b b = a n −1 (u1 + ) a −1 a −1 a n −1 − a −1 Hay Vậy ta có kết sau: un u1 = x0 , un = aun−1 + b     ∀n ≥ ( a, b ≠ Dạng 1:Dãy số ( ): số) có SHTQ là: u1 + (n − 1)b                   khi    a =  un =  a n −1 − n −1         khi     a ≠ u1.a + b a −1  un Ví dụ 1.4.Xácđịnh SHTQ dãy ( ) xác định: u1 = 2; un = 2un −1 + 3n − 1, n ≥ [ 3] Lời giải: Để tìm SHTQ dãy số ta tìm cách làm 3n-1 để chuyển dãy số CSN Muốn làm ta viết: 3n − = −3n − + 2[3(n − 1) + 5] (2) truy hồi dãy viết sau: Đặt = un + 3n + 5, ta có Vậy SHTQ dãy Nhận xét : v1 = 10 Khi cơng thức un + 3n + = 2[un + 3( n − 1) + 5] = 2vn−1 , ∀n ≥ ⇒ = v1 2n −1 = 10.2n −1 (un ) un = − 3n − = 5.2 n − 3n − 5.∀n = 1, 2, 3, : 1) Để phân tích đẳng thức (2), ta làm sau: 3n − = an + b − 2[a( n − 1) + b] cho n=1;n=2 ta có a − b = a = −3 ⇔   −b = b = −5 u1 = b ∀n ≥  (un ) un = aun −1 + f (n) 2) Trong trường hợp tổng quát dãy : đa thức bậc k theo n , ta xác định SHTQ sau: phân tích f ( n) = g ( n) -a g ( n − 1) (3)Với g ( n) , f ( n) là đa thức theo n Khi ta có: un − g (n) = a[un −1 − g (n − 1)]= =a n −1[u1 − g (1)] Vậy ta có: un = [u1 − g (1)]a n −1 + g (n) Vấn đề lại ta xác định Ta thấy: *Nếu a=1 hàm số g ( n) nào? g (n) a.g (n − 1) - đa thức có bậc nhỏ bậc không phụ thuộc vào hệ số tự (3) ta chọn g (n) g ( n) g ( n) , mà f ( n) g ( n) bậc đa thức bậc k nên để có đa thức bậc k+1, có hệ số tự để xác định đẳng thức (3) ta cho k+1 giá trị n ta hệ k+1 phương trình, giải hệ ta tìm hệ số g ( n) g ( n) a.g ( n − 1) ≠ g ( n) g ( n) *Nếu a đa thức bậc với nên ta chọn đa thức bậc k đẳng thức (3) ta cho k+1 giá trị n ta xác định g ( n) Vậy ta có kết sau: Dạng 2:Để xác địnhSHTQ dãy f (n) xác định đa thức bậc k theo n; a số Ta làm sau: Ta phân tích: = un − g (n) f ( n) = g (n) a.g (n − 1) - ta có được: (Lưu ý a=1, ta chọn ≠ (un ) u1 = x0  un = aun−1 + f (n) a ta chọn g (n) với un = [u1 − g (1)]a g ( n) g ( n) n −1 đa thức theo n.Khi đó, ta đặt + g ( n) đa thức bậc k+1 có hệ số tự khơng, đa thức bậc k) Ví dụ 1.5 Cho dãy số Lời giải: Ta phân tích u1 = (un ) :  un = un −1 + 2n + Tìm SHTQ dãy (un ) [ 3] 2n + = g (n) − g (n − 1) = a[n − ( n − 1) ]+b[n − (n − 1)] (Trong g ( n) = an + bn − a + b = a = ⇔ ⇒ g ( n) = n + 2n  ⇒ un = n + n + a + b = b = Cho: n=0,n=1 ta có hệ Ví dụ 1.6 Cho dãy số Tìm SHTQ dãy ) u1 = (u n ) :  , n ∈ N* n u = u + 3.4  n +1 n ( un ) lim tính 2n + 3n + [ 4] un (Đề thi chọn HSG cấp tỉnh năm học 2018-2019 Sở GD&ĐT Thanh Hóa) Lời giải: Trường hợp ta phân tích 4n = n.4n − 4( n − 1)4n −1 ⇒ un − 3n.4n = 4(un −1 − 3(n − 1).4 n −1 ) = = n−1 (u1 − 3.4) ⇒ un = 3(n − 1)4n + 2.4n−1 lim Đến dễ dàng tìm giới hạn Nhận xét : Trong trường hợp tổng quát dãy α n = k α n − ak α n −1 Suy 2n + 3n + un với (a ≠ α ) un = a n−1 (u1 − bk ) + kb.α n Khi đó: (un ) : un = a.un −1 + b.α n , ta phân tích un − kb.α n = a (un −1 − kb.α n −1 ) = = a n −1 (u1 − bk ) Trường hợp α =a , ta phân tích n n −1 n −1 α n = n.α n − α (n − 1)α n−1 ⇒ un − bn.α = α (un−1 − b( n − 1).α ) = = α (u1 − bα ) ⇒ un = b( n − 1)α n + u1α n −1 Vậy ta có kết sau: Dạng 3: Để xác định SHTQ dãy u1 (un ) :  ∀n ≥ n −1 un = a.un−1 + b.α , ta làm sau: 10 Nhận xét:Đây kết hợp dạng nên ta phân tích từ αn f ( n) cách phân tích dạng dạng Ví dụ 1.9 Xác định SHTQ dãy ( un ) u0 = −1, u1 = 3, un = 5un −1 − 6un − ; ∀n ≥ : (un ) Lời giải:Để xác định SHTQ dãy số trên, ta thay dãy dãy số khác CSN Ta viết lại công thức truy hồi dãy sau: un − x1.un −1 = x2 (un−1 − x1un − ) phương trình : , ta phải chọn x − x + = ⇔ x = 2; x = x + x = x1 , x2 :   x1 x2 = Ta chọn hay x1 = 2; x2 = x1 , x2 nghiệm Khi : un − 2un −1 = 3(un −1 − 2un − ) = = 3n −1 (u1 − 2u0 ) = 5.3n −1 ⇒ un = 2un −1 + 5.3n −1 Sử dụng kết dạng 3, ta tìm được: u = 2; u2 = (un ) :  ;n ∈ N* un + = 5un +1 − 6un Ví dụ 1.10 Cho dãy số Tìm SHTQ dãy un = 5.3n − 6.2 n ( un ) lim tính un 3n [ 4] (Đề thi chọn HSG cấp tỉnh năm học 2017-2018 Sở GD&ĐT Thanh Hóa) Lời giải: Từ giả thiết ta có Suy dãy un + − 2un +1 = ( un +1 − 2un ) , ∀n ≥ +1 = un +1 − 2un ⇒ +1 = 3n −1.v2 = 3n−1 ( − 2.2 ) = 3n−1 Cũng từ giả thiết ta có cấp số nhân có công bội q=3 (1) un + − 3un +1 = ( un +1 − 2un ) , ∀n ≥ 12 w n +1 = un +1 − 3un Suy dãy cấp số nhân có công bội ⇒ w n +1 = 2n −1.w = 2n −1 ( − 3.2 ) = −2n −1 (2) Từ (1) (2) ta có hệ phương trình n −1 un +1 − 2un = ⇒ ⇒ un = 3n −1 + n −1 n −1 un +1 − 3un = −2 Nhận xét: Tương tự với cách làm ta xác định SHTQ dãy định bởi: a − 4b ≥ u0 ; u1  un − a.un −1 + b.un −  , ∀n ≥ x - ax + b = un − x1.un −1 = x2 (un −1 − x1.un − ) = = x2n−1 (u1 − x1u0 ) Khi đó: có trường hợp sau: x1 ≠ x2 un = nghiệm hệ: • Nếu xác , a,b số thực cho trước Gọi nghiệm phương trình: phương trình đặc trưng dãy) Nếu (un ) sau: x1 , x2 • q=2 x1 = x2 nghiệm hệ: x2 x0 − u1 n u1 − x.u0 n x1 + x2 x2 − x1 y−x Hay (phương trình gọi Sử dụng kết dạng 3, ta un = k x1n + l x2n , k,l  k + l = u0   x1.k + x2 l = u1 au  u a un = α n =1  + (u1 − )n    , hay un = (kn + l )α n −1 , k, l l = α u0  k + l = u1 Vậy ta có kết sau: 13 Dạng 5: Để xác định SHTQ dãy a − 4b ≥ u0 ; u1 (u n ) :  un + a.un −1 + b.un −2 = ∀n ≥ , a,b,c số thực khác khơng; Gọi • • x1 , x2 Nếu Nếu nghiệm phương trình đặc trưng: x1 ≠ x2 x1 = x2 = α un = k x + l x n un SHTQ dãy ( ) Lời giải: Phương trình Vậy ( [ 3] (un ) Vì 1 2+  nghiệm hệ: n −1 , k,l xác định bởi: có nghiệm u0 = 1; u1 = ) + ( − 5) n , k,l x -ax+b=0  k + l = u0   x1.k + x2 l = u1 nghiệm hệ: l = α u0  k + l = u1 u0 = 1; u1 = ;  un +1 = 4un + un −1 ∀n ≥ Hãy xác định x2 − 4x − = n n ⇒ un = k x1 + l.x2 n un = (kn + l )α Ví dụ 1.11 Cho dãy số un = ta làm sau: n   x1 = + 5; x2 = − nên ta có hệ :  k + l = 1  ⇔k =l = (2 + 5) k + (2 − 5) l =   Ví dụ 1.12 Xác định SHTQ dãy: u0 = 1; u1 = (u n ) :  ; u − u + u = n n − n −  ∀n ≥ [ 3] 14 Lời giải: Phương trình đặc trưng: Vì u0 = 1; u1 = nên ta có hệ: Ví dụ 1.13 Cho dãy dãy x2 − x + = có nghiệm kép x=2 nên l = k = ⇔   k + l = l = Vậy un = ( kn + l ) 2n −1 un = ( n + ) 2n −1 u0 = −1; u1 = (un ) :  un − 5un −1 + 6un −2 = 2n + 2n + ∀n ≥ Xác định SHTQ (un ) [ 3] Lời giải: Với cách làm tương tự ví dụ 5, ta phân tích: 2n + 2n + = ( kn + ln + t ) −  k ( n − 1) + l ( n − 1) + t  +  k ( n − 2) + l (n − 2) + t    Ở (5) cho n=0;n=1;n=2 ta có hệ: Đặt 19k − 7l + 2t = k =   7 k − 5l + 2t = ⇔ l = − k − 3l + 2t = 13 t = 19   = un − n − 8n − 19 ⇒ v0 = −20; v1 = −25 ⇒ = α + β n n Ta có hệ (1) − 5vn−1 + 6vn− = α + β = −20 α = 15 ⇔  3α + β = −25  β = −35 ⇒ = 15.3n − 35.2 n ⇒ un = 15.3n − 35.2 n + n + 8n + 19 Nhận xét : Để xác định SHTQ dãy số • f (n ) đa thức bậc k theo n u0 ; u1  (un ) un +1 + aun + bun−1 = f (n) ∀n ≥ : a − 4b ≥ ) ta làm sau: = un − g (n) f (n) = g (n) + ag (n − 1) + bg (n − 2) Ta phân tích (trong (2) đặt 15 v0 = u0 − g (0); v1 = u1 − g (1) (vn ) :  vn + aun −1 + bun −2 = 0    ∀n ≥ Ta có dãy số Đây dãy số mà ta xét dạng ⇒ un Do ta xác định SHTQ • g ( n) Vấn đề lại ta xác định để có (2)? f ( n) Vì g (n) + ag ( n − 1) + bg (n − 2) g ( n) đa thức bậc k nên ta phải chọn cho k +1 đa thức bậc k theo n.Khi ta cần thay giá trị n vào (2) ta f ( n) xác định g (n) = am n m + am−1n m−1 + + a1n + a0 (am ≠ 0) Giả sử đa thức bậc m Khi hệ số  − ( a + 2b ) m.am + ( + a + b ) am −1  am (1 + a + b) x m −1 xm VP Do đó: i) 1+ a + b ≠ x + ax + b = Nếu PT: (3) có hai nghiệm phân biệt khác nên VP (2) đa thức bậc m ii ) x =1 ⇒1+ a + b = Nếu PT (3) có hai nghiệm phân biệt có nghiệm − ( a + 2b ) m.am + ( + a + b ) am −1 = − ( a + 2b ) m.am ≠ m −1 nên VP (2) đa thức bậc x = ⇒ a = −2; b = iii ) Nếu PT (3) có nghiệm kép nên VP (2) đa thức bậc m−2 g ( n) Vậy để chọn ta cần ý sau: g ( n) +) Nếu (3) có hai nghiệm phân biệt, f ( n) đa thức bậc với 16 +)Nếu (3) có hai nghiệm phân biệt, nghiệm ta chọn g (n) = n.h( n) h( n) f ( n) đa thức bậc với +)Nếu (1) có nghiệm kép g (n) = n h(n) x =1 ta chọn h( n) đa thức f ( n) bậc với u0 ; u1 (un ) :  un + a.un −1 + b.un − = f (n) ∀n ≥ Dạng 6: Để tìm SHTQ dãy n đa thức theo • ) ta làm sau: g ( n) = ak n k + + a1k + a0 g (n) Xét (trong b − 4ac ≥ k bậc f ( n) đa thức bậc k: x + ax + b = Nếu phương trình : (1) có nghiệm phân biệt, ta phân tích = un − g (n) f (n) = g (n) + ag (n − 1) + bg (n − 2) đặt • x =1 Nếu (1) có hai nghiệm phân biệt nghiệm , ta phân tích = un − n.g (n) f ( n) = n.g (n) + a (n − 1) g ( n − 1) + b(n − 2) g ( n − 2) đặt • x =1 Nếu (1) có nghiệm kép , ta phân tích = un − n g (n) f (n) = n g (n) + a (n − 1) g (n − 1) + b(n − 2) g (n − 2) đặt u0 = 1; u1 = (un ) :  un − 3un−1 + 2un − = 2n + ∀n ≥ [ 3] Ví dụ 1.14 Xác định SHTQ dãy Lời giải: x = 1; x = x − 3x + = Vì phương trình có nghiệm nên ta phân tích 17 2n + = n ( kn + l ) − ( n − 1)  k ( n − 1) + l  + ( n − )  k [ n − 2] + l  n = 0; n = , cho 5k − l =  k = −1 ⇔  3k − l = l = −6 = un + n ( n + ) ⇒ v0 = 1; v1 = 11 Đặt − 3vn −1 + 2vn − = α + β = α = 10 α, β :  ⇔  2α + β = 11  β = −9 ⇒ = α + β n ta có hệ: n với ⇒ = 10.2 − ⇒ un = 5.2n +1 − n − 6n − ∀n = 0,1, 2, n  u0 = −1; u1 = (un ) :  ; n u − u + u = 5.2  n −1 n−2  n ∀n ≥ [ 3] Ví dụ 1.15 Tìm SHTQ dãy số Lời giải: Ta phân tích n=2 Cho 2n = a.2n − 4a.2 n−1 + 3a.2 n− = un + 5.4.2n ⇒ v0 = 19; v1 = 43 = 4a − 8a + ⇔ a = −4 ta có Đặt − 4vn −1 + 3vn− = x = 1; x = x2 − x + = Vì phương trình có hai nghiệm nên α + β = 19 α = 12 α, β :  ⇔ ⇒ = 12.3n + α + β = 43 β =   = α + β n n Với un = 4.3n +1 − 5.2n + + ∀n = 1, 2, Vậy (un ) Nhận xét: Với ý tưởng cách giải trên, ta tìm SHTQ dãy số xác định bởi: u0 ; u1 (un ) :  n un + a.un−1 + b.un − = c.α ∀n ≥ a − 4b ≥ (với ) sau: n=2 α n = k α n + a.k α n −1 + b.k α n −2 Ta phân tích (1).Cho (1) trở thành: 18 k ( α + a.α + b ) = α k= Từ đây, ta tìm α2 α + aα + b α khơng phải nghiệm phương trình: x + ax + b = (8) v0 = u0 − kc; v1 = u1 − kcα (vn ) :  vn + a.vn−1 + b.vn −2 = ∀n ≥ = un − kc.α n , Khi đó, ta đặt ta có dãy ⇒ un = p.x1n + q.x2n + kc.α n ⇒ = p.x1n + q.x2n ( x1 , x2 nghiệm (2)) x =α Vậy α + aα + b = nghiệm (2) , tức ta xử lí nào? Nhìn lại cách giải dạng 3, ta phân tích: α n = kn.α n + a.k ( n − 1) α n−1 + bk ( n − ) α n−2 (3) α k ( 2α + a ) = α ⇔ k ( 2α + a ) = α ⇔ k = n=2 Cho ta có: ⇒ ( 2) α 2α + a α ≠− ( a ) k ⇔α có nghiệm nghiệm đơn phương trình (2) ⇒ un = p.x1n + q.x2n + kcn.α n Khi đó: x =α = − Cuối ta xét trường hợp a nghiệm kép (2) Với tư tưởng α n = kn α n + a.k ( n − 1) α n−1 + bk ( n − ) α n − 2 trên, ta phân tích: (4) 19 n=2 Cho α = 4k α + ak α ⇒ k = ⇔ ta có : (10) α = 4α + a ⇒ un = p.x1n + qx2n + cn α n Khi đó: Vậy ta có kết sau: u0 ; u1  n un + a.un −1 + b.un −2 = c.α ∀n ≥ (un ) Dạng 7: Cho dãy số xác định : ; (un ) Để xác định SHTQ dãy ta làm sau: x + ax + b = Xét phương trình: • (1) Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác k= un = p.x1n + q.x2n + kc.α n với • α α2 α + aα + b x =α Nếu phương trình (1) có nghiệm đơn k= un = p.x1n + q.x2n + kcn.α n thì α 2α + a với •   un =  p + qn + cn ÷.α n   x =α Nếu nghiệm kép (1) thì: u0 = −1; u1 = (un ) :  n un − 5un−1 + 6un −2 = 5.2 ∀n ≥ [ 3] Ví dụ 1.16 Xác định SHTQ dãy Lời giải: x1 = 2; x2 = x2 − 5x + = Phương trình có nghiệm un = p.2n + q.3n + 5kn.2n , 20 α  k = 2α + a = − = −2  k = −2   ⇔  p = −26  p + q = −1 2 p + 3q + 10k = q = 25    Với un = −26.2n + 25.3n − 10n.2n = 25.3n − 2n +1 ( 5n + 13) ∀n = 1, 2, Vậy u0 = 1; u1 = (un ) :  n un − 4un −1 + 4un − = 3.2 [ 3] Ví dụ 1.17 Tìm SHTQ dãy Lời giải: Phương trình có nghiệm kép nên p =1 p =1 ⇔  p+q =  q = −1 u0 , u1 Dựa vào   un =  p + qn + n ÷2n   x=2 x − 4x + = ta có hệ: un = ( 3n − 2n + ) n−1 ∀n = 1, 2, Vậy Với cách xây dựng tương tự ta có kết sau: u0 ; u1 ; u2 (un ) :  ; un + a.un −1 + b.un − + cun −3 = ∀n ≥ Dạng 8:Cho dãy x3 + ax + bx + c = Để xác định SHTQ dãy ta xét phương trình: • (1) x1 , x2 , x3 ⇒ un = α x1n + β x2n + γ x3n Nếu (1) có nghiệm phân biệt u0 , u1 , u2 Dựa vào ta α, β ,γ tìm x1 = x2 ≠ x3 ⇒ un = (α + β n) x1n + γ x3n • Nếu (1) có nghiệm đơn, nghiệm kép: α, β ,γ u0 , u1 , u2 Dựa vào ta tìm 21 x1 = x2 = x3 ⇒ un = (α + β n + γ n ) x1n • Nếu (1) có nghiệm bội α , β ,γ u0 , u1 , u2 Dựa vào ta tìm Nhận xét: Thực tế đến dạng tốn bắt đầu phức tạp thêm, ví dụ trình bày lời giải mang tính minh họa Dạng ta gặp đề thi u1 = 0, u2 = 1, u3 = (u n ) :  ; un = 7un −1 − 11un − + 5un −3 ∀n ≥ [ 3] Ví dụ 1.18 Tìm SHTQ dãy Lời giải: Xét phương trình đặc trưng : x3 − x + 11x − = an = α + β n + γ n x1 = x2 = 1, x3 = Phương trình có nghiệm thực: Vậy n = 1, n = 2, n = Cho α =− giải hệ phương trình tạo thành, ta , β = ,γ = 16 16 an = − + ( n − 1) + 5n −1 16 16 Vậy Bài tập vận dụng: Tơi xin trích số câu đề minh họa, giao lưu thi HSG cấp trường số trường địa bàn tỉnh thay cho đề minh họa cho dạng tốn hai lí do: thứ ví dụ minh họa cho dạng toán tốt; thứ hai tơi muốn định hướng đến dạng tốn mà kỳ thi HSG cấp tỉnh hay gặp (Đề giao lưu THPT Triệu Sơn 1) Cho dãy số xác định bởi:  u1 =  u u = u − 2u , ∀n ∈ N *  n +1 n n n +1 Tính số hạng tổng quát dãy số [ 5] 22 (Đề giao lưu THPT Thạch Thành 1) Cho dãy số xác định bởi: u1 =  * un +1 = 3un + n + 1, ∀n ∈ N Tính số hạng tổng quát dãy số ( un ) Từ tính tổng S 2019 = u1 + u2 + + u2019 [ 5] (Đề minh họa nhóm tốn THPT Thanh Hóa năm học 2018-2019) Cho dãy số xác định : u1 =  n * un +1 = 3un + , ∀n ∈ N lim Tính số hạng tổng qt dãy tìm un un +1 [ 5] (Đề giao lưu trường THPT Dương Đình Nghệ) Cho dãy số xác định bởi: u1 = 2018, u2 = 2019  * un ( un −1 + un+1 ) = 2un un+1 , ∀n ∈ N , n ≥ Tính lim un [ 5] (Đề minh họa lớp tập huấn toán THPT Thanh Hóa năm học 2017-2018) Cho dãy số xác định : un +1 = aun + b, ∀n ∈ N * hạng tổng quát dãy theo u1 , Với a, b số thực dương cho trước Tính số a, b n [ 5] (Đề giao lưu trường THPT Vĩnh Lộc) Cho dãy số xác định bởi: u1 = 2, u2 =  * un +1 − 2un + un −1 = 1, ∀n ∈ N , n ≥ lim Tính un n [ 5] (Đề minh họa lớp tập huấn toán THPT Thanh Hóa năm học 2017-2018) Cho dãy số xác định bởi: u1 =  un  * un +1 = u + , ∀n ∈ N n  lim Tính 2017 ( u1 + 1) ( u2 + 1) ( un + 1) [ 5] 2018n 23 8.(Đề giao lưu trường THPT Đặng Thai Mai) Cho dãy số xác định bởi: u1 =  un  * un +1 = + u , ∀n ∈ N n  Tính un [ 5] 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Đề tài giải vấn đề sau: • Đề tài số vướng mắc cách khắc phục lớp đối tượng học sinh giải tốn tìm số hạng tổng quát tìm giới hạn dãy số cho hệ thức truy hồi • Đề tài đưa dạng từ đơn giản đến phức tạp để tìm số hạng tổng quát dãy số cho hệ thức truy hồi cở sở từ toán sách giáo khoa tốn khó đề thi học sinh giỏi • Đề tài áp dụng tiết luyện tập, tiết tự chọn lớp buổi dạy bồi dưỡng học sinh giỏi cấp trường • Thơng qua việc xuất phát từ toán bản, giáo viên gợi ý, dẫn dắt học sinh tổng quát tốn, tạo tốn mới, hình thành cho em khả làm việc độc lập, phát triển tư chủ động, sáng tạo, phát vấn đề giải vấn đề Phát huy tối đa tính tích cực học sinh theo tinh thần đổi Bộ Giáo dục Đào tạo Từ tạo cho em niềm tin, hứng thú học tập mơn Tốn • Đề tài tơi kiểm nghiệm năm học giảng dạy lớp 11,được học sinh nhiệt tình tham gia nâng cao chất lượng dạy học chuyên đề dãy số giới hạn dãy số Các em hứng thú học tập hơn, học sinh hướng dẫn phương pháp em học sinh với mức học trung bình trở lên có để giải tập khó Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt, chất lượng đội tuyển thi 24 HSG cấp tỉnh tăng qua năm đảm bảo tiêu nhà trường giao Cụ thể nhóm học sinhthực nghiệm(II) nhóm đối chứng (I) tơi cho làm kiểm tra vaf thu kết sau : Năm Nhóm/ Lớp học 2018 2019 Tổng số HS Điểm trở lên Điểm từ đến Điểm Số lượn g Tỷ lệ Số lượng Tỷ lệ Số lượn g Tỷ lệ I /11B1 20 20 % 10 50 % 30 % II /11B1 20 13 65% 30% 5% PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Sáng kiến kinh nghiệm kết q trình tìm tòi, nghiên cứu đúc rút kinh nghiệm trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi Qua năm triển khai thực đề tài với cách xây dựng phát triển tốn, xây dựng quy trình giải tốn cách "tự nhiên” vậy, tơi nhận thấy em nắm vấn đề, biết vận dụng kết vào giải tốn cách linh hoạt, sáng tạo Từ giúp cho em u thích mơn tốn hơn, chất lượng học nâng cao rõ rệt Trong năm học tới, tiếp tục nghiên cứu bổ sung để đề tài hoàn thiện hơn, đáp ứng nhu cầu bồi dưỡng cho học sinh giỏi để em đạt kết cao kỳ thi chọn học sinh giỏi kỳ thi trung học phổ thơng Quốc giasau Trong q trìnhbiên soạn đề tài tơi có nhiều cố gắng, nhiên khơng tránh khỏi thiếu sót.Tơi mong thầy giáo, bạn đồng nghiệp góp ý, bổ sung để đề tài hoàn thiện Hy vọng tài liệu sử dụng làm tài liệu tham khảo cho học sinh thầy cô giáo trình học tập, giảng dạy Xin chân thành cảm ơn! 25 XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 16 tháng năm 2019 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Người thực Trịnh Đình Hiểu 26 ... dụng sáng kiến kinh nghiệm Khi dạy chủ đề dãy số giới hạn dãy số ta bắt gặp số toán sách giáo khoa lớp 11 số đề thi học sinh giỏi sau: Bài tập Cho dãy số (un) xác định sau: = un − a) Chứng minh dãy. .. sinh giải tốn tìm số hạng tổng qt tìm giới hạn dãy số cho hệ thức truy hồi • Đề tài đưa dạng từ đơn giản đến phức tạp để tìm số hạng tổng quát dãy số cho hệ thức truy hồi cở sở từ toán sách giáo... học sinh tổng quát toán, tạo toán mới, hình thành cho em khả làm việc độc lập, phát triển tư chủ động, sáng tạo, phát vấn đề giải vấn đề Phát huy tối đa tính tích cực học sinh theo tinh thần