3 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT LÊ LỢI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI: HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 11 VÀ HỌC SINH LỚP 12 ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA SỬ DỤNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP ĐỂ GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Người thực hiện: Đỗ Thị Thủy Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH MỤCHĨA LỤCNĂM 2019 MỤC LỤC Nội dung Trang MỞ ĐẦU …… 1.1 Lý chọn đề tài ………………………………………………… 1.2 Mục đích nghiên cứu ……………………………………………… 1.3 Đối tượng nghiên cứu …………………………………………… 1.4 Phương pháp nghiên cứu ………………………………………… 1.5 Những điểm SKKN ……………………………………… 2 3 3 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Đặt vấn đề …… 2.3.2 Cơ sở lý thuyết ……………………………………………… 2.3.3 Một số phương pháp xác định khoảng cách hình học khơng gian … Phương pháp 1: Xác định trực tiếp ……………………………… Phương pháp 2: Sử dụng phép trượt đỉnh ……………………… Phương pháp 3: Sử dụng cơng thức tính thể tích ……………… Phương pháp 4: Sử dụng tính chất tứ diện vng … …….… Phương pháp 5: Sử dụng phương pháp tọa độ hóa……… ……… Phương pháp 6: Sử dụng phương pháp vectơ ……….… …….… 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giái dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 4 4 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ - Tài liệu tham khảo - Danh mục đề tài SKKN mà tác giả Hội đồng Cấp Sở GD&ĐT cấp cao đánh giá đạt từ loại C trở lên ……… 6 10 11 13 15 17 18 20 21 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài : Những năm gần đây, đề thi Tốt nghiệp trung học phổ thông Quốc gia đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh thường có câu tính khoảng cách hình học không gian Không đề thi theo hướng phát huy tính sáng tạo học sinh, có phần gây khó khăn cho học sinh việc giải câu Đây phần kiến thức đòi hỏi học sinh phải có tư sâu sắc, có trí tưởng tượng hình khơng gian phong phú nên học sinh đại trà, mảng kiến thức khó thường để điểm kì thi nói Trong thực tế toán khoảng cách áp dụng nhiều ngành kỹ thuật kiến trúc, xây dựng, đo đạc, …vv Đối với học sinh khá, giỏi, em làm tốt phần này, nhiên cách giải rời rạc, làm biết thường tốn nhiều thời gian Trong sách giáo khoa, sách tập tài liệu tham khảo, loại tập nhiều song dừng việc cung cấp tập cách giải, chưa có tài liệu phân loại cách rõ nét phương pháp tính khoảng cách khơng gian Đối với giáo viên, lượng thời gian ỏi việc tiếp cận phần mềm vẽ hình khơng gian hạn chế nên việc biên soạn chuyên đề có tính hệ thống phần gặp nhiều khó khăn Trước lí trên, tơi định viết đề tài sáng kiến kinh nghiệm mang tên: “ Hướng dẫn học sinh lớp 11 học sinh lớp 12 ôn thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia sử dụng số phương pháp để giải toán khoảng cách hình học khơng gian ” nhằm cung cấp cho học sinh nhìn tổng qt có hệ thống tốn tính khoảng cách khơng gian phân loại cách tương đối tốt, qua giúp học sinh khơng phải e sợ phần quan trọng hơn, đứng trước toán học sinh bật cách giải, định hướng trước làm để có cách giải tối ưu cho tốn 1.2 Mục đích nghiên cứu : - Góp phần đổi phương pháp dạy học mơn tốn nói chung mảng hình học khơng gian nói riêng theo phương hướng phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo học sinh, tăng cường ứng dụng thực tế, giúp học sinh có phương pháp học tốt thích ứng với xu hướng - Góp phần gây hứng thú học tập mơn Tốn cho học sinh, mơn học coi khơ khan, hóc búa, khơng giúp giáo viên lên lớp tự tin, nhẹ nhàng, học sinh lĩnh hội tri thức cách đầy đủ, khoa học mà giúp em củng cố khắc sâu tri thức - Chuyên đề nhằm rèn luyện cho học sinh kĩ tiếp cận vấn đề từ nhiều góc độ khác nhau, từ chọn phương pháp phù hợp để xác định khoảng cách hình học khơng gian Qua rút ngắn đáng kể thời gian để nhanh chóng đến kết 1.3 Đối tượng nghiên cứu : Đối tượng nghiên cứu số phương pháp tìm khoảng cách hình học khơng gian Phạm vi : Giới hạn chương trình hình học khơng gian lớp 11 lớp 12 1.4 Phương pháp nghiên cứu : Để thực đề tài này, sử dụng phương pháp sau : 1.4.1 Nghiên cứu tài liệu : - Đọc tài liệu sách, báo, tạp chí giáo dục,… có liên quan đến nội dung đề tài - Đọc SGK, sách giáo viên, loại sách tham khảo Nghiên cứu thực tế : - Dự giờ, trao đổi ý kiến với đồng nghiệp nội dung số phương pháp xác định khoảng cách hình học khơng gian - Tổng hợp kiến thức, kiểm nghiệm qua thực tế dạy học - Tập hợp vấn đề nảy sinh, băn khoăn, lúng túng hoc sinh trình giải tốn tìm khoảng cách hình học khơng gian Từ đề xuất phương án giải quyết, tổng kết thành học kinh nghiệm 1.5 Những điểm SKKN : Đề tài tập trung hướng dẫn học sinh biết cách sử dụng số phương pháp tìm khoảng cách hình học khơng gian Đặc biệt cố gắng giúp học sinh nhận định nên áp dụng phương pháp cho toán cụ thể Đề tài ý rèn luyện cho học sinh kỹ vẽ hình, quan sát phán đốn hướng làm tư sáng tạo để giải toán NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm : Phương pháp giáo dục đại phải phát huy tính tích cực, chủ động học sinh bồi dưỡng cho học sinh có lực tư sáng tạo, lực giải vấn đề Nhằm phục vụ cho lý luận dựa theo lý luận : bồi dưỡng cho học sinh kiến thức vấn đề sau tạo cho học sinh khả tự học độc lập suy nghĩ, từ học sinh tự phân loại dạng tập theo chuyên đề Có học sinh dễ dàng làm tốt thi kỳ thi Tốt nghiệp THPT Quốc Gia 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm : Trong trình giảng dạy phần hình học khơng gian lớp 11 lớp 12 với ôn thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia, nhận thấy giáo viên dừng lại mức độ nêu định nghĩa cách xác định khoảng cách sách giáo khoa Hình học 11 12 học sinh đơn nắm khái niệm mà chưa có kỹ việc xác định, bước để giải vấn đề Điều thể rõ em giải toán khoảng cách sách giáo khoa, kiểm tra định kỳ mơn Hình học hay đề thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia Nguyên nhân việc ngại va chạm với dạng toán này, mặt em không nắm khái niệm khoảng cách tính chất liên quan Mặt khác, em thiếu kỹ giải toán, kỹ nhận dạng bước tiến hành để giải toán 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề : 2.3.1 Đặt vấn đề : Dạng tốn xác định khoảng cách hình học khơng gian dạng toán hay phức tạp ` Đối với giáo viên, việc dạy cho học sinh hiểu có kỹ xác định khoảng cách khơng dễ dàng Điều khó khăn học sinh lúng túng khơng biết sử dụng phương pháp phù hợp để tìm khoảng cách Hơn nữa, học sinh dùng phương pháp xác định khoảng cách khơng hợp lý làm cho tốn phức tạp Qua trình giảng dạy thực nghiệm sư phạm, để giải phần khó khăn, lúng túng học sinh xác định khoảng cách, đưa số phương pháp xác định khoảng cách hình học khơng gian thơng qua số ví dụ cụ thể 2.3.2 Cơ sở lý thuyết : Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng : Cho điểm O đường thẳng ∆ Gọi H hình chiếu O O ∆ Khi khoảng cách hai điểm O H gọi khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng ∆ ∆ Kí hiệu: d (O, ∆ ) H ∀ M ∈ ∆ , OM ≥ d ( O , ∆ ) Nhận xét: Để tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng ∆ ta + Xác định hình chiếu H O ∆ tính OH + Áp dụng công thức Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng : Cho điểm O mặt phẳng (α) Gọi H hình chiếu O O (α) Khi khoảng cách hai điểm O H gọi khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (α) H α Kí hiệu: d (O,(α )) * Nhận xét: ∀M ∈ (α ), OM ≥ d (O,(α )) Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song : Cho điểm đường thẳng ∆ song song với mặt M phẳng (P) Khoảng cách đường thẳng ∆ ∆ mặt phẳng (P) khoảng cách từ điểm thuộc ∆ đến mặt phẳng (P) Kí hiệu : d (∆,( P )) H P ∀ M ∈ ∆ , N ∈ ( P ), MN ≥ d ( ∆ ,( P )) Nhận xét: ⇒ Việc tính khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song quy việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ) ) ) Khoảng cách hai mặt phẳng song song : Q M Khoảng cách hai mặt phẳng song song (P) (Q) khoảng cách từ điểm thuộc mặt phẳng đến mặt phẳng Kí hiệu d (( P);(Q )) H P Nhận xét: ∀M ∈ (Q), N ∈ ( P ), MN ≥ d (( P );(Q)) ⇒ Việc tính khoảng cách hai mặt phẳng song song quy việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ) Khoảng cách hai đường thẳng chéo : ∆1 I Cho hai đường thẳng chéo ∆1 ∆2 Đường thẳng ∆ cắt ∆1 ∆2 đồng thời vng góc với ∆1 ∆2 gọi đường vng góc ∆2 J chung ∆1 ∆2 Đường vng góc chung ∆ cắt ∆1 I cắt ∆2 J độ dài đoạn thẳng IJ gọi khoảng cách hai đường thẳng chéo ∆1 ∆2 Kí hiệu: d (∆1, ∆ ) Nhận xét : ∀M ∈ ∆1, N ∈ ∆ , MN ≥ d ( ∆1, ∆ ) Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo ∆1 ∆2 ta làm sau: Cách 1: Tìm đoạn vng góc chung IJ từ suy d (∆1, ∆ ) = IJ Cách 2: Tìm mặt phẳng (P) chứa ∆1 song song với ∆2 Khi d (∆1, ∆ ) = d ( ∆ ; ( P ) ) Cách 3: Tìm cặp mặt phẳng song song (P), (Q) chứa ∆1 ∆2 Khi d (∆1, ∆ ) = d ( ( P ) ; ( Q ) ) Cách 4: Sử dụng phương pháp tọa độ Đặc biệt : - Nếu a ⊥ b ta tìm mặt phẳng (P) chứa ∆1 vng góc với ∆2, ta tìm giao điểm I (P) với ∆2 Trong mp(P), hạ đường cao IH Khi d (∆1, ∆ ) = IH - Nếu tứ diện ABCD có AC = BD, AD = BC đoạn thẳng nối hai trung điểm AB CD đoạn vng góc chung AB CD 2.3.3 Một số phương pháp xác định khoảng cách hình học khơng gian: Như ta biết, toán xác định khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song, khoảng cách hai mặt phẳng song song, khoảng cách hai đường thẳng chéo quy tốn xác định khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Vì vậy, tốn xác định khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng coi toán ta sử dụng phương pháp sau: Phương pháp 1: Xác định trực tiếp Phương pháp chung : Để xác định khoảng cách từ O đến mặt phẳng (α), ta xác định trực tiếp hình chiếu H O (α) tính OH theo hướng sau : * Hướng 1: ( Có sẵn đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (α) ) - Kẻ đường thẳng d ′ qua O song song với d ⇒ d ′ ⊥ ( α ) - Gọi H = d ′ I ( α ) Khi d (O,(α )) = OH * Hướng 2: - Dựng mặt phẳng (P) chứa O vng góc với (α) - Tìm giao tuyến ∆ (P) (α) - Kẻ OH ⊥ ∆ ( H ∈ ∆ ) Khi d (O,(α )) = OH Đặc biệt: + Trong hình chóp đều, chân đường cao hạ từ đỉnh trùng với tâm đáy + Hình chóp có mặt bên vng góc với đáy chân đường vng góc hạ từ đỉnh thuộc giao tuyến mặt bên với đáy + Hình chóp có mặt bên vng góc với đáy đường cao giao tuyến hai mặt bên + Hình chóp có cạnh bên (hoặc tạo với đáy góc nhau) chân đường cao tâm đường tròn ngoại tiếp đáy + Hình chóp có mặt bên tạo với đáy góc chân đường cao tâm đường tròn nội tiếp đáy VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O, cạnh a, góc · BAD = 600 , có SO vng góc mặt phẳng (ABCD) SO = a a) Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC) b) Tính khoảng cách từ đường thẳng AD đến mặt phẳng (SBC) Hướng dẫn: S Hạ OK ⊥ BC ⇒ BC ⊥ ( SOK ) Trong (SOK) kẻ OH ⊥ SK ⇒ OH ⊥ ( SBC ) ⇒ d ( O, ( SBC ) ) = OH Ta có ∆ABD ⇒ BD = a ⇒ BO = F a ; AC = a A H Trong tam giác vuông OBC có: K 1 13 a 39 = + = ⇔ OK = O E OK OB OC 3a 13 B D Trong tam giác vng SOK có: C 1 16 a a Vậy d ( O, ( SBC ) ) = OH = = + = ⇔ OH = 2 OH OS OK 3a 4 Ta có AD / / BC ⇒ AD / / ( SBC ) ⇒ d ( AD, ( SBC ) ) = d ( E , ( SBC ) ) Kẻ EF / /OH ( F ∈ SK ) Do OH ⊥ ( SBC ) ⇒ EF ⊥ ( SBC ) ⇒ d ( AD, ( SBC ) ) = d ( E , ( SBC ) ) = EF = 2OH = B D a Ví dụ : ( Đề thi thử THPT Nguyễn Quang Diêu, Đồng Tháp năm 2014) Cho hình lăng trụ ABCD.A′B′C ′D′ có đáy ABCD hình vng cạnh a , cạnh bên AA′ = a , hình chiếu vng góc A′ mặt phẳng ( ABCD ) trùng với trung điểm I AB Gọi K trung điểm BC Tính theo a khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng ( A′KD ) Chú ý: Trong này, giáo viên hướng dẫn học sinh dựng khoảng cách dựa vào tính chất: ( α ) ⊥ ( β ) ; ( α ) ∩ ( β ) = ∆; MH ⊥ ∆; M ∈ ( β ) MH ⊥ ( α ) ⇒ d ( M ; ( α ) ) = MH Tính chất quan trọng việc dựng khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng sử dụng nhiều đề thi Hướng dẫn: • Gọi H = DK ∩ IC , ABCD hình vng cạnh a nên ta suy a CK CD a 3a , CH = = , IH = DK 10 a Xét tam giác A′AI ta A′I =  DK ⊥ IH ⇒ DK ⊥ ( A′IH ) • Do  ′ DK ⊥ A I  ⇒ ( A′DK ) ⊥ ( A′IH ) Trong IC ⊥ KD, DK = IC = B′ C′ A′ D′ mặt phẳng ( A′IH ) , kẻ IE ⊥ A′H ⇒ IE ⊥ ( A′KD ) ⇒ d ( I ; ( A′KD ) ) = IE Xét tam giác A′IH : E 1 = + 2 IE A′I IH 20 32 3a = + = ⇒ IE = 3a 9a 9a 3a Vậy d ( I ; ( A′KD ) ) = B K H D I A Bài tập đề nghị : Bài 1[1] : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A′B′C′ có tất cạnh a Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A′BC) : A a B a 21 C a 2 D a Bài 2[2] : Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng tâm O, cạnh a, cạnh bên SA vng góc với đáy góc SBD = 600 Khoảng cách hai đường thẳng AB SO : A a B a 2 C a D a 5 Phương pháp : Sử dụng phép trượt đỉnh Ý tưởng phương pháp : cách trượt đỉnh O đường thẳng đến vị trí thuận lợi O ' , ta quy việc tính d (O,(α )) việc tính d (O ',(α )) Ta thường sử dụng nh ững kết sau : S∆ Kết Nếu đường thẳng ∆ song song với mặt phẳng (α) M, N ∈ d ( M ;(α )) = d ( N ;(α )) S Kết Nếu đường thẳng ∆ cắt mặt phẳng (α) điểm I M, N ∈ ∆ (M, N d ( M ;(α )) MI = khơng trùng với I ) d ( N ;(α )) NI A Đặc biệt, M trung điểm NI : d ( M ;(α )) = d ( N ;(α )) H B I trung điểm MN : d ( M ;(α )) = d ( N ;(α )) K B M C A I K C D9 D VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ : (Khối D năm 2013) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi ∧ cạnh a , cạnh bên SA vng góc với đáy, BAD = 1200 , M trung điểm cạnh ∧ BC SMA = 450 Tính theo a khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng ( SBC ) Phân tích Do AD // (SBC) nên ta trượt đỉnh D vị trí thuận lợi A quy việc tính d ( D; ( SBC ) ) thành tính d ( A; ( SBC ) ) Hướng dẫn : ∧ • Do BAD = 1200 ABCD hình thoi cạnh a nên tam giác S ∧ ABC tam giác SMA vuông cân A (do SMA = 450 ) • Theo chứng minh BC ⊥ AM ⇒ BC ⊥ ( SAM ) ⇒ ( SBC ) ⊥ ( SAM ) Dựng AK ⊥ SM ( K ∈ SM ) SM Vì AD / / BC nên d ( D; ( SBC ) ) = d ( A; ( SBC ) ) K ⇒ AK ⊥ ( SBC ) , AK = B M C 1a a = AK = SM = 2= 2 A D I Ví dụ 2: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông B , BA = 3a, BC = 4a ; mặt phẳng ( SBC ) vng góc với mặt phẳng ( ABC ) Biết SB = 2a ∧ SBC = 300 Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ( SAC ) theo a Phân tích: Do BH ∩ ( SAC ) = C , nên thay việc tính d ( B, ( SAC ) ) ta tìm mối liên hệ BC HC chuyển tính d ( H , ( SAC ) ) Hướng dẫn: ∧ • Hạ SH ⊥ BC ( H ∈ BC ) ; ( SBC ) ⊥ ( ABC ) ⇒ SH ⊥ ( ABC ) ; SH = SB.sin SBC = a • Hạ HD ⊥ AC ( D ∈ AC ) ⇒ AC ⊥ ( SHD ) S ⇒ ( SAC ) ⊥ ( SHD ) ; HK ⊥ SD ( K ∈ SD ) Suy HK ⊥ ( SAC ) ⇒ HK = d ( H ; ( SAC ) ) S ∧ BH = SB.cos SBC = 3a ⇒ BC = HC ⇒ d ( B; ( SAC ) ) = 4.d ( H ; ( SAC ) ) Ta có AC = BA2 + BC = 5a ; HC = BC − BH = a HC 3a ⇒ HD = BA = AC H B B A A K C D H K C D 10 SH HD HK = SH + HD = 3a 6a Vậy d ( B; ( SAC ) ) = 4.HK = 14 Bài tập đề nghị : Bài 1[3] : Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật, biết AB = 2a, AD = a, SA = 3a SA ⊥ ( ABCD ) Gọi M trung điểm CD Khoảng cách hai đường thẳng SC BM : a 3 Bài 2[4]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA ⊥ ( ABCD ) , SA = A 3a B 2a 3 C a D 2a Gọi M trung điểm SD Khoảng cách đường thẳng SB mặt phẳng (ACM) : A 3a B A C 2a D a Phương pháp 3: Sử dụng cơng thức tính thể tích 3V Phương pháp chung: Thể tích khối chóp V = S h ⇔ h = S Theo cách này, để tính khoảng cách từ đỉnh hình chóp đến mặt đáy, ta tính thể tích V diện tích đáy S VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: (Đề thi thử THPT Quốc gia sở GD&ĐT Hà Nội năm 2017) · Cho hình chóp S.ABC có ·ASB = CSB = 600 , ·ASC = 900 , SA = SB = SC = a Tính khoảng cách d từ A đến mặt phẳng (SBC) A d = 2a B d = a C d = 2a D d = Hướng dẫn: Gọi M trung điểm AC Ta có ∆ SAC vng cân S a S ⇒ SM ⊥ AC AC = SA = a 2; SM = AM = MC = a 2 Ta có ∆ SAB ∆ SBC nên AB = BC = a suy ∆ABC vuông cân B a ⇒ BM = AM = MC = ⇒ ∆ SMB vuông cân M ⇒ SM ⊥ MB ⇒ SM ⊥ (ABC) A C M S B 3V 1 a a a ⇒ VS ABC = SM S ABC = = ⇒ d ( A; ( SBC ) ) = S ABC 3 2 12 S SBC a3 a = 24 = a BS.ABC có đáy ABC tamHgiác Ví dụ 2: (Khối A,A1 năm 2013) Cho hình chóp A K C D 11 ∧ vuông A , ABC = 300 ; SBC tam giác cạnh a mặt bên ( SBC ) vng góc với mặt phẳng ( ABC ) Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ( SAB ) theo a Phân tích Tứ diện SABC lấy S làm đỉnh, ABC làm đáy ta tính thể tích khối tứ diện SABC Nhưng tứ diện SABC lấy C làm đỉnh, SAB làm đáy ta có VS ABC = d ( C ; ( SAB ) ) S SAB ⇒ d ( C ; ( SAB ) ) = Hướng dẫn: • Gọi H trung điểm BC , suy SH ⊥ BC Mà ( SBC ) vng góc với ( ABC ) theo giao tuyến BC , nên SH ⊥ ( ABC ) 3VS ABC S SAB S a a ; AC = BC.sin 300 = ; 2 a3 a ⇒ VS ABC = SH AB AC = AB = BC.cos300 = 6 • ∆ ABC vng A H trung B I điểm BC ⇒ HA = HB mà SH ⊥ ( ABC ) suy SA = SB = a Gọi I trung điểm H SI ⊥ AB AB , suy Do : AB a 13 ⇒ d C , SAB = 3VS ABC = 6VS ABC = a 39 ( ( )) S SI = SB − = SI AB 13 4 SAB Ta có BC = a ⇒ SH = A C Nhận xét : Khi mà cách dựng khoảng cách từ điểm đến phẳng không hiệu việc tính khoảng cách dựa phương pháp thể tích thơng qua kết : h = 3Vchãp Sday V lt h = S day Bài tập đề nghị : Bài 1[5] : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B, AB = a, a3 BC = a Biết thể tích khối chóp S.ABC Khoảng cách từ S đến (ABC) : a 2a 2a a A B C D 9 Bài 2[6] : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng A, AB = 1cm, AC = 3cm Tam giác SAB SAC vuông tai B C Khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC tích A cm B cm 5π cm3 Tính khoảng cách từ C đến (SAB) : C cm D cm 4 Phương pháp : Sử dụng tính chất tứ diện vng 12 Định nghĩa Tứ diện vuông tứ diện có đỉnh mà ba góc phẳng đỉnh góc vng Tính chất Giả sử OABC tứ diện vuông O ( OA ⊥ OB, OB ⊥ OC , OC ⊥ OA ) H hình chiếu O mặt phẳng (ABC) 1 1 = + + Khi đường cao OH tính cơng thức : OH OA2 OB OC Chứng minh Giả sử AH ∩ BC = D , OH ⊥ ( ABC ) ⇒ OH ⊥ BC (1) A OA ⊥ OB, OA ⊥ OC ⇒ OA ⊥ BC (2) Từ (1) (2) suy BC ⊥ OD Trong tam giác vng OAD OBC ta có 1 1 1 = + , = + OH OA2 OD OD OB OC C O 1 1 = + + Vì OH OA2 OB OC H B D Mục tiêu phương pháp sử dụng phép trượt để quy việc tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng việc tính khoảng cách từ đỉnh tam diện vuông đến mặt huyền áp dụng tính chất VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có tất cạnh a Gọi M, N trung điểm AA ' BB ' Tính khoảng cách B ' M CN C′ A′ Phân tích Để tính khoảng cách B ' M CN ta tìm mặt phẳng chứa CN song song với B ' M , ta dùng phép trượt để quy việc B′ M tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng việc tính khoảng cách tứ diện vng N Hướng dẫn: D Gọi O, D trung điểm BC CN C A OACD tứ diện vuông O O AMB ' N hình bình hành ⇒ NA / / B ' M B Mp(ACN) chứa CN song song với B ' M nên: d ( B ' M , CN ) = d ( B ' M ,( ACN )) = d ( B ',( ACN )) = d ( B,( ACN )) = 2d (O,( ACD )) = 2h Áp dụng tính chất tứ diện vng ta 1 1 64 a a = + + = ⇔ h = Vậy d ( B ' M , CN ) = h OA2 OC OD 3a Ví dụ 2: Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh a Gọi M trung điểm DD ' Tính khoảng cách hai đường thẳng CM A ' D Hướng dẫn: Gọi N trung điểm BB ' A ' NCM hình bình hành nên A ' N / /CM 13 Mặt phẳng ( A ' ND ) chứa A ' D song song với CM nên d (CM , A ' D ) = d (CM ,( A ' ND)) = d ( M ,( A ' ND)) = d ( M ,( A ' DE )) với E = AB ∩ A ' N Gọi O = AD '∩ A ' D, G = AD '∩ AM G trọng tâm tam giác ADD ' D′ d ( M ,( A ' DE )) GM = = Do d ( A,( A ' DE )) GA A′ Tứ diện AA ' DE vuông A nên B′ M 1 1 = + + O d ( A,( A ' DE )) AA '2 AD AE N G 2a = ⇒ d ( A,( A ' DE )) = D 4a Vậy d (CM , A ' D ) = d (M ,( A ' DE )) A a B = d ( A,( A ' DE )) = C′ C E Bài tập đề nghị : Bài : Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình chữ nhật có AB=a, BC=2a, mặt phẳng (SAB) vng góc với đáy, mặt phẳng (SBC) (SCD) tạo với đáy góc Biết khoảng cách hai đường thẳng SA BD 2a 6 Tính thể tích khối chóp S.ABCD Bài : Cho tứ diên OABC có OA, OB, OC đơi vng góc OA = OB = OC = Gọi M, N theo thứ tự trung điểm cạnh AB, OA Tính khoảng cách hai đường thẳng OM CN Phương pháp : Sử dụng phương pháp tọa độ hóa Cơ sở phương pháp ta cần chọn hệ tọa độ thích hợp sau sử dụng công thức sau : Ax0 + By0 + Cz0 + D d ( M ;(α )) = với M ( x0 ; y0 ; z0 ) , (α ) : Ax + By + Cz + D = 2 A + B +C uuur r MA; u  r   d ( M , ∆) = r với ∆ đường thẳng qua A có vectơ phương u u r ur uuur u; u ' AA ' ur   d (∆, ∆ ') = r ur với ∆ ' đường thẳng qua A ' có vtcp u ' u ; u '    Phương pháp : Bước : Chon hệ toạ độ Oxyz gắn với hình xét Bước : Chuyển tốn từ ngơn ngữ hình học sang ngơn ngữ toạ độ - véc tơ Bước : Giải toán phương pháp toạ độ chuyển sang ngơn ngữ hình học 14 VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh Một mặt phẳng ( α ) qua đường chéo B’D a) Tính khoảng cách hai mặt phẳng (ACD’) (A’BC’) b) Xác định vị trí mặt phẳng ( α ) cho diện tích thiết diện cắt mp A ( α ) hình lập phương bé N B z Phân tích: Với hình lập phương ta ln chọn hệ toạ độ thích hợp, C D H tạo độ đỉnh biết nên việc y tính khoảng cách hai mặt phẳng (ACD’) (A’BC’) trở nên dễ dàng A' B' Với phần b, ta quy việc tính diện tích t hiết diện việc tính khoảng cách từ M x đến đường thẳng DB’ D' C' M Hướng dẫn: Chọn hệ toạ độ cho gốc toạ độ O ≡ D ' ( 0;0;0 ) , A ' ( 0;1;0 ) , B ' ( 1;1;0 ) , C ' ( 1;0;0 ) , A ( 0;1;1) , C ( 1;0;1) Gọi M điểm đoạn thẳng C’D’, tức M ( x;0;0 ) ; ≤ x ≤ a) Dễ dàng chứng minh (ACD’) // (A’BC’) ⇒ d ( ( ACD ') , ( A ' BC ' ) ) = d ( A ', ( ACD ' ) ) Mặt phẳng (ACD’) có phương trình: x + y − z = ⇒ d ( ( ACD ') , ( A ' BC ' ) ) = d ( A ', ( ACD ' ) ) = b) Giả sử ( α ) cắt (CDD’C’) theo giao tuyến DM, hình lập phương có mặt đối diện song song với nên ( α ) cắt (ABB’A’) theo giao tuyến B’N//DM DN//MB’ Vậy thiết diện hình bình hành DMB’N Gọi H hình chiếu M DB’ Khi đó: S DMB ' N = DB '×MH = DB '×d ( M , DB ') uuuu r uuuu r  MD; DB ' 2x2 − 2x +   = uuuu r Ta có: DB ' = ⇒ d ( M , DB ') = DB ' 1 3  Dấu đẳng thức xảy x = S DMB ' N = x − x + =  x − ÷ + ≥ 2 2  1  Nên diện tích S DMB ' N nhỏ M  ;0;0 ÷, hay M trung điểm D’C’ 2    Hoàn toàn tương tự M ( 0; y;0 ) ⇒ M  0; ;0 ÷   Vậy S DMB ' N nhỏ M trung điểm D’C’ M trung điểm D’A’ Ví dụ 2: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a 15 SA ⊥ ( ABCD ) , SA = a Gọi M điểm di động cạnh CD Xác định vị trí M để khoảng cách từ điểm S đến BM lớn nhất, nhỏ Hướng dẫn: Chọn hệ toạ độ trực chuẩn Oxyz cho z O ≡ A ( 0;0;0 ) , B ( 1;0;0 ) , C ( 1;1;0 ) , D ( 0;1;0 ) , S ( 0;0;1) S M điểm di động CD nên M ( t ;1;0 ) uuuu r với ≤ t ≤ , BM = ( t − 1;1;0 ) uur uuuu r  SB, BM  t − 2t +   d ( S , BM ) = = uuuu r t − 2t + +2 BM y A D t − 2t + Xét hàm số f ( t ) = [0;1] t − 2t + +2 H M B −2 ( t − 1) ⇒ f '( t ) = C x ( t − 2t + ) Ta có bảng biến thiên: −∞ t f’(t) - +∞ + f(t) 3 f ( t ) = , đạt t = Từ bảng biến thiên ta có [ 0;1] max f ( t ) = , đạt t = [ 0;1] Do d ( S , MB ) lớn M ≡ C & d ( S , BM ) = d ( S , MB ) nhỏ M ≡ D & d ( S , BM ) = Bài tập đề nghị : Bài 1[7] : Cho lăng trụ đứng ABC.A′B′C′ có đáy ABC tam giác vuông A Gọi E trung điểm AB Cho biết AB = 2a, BC = a 13 , CC′ = 4a Khoảng cách hai đường thẳng A′B CE : A 4a B 12a C 6a D 3a Bài : Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc, OA = a, OB = 2a, OC = 3a Gọi M trung điểm OB, G trọng tâm ∆ABC Khoảng cách hai đường thẳng AM OC : A a 2 B a C 3a 2 D a 16 Phương pháp : Sử dụng phương pháp vectơ Phương pháp : Bước : Chon hệ véc tơ gốc, đưa giả thiết kết luận tốn hình học cho ngơn ngữ “véc tơ” Bước : Thực yêu cầu tốn thơng qua việc tiến hành biến đổi hệ thức véc tơ theo hệ véc tơ gốc Bước : Chuyển kết luận “véc tơ” sang kết hình học tương ứng VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ : · Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang ·ABC = BAD = 900 , BA = BC = a , AD = 2a Cạnh bên SA vng góc với đáy SA = a Gọi H hình chiếu vng góc A SB Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng ( SCD ) S Hướng uuu rdẫnr :uuur r uuu r r Đặt AB = a; AD = b; AS = c r r r r r r Ta có : a ×c = 0; b ×c = 0; a ×b = uur r r uuu r r r r uuu r r r r SB = a − c; SC = a + b − c; SD = b − c N c H Gọi N chân đường vuông góc hạ từ r H lên mặt phẳng (SCD) b A D ⇒ d ( H ;( SCD )) = HN r SH a = Dễ dàng tính K SB uuur uuur uuu r uuu r uBuu r uur C Khi : HN = HS + SN = − SB + xSC + ySD 2r  x  r  r =  x − ÷a +  + y ÷b +  − x − y ÷c 3  2  3   r2  x   r2   r2 uuur uuu r x − a + + y b − − x − y c = x =  ÷  ÷  ÷   HN ×SC =  3 2  3   ⇒ ⇒ r Ta có:  uuur uuu  HN ×SD =  x + y  br −  − x − y  cr = y = −1 ÷  ÷    3  uuur r r r r r r a ⇒ HN = a + b + c ⇒ HN = a + b + c÷ = 12 6   Nhận xét: Việc lựa chọn hệ véc tơ gốc quan trọng giải toán phương pháp véc tơ Nói chung việc lựa chọn hệ véc tơ gốc phải thoả mãn hai yêu cầu: + Hệ véc tơ gốc phải ba véc tơ không đồng phẳng + Hệ véc tơ gốc nên hệ véc tơ mà chuyển yêu cầu tốn thành ngơn ngữ véc tơ cách đơn giản 17 Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a E điểm đối xứng D qua trung điểm SA M , N trung điểm AE BC Tính khoảng cách MN AC Hướng dẫn:  → →  → →  → → → → → → → → Đặt : OA = a, OB = b, OS = c Ta có : a c = 0, b c = 0, a b = uuuur uuur uuur uuur MN = MA + AC + CN S E r uuur uuu r uuu = SD + AC + CB 2 uuur uuur uuur uuur uuur = SO + OD + AC + CO + OB 2 r r  → → M = − a − c ; AC = −2 a P 2 Gọi PQ đoạn vng góc chung r MN AC , ta có: c A r uuur uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur PQ = PM + MA + AQ = xMN + SD + y AO b O r  r r r r = x  − a − c ÷+ −c − b − ya   B N r r r  1  = −  y + x ÷a − ( x + 1) c − b  2  r2  r2 3 uuur uuuu r y + x a + x + a =  x = −1 ( ) ÷  PQ ×MN =     ⇒ ⇒  uuur uuur r2 y =    PQ ×AC = 2 y + x a =  ÷    ( ) ( ) ( ) D C uuur 1r a2 a 2 ⇒ PQ = − b ⇒ PQ = OB = ⇔ PQ = 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường : * Trước thực đề tài : Tôi cho học sinh lớp 12A7 có lực học trung bình làm kiểm tra sau 15 phút : ĐỀ KIỂM TRA TRƯỚC TÁC ĐỘNG : Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính theo a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( SCD ) Kết không khả quan sau : Điểm Giỏi SL Khá % SL TB % SL Yếu % SL % 18 Lớp 12A7 12% 12 29% 16 38% 21% (Sĩ số 42 ) * Sau thực đề tài: Kết thúc đề tài tổ chức cho em học sinh lớp 12A7 làm đề kiểm tra 15 phút với mức độ nâng cao nội dung xác định khoảng cách thuộc dạng có đề tài : ĐỀ KIỂM TRA SAU TÁC ĐỘNG Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O, SO ⊥ ( ABCD) AC = 4, BD = 2, SO = Tính khoảng cách từ điểm A tới mp(SBC) Kết khả quan, cụ thể sau: Điểm Lớp 12A7 Giỏi SL 11 % 26% Khá SL 19 TB % 45% SL 10 % 24% Yếu SL % 5% (Sĩ số 42 ) Rõ ràng có khác biệt trước sau thực đề tài Như việc hướng dẫn cho học sinh lớp 11 học sinh lớp 12 ôn thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia sử dụng số phương pháp để giải toán khoảng cách hình học khơng gian giúp em tỏ say mê, hứng thú học tập, coi thành cơng người giáo viên Chắc chắn số phương pháp mà nêu đề tài giúp em không cảm thấy lúng túng giải xác định khoảng cách, giúp em tự tin học tập thi Tốt nghiệp THPT Quốc Gia KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận: * Kết áp dụng: Qua việc thực chuyên đề lớp 12A7 có học lực trung bình khá, kết thu khả quan, giúp học sinh có nhìn tổng qt có hệ thống tốn tính khoảng cách, từ có kỹ giải thành thạo toán thuộc chủ đề ứng dụng chúng vào tốn tính thể tích số tốn thực tế khác Tạo cho em khả làm việc độc lập, sáng tạo, phát 19 huy tối đa tính tích cực học sinh theo tinh thần đổi phương pháp Bộ Giáo dục đào tạo * Tự đánh giá : Sáng kiến có tính khả thi, áp dụng để dạy học tốn chun đề tính khoảng cách hình học khơng gian trường THPT Lê Lợi, Thọ Xuân Qua thực tế áp dụng, thấy em học sinh nắm vững phương pháp, biết cách áp dụng vào tốn cụ thể mà hứng thú học tập phần Khi học lớp qua lần thi thử Tốt nghiệp THPT Quốc gia, số học sinh làm tính khoảng cách cao hẳn năm trước em không học chuyên đề Trong trình nghiên cứu thực đề tài khơng tránh khỏi thiếu sót, hạn chế, thân mong đồng nghiệp quan tâm, chia sẻ đóng góp ý kiến để đề tài hồn chỉnh hơn, nhằm giúp tơi bước hồn thiện phương pháp giảng dạy Đồng thời giáo viên tổ Tốn áp dụng cho học sinh lớp 11 lớp 12 ôn thi tốt nghiệp THPT Quốc Gia giảng dạy nhằm giúp cho học sinh có thêm kĩ giải tìm khoảng cách hình học khơng gian 3.2 Kiến nghị: Mỗi tốn thường có nhiều cách giải, việc học sinh phát cách giải khác cần khuyến khích Song cách giải cần phân tích rõ ưu điểm hạn chế từ chọn cách giải tối ưu Đặc biệt cần ý tốn tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, từ áp dụng cho tốn khoảng cách khác XÁC NHẬN Thanh Hóa, ngày 25 tháng năm 2019 CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ CAM KẾT KHÔNG COPY Người viết SKKN : Đỗ Thị Thủy 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO Báo Toán học Tuổi trẻ từ năm 2015 đến Sách giáo khoa Hình học 11 Hình học 12 – NXB Giáo dục Sách giáo viên Hình học 11 Hình học 12 – NXB Giáo dục Sách tập Hình học 11 Hình học 12 – NXB Giáo dục Phương pháp giải dạng toán THPT: Hình học khơng gian – Lê Hồng Đức ( Chủ biên ) – NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2017 Tuyển tập 500 tốn Hình học khơng gian chọn lọc – Nguyễn Đức Đồng ( Chủ biên ) – NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2009 Phương pháp giải tốn chun đề Hình học 11 – Nguyễn Văn Nho, Lê Bảy – NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2016 Tuyển tập đề thi thử Tốt nghiệp THPT Quốc gia năm học 2018 – 2019 trường nước qua Internet [1] Đề thi thử THPT QG Chuyên Quang Trung – Bình Phước – Lần [2] Đề thi thử THPT QG Chuyên Thái Nguyên – Lần [3] Đề thi thử THPT QG Chuyên Đại học Vinh – Lần [4] Đề thi thử THPT QG Chuyên Đại học Thái Bình – Lần [5] Đề thi thử THPT QG 19/5 Kim Bơi – Hòa Bình – Lần [6] Đề thi thử THPT QG Chuyên Vĩnh Phúc – Lần [7] Đề thi thử THPT QG Chuyên Đại học Vinh – Lần Rèn luyện kỹ giải tốn Hình học không gian – Nguyễn Mạnh Hùng – NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2017 10 Chuyên đề giải toán Hình học khơng gian – Nguyễn Anh Trường, Nguyễn Tấn Siêng – NXB Tổng hợp Tp Hồ Chí Minh, 2012 21 DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Đỗ Thị Thủy Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên Trường THPT Lê Lợi - Thọ Xuân - Thanh Hóa TT Tên đề tài SKKN Nhận dạng tam giác phương pháp sử dụng tam thức bậc hai tích vơ hướng Hướng dẫn học sinh ôn thi đại học giải số dạng tập cực trị hóa để giải số tốn C 2010 – 2011 Sở GD&ĐT Thanh Hóa C 2012 – 2013 Sở GD&ĐT Thanh Hóa C 2014 – 2015 Sở GD&ĐT Thanh Hóa C 2016 – 2017 hình học không gian Hướng dẫn học sinh lớp 12 phân loại số dạng tốn viết phương trình mặt phẳng không gian tọa độ Oxyz thường gặp đề thi Sở GD&ĐT Thanh Hóa hình học giải tích lớp 12 Giúp học sinh lớp 12 rèn luyện kỹ sử dụng phương pháp tọa độ Cấp đánh Kết giá xếp đánh giá Năm học loại xếp loại đánh giá (Phòng, (A, B, xếp loại Sở, C) Tỉnh…) Sở GD&ĐT Thanh Hóa C 2008 – 2009 THPT Quốc gia Rèn luyện cho HS lớp 12 Trường THPT Lê Lợi kỹ giải số dạng tốn phương trình mặt cầu phương pháp phân loại thông qua số tập thực hành 22 Hướng dẫn cho học sinh lớp 11 học sinh lớp 12 ôn thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia sử dụng số kỹ thuật tìm nghiệm phương trình Sở GD&ĐT Thanh Hóa C 2017 – 2018 lượng giác có điều kiện 23 ... động học sinh bồi dưỡng cho học sinh có lực tư sáng tạo, lực giải vấn đề Nhằm phục vụ cho lý luận dựa theo lý luận : bồi dưỡng cho học sinh kiến thức vấn đề sau tạo cho học sinh khả tự học độc... chủ động sáng tạo học sinh, tăng cường ứng dụng thực tế, giúp học sinh có phương pháp học tốt thích ứng với xu hướng - Góp phần gây hứng thú học tập mơn Tốn cho học sinh, mơn học coi khơ khan,... nghiệp trung học phổ thông Quốc gia đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh thường có câu tính khoảng cách hình học khơng gian Khơng đề thi theo hướng phát huy tính sáng tạo học sinh, có phần gây khó khăn cho