"RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC TỔ HỢP" A ĐẶT VẤN ĐỀ Trước tình hình lớp học sinh lớp 11 12 khóa mà tơi dạy: Các em lúng túng gặp toán chứng minh đẳng thức,bất đẳng thức có liên quan đến C k (Tổ hợp chập k n) Các em xuất n phát từ đâu để đưa đẳng thức, BĐT cần chứng minh, hay từ đắng thức cần k n chứng minh để đưa đến đắng thức chứa C , Trong đề tài rèn luyện cho học sinh ba phương pháp chứng minh đẳng thức,BĐT tổ hợp là: Sử dụng cồng thức, tính chất tổ hợp để biến đổi; Sử dụng đạo hàm; Sử dụng tích phân Với mục đích phần giúp em giải vướng mắc trên, chuẩn bị cho em vững tin bước vào kỳ thi Tốt nghiệp Đại học B CƠ SỞ KHOA HỌC 1) Cơ sở lý thuyết Trước hết cho em nắm vững vấn đề sau: + Công thức khai triển Nhị thức Niu Tơn: (a + b)n = n C k =0 k n a n−k b k (n, k nguyên dương k  n) + Tổng số hạng tử khai triển (a + b)n (n + 1) + Hệ số hạng tử khai triển: Có tính chất đối xứng, tức là: k n C =C n−k (0  k  n) n + Dạng đặc biệt nhị thức Niu Tơn: Dạng 1: Thay a = ; b = x ta được: n n (1 + x)n = C + C x + C 2 n −1 x - n x + + C x + C xn n n n Dạng 2: Thay a = ; b = - x n n n (1 - x)n = C − C x + C x2 - + (-1)n C n n x n + Cơng thức tính đạo hàm hàm số mũ: [(1 + x)n]’ = n (1 + x)n -1 + Cơng thức tính tích phân 2) Cơ sở thực tiễn: Qua nhiều năm giảng dạy, áp dụng đề tài vào lớp mà phụ trách hiệu quả, đặc biệt năm học tiến hành lớp 11I, 11H, 11G lớp 12A, 12G lớp ơn thi đại học trường THPT Ba Đình Nga Sơn, kết thu tương đối tốt Từ chỗ em thấy khó khăn giải toán dạng này, sau hướng dẫn, rèn luyện em giải thành thạo C BIỆN PHÁP THỰC HIỆN Sau cho em nắm vững kiến thức công thức khai triển nhị thức Niu Tơn tính chất nó, nắm vững cơng thức tính đạo hàm, tích phân hàm số mũ Tôi đưa phương pháp chứng minh đẳng thức, k n bất đẳng thức chứa C , phương pháp tơi đưa ví dụ từ dễ đến khó nâng lên tổng quát, sau đưa tập áp dụng I- PHƯƠNG PHÁP 1: Sử dụng cơng thức tính chất tổ hợp để k n chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức chứa C (Tổ hợp chập k n ) Ví dụ 1: Chứng minh đẳng thức sau: a) C 1021 = C 99 + C 109 + C 119 +… + C 920 (1) b) C kn++11 = C kn + C kn −1 + C kn−2 +… + C kk (2) Giải: Trước hết ta chứng minh công thức : C np−1 + C np−−11 = C np (n − 1)! + p!(n − p − 1)! Thật vậy: Ta có C np−1 + C np−−11 = (n − 1)!(n − p ) + (n − 1)! p (n − 1)!n = p!(n − p )! p!(n − p)! = = (n − 1)! ( p − 1)!(n − p )! n! = C np p!(n − p)! a Áp dụng cơng thức ta có: VP (1) = C 1010 + (C 1011 - C 1010 ) + (C 1012 - C 1011 ) + + (C 1021 - C 1020 ) = C 1021 = VT(1) đpcm b Tương tự câu a, ta có: VP (2) = C kk ++11 + (C kk ++12 - C kk ++11 ) + + (C kn++11 - C kn +1 ) = C kn++11 = VT(2) đpcm Ta chứng minh câu b, tổng quát trước áp dụng cho câu a Ví dụ 2: Chứng minh đẳng thức sau: a k C kn = n C kn−−11 với k,n nguyên dương,  k  n b n C rn = (r+1)C rn+1 + r C rn với r,n nguyên dương,  r  n Giải: a Ta có: n C kn−−11 = n (n − 1)! n! = k = k C kn (n − k )!(k − 1)! (n − k )!k! đpcm b CM tương tự câu a, Có thể sử dụng cơng thức vào chứng minh đẳng thức khác Ví dụ 3: CMR với k, n nguyên dương  k  n , ta có: 999 1000 1000 a C 02011 C 1000 2010 + C 2011 C 2010 + + C 2011 C 2010 = C 4021 b C 0m C kn + C 1m C kn −1 + + C km C 0n = C km+n c (C 0n )2 + (C 1n )2+ + (C nn )2 = (C n2 n )2 Giải: Cách 1: Ta chứng minh câu b, thay k=1000, m=2011, n=2010 câu a, b Từ khai triển nhị thức Niu tơn: n −1 x - n (1 + x)n = C n + C n x + C x2 + + C x + C xn n n n Và (1+x)m; (1+x)m+n ta đồng hệ số xk hai vế đẳng thức (1 + x)n(1 + x)m = (1+x)m+n ta được: C 0m C kn + C 1m C kn −1 + + C km C 0n = C km+n đpcm c Đặc biệt hoá: k = m = n thì: (C 0n )2 + (C 1n )2+ + (C nn )2 = (C n2 n )2 đpcm Cách 2: Chứng minh câu a, trước nâng lên tổng quát ta câu b, Ví dụ 4: 2008 2009 2010 CMR: C 02010 C 2009 + (*) 2010 + C 2010 C 2009 + + C 2010 C  1005.2 Giải: −k Ta có: C k2010 C 2009 2010−k = 2010! (2010 − k )! 2010.2009! k = = 2010.C 2009 k!(2010 − k )! (2009 − k )! k!(2009 − k )! Suy VT(*) = 2010.(C 02009 +C 12009 + + C 2009 2009 ) = = 2010.22009= 1005.22010  1005.22010 + đpcm Qua VD ta có cơng thức TQ: C kn C nn−−kk −1 = n.C kn −1 Ví dụ 5: CMR với k,n nguyên dương  k  n , ta có: C n2n+k C n2n−k  (C n2 n )2 Giải: Cho n cố định, xét dãy số(Un): Un = C n2n+k C n2n−k Khi bđt viết dạng Uk  Uo 0 kz Ta chứng minh dãy (Un) đơn điệu giảm Thật vậy: Uk+1  Uk   (2n + k + 1)! (2n − k − 1)! (2n + k )! (2n − k )!  n!(n + k + 1)! n!(n − k − 1)! n!(n + k )! n!(n − k )! 2n + k + 2n − k  n + k +1 n−k  n+ 2nk  - Do Uk  Uo  k  z Vậy C n2n+k C n2n−k  (C n2 n )2 đpcm Bài tập áp dụng: 1000 1000 C 1000 2011 C 2009  (C 2010 ) +1 1001 CMR:C k2001 + C k2001  C 1000 2001 + C 2001 (o  k  1000 k  z ) (ĐHSP Vinh 2001) 2000 CMR: C 02001 + C 22001 + C 42001 + + 2000 C 2000 (2 2001 -1) 2001 = CMR: n C on + n−2 C 2n + + C nn < 3n + 2 4n C 0n - 4n-1C 1n + + (-1)n C nn = C 0n + 2C 1n + 22 C 2n + +2n C nn II- PHƯƠNG PHÁP 2: Sử dụng đạo hàm Xuất phát từ khai triển nhị thức Niu tơn: n n (1 + x)n = C + C x + C 2 n −1 x - n x + + C x + C xn n n n Ta lấy đạo hàm cấp 1, cấp hai cấp r, sau thay x = a tuỳ vào đẳng thức bđt cần chứng minh Cũng có tốn sau đạo hàm ta phải nhân thêm với xk, nhân với xk đạo hàm thay giá trị x tuỳ vào ycbt Ví dụ 1: Với n số nguyên dương, chứng minh n a) C -+ C b) C n + C + + n C = n 2n - n n n k n - C + C - + ( - 1)k - C xk + + (- 1)n- n C = n n n n n x, với n số nguyên dương ta có: Giải: a) (1 + x)n = C n + C x + C x2 + + C xn n n n n (1) Lấy đạo hàm theo x hai vế (1) ta : n n n (1 + x)n - = C + C x + + n xn - C Thay x = vào (2) ta có: n 2n - = C n n (2) n + C + + n C n n n đpcm b) Với x với n số nguyên dương ta có: n n n n n (1 - x)n = C - C x + C x2 - + ( - 1)n C xn (3) Lấy đạo hàm hai vế (3) theo x ta được: n n n n - n (1 - x)n - = - C + C x - + n (-1)n C xn - Thay x = vào 0=- C C Ví dụ 2: a) C (4) (4) ta có: n + C - + ( - 1)n n C n n n n - C + C - + (- 1)n - n C = n n n n đpcm Với n nguyên dương, chứng minh rằng: n + C + + n (n - 1) C = n(n - 1) 2n - n n n r r r n b) (-1)r C C + (-1)r + C r r +1 r n C + + ( - )n C C = r +1 n n n (r nguyên dương, r  n) Giải: a) x n nguyên dương, ta có: (1+ x)n = C n + C + C x + + C xn n n n n (1) (2) Lấy đạo hàm theo x hai vế (1) được: n n n n n (1+ x)n - = C + C x + + n C xn - Lấy đạo hàm theo x hai vế (2) ta có: n (n - 1) (1 + x)n - = 2.1 C n + 3.2 C x + + n(n - 1) C xn - n n n (3) Thay x = vào (3) ta được: n n n (n - 1) 2n - = 2.1 C + 3.2 C + + n(n - 1) C n đpcm n b) Lấy đạo hàm cấp r theo x hai vế (1) ta được: n(n - 1) (n - r + 1) (1 + x)n - r = n  k n k (k - 1) (k - r + 1) C xk - r k =r (4) Chia hai vế (4) cho r ! ta được: n (n - 1) (n - r + 1) (1 + x)n - r = r! n  k =r n =  k =r n =  k =r Thay x = - vào (5) ta được: = n  k =r k (k − 1) ( k − r + 1) k k - r C x r! n k k! C xk - r r!(k − r )! n r k C C xk – r k n r k C C ( - 1)k - r  k n (5) n  k =r r k C C (-1)k = k n đpcm Ngoài việc lấy đạo hàm theo x hai vế khai triển nhị thức Niu Tơn cấp 1, 2, 3, , cấp r, thay x = hay x = - 1; ta gặp toán thay x = a khai triển từ (b + x)n, muốn xác định a, b ta vào đầu bài, chẳng hạn: Ví dụ 3: Với n nguyên dương, chứng minh rằng: n a) C + C b) n - C n + + n 2n - C = n 3n - n n 2 n + 2.3n - C + 3.3n - C + + n C  n.4n - +1 n n n n Giải: x  R, với n ngun dương ta ln có: a) (1 + x)n = C n + C x + C x2 + + C xn n n n n (1) Lấy đạo hàm vế (1) theo x, thay x = 2, ta được: n.3n - = C n + 2 C + 3.22 C + + n.2n - C đpcm n n n n n n n b) Từ : (3 + x)n = C 3n + C 3n - 1x + C 3n - x2 + + C n n x n (2) Đạo hàm vế (2) thay x = ta được: n n n n.4n - = C 3n - + C 3n - + C 3n - 1+ + n C n n  n.4n - +1 đpcm + Có tốn khơng đơn từ khai triển: (x + a)n đạo hàm cấp r, thay x = m, mà phải nhân thêm với biểu thức x, tách thành tổng biểu thức hay nhân chia, cộng, trừ với biểu thức khác, chẳng hạn: Ví dụ 4: Với n nguyên dương, chứng minh: n n n a) 12 C + 22 C + 32 C + + C n n b) C + C + + (n - 1) C n = (n2 + n) 2n - n n > (n - 2) 2n - n Giải: a) Từ khai triển: n n n n (1 + x)n = C + C x + + C xn (1) Lấy đạo hàm cấp hai vế (1) theo x n n n n n(n -1) (1 + x)n - = 2.1 C + 3.2 C x + + n (n - 1) C xn - 2 n Thay x = 1, được: n(n - 1)2n -2 = 2.1 C + 3.2 C n + + n(n- 1) C n n (2) Cộng theo vế đẳng thức (2) với đẳng thức sau: n 2n - = C n + C + + n C n n n (Do thay x = vào đẳng thức sau đạo hàm cấp hai vế (1) ) Ta có: n(n - 1)2n - + n 2n - = C n n n n + 22 C + 33 C + +n2 C n n n n n n  C + 22 C + 33 C + +n2 C = (n2 + n) 2n - đpcm b) Thay x = vào (1) ta được: n 2n = C + C n + C + + C n n n (3) Lấy hàm theo x hai vế (1) thay x = ta được: n.2n - = C n −1 n + C + + (n - 1) C + nC n n n n (4) Lấy (4) trừ (3) theo vế, ta được: n n n.2n - - 2n = - C + C + + (n - 2) C n n  C + C + + (n - 1) C n −1 n + (n - 1) C n n n = (n - 2)2n - + > (n - 2) 2n - đpcm n Ví dụ 5: Với n nguyên dương, chứng minh rằng: C n + C + + n 2n -1 C = n.4n - C - (n - 1)4n - C + n n n n n + (n - 2) 4n - C n −1 + + ( - 1)n - C n n Giải: Từ khai triển: (1 + x)n = C n + C x + + C xn n n n (1) (2) Lấy đạo hàm vế (1) thay x = ta được: n.3n - = C n + C + + n 2n – C n n n Lại có: (x - 1)n = C (*) n n x - C xn - + + (- 1)n C n n n Lấy đạo hàm hai vế (2) thay x = ta được: n.3n - = n 4n - C n −1 - (n - 1) 4n - C + + ( - 1)n -1 C n n n (3) Từ (*) (3) ta suy ra: n C + C + +n.2n - C = n.4n - C - (n - 1)4n - C + n n n n n …+(-1)n-1 C n −1 n đpcm 1004 Ví dụ 6: CMR:  (2k - 1)2 C k =1 1004 Giải: Ta có: S =  (2k -1)2 C k =1 2k − = 2007 2008 22004 2007 2k − 2007 =1 C +32 C + +20072 C 2007 2007 2007 2007 Xét hàm số: (x) = [(1 + ex)2007 - (1 - ex)2007] Khai triển nhị thức Niu Tơn ta có: (x) = 1004  k =1 C 2k − (2k - 1)x e  ''(x) = 2007  Tổng cần tìm là: S = 1004  k =1 1004  (2k - 1)2 C (2k - 1)2 C 2k − = ''(0) 2007 k =1 2k − (2k - 1)x [e ] 2007 Mà: (x) = [ (1 + eX)2007 - (1 - ex)2007] 2007ex ''(x) = [(1 + ex)2006 + (1 - ex)2006] 2007.2006 e2x + [(1 + ex)2005 - (1 - ex)2005] 10  S =  ''(0) = 2007 2008 22004  đpcm Bài tập áp dụng: Với n nguyên dương, chứng minh rằng: n 1) C + 2.4 C n + 3.42 C + + n.4n-1 C = n.5n-1 n n n n n 2) C 5n-1 + C 5n-2 + + n C 3) n  n 6n - - n n ( C + C + C + + n C ) < n ! n n n n n 4) 3.2 C n + 4.3 C + 5.4 C + + (n + 3)(n + 2) C n n n n = 3(2 + n) 2n + n (n - 1) 2n - III- PHƯƠNG PHÁP 3: Sử dụng tích phân: Căn vào đẳng thức hay BĐT cần chứng minh để chọn tích phân hai vế khai triển nhị thức Niu tơn (a+b)n theo a hay b thay giá trị chữ cịn lại cho phù hợp Ví dụ 1: Với n số nguyên dương, chứng minh rằng: k n C C C n n n n n +1 − a) C + + + + + + = n 1+1 1+ 1+ k 1+ n 1+ n C (ĐHGTVT 2000) n C C n n n b) C + + + (−1) n  +1 n 1+1 1+ 1+ n 1+ n C Giải: x với n nguyên dương ta có: (1 + x)n = n  k =0 k C xk n (1) Lấy tích phân theo x hai vế (1), ta được: t  t (1 + x)n dx = n   k =0 k (1 + x) n +1 C xk dx  n +1 n t n =  k =0 C k x k +t n k +1 t 11  n +1 (1 + t ) − = n +1 k n k +1 t k +1C n  k =0 a) Thay t = vào (2), ta được: (2) n +1 −1 = 1+ n n  k =0 k n k +1 C đpcm b) Thay t = - vào (2) ta được: - = n +1 (−1) k +1 C n  k n k +1 k =0  = n +1 (−1) k +1 C n  k n k +1 k =0 suy đpcm Ví dụ 2: Chứng minh rằng: n C - 22 = n 1 (−1) n n +1 C + 23 C + + C n +1 n n n [1 + (-1)n ] n +1 n  N Giải: Với  x với n số nguyên dương ta có: n  (1 - x)n = k n (-1)k C xk k =0 (*) Lấy tích phân theo x hai vế (*) ta được:  (1 - x) dx =  - (1 − x) n +1 n +1 n = n   n  k n ( - 1)k C xk dx k =0 (- 1)k C k =0 k x k +1 n k +1 n [( −1) n + 1] ( −1) n n C  =2 C -2 n C +2 C - + n +1 n +1 n n n Ví dụ 3: Tính tích phân: In =  đpcm (1 - x2)n dx, với n  N n C (−1) n C 2.4 ( 2n) n n n Từ suy ra: C + - + = 3.5 ( 2n + 1) n 2n + C Giải: Tính In phương pháp tích phân phần, với cách đặt: 12 n  du = −2nx(1 − x ) n −1 dx u = (1 − x )    v=x    dv = dx Khi đó: In = x (1 - x2)n + 2n  (1 - x2)n - x2 dx = - 2n  (1 - x2)n - [(1 - x2) - 1] dx = -2n [  (1 - x2) n dx  (1 - x2)n - dx] = -2n (In - In - 1) 2n 2n 2(n − 1) 2.4 ( 2n)  In = In- = I0 = 2n + 2n + 2n − 3.5 ( 2n + 1) = Ta có (1 - x)n = n  n   dx 2.4 ( 2n) 3.5 ( 2n + 1) (1) k n (-1)k C xk k =0  (1 - x2)n = k n (- 1)k C x2k k =0 (2) Lấy tích phân theo x hai vế (2), ta  (1 - x2)n dx = n   k n (- 1)k C x2kdx = k =0 n  k =0 (- 1) C k x k +1 n 2k + 1 n C (−1) n C n n n =C + - + n 2n + C Từ (1) (3) suy điều phải chứng minh Ví dụ 4: Chứng minh với n nguyên dương ta có: 1 n (−1) n -3 C C + + C > n n 2( n + 1) 2(n + 1) n 13 Giải: Xuất phát từ khai triển: (1 - x2)n = C n + C ( - x2) + C (- x2)2 + + C ( - x2)n n n n n n  x ( -x2)n = C x - C n x + C x5 - + (- 1)n C x2n + n n n (1) Tích phân hai vế (1) được: 1 x4 x (1 - x ) dx = x2 C - C n n  n n x 2n+2 + + ( - 1) C n 2n + n (2) Từ (1) (2) suy ra: 1 1 (-1)n n 2(n + 1) = C n - C n + C n - C n + + n + C n 11 (1 - x2)n + 2 x (1 - x ) dx = -  (1 - x) d (1- x ) = n + 1 (Do  2n 1 = 2(n + 1) )  đpcm BÀI TẬP ÁP DỤNG: 1 1 2n +1 - n 1) Chứng minh rằng: C + C + + 3n + C = 3(n + 1) n n n n  N 2) Chứng minh rằng: C 1 + C + 22 C + C 23 + n n n n 3n +1 - n + n + C 2n > 2(n + 1) - n  N n 2n + - n 3n + - 2n + 22 - 1 23 - 3) CMR: C + C + C + + n + C = n+1 n n n n C m! n! n n n 4) CMR: + + (- 1)n C m + n + = (m + n + 1)! n m +1 m+2 C (với m, n nguyên dương) 1 − n +1 n n+1 − 3n+1 5) CMR: C 0n + C + +1 C +…+ C < 24 n n n n +1 (n + 1)2 n+1 14 ( với n nguyên dương ) D KẾT QUẢ VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM Sau em hướng dẫn cách sử dụng công thức, tính chất tổ hợp, cách sử dụng đạo hàm, tích phân để chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức có chứa C k (tổ hợp chập k n), em giải tốn dạng n tương đối thành thạo.Tôi tiến hành kiểm tra lớp 11G, 11I, 11H lớp 12A, 12G kết sau: - Lớp 12A: 65% học sinh giải thành thạo toán dạng 25% học sinh biết cách giải 10% học sinh lúng túng - Lớp 11G 12G: 50% học sinh giải thành thạo toán dạng 40% học sinh biết cách giải 10% học sinh lúng túng - Lớp 11H: 45% học sinh giải thành thạo toán dạng 40% học sinh biết cách giải 15% học sinh lúng túng - Lớp 11I: 40% học sinh giải thành thạo toán dạng 45% học sinh biết cách giải 15% học sinh lúng túng Qua trình thực đề tài thấy cần: + Củng cố khắc sâu kiến thức có liên quan + Giáo viên cần đưa ví dụ từ dễ đến khó, sau đưa dạng tổng quát phương pháp giải chung cho loại (lưu ý học sinh cịn có cách giải khác) + Động viên học sinh cần nỗ lực học tập, tư lơ gíc mạnh dạn đưa cách giải 15 Trên ý kiến chủ quan mình, viết có chỗ chưa thật hay, tơi mong bạn đồng nghiệp góp ý để có cách dạy tốt đạt kết cao dạy dạng tốn Tơi xin chân thành cảm ơn ! Nga Sơn, ngày tháng năm 2011 NGƯỜI VIẾT Hoàng Thị Uyên 16 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THƠNG BA ĐÌNH NGA SƠN  RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC TỔ HỢP HỌ VÀ TÊN : CHỨC VỤ: Hồng Thị Un TỔ PHĨ CHUN MƠN TỔ TỐN ĐƠN VỊ CƠNG TÁC: TRƯỜNGTHPT BA ĐÌNH SKKN THUỘC MƠN: TỐN Năm học: 2010 - 2011 *************** 17 ... TRUNG HỌC PHỔ THƠNG BA ĐÌNH NGA SƠN  RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC TỔ HỢP HỌ VÀ TÊN : CHỨC VỤ: Hồng Thị Un TỔ PHĨ CHUN MƠN TỔ TỐN... nâng lên tổng quát, sau đưa tập áp dụng I- PHƯƠNG PHÁP 1: Sử dụng cơng thức tính chất tổ hợp để k n chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức chứa C (Tổ hợp chập k n ) Ví dụ 1: Chứng minh đẳng thức sau:... thức công thức khai triển nhị thức Niu Tơn tính chất nó, nắm vững cơng thức tính đạo hàm, tích phân hàm số mũ Tơi đưa phương pháp chứng minh đẳng thức, k n bất đẳng thức chứa C , phương pháp tơi