Latex hóa:Vũ Ngọc Thành Vàng Pheo huyện Phong Thổ tỉnh Lai Châu TUYỂN TẬP CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC TRONG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TRÍCH ĐỀ THI HSG 12 TỈNH LÀO CAI 2016-2017 Câu Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x2 + y2 + z2 = Chứng minh 1 + + − ( x + y + z) ≥ x y z Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cô-si: + 4x ≥ x + 4y ≥ y + 4z ≥ z Cộng bất đẳng thức vế theo vế, ta có: 1 + + + ( x + y + z) ≥ 12 (1) x y z Ta lại có: ( x − y)2 + ( y − z)2 + ( z − x)2 ≥ ⇔ x2 + y2 + z2 ≥ x y + yz + xz ⇔ x2 + y2 + z2 ≥ ( x + y + z)2 Do x2 + y2 + z2 = nên ( x + y + z)2 ≤ ⇔ x + y + z ≤ nên −6 ( x + y + z) ≥ −9 (2) 4 Cộng (1) (2) vế theo vế, ta có 1 + + − ( x + y + z) ≥ x y z Dấu xảy x = y = z = TRÍCH ĐỀ THI HSG TRƯỜNG THPT HẬU LỘC 2017 - 2018 Câu Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = x yz Chứng minh rằng: x y + xz + yz ≥ + x2 + + y2 + + z2 + 1 Latex hóa:Vũ Ngọc Thành Vàng Pheo huyện Phong Thổ tỉnh Lai Châu Lời giải Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = x yz Chứng minh rằng: x y + xz + yz ≥ + x2 + + y2 + + z2 + Ta có: x yz = x + y + z ≥ x y + z ⇔ ⇔ Với xy ≥ z xy ≥ xy −2 xy− z ≥ + + z2 z xy ≤ − + z2 loại x, y > z + + z2 , ta có z z ( x + y) ≥ 2z x y + + z2 z 2(1 + + z2 ) ≥ z = Vậy z( x + y) ≥ 2(1 + + z2 ); tương tự ta được: x( z + y) ≥ 2(1 + + x2 ) + y2 ) y( x + z) ≥ 2(1 + Cộng theo vế bất đẳng thức ta được: x y + xz + yz ≥ + ! x2 + + y2 + + z2 + đpcm Có thể chứng minh cách đặt x = tan A , y = tan B, z = tan C với A, B, C góc tam giác nhọn Khi bđt trở thành: cos2 A + cos2 B + cos2 C ≥ cosA.cosB+cosB.cosC+cosC.cos A TRÍCH ĐỀ THI HSG 12 tỉnh THANH HĨA 2017 - 2018 Câu Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = x yz Chứng minh rằng: x y + xz + yz ≥ + x2 + + y2 + + z2 + Lời giải Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = x yz Chứng minh rằng: x y + xz + yz ≥ + x2 + + y2 + + z2 + Latex hóa:Vũ Ngọc Thành Vàng Pheo huyện Phong Thổ tỉnh Lai Châu Ta có: x yz = x + y + z ≥ x y + z ⇔ ⇔ Với xy ≥ z xy ≥ xy −2 xy− z ≥ + + z2 z xy ≤ − + z2 loại x, y > z + + z2 , ta có z z ( x + y) ≥ 2z x y + + z2 z 2(1 + + z2 ) ≥ z = Vậy z( x + y) ≥ 2(1 + + z2 ); tương tự ta được: x( z + y) ≥ 2(1 + + x2 ) y( x + z) ≥ 2(1 + + y2 ) Cộng theo vế bất đẳng thức ta được: x y + xz + yz ≥ + ! x2 + + y2 + + z2 + đpcm Có thể chứng minh cách đặt x = tan A , y = tan B, z = tan C với A, B, C góc tam giác nhọn Khi bđt trở thành: cos2 A + cos2 B + cos2 C ≥ cosA.cosB+cosB.cosC+cosC.cos A Trích đề thi HSG 11 – Thanh Hóa – 2017 - 2018 Câu Cho x, y, z số thực phân biệt không âm Chứng minh x+ y y+ z z+x + + ≥ ( x − y)2 ( y − z)2 ( z − x)2 x + y + z Lời giải Ta có x+ y y+ z z+x x+ y y+ z z+x + + ≥ ⇔ ( x + y + z ) + + ≥9 ( x − y)2 ( y − z)2 ( z − x)2 x + y + z ( x − y)2 ( y − z)2 ( z − x)2 Khơng tính tổng qt, giả sử x > y > z ≥ Khi có bất đẳng thức sau: • x+ y+ z ≥ x+ y • y+ z ( y − z) ≥ ⇔ y ( y + z) ≥ ( y − z)2 ⇔ z (3 y − z) ≥ (ln đúng) y Latex hóa:Vũ Ngọc Thành Vàng Pheo huyện Phong Thổ tỉnh Lai Châu • Tương tự có z+x ( z − x) ≥ x x+ y y+ z z+x x+ y 1 + + F ≥ ( x + y) + + 2 2 y x ( x − y) ( y − z) ( z − x) ( x − y) 1 với ∀a, b, c > Ta có bất đẳng thức sau: + + ≥ a b c a+b+c Do đặt F = ( x + y + z) Áp dụng ta được: x+ y 1 + + = ( x − y)2 y x 1 + ( x + y)2 − x y x y 1 = ( x + y) + + ( x + y) − x y x y x y 9( x + y) ≥ ( x + y)2 = x+ y ( x + y) x+ y 1 + + ≥ ( x + y) = Suy F ≥ y x x+ y ( x − y) z=0 Dấu đẳng thức xảy ⇔ ( x + y)2 − x y = x y Vậy ( x + y) z=0 x = (2 ± 3) y Trích đề thi HSG Hà Nội 2016-2017 Câu Cho số thực a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 27 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = (a + 6) ( b + 6) ( c + Lời giải Tìm giá trị lớn nhất: ♀Cách 1: Từ a2 + b2 + c2 = 27 ⇒ a2 ≤ 27 ⇔ |a| ≤ 3 ⇒ a + > Tương tự có b + > 0; c + > Nên P = (a + 6) ( b + 6) ( c + 6) ≤ (|a| + 6) (| b| + 6) (| c| + 6) ≤ |a| + | b| + | c| + 18 ⇒P≤ | a| + + | b | + + | c | + 3 Có (|a| + | b| + | c|)2 ≤ a2 + b2 + c2 = 3.27 = 81 ⇒ |a| + | b| + | c| ≤ ⇒P≤ + 18 3 = 729 Dấu = a = b = c = ♀Cách 2: P = (a + 6) ( b + 6) ( c + 6) = abc + (ab + bc + ca) + 36 (a + b + c) + 216 = abc + M Có: a2 + b2 + c2 = 27 ≥ a2 b2 c2 ⇔ a2 b2 c2 ≤ 729 ⇒ abc ≤ 27 Dấu Xét = a = b = c = M = (ab + bc + ca) + 36 (a + b + c) + 216 = 3[(a+b+c)2 − a2 − b2 − c2 ] + 36 (a + b + c) + 216 ⇒M= t2 + 36 t + 135 Latex hóa:Vũ Ngọc Thành Vàng Pheo huyện Phong Thổ tỉnh Lai Châu Với t = a + b + c; t2 = (a + b + c)2 ≤ a2 + b2 + c2 = 81 ⇔ −9 ≤ t ≤ Từ tìm max P ≤ 27 + 702 = 729 Dấu = a = b = c = * Tìm giá trị nhỏ nhất: Từ giả thiết dẫn đến: |a| ; | b| ; | c| ≤ 3 giả sử : a2 ≤ b2 ≤ c2 ⇒ a2 + b2 + c2 = 27 ⇒ 3a2 ≤ 27 ⇔ −3 ≤ a ≤ Xét (m + n)2 ≥ ⇔ 2m.n ≥ − m2 + n2 62 + ( b + c)2 + a2 = Nên (b + 6) ( c + 6) = 36 + (b + c) + bc ≥ 36 + bc − 36 − b2 − c2 36 − 27 − a2 = 2 + a2 ⇒ P = (a + 6) ( b + 6) ( c + 6) ≥ (a + 6) = f ( a) + a2 Xét (a + 6) = f (a) với −3 ≤ a ≤ Ta tìm P = 25 = f (−1) Dấu = ví dụ :a = b = −1; c = −5 ⇒ ( b + 6) ( c + 6) ≥ Trích đề thi HSG Cao Bằng 2017-2018 Câu Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn 1 + + ≤ Chứng minh rằng: x y z 1 + + ≤ 2x + y + z x + y + z x + y + 2z Lời giải a+b 1 1 ≤ ⇔ ≤ + a+b 4ab a+b a b Dấu = xảy a = b Với a, b > ta có 4ab ≤ (a + b)2 ⇔ Áp dụng kết ta có: 1 1 1 1 ≤ + ≤ + + 2x + y + z 2x y + z 2x y z Dấu = xảy ⇔ 2x = y + z y=z = 1 1 + + (1) x y 2z ⇔x= y=z Tương tự 1 1 ≤ + + (2) x + y + z y 2z 2x dấu = xảy ⇔ x = y = z Tương tự: 1 1 ≤ + + (3) x + y + 2z z 2x y dấu = xảy ⇔ x = y = z Từ (1) , (2) , (3) ta có 1 1 1 + + ≤ + + ≤ 2x + y + z x + y + z x + y + 2z x y z Latex hóa:Vũ Ngọc Thành Vàng Pheo huyện Phong Thổ tỉnh Lai Châu   x = y= z Dấu = xảy ⇔ 1 ⇔x= y=z=1   + + =3 x y z 1 Vậy với x, y, z số thực dương thỏa mãn + + ≤ x y z 1 + + ≤ 2x + y + z x + y + z x + y + 2z Dấu = xảy x = y = z = Trích đề thi HSG tỉnh Hải Dương 2016-2017 Câu Cho ba số thực dương a , b , c thỏa mãn abc = Chứng minh rằng: b2 c2 a2 + + ≥ (ab + 2) (2ab + 1) ( bc + 2) (2 bc + 1) (ac + 2) (2ac + 1) Lời giải x y z Vì a , b , c dương abc = nên đặt: a = , b = , c = , với x, y, z > y z x x2 y2 z2 Khi đó: V T = + + ( y + z) ( z + y) ( z + x) ( x + z) ( x + y) ( y + x) Ta có: ( y + z) ( z + y) = yz + y2 + z2 + yz = ( y + z)2 + yz ≤ y2 + z2 2 x2 x2 ≥ Suy ra: (1) ( y + z) ( z + y) y2 + z2 Tương tự: y2 ≥ ( z + x) ( x + z ) z2 ≥ ( x + y) ( y + x) Cộng (1) , (2) , (3) theo vế với vế ta được: V T ≥ Lại có x2 y2 z2 + + = y2 + z2 x2 + z2 y2 + x2 = ≥ Suy V T ≥ = y2 (2) x + z2 z2 (3) y + x2 x2 y2 z2 + + y2 + z x + z y2 + x 1 + + −3 y2 + z2 x2 + z2 y2 + x2 1 x2 + y2 + y2 + z2 + x2 + z2 + + −3 2 y +z x +z y + x2 − = 2 x2 + y2 + z2 Trích đề thi HSG tỉnh HỊA BÌNH 2017-2018 Câu Cho a b hai số thực dương Chứng minh (a + b)2 a2 + b2 ≥ 8a2 b2 Latex hóa:Vũ Ngọc Thành Vàng Pheo huyện Phong Thổ tỉnh Lai Châu Lời giải Ta có (a + b)2 ≥ 4ab > ; a2 + b2 ≥ 2ab > Nhân vế tương ứng BĐT ta suy điều cần chứng minh Trích đề thi HSG tỉnh Câu Cho số dương x, y, z Chứng minh rằng: y2 z2 x+ y+ z xy yz zx x2 + + ≥ ≥ + + y+ z z+ x x+ y x+ y y+ z z+ x Lời giải x2 y+ z y2 z+x z2 x+ y + ≥x ; + ≥y; + ≥z y+ z z+x x+ y x2 y2 z2 x+ y+ z Nên: + + ≥ Dấu “=” xảy x = y = z y+ z z+ x x+ y x+ y 2x y y + z yz z + x zx Ta có: ≥ ; ≥ ; ≥ x+ y y+ z z+x xy yz zx x+ y+ z ≥ + + Dấu “=” xảy x = y = z Nên: x+ y y+ z z+ x Ta có: Trích đề thi HSG tỉnh Bình Thuận 2016 2017 Câu 10 Cho số dương x, y, z Chứng minh rằng: y2 z2 x+ y+ z xy yz zx x2 + + ≥ ≥ + + y+ z z+ x x+ y x+ y y+ z z+ x Lời giải y+ z y2 z+x z2 x+ y x2 + ≥x , + ≥y, + ≥z y+ z z+x x+ y x2 y2 z2 x+ y+ z Nên: + + ≥ Dấu = xảy x = y = z y+ z z+ x x+ y x+ y 2x y y + z yz z + x zx Ta có: ≥ , ≥ , ≥ x+ y y+ z z+x x+ y+ z xy yz zx Nên: ≥ + + Dấu = xảy x = y = z x+ y y+ z z+ x Ta có: Trích đề thi HSG Tỉnh Gia Lai 2014 - 2015 Câu 11 Cho x, y, z ba số thực dương thỏa mãn điều kiện x y + yz + zx = x yz Chứng minh rằng: x + y2 z2 + x yz y + z2 x2 + x yz z ≤1 x2 y2 + x yz Latex hóa:Vũ Ngọc Thành Vàng Pheo huyện Phong Thổ tỉnh Lai Châu Lời giải x y z a b c bc + = + 1 2 2a + bc + + c2 a2 abc a2 b2 abc Từ cách đặt giả thiết x y + yz + zx = x yz suy a + b + c = ca Đặt A = y2 z2 + x yz Khi A = Ta có Suy + a + 2 abc b c z2 x2 + x yz + x2 y2 + x yz b + , x = , y = , z = c (a + b + c)a + bc = a2 + ab + bc + ca = bc bc bc + = ≤ (a + b)( c + a) a + b c + a 2a + bc 2a + bc = bc b + ca + ab c + ab (a + b)( c + a) Tương tự, ta được: ca ca ca + ( b + c)(a + b) b + c a + b b + ca ab ab ab ab = ≤ + ( c + a)( b + c) c + a b + c c + ab bc bc ca ca ab ab Do A ≤ + + + + + = (a + b + c) = a+b c+a b+c a+b c+a b+c 2 Vậy A ≥ Dấu đẳng thức xảy a = b = c = hay x = y = z = = ca ≤ Trích đề thi HSG tỉnh HỊA BÌNH 2017-2018 Câu 12 Cho x, y, z số thực thỏa mãn x > y > z > x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = ( x − y) + ( y − z) + + xz y Lời giải 1 8 với a, b > nên + ≥ + ≥ a b ( a + b )2 ( x − y)2 ( y − z)2 ( x − z)2 2 1 8 + + Suy P = + + ≥ + ( x − y)2 ( y − z)2 xz y3 ( x − z)2 xz y3 m n ( m + n )2 Ta chứng BĐT: + ≥ với a, b, m, n > a b a+b a b (1 + 2)2 Đẳng thức xảy = Ta có + ≥ = 2 m n xz ( x − z) + xz ( x + z)2 ( x − z) 72 72 Vì P ≥ + + 3≥ + 3= + 2 xz y y y ( x − z) ( x + z) (1 − y) 36 Xét hàm số f ( t) = + với < t < Ta f ( t) = f = 216 (0;1) t (1 − t) Vậy P nhỏ 216 y = , x + z = , ( x − z)2 = xz 3 1 1 Hay x + z = , xz = Tức x = + ; y= ; z= − 27 3 3 3 Áp dụng bất đẳng thức Latex hóa:Vũ Ngọc Thành Vàng Pheo huyện Phong Thổ tỉnh Lai Châu Trích đề thi HSG Hưng Yên 2017-2018 Câu 13 Cho tam giác ABC nhọn.Tìm giá trị lớn biểu thức T = cos A + cos2 A + cos B + Lời giải Đặt cos A = x; cos B = y, cos C = z Ta có:0 < x, y, z < Biểu thức trở thành: T = x + x2 + y + y2 + z + cos2 B + cos C + y2 + z + cos2 C + z2 + Chứng minh: x + y + z ≤ T = x + x2 + y+ z2 + ⇔ ln T = ln x + x2 + +ln y + y2 + +ln z + z2 + Ta chứng minh:ln x + x2 + ≤ x + ln − với x ∈ (0; 1) 3 Tương tự: ln y + y2 + ≤ y + ln − với y ∈ (0; 1) 3 2 ln z + z + ≤ z + ln − với z ∈ (0; 1) 3 Suy ln T ≤ ( x + y + z) + ln − ≤ ln ⇔ T ≤ Dấu xảy x = y = z = ⇔ A = π B=C= Vậy maxT = tam giác ABC Trích đề thi HSG BẮC NINH 2016 – 2017 Câu 14 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c = a3 + b3 + c3 Chứng minh aa b b c c ≤ Lời giải Ta có #» u #» v ≤ #» u #» v ⇒ (ax + b y + cz)2 ≤ a2 + b2 + c2 x2 + y2 + z2 a3 + b + c ( a + b + c ) ≥ a2 + b + c 2 2 ⇒ (a + b + c)2 ≥ a2 + b2 + c2 ⇒ a + b + c ≥ a + b + c , dấu xảy a = b = c Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a ln a + b ln b + c ln c ≤ Ta cần chứng minh x ln x ≤ x2 − x ,∀ x > hay ln x ≤ x − , ∀ x > ∀ x > Thật vậy, xét hàm số f ( x) = ln x − x + , x > − > ; f ( x) = ⇔ x = x Ta có lim+ f ( x) = −∞ , lim f ( x) = −∞ f ( x) = x→0 x→+∞ Từ bảng biến thiên suy f ( x) ≤ f (1) = ⇒ ln x ≤ x − ,∀ x > Dấu xảy x = Từ suy ra, a ln a + b ln b + c ln c ≤ a2 − a + b2 − b + c2 − c ≤ Vì vậy, aa b b c c ≤ dấu xảy a = b = c = Latex hóa:Vũ Ngọc Thành Vàng Pheo huyện Phong Thổ tỉnh Lai Châu Trích đề thi HSG Đà Nẵng 2017-2018 Câu 15 Cho số thực a , b thay đổi thỏa a − b2 + b − a2 = Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức P = (a + b)3 − 12 (a − 1) ( b − 1) + ab Lời giải 2 − a2 − b2 − ab = − a2 − b2 + a2 b2 − 2ab − a2 − b = − a2 − b2 − b2 − a2 − 2ab = − a2 − b − a − b + b − a2 =0 Vậy − a2 − b2 = ab (∗) Do ab ≥ theo điều kiện toán, suy a, b ≥ Mặt khác, bình phương hai vế (∗) , suy a2 + b2 = Đặt t = a + b ⇒ ab = t2 − ( a + b )2 t Vì ≤ ab ≤ = nên 4 2≤t≤2 Ta có P = (a + b)3 + 12 (a + b) − 12ab + ab − 12 = t3 − t2 + 12 t + t2 − t2 − với ≤ t ≤ f ( t) đồng biến 2; nên 2 ⇔ a = 0; b = a = 2; b = max P = t = ⇔ a = b = Khảo sát hàm số f ( t) = t3 − t2 + 12 t + P = 14 − 12 t = Trích đề thi HSG 12 tỉnh Cao Bằng 2016 – 2017 Câu 16 Cho hai số thực x , y không âm thỏa mãn điều kiện x + y = Tìm giá trị lớn x y giá trị nhỏ biểu thức P = + y+1 x+1 Lời giải x2 + x + y2 + y ( x + y)2 − x y + ( x + y) − x y = = xy+ x + y+1 2+ xy ( x + y) + + x y 1 ( x + y) Đặt x y = t Vì ≤ x y ≤ = nên ≤ t ≤ 4 − 2t Khi đó, P = 2+ t − 2t Xét hàm số f ( t) = , t ∈ 0; 2+ t −6 1 f ( t) = < 0, ∀ t ∈ 0; mặt khác f ( t) liên tục 0; 4 (2 + t) 1 0; , đó: f ≤ f ( t) ≤ f (0) ⇒ ≤ f ( t) ≤ 4   xy = ⇔x= y= f ( t) = ⇔ t = ⇒   x+ y=1 Ta có: P = nên f ( t) nghịch biến 10 Latex hóa:Vũ Ngọc Thành Vàng Pheo huyện Phong Thổ tỉnh Lai Châu f ( t) = ⇔ t = 3 2 a+b+c =1 16 ⇔a= ;b= ;c= 21 21 21 a = b = 16 c Suy f ( t) = f (1) = − ⇒ P ≥ − Dấu xảy Trích đề thi HSG 12 HÀ NAM NĂM HỌC 2016- 2017 Câu 29 Cho x , y , z số thực không âm thỏa mãn < ( x + y)2 + ( y + z)2 + ( z + x)2 ≤ 18 Tìm giá trị lớn biểu thức: x y z P = + + + log3 x2017 + y2017 + z2017 − ( x + y + z)4 − 2017 108 Lời giải Từ giả thiết suy ≤ x, y, z ≤ < x2 + y2 + z2 ≤ t t Xét hàm số g ( t) = − t − , t ∈ [0; 3] Ta có g ( t) = ln − 3 g ( t) = ⇔ t = log4 = t ; g ( t) > ⇔ t > t g ( t) < ⇔ t < t ln < nên < t < Vì < ln Bảng biến thiên t Suy g ( t) ≤ , ∀ t ∈ [0; 3] ⇔ ≤ t + , ∀ t ∈ [0; 3] (1) Lại có x 2017 y 2017 z 2017 x y z x y z ≤ x, y, z ≤ ⇔ ≤ , , ≤ ⇒ + + ≤ + + 3 3 3 3 x 2017 y 2017 z 2017 ⇒ log3 + + ≤ (2) 3 x y z x 2017 y 2017 z 2017 Ta có P = + + + log3 + + − ( x + y + z )4 3 108 Từ (1) (2) ⇒ P ≤ + ( x + y + z) − ( x + y + z )4 108 Đặt x + y + z = u , u ≥ P ≤ + u − u 108 Xét hàm số f (u) = + u − u , với u ∈ [0; +∞) 108 Có f (u) = − u3 , f (u) = ⇔ u = 27 ≤1 Bảng biến thiên 20 Latex hóa:Vũ Ngọc Thành Vàng Pheo huyện Phong Thổ tỉnh Lai Châu Dựa vào bảng biến thiên ta có f (u) ≤ 21 , ∀u ≥ 21 , dấu “=” xảy x = , y = z = hoán vị 21 Vậy giá trị lớn P Suy P ≤ Trích đề thi HSG Thành phố Cần Thơ 2017-2018 Câu 30 Xét số thực a, b, c thay đổi thuộc đoạn [1; 2] thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức P = a4 + b4 + c2 + 6abc + − abc ab + bc + ca Lời giải Vì a, b, c ∈ [1; 2] nên ta có a4 + ≤ 5a2 , b4 + ≤ 5b2 ⇒ a4 + b4 + c2 ≤ a2 + b2 + c2 − ⇒ a4 + b4 + c2 ≤ (a + b + c)2 − (ab + bc + ca) − ⇒ a4 + b4 + c2 ≤ 72 − 10 (ab + bc + ca) (1) Ta có (a − 2) ( b − 2) ( c − 2) ≤ ⇔ abc − (ab + bc + ca) + (a + b + c) − ≤ ⇔ abc ≤ (ab + bc + ca) + (a + b + c) − (2) Từ (1) (2) suy a4 + b4 + c2 + 5abc + ≤ 25 + (ab + bc + ca) (4) Mặt khác, ta có (a − 1) ( b − 1) ( c − 1) ≥ ⇔ abc − (ab + bc + ca) + (a + b + c) − ≥ ⇔ abc ≥ (ab + bc + ca) − (5) Từ (2) (5) suy ab + bc + ca − ≤ abc ≤ (ab + bc + ca) − ⇒ ab + bc + ca ≥ ⇒ a4 + b4 + c2 + 6abc ≤ (ab + bc + ca) + 24 Từ (4) (5) ta suy P≤ (ab + bc + ca) + 25 25 − (ab + bc + ca) + = − (ab + bc + ca) + ab + bc + ca ab + bc + ca 16 (a + b + c)2 16 = ⇒ t ∈ 5; 3 25 25 16 Ta có P ≤ − t + = f ( t) Xét hàm số f ( t) = − t + 5, t ∈ 5; t t 25 16 Ta có f ( t) = −1 − < 0, t ∈ 5; t Suy f ( t) nghịch biến suy P ≤ f ( t) ≤ f (5) = Đặt t = ab + bc + ca , ta có ab + bc + ca ≤ Vậy max P = a = b = 1, c = a = c = 1, b = a = 2; b = c = 21 Latex hóa:Vũ Ngọc Thành Vàng Pheo huyện Phong Thổ tỉnh Lai Châu Trích đề thi HSG QUẢNG NGÃI 2016-2017 Câu 31 Cho x, y, z ba số thực thuộc đoạn [1; 9] x ≥ y, x ≥ z Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = y y z + + 10 y − x y + z z + x Lời giải Với a, b dương thỏa mãn ab ≥ ta có bất đẳng thức 1 + ≥ + a + b + ab 2 + ≥ ⇔ a− b ab − ≥ ab ≥ + a + b + ab Dấu xảy a = b ab  =1  Thật vậy:  1  + ≥ + x +2 z x x x 10 − 1+ 1+ 10 − + y y z y y x 1 Đặt = t ∈ [1; 3] Xét hàm số f ( t) = + đoạn [1; 3] y 10 − t2 + t 2t f ( t) = − (1 + t)2 10 − t2 f ( t) = ⇔ t4 −2 t3 −24 t2 −2 t+100 = ⇔ ( t − 2) t3 − 24 t − 50 = ⇔ t = t3 −24 t−50 < ∀ t ∈ [1; 3] Áp dụng bất đẳng thức trên: P =   x = 4y      z x Suy Pmin =  y = z ⇔     x   =1  y x = 4y z = 2y Trích đề thi HSG tỉnh Hà Nam 2016-2017 Câu 32 Cho x, y, z số thực không âm thỏa mãn < ( x + y)2 + ( y + z)2 + ( z + x)2 ≤ 18 Tìm giá trị lớn biểu thức: x y z P = + + + log3 x2017 + y2017 + z2017 − ( x + y + z)4 − 2017 108 Lời giải Từ giả thiết suy ≤ x, y, z ≤ < x2 + y2 + z2 ≤ t t Xét hàm số g ( t) = − t − 1, t ∈ [0; 3] Ta có g ( t) = ln − 3 g ( t) = ⇔ t = log4 = t ; g ( t) > ⇔ t > t g ( t) < ⇔ t < t ln Vì < < , nên < t < ln 22 Latex hóa:Vũ Ngọc Thành Vàng Pheo huyện Phong Thổ tỉnh Lai Châu t Từ Bảng biến thiên suy g ( t) ≤ 0, ∀ t ∈ [0; 3] ⇔ ≤ t + 1, ∀ t ∈ [0; 3] (1) Lại có x y z ≤ x, y, z ≤ ⇔ ≤ , , ≤ 3 x 2017 y 2017 z 2017 x y z ⇒ + + ≤ + + ≤1 3 3 3 y 2017 z 2017 x 2017 + + ≤ (2) ⇒ log3 3 x y z x 2017 y 2017 z 2017 Ta có P = + + + log3 + + − ( x + y + z )4 3 108 Từ (1) (2) ⇒ P ≤ + ( x + y + z) − ( x + y + z )4 108 u Đặt x + y + z = u, u ≥ P ≤ + u − 108 u , với u ∈ [0; +∞) Xét hàm số f (u) = + u − 108 Có f (u) = − u3 , f (u) = ⇔ u = 27 21 Dựa vào bảng biến thiên ta có f (u) ≤ , ∀u ≥ 21 Suy P ≤ , dấu “=” xảy x = 3, y = z = hoán vị 21 Vậy giá trị lớn P Trích đề thi HSG Hịa Bình 2016-2017 Câu 33 a) Chứng minh x4 + ≥ x3 với giá trị x b) Cho số thực dương x, y, z Tìm giá trị nhỏ biểu thức M= x4 + y3 + 16 z3 + ( x + y + z)3 Lời giải a) Ta có x4 + ≥ x3 ⇔ ( x − 1)2 x2 + ( x + 1)2 ≥ Dấu = x = Chú ý : Có thể chứng minh sử dụng đạo hàm ; sử dụng cosi cho số Có thể không cần dấu = b) Theo kết phần a) ta có x4 + ≥ x3 suy M = x4 + y3 + 16 z3 + x3 + y3 + 16 z3 ≥ ( x + y + z)3 (+ y + z)3 3 x+ y x +y Chwungs minh : ≥ , ∀ x, y ≥ 2 x+ y z ( x + y)3 + 16 z3 Suy M ≥ = + 16 x+ y+ z x+ y+ z (+ y + z )3 x + y Xét hàm số f ( t) = t3 + 16 (1 − t)3 , t = , t ∈ (0; 1) x+ y+ z Ta có f ( t) = t2 − 48 (1 − t)2 ⇒ f ( t) = ⇔ t = ; lim+ f ( t) = 16; lim− f ( t) = t→1 t→0 Bảng biến thiên 23 Latex hóa:Vũ Ngọc Thành Vàng Pheo huyện Phong Thổ tỉnh Lai Châu 16 16 = , f ( t) = ⇔t= 25 25 5  x =1      x+ y 16 x = y=1 16 = = ⇔ Vậy M ≥ , M = ⇔ x+ y+ z 25 25    z=    x= y Từ BBT suy f ( t) ≥ f Trích đề thi HSG Quảng Ngãi 16-17 Câu 34 Cho x, y, z ba số thực thuộc đoạn [1; 9] x ≥ y, x ≥ z Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = y z y + + 10 y − x y + z z + x Lời giải Với a, b dương thỏa mãn ab ≥ ta có bất đẳng thức 1 + ≥ + a + b + ab 2 + ≥ ⇔ a− b ab − ≥ ab ≥ + a + b + ab Dấu xảy a = b ab   =1 Thật vậy:  1  + ≥ + x +2 z x x x 10 − 1+ 1+ 10 − y y z y 1+ y x 1 Đặt = t ∈ [1; 3] Xét hàm số f ( t) = + đoạn [1; 3] y 1+ t 10 − t 2t f ( t) = − ; f ( t) = ⇔ t4 − t3 − 24 t2 − t + 100 = 2 + t (1 ) 10 − t t − 2) t − 24 t − 50 = ⇔ t = t3 − 24 t  − 50 < ∀ t ∈ [1; 3] (  x = 4y    z x   x = 4y Từ BBT Suy Pmin =  y = z ⇔    z = 2y   x   =1  y Áp dụng bất đẳng thức trên: P = Trích đề thi HSG Bắc Giang 2016-2017 Câu 35 Cho số thực x, y, z khơng âm đơi phân biệt.Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x2 + y2 + z2 ( x − y) + ( y − z) + ( z − x)2 24 Latex hóa:Vũ Ngọc Thành Vàng Pheo huyện Phong Thổ tỉnh Lai Châu Lời giải Khơng tính tổng quát giả sử ≤ x < y < z Đặt a = y − x; b = z − y a > 0, b > P = x2 + ( x + a)2 + ( x + a + b)2 1 + + ≥ 2a2 + 2ab + b2 a2 b2 (a + b)2 a2 + ab + b2 a2 b ( a + b ) (1) Đẳng thức xảy x = a a a +2 +1 + +1 a2 + ab + b2 b b b 2a2 + 2ab + b2 ≥ a a a2 b ( a + b ) +1 b b a a (2 t + 1) ( t + 1)2 Đặt t = + , t > P ≥ b b t2 4t + (2 t + 1) ( t + 1) Xét hàm số f ( t) = = t + + , t ∈ (0; +∞) t t t3 − t − 1+ ; f ( t) = ⇔ t = Ta có f ( t) = t3 1+ 11 + 5 11 + 5 Lập bảng biến thiên ta f ( t) ≥ f = Do P ≥ 2 a b Đẳng thức xảy t = 1+ a −1 + + suy = 2 b  x =   Kết hợp với (1) suy P nhỏ    Vậy P nhỏ P = y −1 + + = z− y 11 + 5 Trích đề thi HSG tỉnh BÀ RỊA-VŨNG TÀU 2017-2018 Câu 36 Cho ba số thực dương a , b , c thỏa mãn ln b2 + c2 + − ln (3a) = 9a2 − b2 − c2 − Tìm giá trị lớn biểu thức P = ( b + c ) a2 − + a a3 Lời giải ln b2 + c2 + + b2 + c2 + = ln 9a2 + 9a2 Xét hàm số f ( t) = ln t + , ( t > 0) ⇒ b2 + c2 = 9a2 − ⇒ a > ( b + c)2 ≤ b2 + c2 = 9a2 − ⇒ b + c ≤ 18a2 − 18a2 − 5a2 − P≤ + a a3 1 P ≤ f ( x) = 18 − x2 + x − x3 , = x ∈ (0; 3) 2 a 4x f ( x) = − + − x , f (1) = , f ( x) = − 18 − x2 2 72 18 − x2 −3 < f ( x) = ⇔ x = Lập bảng biến thiên, suy ra: P ≤ f ( x) ≤ f (1) = 10 , a = , b = c = Vậy MaxP = 10 25 Latex hóa:Vũ Ngọc Thành Vàng Pheo huyện Phong Thổ tỉnh Lai Châu Trích đề thi HSG Tỉnh Hải Dương 2016 - 2017 Câu 37 Cho a , b , c số thực dương a.b.c = , thỏa mãn: a3 b + b3 a + Tìm giá trị lớn biểu thức P = 1 + − 2 + 2c 1+a 1+b = ab + ab Lời giải Theo BĐT Cơ–si ta có:a3 b + ab3 ≥ 2a2 b2 ⇒ ab + ≥ 2a2 b2 + ab 1 ⇔ t3 − t2 − t + ≤ ⇔ ≤ t ≤ t 1 Với a, b > 0; ab ≤ ta chứng minh + ≤ (*) + a2 + b2 + ab 1 1 − )+( − )≤0 Thật vậy: (∗) ⇔ ( 2 + ab + ab 1+a 1+b a( b − a) b(a − b) ⇔ + ≤ ⇔ (a − b)2 (ab − 1) ≤ (đúng) 2 (1 + a )(1 + ab) (1 + b )(1 + ab) 3t − = − ⇒P≤ + ab 1+ t t+2 1+ ab 3t Xét t ∈ ; ; f ( t) = − ; f ( t) = − − ⇒ t + ≥ t2 + Trích đề thi HSG Quảng Nam 2016 2017 Câu 38 Cho số thực dương x, y, z thỏa x2 + y2 + z2 ≤ Tìm giá trị lớn biểu thức y H= x2 + y + + z y2 + z + + x z2 + x + Lời giải x2 + y + = ( x2 + 1) + y + ≥ 2( x + y + 1) Tương tự: y2 + z + ≥ 2( y + z + 1), z2 + x + ≥ 2( z + x + 1) y z x + + x+ y+1 y+ z+1 z+ x+1 y z x Ta chứng minh: + + ≤1 x+ y+1 y+ z+1 z+ x+1 Suy ra: H ≤ Ta có: y z x y z x + + ≤ ⇔ 1− +1− +1− ≥ 3−1 x+ y+1 y+ z+1 z+ x+1 x+ y+1 y+ z+1 z+ x+1 x+1 y+1 z+1 ⇔ + + ≥ (∗) x+ y+1 y+ z+1 z+ x+1 Trước hết ta chứng minh BĐT sau nhờ Bunhiacosky: Với a, b, c, m, n, k > ta có: a2 b2 c2 (a + b + c)2 + + ≥ m n k m+n+k 26 Latex hóa:Vũ Ngọc Thành Vàng Pheo huyện Phong Thổ tỉnh Lai Châu Thật vậy: a2 b c + + ( m + n + k) m n k m n k a2 b2 c2 (a + b + c)2 a b c ⇒ + + ≥ (dấu xảy khi: = = m n k m+n+k m n k (a + b + c) = a m+ b n+ c k ≤ Khi đó: V T (∗) = ≥ ( x + 1)2 ( y + 1)2 ( z + 1)2 + + ( x + 1)( x + y + 1) ( y + 1)( y + z + 1) ( z + 1)( z + x + 1) ( x + y + z + 3)2 ( x + 1)( x + y + 1) + ( y + 1)( y + z + 1) + ( z + 1)( z + x + 1) Lại có: ( x + 1)( x + y + 1) + ( y + 1)( y + z + 1) + ( z + 1)( z + x + 1) = = ≤ = x2 + y2 + z2 + x y + yz + zx + 3( x + y + z) + ( x2 + y2 + z2 + x y + yz + zx) + 6( x + y + z) + ( x2 + ( x2 + y2 + z2 + x y + yz + zx) + 6( x + y + z) + 1 ( x + y + z)2 + 2( x + y + z)3 + = ( x + y + z 2 ( x + y + z + 3)2 ( x + y + z + 3)2 ≥ =2 ( x + 1)( x + y + 1) + ( y + 1)( y + z + 1) + ( z + 1)( z + x + 1) ( x + y + z + 3) y+1 z+1 x+1 + + ≥2 Suy x+ y+1 y+ z+1 z+ x+1 Suy H ≤ , dấu xảy x = y = z = Vậy max H = x = y = z = Suy Trích đề thi HSG tỉnh Long An 2016-2017 Câu 39 Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn: 1 + + ≥2 x+1 y+1 z+1 Tìm giá trị lớn P = x yz Lời giải 1 1 1 y z + + ≥2 ⇒ ≥ 1− + 1− = + x+1 y+1 z+1 x+1 y+1 z+1 y+1 z+1 y z Áp dụng bất đẳng thức Cô – Si cho hai số dương , y+1 z+1 y z yz Ta + ≥2 y+1 z+1 ( y + 1)( z + 1) yz Do ≥2 (1) x+1 ( y + 1)( z + 1) xz xy Tương tự ≥2 (2) ; ≥2 (3) y+1 ( x + 1)( z + 1) z+1 ( x + 1)( y + 1) Ta có Nhân (1); (2); (3) ta ⇔ x yz ≤ Vậy P max = ≥ 23 ( x + 1)( y + 1)( z + 1) x yzz x2 y2 z2 ( z + 1)2 = ( y + 1) ( x + 1)( y + 1)( z + 1) ( x + 1)2 1 x = y = z = 27 Latex hóa:Vũ Ngọc Thành Vàng Pheo huyện Phong Thổ tỉnh Lai Châu Trích đề thi HSG thành phố Hồ Chí Minh 2016-2017 Câu 40 Trên đoạn [1 ; 4] , hàm số f ( x) = x + px + q ; g ( x) = x + có giá trị nhỏ x2 đạt điểm Tìm giá trị lớn f ( x) đoạn Lời giải x x + + = ≥3 x2 2 x2 Suy ra: g( x) = Đẳng thức xảy x = p Ta có: f ( x) = x + p Cho f ( x) = ⇔ x + p = ⇔ x = − Do  f ( x) g ( x) có giá trị nhỏ đạt điểm đoạn [1 ; 4] , nên ta  f (2) = + 2p + q = q=7 có: ⇔ ⇔ ⇒ f ( x) = x − x + p − =2 p = −4 p = −4 f (1) = ⇒ f ( x) max = Nhận thấy: f ( x) = f (2) nên f ( x) max = { f (1) ; f (4)} Và f (4) = Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta được: g ( x) = x + Vậy f ( x) max = Đẳng thức xảy x = Trích đề thi HSG tỉnh Ninh Bình 2017-2018 Câu 41 Cho ba số thực dương a , b , c thỏa mãn ab + bc + ca = Tìm giá trị nhỏ biểu thức Q = a3 b3 c3 + + b + c + a2 + Lời giải Do ab + bc + ca = nên Q= b3 c3 a3 b3 c3 a3 + + + + = b2 + ab + bc + ca c2 + ab + bc + ca a2 + ab + bc + ca ( b + a)( b + c) ( c + b)( c + a) (a + b)(a + c) Mặt khác ta có : a3 b+c b+a a3 b+c b+a 3 + + ≥ = a ( b + c)( b + a) 8 ( b + c)( b + a) 8 a b+c b+a → ≥ a− − ( b + c)( b + a) 8 Chứng minh tương tự b3 c+a c+b ≥ b− − ( c + a)( c + b) 8 c3 a+b a+c ≥ c− − (a + b)(a + c) 8 3 a b c3 a+b+c Suy + + ≥ ( b + a)( b + c) ( c + a)( c + b) (a + b)(a + c) Mặt khác (a + b + c)2 ≥ 3(ab + bc + ca) = → a + b + c ≥ a3 b3 c3 Hay + + ≥ ( b + a)( b + c) ( c + a)( c + b) (a + b)(a + c) Dấu xảy a = b = c = Vậy giá trị nhỏ Q a = b = c = 28 Latex hóa:Vũ Ngọc Thành Vàng Pheo huyện Phong Thổ tỉnh Lai Châu Trích đề thi HSG Câu 42 Cho số thực a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 27 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = (a + 6) ( b + 6) ( c + 6) Lời giải * Tìm giá trị lớn nhất: ♀Cách 1: Từ a2 + b2 + c2 = 27 ⇒ a2 ≤ 27 ⇔ |a| ≤ 3 ⇒ a + > Tương tự có b + > 0; c + > Nên P = (a + 6) ( b + 6) ( c + 6) ≤ (|a| + 6) (| b| + 6) (| c| + 6) ≤ | a| + + | b | + + | c | + 3 |a| + | b| + | c| + 18 3 Có (|a| + | b| + | c|)2 ≤ a2 + b2 + c2 = 3.27 = 81 ⇒ |a| + | b| + | c| ≤ 9 + 18 ⇒P≤ = 729 Dấu = a = b = c = 3 ⇒P≤ ♀Cách 2: P = (a + 6) ( b + 6) ( c + 6) = abc + (ab + bc + ca) + 36 (a + b + c) + 216 = abc + M Có:a2 + b2 + c2 = 27 ≥ a2 b2 c2 ⇔ a2 b2 c2 ≤ 729 ⇒ abc ≤ 27 Dấu = a = b = c = Xét M = (ab + bc + ca) + 36 (a + b + c) + 216 = 3[(a+b+c)2 − a2 − b2 − c2 ] + 36 (a + b + c) + 216 ⇒ M = t2 + 36 t + 135 Với t = a + b + c; t2 = (a + b + c)2 ≤ a2 + b2 + c2 = 81 ⇔ −9 ≤ t ≤ Từ tìm max P ≤ 27 + 702 = 729 Dấu = a = b = c = * Tìm giá trị nhỏ nhất: Từ giả thiết dẫn đến: |a| ; | b| ; | c| ≤ 3 giả sử :a2 ≤ b2 ≤ c2 ⇒ a2 + b2 + c2 = 27 ⇒ 3a2 ≤ 27 ⇔ −3 ≤ a ≤ Xét (m + n)2 ≥ ⇔ m.n ≥ − m2 + n2 62 + ( b + c ) 2 + a2 = Nên (b + 6) ( c + 6) = 36 + (b + c) + bc ≥ 36 + bc − 36 − b2 − c2 36 − 27 − a2 = ⇒ ( b + 6) ( c + 6) ≥ 2 + a2 ⇒ P = (a + 6) ( b + 6) ( c + 6) ≥ (a + 6) = f ( a) 2 9+a Xét (a + 6) = f (a) với −3 ≤ a ≤ Ta tìm P = 25 = f (−1) Dấu = ví dụ :a = b = −1; c = −5 Trích đề thi HSG 12 Hà Nội – năm 2017-2018 Câu 43 Cho số thực a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 27 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = (a + 6) ( b + 6) ( c + 6) Lời giải * Tìm giá trị lớn nhất: ♀Cách 1: Từ a2 + b2 + c2 = 27 ⇒ a2 ≤ 27 ⇔ |a| ≤ 3 ⇒ a + > Tương tự có b + > 0; c + > 29 Latex hóa:Vũ Ngọc Thành Vàng Pheo huyện Phong Thổ tỉnh Lai Châu Nên P = (a + 6) ( b + 6) ( c + 6) ≤ (|a| + 6) (| b| + 6) (| c| + 6) ≤ | a| + + | b | + + | c | + 3 |a| + | b| + | c| + 18 3 Có (|a| + | b| + | c|)2 ≤ a2 + b2 + c2 = 3.27 = 81 ⇒ |a| + | b| + | c| ≤ 9 + 18 ⇒P≤ = 729 Dấu = a = b = c = 3 ⇒P≤ ♀Cách 2: P = (a + 6) ( b + 6) ( c + 6) = abc + (ab + bc + ca) + 36 (a + b + c) + 216 = abc + M Có: a2 + b2 + c2 = 27 ≥ a2 b2 c2 ⇔ a2 b2 c2 ≤ 729 ⇒ abc ≤ 27 Dấu = a = b = c = Xét M = (ab + bc + ca) + 36 (a + b + c) + 216 = 3[(a+b+c)2 − a2 − b2 − c2 ] + 36 (a + b + c) + 216 ⇒ M = t2 + 36 t + 135 Với t = a + b + c; t2 = (a + b + c)2 ≤ a2 + b2 + c2 = 81 ⇔ −9 ≤ t ≤ Từ tìm max P ≤ 27 + 702 = 729 Dấu = a = b = c = * Tìm giá trị nhỏ nhất: Từ giả thiết dẫn đến: |a| ; | b| ; | c| ≤ 3 giả sử :a2 ≤ b2 ≤ c2 ⇒ a2 + b2 + c2 = 27 ⇒ 3a2 ≤ 27 ⇔ −3 ≤ a ≤ Xét (m + n)2 ≥ ⇔ 2m.n ≥ − m2 + n2 62 + ( b + c)2 + a2 = Nên (b + 6) ( c + 6) = 36 + (b + c) + bc ≥ 36 + bc − 36 − b2 − c2 36 − 27 − a2 = ⇒ ( b + 6) ( c + 6) ≥ 2 + a2 = f ( a) ⇒ P = (a + 6) ( b + 6) ( c + 6) ≥ (a + 6) 2 9+a Xét (a + 6) = f (a) với −3 ≤ a ≤ Ta tìm P = 25 = f (−1) Dấu = ví dụ :a = b = −1; c = −5 Trích đề thi HSG tỉnh Bình Phước 2017-2018 Câu 44 Cho x > , y > thỏa x4 + y4 + = P= Tìm giá trị nhỏ biểu thức xy 1 − 2x y + + + x + y − x2 − y2 Lời giải Theo BĐT AM-GM ta có: x4 + y4 + ≥ x2 y2 + = x4 + y4 + ≥ x2 y2 + ⇔ x3 y3 + x y − ≤ ⇔ ( x y − 1) x2 y2 + x y + ≤ ⇔ x y ≤ xy 1 Ta có bất đẳng thức phụ sau: + ≥ , ∀ x, y > + 2x + y + x y 1 Thật ta có + ≥ ⇔ + x y + ( x + y) + x y ( x + y) ≥ + x + y + x y + 2x + y + x y ⇔ x2 y + x y2 + ≥ x y (Điều x2 y + x y2 + ≥ 3 x3 y3 = x y ) 1 − 2x y − 2x y Vậy P = + + ≥ + (theo AM-GM) 2 + 2x + y − x − y 2+ xy 5− xy − 2t ĐẶt t = x y, t ∈ (0; 1] Xét f ( t) = + , t ∈ (0; 1] + t − 2t Do đó: 30 Latex hóa:Vũ Ngọc Thành Vàng Pheo huyện Phong Thổ tỉnh Lai Châu Ta có f ( t) = −2 (2 + t) − (5 − t)2 < 0, ∀ t ∈ (0; 1] Suy f ( t) nghịch biến (0; 1] nên P ≥ f ( t) ≥ f (1) = Vậy P = ⇔ x2 y = y2 x xy = ⇔x= y=1 Trích đề thi HSG Tỉnh Thái Bình – Năm 2017 – 2018 Câu 45 Cho a , b , c , d số thực không âm có tổng Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = + a2 + b2 + a2 b2 + c2 + d + c2 d Lời giải P = + a2 + b2 + c2 + d ⇒ ln P = ln + a2 + ln + b2 + ln + c2 + ln + d 17 Chứng minh bất đẳng thức: ln + t2 ≥ t − + ln , ∀ t ∈ [0; 1] (∗) 17 17 16 17 Áp dụng (∗) ta có: ln + a2 + ln + b2 + ln + c2 + ln + d ≥ + ln (a + b + c + d ) − 17 17 16 17 17 ⇔ ln P ≥ ln ⇔P≥ 16 16 Dấu xảy a = b = c = d = 17 Vậy P = 16 Trích đề thi HSG tỉnh ĐỒNG THÁP 2016-2017 Câu 46 Cho x , y , z số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= x2 y2 z2 27 + + + x + y2 + z2 3 x y+ y y z+z z x+x Lời giải Ta có: x2 + y2 ≥ x y > ⇒ x2 + y2 ≤ 1 y ≥− ≥− ⇒− ⇒− 2 2x y 2x y 2x x +y x +y x2 y 1 = − ≥ − y x +y y 2x x y+ y y2 1 z2 1 Tương tự: ≥ − ; ≥ − 3 z 2y z x + x x 2z y z+z x2 y2 z2 1 1 Suy ra: + + ≥ + + 3 x y z x y+ y y z+z z x+x 1 1 27 P≥ x + y2 + z2 + + + x y z 1 Do x, y, z > nên + + ≥ ; x2 + y2 + z2 ≥ ( x + y + z)2 x y z x+ y+ z 1 1 27 9 + ( x + y + z )2 P≥ + + + x + y2 + z2 ≥ x y z x+ y+ z Đặt t = x + y + z , ( t > 0) 31 Latex hóa:Vũ Ngọc Thành Vàng Pheo huyện Phong Thổ tỉnh Lai Châu 9 + t 2t 9 f ( t) = − + t 2t P ≥ f ( t) = Cho f ( t) = ⇒ t = ⇒ f ( t) ≥ f (1) = Giá trị nhỏ P 9 27 + = 4 27 t = ⇒ x = y = z = Trích đề thi HSG tỉnh THANH HĨA Câu 47 Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + = z Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = y3 z3 x3 + + + x + yz y + zx z + x y ( z + 1) 14 1+ x + y+ xy Lời giải ( x + y + z)2 ( z + 1)2 = Dấu = xảy x = y 4 Lại có: + x + y + x y = (1 + x) (1 + y) x y ≤ x2 + y2 Dấu = xảy x = y Ta có: x, y, z > ⇒ (1 + x) (1 + y) ≤ Do vậy, ta có: P≥ x4 y4 z3 + + + x2 + x yz y2 + x yz z + x y (1 + z) 2 ≥ x2 + y x2 + y2 + x yz Ta có f ( z) = 1+ x + y+ xy z3 + (1 + x) (1 + y) (1 + z) 3 z x +y + + 1+ z (1 + x) (1 + y) (1 + z) ≥ Xét hàm số f ( z) = + 14 14 1+ x + y+ xy 14 1+ x + y+ xy ≥ z ( x + y) + + (1 + z) (1 + x) (1 + y) (1 + z) ≥ z3 28 z3 − z2 − z + 57 ( x + y)2 + + = (1 + z) (1 + z)2 (1 + z)2 ( z + 1)2 z3 − z2 − z + 57 ( z + 1)2 (3 z − 5) z2 + 14 z + 23 (1 + z) 14 1+ x + y+ xy ⇒ P = 53 đạt x = y = z = 3 Trích đề thi HSG tỉnh Đồng Tháp 2016-2017 Câu 48 Cho x, y, z số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= x2 y2 z2 27 + + + x + y2 + z2 3 x y+ y y z+z z x+x Lời giải 32 Latex hóa:Vũ Ngọc Thành Vàng Pheo huyện Phong Thổ tỉnh Lai Châu 1 y ⇒− ≥− ⇒− ≥− 2 2x y 2x y 2x x +y x +y x2 y 1 Do đó: = − ≥ − x y + y3 y x2 + y2 y x z2 y2 1 1 Tương tự ≥ − ; ≥ − 3 z 2y z x + x x 2z y z+z x2 y2 z2 1 1 Suy ra: + + ≥ + + x y + y3 y2 z + z3 z2 x + x3 x y z 1 1 27 P≥ + + + x + y2 + z2 x y z 1 Do x, y, z > nên + + ≥ , x2 + y2 + z2 ≥ ( x + y + z)2 x y z x+ y+ z 1 1 27 P≥ + + + x + y2 + z2 ≥ + ( x + y + z)2 x y z x+ y+ z 9 Đặt t = x + y + z ( t > 0) , P ≥ f ( t) = + t2 2t 9 27 f ( t) = − + t = ⇒ t = ⇒ f ( t) ≥ f (1) = 2t 27 GTNN P t = ⇒ x = y = z = Ta có: x2 + y2 ≥ x y > ⇒ x2 + y2 ≤ Trích đề thi HSG Câu 49 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn y + z = x y2 + z2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = ( x + 1) + ( y + 1) + ( z + 1) + ( x + 1) ( y + 1) ( z + 1) Lời giải Theo giả thiết y + z = x y2 + z2 ≥ x ( y + z)2 ⇒ y + z ≤ x Ta có: x2 8 = + ≥ ≥ ≥ ( y + 1)2 ( z + 1)2 ( y + 1) ( z + 1) ( y + z + 2)2 ( x + 1)2 +2 x x2 4 ≥ = ≥ ( x + 1) ( y + 1) ( z + 1) ( x + 1) ( y + z + 2)2 ( x + 1)3 (1 + x) + x 2 2x 4x x + x2 + x + 1 + + = Suy P ≥ (1 + x)2 (1 + x)2 (1 + x)3 (1 + x)3 2x + 6x + x + Xét hàm số f ( x) = với x > (1 + x)3 91 Tìm giá trị nhỏ f ( x) x = 108 91 Vậy giá trị nhỏ P đạt x = , y = z = 108 Trích đề thi HSG HSG Bắc Giang năm 2016 – 2017 Câu 50 Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn y + z = x y2 + z2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = ( x + 1) + ( y + 1) + ( z + 1) + ( x + 1) ( y + 1) ( z + 1) 33 Latex hóa:Vũ Ngọc Thành Vàng Pheo huyện Phong Thổ tỉnh Lai Châu Lời giải Theo giả thiết y + z = x y2 + z2 ≥ x ( y + z)2 ⇒ y + z ≤ x Ta có: 8 x2 + ≥ ≥ ≥ = ( y + 1)2 ( z + 1)2 ( y + 1) ( z + 1) ( y + z + 2)2 ( x + 1)2 +2 x x2 ≥ = ≥ ( x + 1) ( y + 1) ( z + 1) ( x + 1) ( y + z + 2)2 ( x + 1)3 (1 + x) + x x2 x2 x3 + x2 + x + Suy P ≥ + + = (1 + x)2 (1 + x)2 (1 + x)3 (1 + x)3 2x + 6x + x + Xét hàm số f ( x) = với x > (1 + x)3 91 Tìm giá trị nhỏ f ( x) x = 108 91 đạt x = , y = z = Vậy giá trị nhỏ P 108 34 ... f ( x) max = { f (1) ; f (4)} Và f (4) = Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta được: g ( x) = x + Vậy f ( x) max = Đẳng thức xảy x = Trích đề thi HSG thành phố Hồ Chí Minh 2016-2017 Câu 22 Tìm... f ( x) max = { f (1) ; f (4)} Và f (4) = Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta được: g ( x) = x + Vậy f ( x) max = Đẳng thức xảy x = Trích đề thi HSG tỉnh Ninh Bình 2017-2018 Câu 41 Cho ba số... 2y   x   =1  y Áp dụng bất đẳng thức trên: P = Trích đề thi HSG Bắc Giang 2016-2017 Câu 35 Cho số thực x, y, z không âm đơi phân biệt.Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x2 + y2 + z2 ( x − y)