SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ LỚP 12 Năm học 2019 – 2020 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MƠN:TỐN – BẢNG KHƠNG CHUN Thời gian: 180 phút (khơng kể thời gian giao đề) Ngày thi: 19/9/2019 (Đề thi gồm 01 trang) Bài (2,0 điểm) x  x   m   x  m  2019 Tìm điều kiện tham số m để hàm số cho đồng biến khoảng  0;   a) Cho hàm số y  2mx   2m có đồ thị  C  Tìm tất giá trị thực tham số m để x2 đường thẳng d : y  x  cắt  C  hai điểm phân biệt A, B cho góc hai đường b) Cho hàm số y  thẳng OA OB 450 Bài (2,0 điểm) a) Giải phương trình lượng giác sau 1  2sin x  cos x  1  2sin x 1  sin x   x  y  x y  y   b) Giải hệ phương trình sau tập số thực   x  x  y   x    Bài (2,0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có AB  a; AC  2a; AA '  2a góc BAC 1200 Gọi M trung điểm cạnh CC ' a) Chứng minh MB vng góc với A ' M b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  A ' BM  theo a Bài (1,0 điểm) Từ tập hợp tất số tự nhiên có chữ số mà chữ số khác , lấy ngẫu nhiên số Tính xác suất để số tự nhiên lấy có mặt ba chữ số khác Bài (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính BD Gọi H , K hình chiếu vng góc A đường thẳng BD CD Biết A  4;6  ; đường thẳng HK có phương trình x  y   0; điểm C thuộc đường thẳng d1 : x  y   điểm B thuộc đường thẳng d : x  y   0; điểm K có hồnh độ nhỏ Tìm tọa độ điểm B C u1    Bài (1,0 điểm) Cho dãy số  un  xác định   un , n  , n  un1   n Hai dãy số   ,  wn  xác định sau:  1  un  ; wn  u1.u2 u3 un , n  , n  Tìm giới hạn lim ; lim wn Bài (1,0 điểm) Cho số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ biểu thức P 4a  3b3  2c3  3b c a  b  c ……………HẾT…………… (Cán coi thi không giải thích thêm) Họ tên thí sinh:…………………………………… Số báo danh:………………………….…………… Cán coi thi 1:…………………………… Cán coi thi 2:…………………………………… Trang 1/1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI PHÒNG ĐÁP ÁN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ LỚP 12 Năm học 2019 – 2020 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MƠN:TỐN – BẢNG KHƠNG CHUN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 19/9/2019 (Đáp án gồm 06 trang) BÀI Bài (2,0 điểm) Ý ĐÁP ÁN ĐIỂM x  x   m   x  m  2019 Tìm điều kiện tham số m để hàm số cho đồng biến khoảng  0;   (1,0đ) Cho hàm số a y TXĐ: D   ; y '  x  x  m  Hàm số đồng biến khoảng  0;    y '  0, x   0;   0,25  x  x  m   0, x   0;    m   x  x  2, x   0;   0,25 Xét hàm số g  x    x  x  2; g '  x   2 x  2; g '  x    x  x + g ' x  0,25 g  x Từ bảng biến thiên  m  g  x  , x   0;    m  Max  g  x    m  x 0;   0,25 2mx   2m có đồ thị  C  Tìm tất giá trị x2 thực tham số m để đường thẳng d : y  x  cắt  C  hai điểm (1,0đ) phân biệt A, B cho góc hai đường thẳng OA OB 450 Phương trình hồnh độ giao điểm: 2mx   2m  x  2,  x  2  x2  x  2mx  2m   ,  x  2  0,25 Cho hàm số y  b x 1   x  2m  m   2m     d cắt  C  hai điểm phân biệt   2m   2  m      Gọi A 1; 1 ; B  2m  1; 2m  3  OA 1; 1 ; OB  2m  1; 2m  3   OA.OB  OA.OB.cos 450   8m2  16m  10  8m2  16m    m   m   2 Kết hợp điều kiện, ta m  0,25 0,25 m  2 0,25 Bài (2,0 điểm) a Giải phương trình lượng giác sau    x    k 2  7   m 2 , ĐK:  x      x   n2  1  2sin x  cos x  1  2sin x 1  sin x  k , m, n   (1,0đ) 0,25 Pt  cos x  sin x  1  sin x  sin x  0,25  cos x  sin x  sin x  cos x b  2  x   k      18  sin   x   sin  x     ,k  3 6    x    k 2   2 Kết hợp điều kiện  Pt có nghiệm x    k , k  18 Giải hệ phương trình sau tập số thực  x  y  x y  y   (1)   x  x  y   x   (2) ĐK: y  0; x  x  y   0,25 0,25 (1,0đ) Từ phương trình 1 ta có x2   y  y  x2  2  3y y 2 1 x 2 x 2 y   y  x2  x 2 Thay vào phương trình   ta có Suy 4x   2x   u  x  Đặt  u  0 v  x  Hệ phương trình cho trở thành u  v  u     u  2v  v  Bài (2,0 điểm) a 0,5   x   x   Ta có:   (Thỏa mãn điều kiện) y   x    1 9 Vậy hệ có nghiệm  ;  2 4 Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có AB  a; AC  2a; AA '  2a  1200 Gọi M trung điểm cạnh CC ' góc BAC a) Chứng minh MB vng góc với A ' M 0,25 0,25 (1,0đ) A' C' B' M H A C N K B b Áp dụng định lí cosin tam giác ABC   a  BC  a  BC  AB  AC  AB AC cos BAC Trong tam giác A ' C ' M : A ' M  A ' C '2  C ' M  9a Trong tam giác BAA ' : A ' B  AB  A ' A2  21a Trong tam giác BCM : BM  BC  CM  12a Ta có: A ' M  MB  A ' B  tam giác A ' BM vuông M hay MB  A ' M Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  A ' BM  0,5 0,5 (1,0đ) Gọi A ' M  AC  N  d  A,  A ' BM    d  A,  A ' BN   Kẻ AK  BN , K  BN Kẻ AH  A ' K , H  A ' K 0,5  d  A,  A ' BN    AH Chứng minh CM đường trung bình tam giác A ' AN  A ' M  MN có BM  A ' N  tam giác A ' BN cân B  BN  A ' B  a 21 Diện tích tam giác ABN là:   AK BN  AK  a S ABN  AB AN sin BAN 2 1 36 a Ta có:     AH  2 2 AH AK A' A 20a a Vậy: d  A,  A ' BM    Từ tập hợp tất số tự nhiên có chữ số mà chữ số khác , lẫy ngẫu nhiên số Tính xác suất để số tự nhiên lấy có mặt ba chữ số khác Ta có: Số phần tử khơng gian mẫu  là: n     95 Bài (1,0 điểm) 0,25 0,25 (1,0đ) 0,25 Gọi A biến cố: “Trong số tự nhiên lấy có mặt ba chữ số khác nhau” Số cách chọn chữ số phân biệt a, b, c từ chữ số 1; 2;3; 4;5;6;7;8;9 C93 Xét số thỏa mãn yêu cầu toán tạo thành từ chữ số a; b; c Có hai trường hợp sau xảy TH1: Một chữ số có mặt lần; chữ số lại có mặt lần: 5! Có tất cả:  60 số 3! TH2: Hai chữ số có mặt hai lần, chữ số lại có mặt lần: 0,25 0,25 5!  90 số 2!.2! Số kết thuận lợi biến cố A là: n  A    60  90  C93  12600 Có tất cả: Xác suất biến cố A là: p  A   n  A  1400   0, 2134 n    6561 0,25 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính BD Gọi H , K hình chiếu vng Bài (1,0 điểm) góc A đường thẳng BD CD Biết A  4;6  ; đường thẳng HK có phương trình x  y   0; điểm C thuộc đường thẳng d1 : x  y   điểm B thuộc đường thẳng d : x  y   0; điểm K có hồnh độ nhỏ Tìm tọa độ điểm B C (1,0đ) A B H D E K C Gọi E  AC  HK   HKC  Tứ giác AHKD nội tiếp  HAD Tứ giác ABCD nội tiếp   ABD   ACD   Tam giác ABD vuông A  ABD  HAD  Vậy HKC ACD hay tam giác ECK cân E Vì tam giác ACK vng K nên E trung điểm AC c 8c ; Ta có C  d1  C  c;2  c   E     Vì E  HK nên tìm c   C  4; 2  0,25 0,25 K  HK : x  y   nên gọi K  4t ;3t  1    AK  4t  4;3t   ; CK (4t  4;3t  1)    t  Ta có: AK  CK  AK CK   25t  50t     t   2 Vì hồnh độ điểm K nhỏ  K ( ; ) 5 BC có phương trình: x  y  10  B  BC  d  B (6;2) Kết luận: B  6;  ; C  4; 2  0,25 0,25 Bài (1,0 điểm) u1    Cho dãy số  un  xác định   un u  ,  n   , n   n1  Hai dãy số   ,  wn  xác định sau: (1,0đ)  4n 1  un  ; wn  u1.u2 u3 un , n  , n  Tìm giới hạn lim ; lim wn   Chọn    0;  cho cos    2  cos    cos Khi ta có u1  cos   u2  2    ( Do    0;  nên cos  )  2  cos 0,25   cos  Tương tự ta có u3   cos  2n 1  cos  2n 1     Suy  n (1  un )  n 1  cos n 1   4n.2sin n   Bằng quy nạp ta chứng minh un    sin n     Vậy lim  lim  4n.2sin n   lim      n      2  2  2     cos 2     2n sin n 1 cos n 1 cos n  cos cos sin 2 2 2     2n sin n 1 2n sin n 1 2         sin 2 sin 2    sin 2  lim  Suy lim wn  lim     2 2 2n sin n 1 sin n 1   2       2n 1  Cho số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Ta có wn  u1u2 un  cos Bài (1,0 điểm) n 1 P cos n2    cos 0,25 4a  3b3  2c3  3b c 0,25 0,25 (1,0đ) a  b  c Áp dụng BĐT Cauchy, ta có: 3b c  2b3  c , dấu “=” xảy  b  c Ta chứng minh: b  c b  c   0,25 (1) , b  0, c  Thật vậy: 1   b3  c3   b3  3b2c  3bc  c3   b  c  b  c   0, b  0, c  Dấu “=” xảy  b  c Áp dụng BĐT ta được: b  c 4a  a , t   0;1 P  4t  1  t  , với t  abc a  b  c 1  t  với t   0;1  t  2 Có: f '  t   12t  1  t  ; f '  t     t    Bảng biến thiên: 1 t + f 't  0,25 Xét hàm số f  t   4t  0,25 f t  25 Từ bảng biến thiên suy ra: P  f  t   25 b  c  Dấu “=” xảy   a  2a  b  c   a  b  c Vậy giá trị nhỏ P 2a  b  c 25 Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác mà cho điểm tối đa 0,25