CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ VỀ MŨ VÀ LOGARIT Ngày tháng 12 năm 2013 Mục lục CÔNG THỨC MŨ VÀ LOGARIT CẦN NHỚ 1.1 Công thức mũ lũy thừa 1.2 Công thức logarit 1.3 Hàm số mũ – logarit đạo hàm PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ 2.1 Giải cách đưa số logarit hóa 5 2.1.1 Lý thuyết 2.1.2 Các ví dụ 2.2 Giải cách đặt ẩn phụ 2.3 Giải cách sử dụng tính đơn điệu hàm số PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 10 3.1 Giải phương trình logarit cách đưa số 10 3.2 Giải phương trình cách đặt ẩn phụ 14 3.3 Giải cách sử dụng tính đơn điệu hàm số 14 HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT 15 4.1 4.2 4.3 Giải hệ mũ logarit phương pháp biến đổi tương đương 15 4.1.1 Lý thuyết 15 4.1.2 Các ví dụ 15 Giải hệ mũ logarit phương pháp đặt ẩn số phụ 18 4.2.1 Lý thuyết 18 4.2.2 Các ví dụ 18 Giải hệ mũ logarit phương pháp đơn điệu hàm số bất đẳng thức 20 4.3.1 Cơ sở lý thuyết 20 4.3.2 Các ví dụ 20 Chương CÔNG THỨC MŨ VÀ LOGARIT CẦN NHỚ 1.1 Công thức mũ lũy thừa Với a b số thực dương, x y số thực tùy ý an = a.a.a a a x+y n x = a ay x ax−y = a ⇒ a−n = n y a a ax.y = (ax )y = (ay )x ax bx = (a.b)x 1.2 ax a x = bx b √ x y ax = a y   ∀u (x) [u (x)]0 = ⇒ x0 = 1,  x=0 √ √ √ n n n a b = a.b √ √ m m 10 n am = n a = a n Công thức logarit 1.loga b = x ⇒ b = ax b loga = loga b − loga c c lg b = log b = log10 b (logarit thập phân)   αlog b α = 2k + a α loga b =  αlog |b| α = 2k a ln b = loge b, (e = 2, 718 ) (logarit tự nhiên hay logarit neper) logaα b = log b α a loga = 0, loga a = b = loga ab loga (b.c) = loga b + loga c 10 b = aloga b CÔNG THỨC ĐỔI CƠ SỐ logc b logc a ln b loga b = , loga b = logb a ln a loga b = 1.3 alogb c = clogb a logab c = loga c + logb c Hàm số mũ – logarit đạo hàm Hàm số mũ: y = ax , (a > 0, a = 1) - Tập xác định: D = R - Tập giá trị: T = (0; +∞) - Tính đơn điệu: + Khi a > 1: hàm số đồng biến +Khi < a < : hàm số nghịch biến - Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang Hàm số logarit y = loga x - Tập xác định: T = (0; +∞) - Tập giá trị: D = R - Tính đơn điệu: + Khi a > 1: hàm số đồng biến + Khi < a < : hàm số nghịch biến - Nhận trục tung làm tiệm cận đứng Đạo hàm hàm số mũ hàm số logarit Đạo hàm hàm số sơ cấp Đạo hàm hàm số hợp (xα ) = α.xα−1 , (x > 0) ⇒ (uα ) = α.uα−1 u (ax ) = ax ln a ⇒ (au ) = au u ln a (ex ) = ex ⇒ (eu ) = eu u (loga |x|) = x ln a (ln x) = , (x > 0) x u ⇒ (loga |u|) = u ln a u ⇒ (ln u) = u Chương PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ 2.1 Giải cách đưa số logarit hóa 2.1.1 Lý thuyết Phương trình mũ: Dùng công thức mũ lũy thừa đưa dạng af (x) = ag(x) Với a > 0, a = af (x) = ag(x) ⇔ f (x) = g(x) Trường hợp số a có chứa ẩn thì: aM = aN ⇔ (a − 1) (M − N ) = ⇔  a=1  M =N Bất phương trình mũ: Dùng công thức mũ lũy thừa đưa dạng af (x) > ag(x) Nếu a > af (x) > ag(x) ⇔ f (x) > g(x) Nếu < a < af (x) > ag(x) ⇔ f (x) < g(x) Trường hợp số a có chứa ẩn thì: aM > aN ⇔ (a − 1) (M − N ) > Logarit hóa: af (x) = bg(x) ⇔ loga af (x) = loga bg(x) ⇔ f (x) = g(x).loga b Lưu ý: Khi giải phương trình bất phương trình cần đặt điều kiện để phương trình có nghĩa Sau giải xong cần so sánh nghiệm (tập nghiệm) với điều kiện để nhận nghiệm (tập nghiệm) thích hợp 2.1.2 Các ví dụ Giải phương trình: x log x = 102 log x−3 log x+2 Giải xlogx = 102 log x−3 log x+2 Điều kiện: x > Phương trình cho tương đương với: ⇔ log xlog x = log2 x − log x + ⇔ log2 x = log2 x − log x + ⇔ log2 x − log x + =  log x = ⇔ x = 10 ⇔ log x = ⇔ x = 100 Giải bất phương trình: 4x2 + √ x √ x + 31+ x √ 2x2 x + 2x + Đề thi thử Đại học năm 2013 khối B,D - THPT Sầm Sơn - Thanh Hóa Giải 4x2 + √ x √ x + 31+ Điều kiện: x x √ 2x2 x + 2x + Bất phương trình cho tương đương với: √ ⇔ 2x2 x √ + 2x + − 4x2 − ⇔ −2(2x2 − x − 3) + √ x √ x x − 31+ (2x2 − x − 3) x 0 √ ⇔ (2x2 − x − 3).(3 x − 2)   2x2 − x − <    √x  −25 (x ∈ R) Đề thi thử Đại học 2012 – THPT chuyên Ngoại Ngữ - Đại học sư phạm Hà Nội Giải √ + 8.3 4−x Điều kiện: x √ −9 √ 4−x +3 4−x >5 Bất phương trình cho tương đương với: ⇔ √ + 8.3 4−x √ − (3 √ 4−x )2 +3 4−x >5 √ Đặt t = 4−x , (t > 0) √ (∗) ⇔ + 8t − t2 + t > (∗) ⇔ + 8t − t2 > (5 − t)2 ⇔ + 8t − t2 > t2 − 10t + 25 ⇔ 2t2 − 18t + 16 < ⇔1 (5 − t)2   ⇔  5 − t <   √9 + 8t − t2  t  ⇒1  ⇒5         (3x − 4)2 >  3x − = x = ĐKXĐ: ⇔ ⇔  x >  x >    x>0   √  x>0 Phương trình cho tương đương: log2 |3x − 4| log2 x = log2 x + [2 log2 |3x − 4|]2 ⇔ log2 |3x − 4| log2 x = (log2 x)2 + (log2 |3x − 4|)2 ⇔ (log2 x)2 − log2 |3x − 4| log2 x + (log2 |3x − 4|)2 = (1)   a = log x Đặt , pt (1) trở thành: a2 − 3ab + 2b2 = 0, (2)  b = log |3x − 4| Vì b = khơng nghiệm pt (2), chia hai vế pt (2) cho b2 , ta được: 10  a = log2 x = log2 |3x − 4| a a  + = ⇔  ab ⇔ −3 b b log2 x = log2 |3x − 4| = log2 (3x − 4)2 =2 b   x >    x=1    x>0       x = 3x −   x = ⇔ ⇔ x = |3x − 4| ⇔           x = − (3x − 4)   16     x = x = (3x − 4)   9x2 − 25x + 16 =  Vậy phương trình cho có ba nghiệm phân biệt:x = 1, x = x = 16 Giải phương trình: log2 x + log3 x + log4 x = log20 x Giải ĐKXĐ: x > Pt cho tương đương: log2 x log2 x log2 x log2 x + + = log2 log2 log2 20 1 + − ⇔ log2 x + log2 log2 log2 20 =0 ⇔ log2 x = ⇔ x = Vậy phương trình cho có nghiệm x = Nhận xét: Trong cách giải trên, ta sử dụng công thức biến đổi số: logc x loga x = để làm xuất nhân tử chung log2 x logc a Giải phương trình: log2 x + log3 x + log5 x = log2 x log3 x log5 x Giải ĐKXĐ: x > Phương trình cho tương đương: log2 x + log3 log2 x + log5 log2 x − log2 x log3 x log5 x = ⇔ log2 x (1 + log3 + log5 − log3 x log5 x) =  log2 x = ⇔ x = ⇔ + log3 + log5 − log3 x log5 x = (∗) 11 (∗) ⇔ + log3 + log5 − (log3 log5 x) log5 x = ⇔ + log3 + log5 − log3 log25 x = ⇔ log25 x = + log3 + log5 log3 ⇔ log5 x = ± ± ⇔x=5 + log3 + log5 log3 1+log3 2+log5 log3 ± 1+log3 2+log5 log3 So với ĐK, phương trình cho có nghiệm x = x = logc x Nhận xét: Trong giải ta sử dụng công thức: loga x = , cụ thể logc a để đưa log2 x nhằm xuất nhân tử chung Giải phương trình: 1 log √ log81 (x − 3)2012 = log243 [4 (x − 2)] (x + 1) + 503 Đề thi thử Đại Học năm 2013 – THPT Lương Ngọc Quyến – Thái Nguyên Giải    x+1>0    x > ĐKXĐ: x − = ⇔  x =   x − > Pt cho tương đương: 1 log3 13 (x + 1) + log34 (x − 3)2012 = log35 [4 (x − 2)] 503 ⇔ log3 (x + 1) + log3 |x − 3| = log3 [4 (x − 2)] ⇔ (x + 1) |x − 3| = (x − 2)   x=1         (x + 1) (x − 3) = 4x −  x=5      x >  x−3>0   ⇔  ⇔    x = −1 + 2√3   (x + 1) (x − 3) = − 4x     √  x − < x = −1 −      x  11.3x − > Phương trình cho tương đương: log5 3x−1 + log5 3x+1 + = log5 (11.3x − 9) ⇔ log5 3x−1 3x+1 + = log5 (11.3x − 9) ⇔ log5 32x + 3x = log5 (11.3x − 9) ⇔ 32x + 3x = 11.3x − ⇔ (3x )2 − 10.3x + =   3x = x=0 ⇔ ⇔ 3x = x=2 So với ĐK, phương trình cho có hai nghiệm: x = x = Giải phương trình: (x − 1) log5 + log5 3x+1 + = log5 (11.3x − 9) Học viện Quan Hệ Quốc Tế khối D năm 2000 Giải   x2 + x + >       x2 − x + > ⇒ Tập xác định D = R   x + x + >      x − x2 + > Phương trình cho tương đương: log2 x2 + + x x2 + − x = log2 x4 + x2 + + log2 x4 − x2 + ĐKXĐ: ⇔ log2 x2 + − x2 = log2 x4 + x2 + + log2 x4 − x2 + ⇔ log2 x4 + x2 + = log2 x4 + x2 + + log2 x4 − x2 + ⇔ log2 x4 − x2 + = ⇔ x4 − x2 + =  ⇔ x4 − x2 = ⇔  x=0 x = ±1 Vậy phương trình cho có ba nghiệm: x = 0, x = x = −1 13 3.2 Giải phương trình cách đặt ẩn phụ 3.3 Giải cách sử dụng tính đơn điệu hàm số 14 Chương HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ LOGARIT Ta phải vào đặc điểm hệ phương trình để phân tích tìm lời giải Một số ý tưởng để giải hệ là: - Phương pháp thế, phương pháp cộng (biến đổi tương đương) - Phương pháp đặt ẩn phụ - Sử dụng tính đơn điệu hàm số - Sử dụng bất đẳng thức 4.1 Giải hệ mũ logarit phương pháp biến đổi tương đương 4.1.1 Lý thuyết Sử dụng công thức mũ logarit để biến đổi hệ cho thành hệ Sau đó, dùng phương pháp thế, phương pháp cộng, để giải 4.1.2 Các ví dụ   23x = 5y − 4y Giải hệ phương trình: 4x + 2x+1  =y 2x + 15 (1) (2) (Đại học khối D năm 2002 ) Giải   5y − 4y > Điều kiện: ⇔y>  y>0 Ta có (2x )2 + 2.2x (2) ⇔ =y 2xx+ x (2 + 2) ⇔ =y 2x + ⇔ 2x = y Từ suy ra: (1) ⇔ (2x )3 = 5y − 4y ⇔ y = 5y − 4y  y = (L)  ⇔  y=1 y=4 Với y = ⇒ 2x = ⇔ x = Với y = ⇒ 2x = ⇔ x = Vậy hệ cho có nghiệm (x; y) = {(0; 1) , (2; 4)}   x2 + y = 25 Giải hệ phương trình:  log (y − x) − log4 = y Giải.  y>x ĐK:  y>0   x2 + y = 25 (∗) ⇔  − log4 (y − x) − log4 = y  2  x + y = 25 ⇔ y−x  log4 = −1 y   x2 + y = 25 ⇔ y−x  =  y 14x   y= ⇔ 16x   x + = 25   x = −3 (L) ⇔  x=3⇒y=4 Vậy hệ cho có nghiệm (x; y) = (3; 4) 16 (∗) Giải hệ phương trình:   log x2 + y = + log2 (xy)  3x2 −xy+y2 = 81 (∗) , (x; y ∈ R) Đại học khối A năm 2009 Giải ĐK: xy > Hệ  cho tương đương với:  log x2 + y = log (xy) 2 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔  3x2 −xy+y2 = 34   x2 + y = 2xy  x2 − xy + y =   (x − y)2 =  (x − y)2 + xy =  x − y =  xy =  x = y = ∨   x = −2  y = −2 So với điều kiện, nghiệm hệ cho (x; y) = {(−2; −2) , (2; 2)} Giải hệ phương trình:   x2 + 2y = 4x − (∗)  log (x − 1) − log√ (y + 1) = 3 Đại học khối B năm 2013 Giải   x − > x > ĐK: ⇔ y + >  y > −1 Hệ cho tương đương với 17   x2 + 2y = 4x − ⇔ ⇔  log (x − 1) = log (y + 1) 3   x2 + 2y = 4x − x − = y +  y = x −  x2 − 2x − =  x = −1 (L) ⇔ x=3⇒y=1 Vậy hệ cho có nghiệm (x; y) = (3; 1) 4.2 Giải hệ mũ logarit phương pháp đặt ẩn số phụ 4.2.1 Lý thuyết Thơng thường ta lựa chọn phương trình hệ để biến đổi đặt ẩn phụ để tìm mối liên hệ x, y kết hợp với phương trình lại tốn đặt ẩn phụ Đối với toán đặt hai ẩn phụ, ta tìm mối liên hệ cách dùng cơng thức mũ, logarit hay biến đổi đơn giản để đưa hệ đại số (đối xứng, đẳng cấp, ) Sau đặt ẩn phụ, ta cần tìm điều kiện cho ẩn phụ, tức tìm miền xác định cho tốn Tùy vào mục đích ẩn phụ mà ta phải tìm điều kiện cho hợp lý (dễ, gây sai sót) Có hai cách tìm điều kiện: tìm điều kiện tìm điều kiện thừa đặc biệt tốn chứa tham số, ta cần tìm điều kiện cho thật xác 4.2.2 Các ví dụ   2x + log y + 2x log y = 2 Giải hệ phương trình:  4x + log2 y = Giải ĐK: y > 18 (∗)   u = 2x > Hệ cho trở thành:  v = log y   u + v + uv = Đặt ⇔  u2 + v =   (u + v) + 2u.v = 10 (3)  (u + v)2 − 2u.v = (4) Cộng (3) (4) vế theo vế: (u +  − 15 = v) + (u + v)  u + v =  u + v = −5 (vô nghiệm) ∨ ⇔  u.v = 10  u.v =   u = u = ∨ ⇔ v = v =    2x =  2x = ∨ ⇔  log y =  log y = 2   x = x = ⇔ ∨ y = y = So với điều kiện, nghiệm hệ cho (x; y) = {(2; 4) , (4; 2)}   32x+y+2 + 3x+2y = 27x+y + Giải hệ phương trình: (∗)  log (x + 1) + log (y + 1) = 3 Giải   x > −1 ĐK:  y > −1   3.32x+y+1 + 3.3x+2y−1 = 33(x+y) + (∗) ⇔  log (x + 1) (y + 1) =   3.32x+y+1 + 3.3x+2y−1 = 33x+3y + (1) ⇔  (x + 1) (y + 1) = (2)   a = 32x+y+1 > ⇒ a.b = 33x+3y Đặt  b = 3x+2y−1 > (1) ⇔ 3a + 3b = ab +  ⇔ (a − 3) (3 − b) = ⇔  a=3 b=3 Với a = ⇒ 32x+y+1 = ⇔ 2x + y + = ⇔ y = −2x Thế vào (2) 19 (x + 1) (−2x + 1) = (PTVN) Với b = ⇒ 3x+2y−1 = ⇔ x + 2y − = ⇔ x = 2− 2y Thế vào (2)  y = y =  ∨ (3 − 2y) (y + 1) = ⇔ −2y + y = ⇔ x =  x = So với điều kiện, nghiệm hệ (x; y) = 4.3 (2; 0) , 1; Giải hệ mũ logarit phương pháp đơn điệu hàm số bất đẳng thức 4.3.1 Cơ sở lý thuyết Xem lại lý thuyết giải phương trình bất phương trình mũ – logarit sử dụng tính đơn điệu bất đẳng thức Thơng thường, ta chọn phương trình để thực tính chất đơn điệu hàm số, kết hợp với phương trình lại để tìm nghiệm Để giải phương trình lại, ta cần nắm vững phương pháp giải phương trình mũ, logarit thường gặp phương trình đại số 4.3.2 Các ví dụ Giải hệ phương trình:   2x − 2y = (y − x) (xy + 2)  x2 + y = (1) (2) Giải Thay (2) vào (1) ta được: (1) ⇔ 2x − 2y = (y − x) xy + x2 + y ⇔ 2x − 2y = y − x3 ⇔ 2x + x3 = 2y + y (∗) Xét hàm số f (t) = 2t + t3 R f (t) = 2t ln + 2t2 > 0, ∀t ∈ R ⇒ f (t) đồng biến R Từ (∗) ⇒ f (x) = f (y) ⇒ x = y Thế vào (2) được: 2x2 = ⇔ x = y = ±1 Vậy hệ cho có nghiệm (x; y) = (±1; ±1)   log (2x + 3y) = log (2 + 2x + 3y) Giải hệ phương trình:  ln 4x2 + x + + x3 + 21 = 9y Giải 20 (1) (2) ĐK: 2x + 3y > Đặt log7 (2x + 3y) = t ⇔ 2x + 3y = 7t (1) ⇔ log3 + 7t = 2t ⇔ + 7t = 9t ⇔ t + Xét hàm số f (t) = t t =1 (3) t + t R t 1 ln + ln < 0, ∀t ∈ R ⇒ f (t) nghịch biến R 9 9 Do đó, phương trình (3) có nghiệm R f (t) = f (1) = ⇔ t = f (t) = Thế vào (2) được: ln 4x2 + x + + x3 + 21 = (7 − 2x) ⇔ ln 4x2 + x + + x3 + 6x = (4) Xét hàm số f (x) = ln 4x2 + x + + x3 + 6x R 8x + 24x2 + 14x + f (x) = + 3x2 + = 3x2 + > 0, ∀x ∈ R 4x + x + 4x2 + x + ⇒ f (x) đồng biến R ⇒ (4) có nghiệm f (x) = f (0) ⇔ x = ⇒ y = So với điều kiện, nghiệm hệ cho (x; y) = 0; 3 Giải hệ phương trình:   ex−y + ex+y = (x + 1)  ex+y = x − y + , (x, y ∈ R) (∗) Giải   ex−y = x + y + (∗) ⇔  ex+y = x − y +    ev = u + u = x + y ⇔ ,với  eu = v + v = x − y ⇔ ev − eu = u − v ⇔ ev + v = eu + u Xét hàm số f (t) = et + t R f (t) = et + > 0, ∀t ∈ R ⇒ f (t) đồng biến  R y = Ta có f (u) = f (v) ⇔ u = v ⇔ x + y = x − y ⇔ x = Vậy hệ cho có nghiệm x = y = 21 Giải hệ phương trình:  √  x + x2 − 2x + = 3y−1 + y + y − 2y + = 3x−1 + (x, y ∈ R) (∗) Dự bị Đại học khối A năm 2007 Giải    (x − 1) + (∗) ⇔   (y − 1) + (x − 1)2 + = 3y−1 (y − 1)2 + = 3x−1   √  u + u2 + = 3v (1) u = x − ⇔ với  v + √v + = 3u (2) v = y − Lấy (1) trừ (2) vế theo vế: √ √ u − v + u2 + − v + = 3v − 3u √ √ ⇔ u + u2 + + 3u = v + v + + 3v √ Xét hàm số f (t) = t + t2 + + 3t √ R t + t2 + t + 3t ln = √ + 3t ln > 0, ∀t ∈ R f (t) = + √ t2 + t2 + ⇒ Hàm số f (t) đồng biến R Ta có: f (u) = f (v) ⇔ u = v Thay u = v vào (1) ta được: √ (1) ⇔ 3u = u + u2 + √ ⇔ u = log3 u + u2 + √ ⇔ u − log3 u + u2 + = √ Xét hàm số f (u) = u − log3 u + u2 + R + √uu2 +1 √ =1− √ > 0, ∀u ∈ R f (u) = − u + u2 + ln u2 + ln ⇒ f (u) đồng biến R Ta lại có: f (x) = f (0) = ⇔ u = ⇒ v = ⇔  u = x − = v = y − = Vậy hệ cho có nghiệm (x, y) = (1; 1) 22 ⇔  x = y = ... 4.3.2 Các ví dụ Giải hệ phương trình:   2x − 2y = (y − x) (xy + 2)  x2 + y = (1) (2) Giải Thay (2) vào (1) ta được: (1) ⇔ 2x − 2y = (y − x) xy + x2 + y ⇔ 2x − 2y = y − x3 ⇔ 2x + x3 = 2y + y (∗)... (log2 x)2 + (log2 |3x − 4|)2 ⇔ (log2 x)2 − log2 |3x − 4| log2 x + (log2 |3x − 4|)2 = (1)   a = log x Đặt , pt (1) trở thành: a2 − 3ab + 2b2 = 0, (2)  b = log |3x − 4| Vì b = khơng nghiệm pt (2),... 4x + 2x+1  =y 2x + 15 (1) (2) (Đại học khối D năm 2002 ) Giải   5y − 4y > Điều kiện: ⇔y>  y>0 Ta có (2x )2 + 2.2x (2) ⇔ =y 2xx+ x (2 + 2) ⇔ =y 2x + ⇔ 2x = y Từ suy ra: (1) ⇔ (2x )3 = 5y − 4y