BÁO CÁO THAM LUẬN VỀ CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC, THI HỌC SINH GIỎI TOÁN CÁC CẤP Hai Riêng, ngày 20 tháng 11 năm 2013 Người viết Tở tốn trường THPT Nguyễn Du, Sơng Hinh, Phú n Phương trình, hệ phương trình toán bắt buộc đề thi ( Đại học, học sinh giỏi tốn, ) Hiện có nhiều phương pháp để giải toán này, vấn đề đặt cần xây dựng đường( suy luận) ngắn nhất, cách giải chung để tìm lời giải cho tốn Theo quan điểm cá nhân, chúng tơi xin trình hai bước suy luận sau: I Bước 1: - Phương trình: Biến đổi ( thêm bớt, nhân phương trình với lượng hợp lý ) ẩn phụ ( tạo phương trình hệ phương trình mới ) - Hệ phương trình: Biến đởi dạng ( đối xứng, đồng bậc) ẩn phụ Ví dụ phương trình * Đặt ẩn phụ chuyển hệ phương trình biến u, v: Giải phương trình: 3x − + − x − = (ĐH 2009 A) VD Cách giải: Đặt ẩn phụ biến u = 3x − 2, v = − x Giải phương trình: HSG Trà 2 9x − = 4x + 5x + − x − x + VD Vinh 2013) Cách giải: Đặt ẩn phụ biến u = 4x + 5x + 1; v = x − x + Giải phương trình: (HSG Phú Yên 2003) + x = 2(x + 2) VD Cách giải: Đặt ẩn phụ biến u = x + 1, v = x + x + 1 (HSG Phú Yên 2002) + 1− VD x x 1 Cách giải: Đặt ẩn phụ biến u = x − ; v = − x x Giải phương trình: x= x− Trang * Đặt ẩn phụ chuyển phương trình biến u: Giải phương trình: x + + x + = 3x + 2 x2 + 5x + − 16 VD Cách giải: Đặt ẩn phụ biến u = x + + x + Giải phương trình: x − − x − 3x = VD Cách giải: Đặt ẩn phụ biến sin u = x u = − x VD Giải phương trình: VD x + + x − 4x + ≥ x Cách giải: Đặt ẩn phụ biến u = x + (ĐH 2012B) ( chia vế bất phương trình cho x x) chuyển bất phương trình biến u * Đặt ẩn phụ chuyển hệ phương trình biến u, x: Giải phương trình: ( Đề 125, Bộ đề tuyển sinh đại học x −5 = x +5 VD 1997) Cách giải: Đặt ẩn phụ biến u = x + chuyển hệ phương trình biến u, x Giải phương trình: x + = x − VD 10 Cách giải: Đặt ẩn phụ biến u = x + chuyển hệ phương trình biến u, x Một số tình cần thu gọn phương trình trước đặt ẩn phụ: x3 −15 x + 78x −141 = 5.3 x − VD 11 Cách giải: Đặt y = x – a, a nghiệm y”,với y = x3 − 15 x + 78 x −141 x3 − x2 + x − = 81x − VD 12 * Đặt ẩn phụ chuyển phương trình ẩn u, tham số x: Giải phương trình: (HSG tỉnh Phú Yên năm + 2x = x − 6x + 26 VD 13 1997) Cách giải: Đặt ẩn phụ biến u = x + chuyển phương trình biến u, tham số x Giải phương trình: 2 x + x + = (4 x − 1) x + VD 14 Trang Cách giải: Đặt ẩn phụ biến u = x + chuyển phương trình biến u, tham số x Giải phương trình: (HSG Long An x + x + = (2 x + 1) x + x + VD 15 2013) Giải phương trình: ( HSG Hà Nội x − x + = (−4 x − 1) x + VD 16 2013) Nhận xét: Tất những cách làm thay bằng phương pháp lấy lũy thừa để khử căn, kết hợp với máy tính cầm tay để tách nhân tử chung Ví dụ hệ phương trình * Đối xứng: VD 17 VD 18  y2 + y =  x2 Giải hệ phương trình:   3x = x + (ĐH 2002 B)  y  2 Giải hệ phương trình: ( x + 1) ( y + 1) = −9 xy ( HSG Phú Yên 2012)  2 ( x + 1) ( y + 1) = −10 xy Giải hệ phương trình:  x + y + xy = 2m + 1co nghiem x > 0, y >  2 VD 19 x y + y x = m ( HSG Phú Yên 2012) Giải hệ phương trình:  x = y − y + my co nghiem nhât ( HSG  VD 20  y = x − x + mx Phú Yên 2007) * Đồng bậc: VD 21 (2 x − y ) = + z Giải hệ phương trình: ( z − y )2 = + x (Đề thi HSG Vĩnh Phúc năm  (2 x + z ) = + y  2011 – 2012)  x = a + ( y − z )2 Giải hệ phương trình:  y = b + ( x − z ) (Đề thi HSG Phú Yên 2005)  VD 22  z = c + ( y − x)2  Trang Giải hệ phương trình:  x + y − x + y = (Đề thi HSG Thái  VD 23 2 x + y − x + = Nguyên 2013) *Ẩn phụ: Giải hệ phương trình: ( x + 1) + ( x + 1) + y + y − = (Đề thi HSG Phú   x + 92 + x) + y − = Yên 2013 - 2014 ) ( u = + y ; v = x + ) VD 24 Giải hệ phương trình:  3x + y + x + y = (Đề thi HSG Quảng Ninh   x − y + x + y = 2011 - 2012 Bảng B ) ( u = 3x + y ; v = x + y ) VD 25 Giải hệ phương trình:  x + y =  VD 26  x + x + x + y + xy + = Yên 2011 - 2012 ) ( u = x + 1; v = + y ) (Đề thi HSG Hưng II Bước 2: - Phương trình: Nhân tử chung(*) đánh giá ( hàm số (*) bất đẳng thức(**)) - Hệ phương trình: Xử lý phương trình(nhân tử chung- bậc hai theo biến; đánh giá) thay vào phương trình lại( phương trình xử lý hai phương trình cho, cộng hai phương trình với hệ số hợp lý) • Ví dụ phương trình VD Giải phương trình 3x + − − x + 3x2 − 14x − = (*)( ĐH 2010 B) VD Giải phương trình x3 − = x + (*)( ĐH 2010 D) VD Giải phương trình 15 + x = + x + 3x − 2(*)(HSG PY03) VD Giải phương trình x + + x + + x + + x + 16 = x + 100 (*) VD Giải phương trình 3 x + x + − = x + 15 (*) VD Giải phương trình x − + − x = x + 3x − VD Giải phương trình 3x − x + − x − = ( x − x − 1) − x − 3x + (*) VD VD Giải phương trình x + 12 + = 3x + x + (*) Giải phương trình − x + x − = x − 12 x + 38 (*) Trang VD 10 Giải phương trình x − + − x = x − 12 x + 14 (*) VD 11 Giải phương trình x + x − + − x + x + = x − x + (**) VD 12 x2 x Giải phương trình + + = x3 − x + x + 1(**) 2 VD 13 Giải phương trình x3 – x2 – 8x + 40 = x + (**) VD 14 Giải phương trình x + x − + − x + x + = x − x + (**) Thu gọn phương trình trước xử dụng hàm số VD 15 Giải phương trình x − = 27 x3 − 27 x + 13x − ( HSG Hải Dương 2010-2011) VD 16 Giải phương trình x + = x3 + x − 3x − ( HSG Long An 2010-2011) VD 17 Giải phương trình x x − x3 = −2 x3 + 10 x − 17 x + ( HSG Bình Định 2009-2010) * Ví dụ hệ phương trình Rút trực tiếp phương trình (*) thay vào phương trình lại: VD 18 VD 19 VD 20  x ( y + x + 1) − = 0(*)  (9 D) Giải hệ phương trình:  ( x + y ) − x + =  xy + x + = y (*) (9 B ) Giải hệ phương trình:  2 x y + xy + = 13 xy  2  x + x y + x y = x + ( DH 2008B ) Giải hệ phương trình:   x + xy = x + 6(*) * Đặt nhân tử chung cho phương trình (*): VD 21 VD 22 VD 23 VD 24 2 5 x y − xy + y − 2( x + y ) = Giải hệ phương trình:  2 (ĐH 2011 A) ( x + y ) xy + = ( x + y ) (*)  x + y − xy + x − y + = 0(*) Giải hệ phương trình:  2 (ĐH 2013 B)  x − y + x + = x + y + x + y  xy + x + y = x − y (*) Giải hệ phương trình:  (ĐH 2008 D)  x y − y x − = x − y  x − y = x − y (*) Giải hệ phương trình:  (ĐH 2002 B)  x + y = x + y +  2 x + y = − x − y (*) VD 25 Giải hệ phương trình:  2  x − xy − y = (ĐH 2008 D) Trang VD 26  ( x − y )2  2x + + y + = Giải hệ phương trình:  (HSG Bình Phước ( x + y )( x + y ) + x + y = 4(*)  2013) Sử dụng phương pháp tìm hệ số bất định để tạo phương trình cần xử lý: VD 27  x + xy = 25 (1) [ *: (1) − 3.(2)] (HSG Giải hệ phương trình:  2  x + xy + y = 10 x + y − (2) Cần Thơ 2013) VD 28  x − y = 240 (1) [ *: (1) − 8.(2)] Giải hệ phương trình:  3 2  x − y = 3( x − y ) − 4( x − y ) (2) (HSG Quốc Gia 2010) VD 29  x + y = −98 (1) [ *: (1) + 3.(2)] (HSG Giải hệ phương trình:  2  −3 x + y + x + 25 y = (2) Quốc Gia 2004) * Đánh giá phương trình (Hàm số: *; bất đẳng thức:**) VD 30 VD 31 VD 32  x − x − x + 22 = y + y − y (*)  Giải hệ phương trình:  2 ( ĐH 2012 A) x + y − x + y =  ( y − 3) − y + x(4 x + 1) = 0(*) Giải hệ phương trình:  2 ( ĐH 2010 A)  x + y + − x =  x + + x − − y + = y (*) Giải hệ phương trình:  ( ĐH 2013 A)  x + x( y − 1) + y − y + = VD 33 Giải hệ phương trình:  x + y = x − y − (HSG Bắc Giang  2 3 x − x + 2( x − 1) x − x + = 2( y + 2) y + y + 5(*) 2013) VD 34  x − y + x + x − y + = 0(*) Giải hệ phương trình:  (HSG Hà Nội 2  − x − 3 + y − y − x + = 2013)  x3 + x = − y VD 35 Giải hệ phương trình:  (HSG (15 − x) − x = (4 y + 9) y + 3(*) Long An 2013) VD 2 2  x y − x + y = 0(**) Giải hệ phương trình:  (Đề thi HSG Phú Yên  x − x + 10 + y = 2010) Trang VD  x + y + z = Giải hệ phương trình:  (1 + x)(1 + y )(1 + z ) = (1 + xyz ) (**) (Đề thi HSG Phú Yên 2009) VD 36  x(1 − x) + y (1 − y ) = /  ( HSG QG 09) Giải hệ phương trình:  + = (**)  + xy 1+ y2  + 2x HẾT Trang ... phương tr nh(nhân tử chung- bậc hai theo biến; đánh giá) thay v o phương tr nh lại( phương tr nh xử lý hai phương tr nh cho, cộng hai phương tr nh v i hệ số hợp lý) • Ví dụ phương tr nh VD Giải... + 100 (*) VD Giải phương tr nh 3 x + x + − = x + 15 (*) VD Giải phương tr nh x − + − x = x + 3x − VD Giải phương tr nh 3x − x + − x − = ( x − x − 1) − x − 3x + (*) VD VD Giải phương tr nh x +... phương tr nh − x + x − = x − 12 x + 38 (*) Trang VD 10 Giải phương tr nh x − + − x = x − 12 x + 14 (*) VD 11 Giải phương tr nh x + x − + − x + x + = x − x + (**) VD 12 x2 x Giải phương tr nh +