Đang tải... (xem toàn văn)
BÁO CÁO, SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ,DỰ THI CẤP TỈNH, CÁC PHƯƠNG PHÁP ĐẾM NÂNG CAO
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH MÉu TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ HÔNG PHONG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM DỰ THI CẤP TỈNH BÁO CÁO SÁNG KIẾN CÁC PHƯƠNG PHÁP ĐẾM NÂNG CAO Tác giả: Trần Mạnh Sang Trình độ chun mơn: Cử nhân Tốn học Chức vụ: Giáo viên Tốn Nơi cơng tác:Trường THPT chun Lê Hồng Phong Nam Định, tháng name 2014 Trang THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: CÁC PHƯƠNG PHÁP ĐẾM NÂNG CAO Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Dạy Toán cho học sinh lớp chuyên Toán, học sinh đội tuyển thi Duyên hải Đồng Bắc Bộ, học sinh đội tuyển thi HSG quốc gia Thời gian áp dụng sáng kiến: Các năm học từ 2010 - 2011 đến 2013 – 2014 Tác giả: Họ tên: Trần Mạnh Sang Năm sinh: 1987 Nơi thường trú: Phường Ngơ Quyền, thành phố Nam Định Trình độ chun mơn: Cử nhân Tốn học Chức vụ cơng tác: Giáo viên Toán Nơi làm việc: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong Địa liên hệ: Số 19 Máy Tơ, thành phố Nam Định Điện thoại: 097.227.6698 Đơn vị áp dụng sáng kiến: Tên đơn vị: Trường THPT chuyên Lê Hồng Phong Địa chỉ: 76 Vị Xuyên, Nam Định – tỉnh Nam Định Điện thoại: (0350) 364 0297 Trang Trang I Điều kiện hoàn cảnh tạo sáng kiến: Mục tiêu giáo dục đào tạo người lao động tự chủ, động, sáng tạo có lực giải vấn đề thường gặp, góp phần xây dựng đất nước giàu mạnh, xã hội công văn minh, đưa đất nước Việt Nam tiến nhanh đường phát triển hòa nhập với giới đầu kỉ XXI Đứng trước tình hình đó, Bộ Giáo dục Đào tạo, Sở Giáo dục Đào tạo nhà trường đề nhiều biện pháp tích cực Một biện pháp cải tiến chương trình dạy học, cải tiến phương pháp dạy thầy phương pháp học trò, phải có cách mạng thực phương pháp giáo dục, cách thức tổ chức kiểm tra chất lượng học sinh để hưởng ứng vận động Bộ trưởng Bộ GD - ĐT chống tiêu cực thi cử bệnh thành tích giáo dục Đối với mơn Tốn - Bộ mơn then chốt khoa học tự nhiên, khâu quan trọng trình cải tiến chương trình dạy học tiếp nhận giải vấn đề theo nhiều hướng khác nhau, cố gắng tìm đến chất nó, từ có mối liên hệ toán riêng lẻ với Trong chương trình mơn Tốn cấp THPT chun, vấn đề tổ hợp ln lĩnh vực khó khăn với thầy trò Vấn đề xuất nhiều kì thi HSG quốc gia quốc tế (có bài), phần quan trọng việc phát bồi dưỡng học sinh có tư chất thực Một phần thường hay xuất đề thi tốn đếm Bài tốn đếm nói toán cổ xưa nhất: Đếm số súc vật chuồng, đếm số học sinh lớp, đếm số quân đồn qn, Để đếm, có lẽ cho kết quả, nhiên kết có hay khơng? Khi kết có cách đếm khác Ví dụ kết 36 có người đếm 36x1, có người lại 6.6, hai cách hồn tồn khác Có thể thấy toán đếm hay dẫn đến nhầm lẫn tính tốn Để Trang hiểu rõ tốn thuộc dạng này, chúng tơi tìm hiểu đưa phương pháp đếm nâng cao Trước hết giúp học sinh hiểu rõ vấn đề chất với tư suy logic thông qua việc kết hợp tốn với Sau nữa, chúng tơi muốn đưa cách phát biểu khác cho tốn, từ đơn giản, phát biểu theo ngôn ngữ thực tế lại thấy không dễ dàng, từ cho ta cảm giác khó khăn giải toán II Thực trạng (trước tạo sáng kiến) Đã có nhiều tốn, đề thi HSG có xuất tốn đếm: HSG quốc gia (VMO, VNTST), đề thi quốc tế (IMO, IMC) hay kì thi quốc gia (China TST, USA TST, ) Việc giải toán khơng đơn giản (Thường khó đề thi) Một phần khó học sinh Việt Nam việc em tiếp xúc với dạng toán, dẫn đến cảm giác sợ gặp Vì tơi viết sáng kiến này, tổng kết kinh nghiệm, phần giúp em học sinh tháo gỡ khó khăn, nhìn nhận vấn đề đơn giản hơn, bên cạnh mong muốn tài liệu tham khảo giúp đỡ thầy cô phần nhỏ trình giảng dạy III Phương pháp nghiên cứu: Để hồn thành báo cáo tơi lựa chon phương pháp nghiên cứu sau: +) Nghiên cứu loại tài liệu có liên quan đến vấn đề +) Trao đổi với đồng nghiệp để có nhìn nhận vấn đề nhiều góc độ khác nhau, từ tìm giải pháp cho vấn đề nghiên cứu +) Quan sát trình tiếp thu kiến thức học sinh, lắng nghe ý kiến, giải đáp thắc mắc em, để tìm khâu mà em học sinh vướng mắc, từ rút học kinh nghiệm cho thân IV Đối tượng nghiên cứu: Trang Sáng kiến áp dụng cho em học sinh lớp chuyên Toán, em đội dự tuyển, đội tuyển thi HSG quốc gia khu vực từ năm học 2011-2012 đến năm học 2013 – 2014 V Nội dung A KIẾN THỨC MỞ ĐẦU HAI NGUYÊN LÝ CƠ BẢN 1.1 Nguyên lý cộng: Nếu A, B tập hợp khơng giao (chúng khơng có phần tử chung) | A È B = A + B | Ngun lý cộng phát biểu cách khác sau: Nếu cơng việc thực hai phương án loại trừ lẫn nhau: phương án thứ có m cách thực phương án thứ hai có n cách thực Khi cơng việc có m + n cách thực Nguyên lý cộng mở rộng: Nếu tập hợp hữu hạn C hợp n tập đôi rời C1, C2, , Cn thì: |C| = |C1| + | |Cn| 1.2 Định nghĩa: Tích Descartes hai tập hợp A, B ký hiệu AxB tập hợp tất cặp thứ tự (a, b) với a A, b B 1.3 Nguyên lý nhân: Nếu A B hai tập hợp hữu hạn AxB hữu hạn ta có |A x B| = |A|.|B| Định nghĩa tích Descartes nguyên lý nhân mở rộng cho nhiều tập hợp Nguyên lý nhân phát biểu cách khác sau: Nếu q trình thực qua hai công đọan: công đọan I có n cách thực hiện, cơng đọan II (sau thực I) có n2 cách thực Khi có n1.n2 cách thực q trình Các đối tượng tổ hợp số tổ hợp 2.1 Họ tập tập hợp E kí hiệu P(E) = A| A E Mệnh đề: |P(E)| = 2|E| 2.2 Chỉnh hợp n phần tử chọn k (hay chỉnh hợp chập k n phần tử) Trang Giả sử E = a1, a2, , an Chỉnh hợp n phần tử chọn k thứ tự gồm k phần tử (ai1, , aik) Số chỉnh hợp chập k n phần tử ký hiệu Akn Ta có Akn = n(n-1) (n-k+1) = n!/(n-k)! 2.3 Tổ hợp n phần tử chọn k (hay tổ hợp chập k n phần tử) Giả sử E = a1, a2, , an Tổ hợp n phần tử chọn k không thứ tự gồm k phần tử ai1, , aik Nói cách khác, tập gồm k phần tử Số tổ hợp chập k n phần tử ký hiệu Ckn Ta có Ckn = n(n-1) (n-k+1)/k! = n!/k!(n-k)! 2.4 Hốn vị Giả sử E = a1, a2, , an Một hóan vị E cách xếp phần tử E theo thứ tự Nói cách khác, chỉnh chỉnh hợp n phần tử chọn n Số hóan vị n phần tử ký hiệu Pn Ta có Pn = n! 2.5 Chỉnh hợp lặp Giả sử E = a1, a2, , an Chỉnh hợp lặp n phần tử chọn k thứ tự gồm k phần tử (ai1, , aik), cho phép lấy lặp lại Số chỉnh hợp chập k n, theo quy tắc nhân, nk 2.6 Tổ hợp lặp Giả sử E = a1, a2, , an Tổ hợp lặp n phần tử chọn k không thứ tự gồm k phần tử ai1, , aik, cho phép lấy lặp lại Nói cách khác, đa tập hợp gồm k phần tử lấy từ E Số tổ hợp lặp chập k n phần tử ký hiệu Hkn Ta có Hkn = Ckn+k-1 2.7 Hốn vị lặp Xét đa tập hợp E(r1, r2, , rs) có n phần tử, phần tử a1 có r1 phiên bản, phần tử a2 có r2 phiên bản, , phần tử as có rs phiên r1+r2+ +rs = n Một cách xếp phần tử E theo thứ tự gọi hóan vị lặp n phần tử E Trang Số hoán vị lặp đa tập hợp E(r1, r2, , rs) n!/r1! rs! Ck-1n+Ckn = Ckn+1 Bổ đề: (Tính chất hệ số nhị thức): (x+y)n = C0nxn + C1nxn-1y + + Cnnyn Định lý: (Nhị thức Newton): B CÁC PHƯƠNG PHÁP ĐẾM NÂNG CAO SỬ DỤNG NGUYÊN LÝ BÙ TRỪ Nguyên lý: Cho A1 , A2 , , An (n ³ 1) tập hợp hữu hạn khác rỗng thì: n n i =1 i =1 U Ai = å Ai n hay: UA i =1 i å 1£ i1 < i2 £ n n = å (-1) k -1 k =1 Ai Ç Ai + + ( -1) å 1£ i1 < m, ta kí hiệu d1 , d , , d m tương ứng tổng phần tử dòng 1, 2, , m Khi tương ứng có m cột có tổng phần tử cột d1 , d , , d m Số phần tử mảng S = d1 + d + + d m (tính theo hàng) Do n > m nên tổng nhỏ tổng phần tử tính theo cột, điều vô lý Tương tự n < m không xảy Vậy n = m Một số tập áp dụng: Bài (IMO 2001, P3): Trang 63 Cho 21 học sinh nữ 21 học sinh nam tham gia kì thi tốn học Mỗi thí sinh giải nhiều bài, cặp nam nữ giải tốn Chứng minh có tốn giải nam nữ Bài 10 (Canada 2006): Một thi có 2n + đội, biết đội thi đấu với đội khác lần Gọi đội X, Y, Z xích X đấu với Y, Y đấu với Z Z đấu với X Khơng có ràng buộc đội a Xác định giá trị nhỏ số xích b Xác định giá trị lớn số xích Bài 11 (IMO 2005): Trong thi tốn, có câu hỏi cho thí sinh Bất kì hai vấn đề số thí sinh khơng có thí sinh giải Chứng minh có thí sinh giải được giải nhiều Bài 12: Cho m, n số nguyên lớn tập Sm = {1,2, , mn} Giả sử tồn tập T gồm 2n phần tử cho: i Mỗi phần tử T tập gồm m phần tử Sm ii Mỗi cặp hai phần tử T có nhiều phần tử chung iii Mỗi phần tử Sm phần tử chung hai phần tử T Xác định giá trị lớn m n Bài 13 (China 1997): Cho n số nguyên dương lớn A tập gồm n phần tử Kí hiệu A1 ; A2 ; ; Am tập gồm phần tử A Cho điều kiện: m> n ( n - 1)( n - )( n - 3)( 4n - 15 ) 600 Chứng minh tồn số phân biệt i1 ; i2 ; ; i6 cho hợp tập Ai ; Ai ; ; Ai có sáu phần tử Trang 64 VI Hiệu sáng kiến mang lại Hiệu kinh tế (Giá trị làm lợi tính thành tiền): Sáng kiến tài liệu quý em học sinh thầy cô trình học tập nghiện cứu tốn đếm Để tổng hợp sáng kiến trên, tác giả phải tìm hiểu nghiên cứu nhiều sách, với nhiều thời gian Hiệu mặt xã hội (Giá trị làm lợi khơng tính thành tiền): a Từ toán đếm sử dụng ánh xạ, từ toán cũ, sáng tạo để tốn với cách phát biểu thực tế hơn, dễ hiểu b Góp phần giảm bớt gánh nặng học tập cho em học sinh, cung cấp cho học sinh tài liệu học tập có hiệu quả, giúp em có tâm tốt trước kì thi HSG c Qua kiểm tra tự luận trả lời vấn đáp sau cung cấp cho học sinh nội dung sáng kiến, kết thu bước đầu sau: Những tốn đầu em chưa xác định ánh xạ, cách xây dựng chứng minh song ánh, đơn ánh, toàn ánh Đến sau em rõ ràng thao tác nhanh VI Đề xuất, kiến nghị Để hoàn thành sáng kiến này, tác giả nhận quan tâm giúp đỡ Sở Giáo dục – Đào tạo Nam Định, Ban giám hiệu trường THPT chuyên Lê Hồng Phong đồng nghiệp tổ Toán – Tin trường THPT chuyên Lê Hồng Phong Bản báo cáo sáng kiến kinh nghiệm chuẩn bị chu đáo, song khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tác giả xin chân thành cảm ơn đóng góp quý báu thầy cô giáo để sáng kiến hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! Nam Định, ngày 25 tháng năm 2014 Trang 65 Đánh giá, xếp loại quan, đơn vị Tác giả sáng kiến Trần Mạnh Sang CƠ QUAN ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN (xác nhận, đánh giá, xếp loại) SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO (xác nhận, đánh giá, xếp loại) Trang 66 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Titu Andresscu, Zuming Feng, A path to combinatorics for undergranduates, Birkhauser, 2007 [2] Titu Andresscu, Zuming Feng, 102 combinatorial Problems from the Training of the USA IMO Tearm, Birkhauser, 2002 [3] Titu Andresscu, Zuming Feng, Mathematical Olympiads Ptoblems and Solution from around the World, to 1995 from 2002 [4] Arthur Engel, Problem – Solving Strategies, Springer, 1999 [5] Probabilistic Methods in Combinatorics [6] Yufei Zhao, Counting in Two Ways, Incidence Matrices, June 26, 2007 [7] Reid Barton, Counting in two ways, June 28, 2005 [8] Lorszlus Lovorsz, Combinatorial problems and exercises [9] www.mathlinks.ro [10] Tạp chí Tốn học tuổi trẻ Trang 67