Đang tải... (xem toàn văn)
CHNG 1 : TÍN HIEU VÀ HE THÔNG RI RC .......................................................... 4 1.1 M dâu .............................................................................................................................. 4 1.1.1 Phân loi tín hieu........................................................................................................ 4 1.1.2 X lý tín hieu sô (DSP Digital Signal Processing) ................................................... 7 1.2 Tín hieu ri rc.................................................................................................................. 7 1.2.1 Bieu dien tín hieu ri rc............................................................................................ 7 1.2.2 Các tín hieu ri rc..................................................................................................... 9 1.2.3 Các phép toán v i tín hieu ri rc ............................................................................ 13 1.3 Hê thông tuyên tính bât biên ........................................................................................... 18 1.3.1 He thông tuyên tính.................................................................................................. 19 1.3.2 He thông tuyên tính bât biên.................................................................................... 21 1.3.3 He thông tuyên tính bât biên và nhân qu................................................................ 26 1.3.4 He thông tuyên tính bât biên nhân qu on dnh ....................................................... 29 1.4 Phương trình sai phân tuyên tính he sô hang .................................................................. 31 1.4.1 Phương trình sai phân tuyên tính ............................................................................. 31 1.4.2 Phương trình sai phân tuyên tính he sô hang ........................................................... 32 1.4.3 He thông sô de quy(trong lôi ra có các lôi ra).......................................................... 35 1.4.4 He thông sô không de quy........................................................................................ 35 1.4.5 Các phân t thc hien he thông bât biên.................................................................. 36 1.5 Tương quan chéo ca các tín hieu................................................................................... 38 1.5.1 Tương quan chéo...................................................................................................... 38 1.5.2 Hàm t tương quan .................................................................................................. 39 CHNG 2: BIEU DIEN HE THÔNG VÀ TÍN HIEU RI RC.................................... 40 TRONG MIÊN Z..................................................................................................................... 42 2.1 M dâu ............................................................................................................................ 42 2.2 Biên doi Z (ZT) ............................................................................................................... 42 2.2.1 Dnh nghia................................................................................................................ 42 2.2.2 S tôn ti ca biên doi z........................................................................................... 43 2.2.3 Mot vài biên doi Z thông dng................................................................................. 48 2.3 Biên doi Z ngưc............................................................................................................. 48 2.3.1 Tính trc tiêp tích phân bang lý thuyêt thang dư ..................................................... 48 2.3.2 Phương pháp khai trien thành chuoi luy th a .......................................................... 50 2.3.3 Phương pháp khai trien thành tong ca các phân th c tôi gin................................ 51 2 2.4 Các tính chât ca biên doi Z............................................................................................ 53 2.4.1 Tính chât tuyên tính ................................................................................................. 54 2.4.2 Tính chât tre ............................................................................................................. 54 2.4.3 Tính chât nhân v i hàm mu an ................................................................................. 55 2.4.4 Do hàm ca biên doi Z ( tính do hàm ca n.x(n) ) ............................................... 56 2.4.5 Tích chap ca hai dãy............................................................................................... 56 2.4.6 Tương quan ca hai tín hieu..................................................................................... 58 2.4.7 Dãy liên hp ph c .................................................................................................... 59 2.4.8 Dnh lý giá tr ban dâu.............................................................................................. 59 2.4.9 Tích ca hai dãy ....................................................................................................... 60 2.5 Bieu dien he thông ri rc trong miên Z ......................................................................... 60 2.5.1 Hàm truyên dt ca he thông ri rc ........................................................................ 60 2.5.2 Hàm truyên dt ca mot he thông tuyên tính bât biên dưc dac trưng bi phương trình sai phân tuyên tính he sô hang.................................................................................. 60 2.5.3 Các phân t thc hien he thông tuyên tính bât biên................................................. 61 2.5.4 Phân tích he thông trong miên Z.............................................................................. 63 2.5.5 Gii phương trình sai phân tuyên tính he sô hang nh biên doi Z........................... 64 2.6 Do on dnh ca he thông ................................................................................................. 66 2.6.1 S on dnh ca mot he thông tuyên tính bât biên..................................................... 66 2.6.2 S on dnh ca mot he thông tuyên tính bât biên và nhân qu ................................ 66 2.6.3 Tiêu chuan on dnh Jury........................................................................................... 67 CHNG 3: BIEU DIEN HE THÔNG VÀ TÍN HIEU RI RC.................................... 70 TRONG MIÊN TÂN SÔ LIÊN TC..................................................................................... 72 3.1 Biên doi Fourier ca các tín hieu ri rc ......................................................................... 72 3.1.1 Dnh nghia biên doi Fourier (Fourier Transform )................................................... 72 3.1.2 S tôn ti ca biên doi Fourier................................................................................. 74 3.1.3 Biên doi Fourier ngưc (Inverse Fourier Transform) .............................................. 75 3.2 Các tính chât ca biên doi Fourier .................................................................................. 77 3.2.1 Tính chât tuyên tính ................................................................................................. 77 3.2.2 Tính chât tre ............................................................................................................. 78 3.2.3 Tính chât tre tân sô................................................................................................... 79 3.2.4 Tích chap ca hai dãy............................................................................................... 80 3.2.5 Tính chât dôi x ng ................................................................................................... 81 3.2.6 Tương quan gia hai tín hieu ................................................................................... 81 3 3.2.7 Quan he Parseval...................................................................................................... 81 3.2.8 Tích ca hai dãy ....................................................................................................... 82 3.2.9 Vi phân trong miên tân sô ........................................................................................ 83 3.2.10 Tính chât do biên sô ............................................................................................. 83 3.3 So sánh biên doi Fourier và biên doi Z ........................................................................... 84 3.3.1 Quan he gia biên doi Fourier và biên doi Z ........................................................... 84 3.3.2 Dánh giá hình h%c X(ejw) trên mat phang Z............................................................. 85 3.4 Bieu dien he thông ri rc trong miên tân sô liên tc ..................................................... 86 3.4.1 Dáp ng tân sô ......................................................................................................... 86 3.4.2 Các bo l%c sô lý tưng.............................................................................................. 87 3.5 Lây mau tín hieu.............................................................................................................. 91 3.5.1 Dnh lý lây mau........................................................................................................ 91 3.5.2 Tân sô Nyquist ......................................................................................................... 93 CHNG 4: BIEU DIEN TÍN HIEU VÀ HE THÔNG RI RC.................................... 94 TRONG MIÊN TÂN SÔ RI RC....................................................................................... 95 4.1 M dâu ............................................................................................................................ 95 4.2 Biên doi Fourier ri rc dôi v i các tín hieu tuân hoàn có chu ky N.............................. 95 4.2.1 Các dnh nghia ......................................................................................................... 95 4.2.2 Các tính chât ca biên doi Fourier ri rc dôi v i các dãy tuân hoàn...................... 97 có chu ky N ....................................................................................................................... 97 4.3 Biên doi Fourier ri rc dôi v i các dãy không tuân hoàn có chiêu dài.......................... 99 hu hn.................................................................................................................................. 99 4.3.1 Các dnh nghia ......................................................................................................... 99 4.3.2 Các tính chât ca biên doi Fourier ri rc dôi v i các dãy có chiêu ...................... 100 dài hu hn...................................................................................................................... 100 4.3.3 Khôi phc biên doi Z và biên doi Fourier t DFT ................................................. 102 4.4 Biên doi nhanh Fourier ri rc (FFT)............................................................................ 103 4.4.1 M dâu ................................................................................................................... 103 4.4.2 Thuat toán FFT cơ sô 2 phân chia theo thi gian................................................... 106 4.4.3 Thuat toán FFT cơ sô 2 phân chia theo tân sô ....................................................... 110 4.4.4 Tình FFT ngưc ..................................................................................................... 111 4 CHNG 1 : TÍN HIEU VÀ HE THÔNG RI RC 1.1 M dâu 1.1.1 Phân loi tín hieu 1.1.1.1 Dnh nghia tín hieu Tín hieu là bieu dien vat lý ca thông tin hay là mot bieu hien ca tin t c. Ví d: Các tín hieu nhìn thây là các sóng ánh sáng mang thông tin t i mat chúng ta. Các tín hieu nghe thây là các s biên doi ca áp suât không khí truyên thông tin t i tai chúng ta. 1.1.1.2 Bieu dien toán hc ca tín hieu Vê mat toán h%c, tín hieu dưc bieu dien bi hàm ca mot hoac nhiêu biên sô doc lap. Ví d : Ta có tín hieu microphone Sa(t) dưc bieu dien trên hình 1.1 Hình 1.1 Dô th bieu dien tín hieu microphone Sa(t) T hình 1.1 ta thây Sa(t) là hàm mot biên sô, biên sô này là thi gian t. Vì là hàm ca mot biên nên ta còn g%i là tín hieu mot chiêu. Sa(t) 0 n t 5 1.1.1.3 Phân loi tín hieu Chúng ta chia tín hieu ra làm hai nhóm l n: Tín hieu liên tc và tín hieu ri rc. 1.1.1.3.1 Dnh nghia tín hieu liên tc Nêu biên doc lap ca s biên doi toán h%c ca mot tín hieu là liên tc, thì tín hieu dó dưc g%i là tín hieu liên tc. Như vay theo dnh nghia tín hieu liên tc, thì t liên tc dây dưc hieu là liên tc theo biên sô. Nêu da vào hàm sô, chúng ta có the phân loi tín hieu liên tc ra làm hai loi: Tín hieu tương t Tín hieu lưng t hóa. ) Tín hieu dưc g%i là tín hieu tương t nêu hàm ca tín hieu liên tc là liên tc. ) Tín hieu dưc g%i là tín hieu lưng t hóa nêu hàm ca tín hieu liên tc là ri rc. Moi m c lưng t dưc ch dnh mot giá tr sô 8 bit, kêt hp 8 bit có 256 m c hay giá tr. Qui ư c bit dâu tiên dùng de dánh dâu giá tr âm hoac dương cho mau. By bít còn li bieu dien cho do l n; bit dâu tiên ch na trên hay na dư i ca dãy, bit th hai ch phân tư trên hay dư i, bit th 3 ch phân tám trên hay dư i và c thê. Ví d: Chúng ta có hai tín hieu liên tc có biên sô là thi gian t dưc bieu dien trên hình 1.2a là tín hieu tương t và hình 1.2b là tín hieu lưng t hóa. (a) (b) Hình 1.2 Dô th bieu dien tín hieu tương t và tín hieu lưng
MỤC LỤC CHƯƠNG : TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC 1.1 Mở đầu 1.1.1 Phân loại tín hiệu 1.1.2 Xử lý tín hiệu số (DSP- Digital Signal Processing) 1.2 Tín hiệu rời rạc 1.2.1 Biểu diễn tín hiệu rời rạc 1.2.2 Các tín hiệu rời rạc 1.2.3 Các phép toán với tín hiệu rời rạc 13 1.3 Hê thống tuyến tính bất biến 18 1.3.1 Hệ thống tuyến tính 19 1.3.2 Hệ thống tuyến tính bất biến 21 1.3.3 Hệ thống tuyến tính bất biến nhân 26 1.3.4 Hệ thống tuyến tính bất biến nhân ổn định 29 1.4 Phương trình sai phân tuyến tính hệ số 31 1.4.1 Phương trình sai phân tuyến tính 31 1.4.2 Phương trình sai phân tuyến tính hệ số 32 1.4.3 Hệ thống số đệ quy(trong lối có lối ra) 35 1.4.4 Hệ thống số không đệ quy 35 1.4.5 Các phần tử thực hệ thống bất biến 36 1.5 Tương quan chéo tín hiệu 38 1.5.1 Tương quan chéo 38 1.5.2 Hàm tự tương quan 39 CHƯƠNG 2: BIỂU DIỄN HỆ THỐNG VÀ TÍN HIỆU RỜI RẠC 40 TRONG MIỀN Z 42 2.1 Mở đầu 42 2.2 Biến đổi Z (ZT) 42 2.2.1 Định nghĩa 42 2.2.2 Sự tồn biến đổi z 43 2.2.3 Một vài biến đổi Z thông dụng 48 2.3 Biến đổi Z ngược 48 2.3.1 Tính trực tiếp tích phân lý thuyết thặng dư 48 2.3.2 Phương pháp khai triển thành chuỗi lũy thừa 50 2.3.3 Phương pháp khai triển thành tổng phân thức tối giản 51 2.4 Các tính chất biến đổi Z 53 2.4.1 Tính chất tuyến tính 54 2.4.2 Tính chất trễ 54 2.4.3 Tính chất nhân với hàm mũ an 55 2.4.4 Đạo hàm biến đổi Z ( tính đạo hàm n.x(n) ) 56 2.4.5 Tích chập hai dãy 56 2.4.6 Tương quan hai tín hiệu 58 2.4.7 Dãy liên hợp phức 59 2.4.8 Định lý giá trị ban đầu 59 2.4.9 Tích hai dãy 60 2.5 Biểu diễn hệ thống rời rạc miền Z 60 2.5.1 Hàm truyền đạt hệ thống rời rạc 60 2.5.2 Hàm truyền đạt hệ thống tuyến tính bất biến đặc trưng phương trình sai phân tuyến tính hệ số 60 2.5.3 Các phần tử thực hệ thống tuyến tính bất biến 61 2.5.4 Phân tích hệ thống miền Z 63 2.5.5 Giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số nhờ biến đổi Z 64 2.6 Độ ổn định hệ thống 66 2.6.1 Sự ổn định hệ thống tuyến tính bất biến 66 2.6.2 Sự ổn định hệ thống tuyến tính bất biến nhân 66 2.6.3 Tiêu chuẩn ổn định Jury 67 CHƯƠNG 3: BIỂU DIỄN HỆ THỐNG VÀ TÍN HIỆU RỜI RẠC 70 TRONG MIỀN TẦN SỐ LIÊN TỤC 72 3.1 Biến đổi Fourier tín hiệu rời rạc 72 3.1.1 Định nghĩa biến đổi Fourier (Fourier Transform ) 72 3.1.2 Sự tồn biến đổi Fourier 74 3.1.3 Biến đổi Fourier ngược (Inverse Fourier Transform) 75 3.2 Các tính chất biến đổi Fourier 77 3.2.1 Tính chất tuyến tính 77 3.2.2 Tính chất trễ 78 3.2.3 Tính chất trễ tần số 79 3.2.4 Tích chập hai dãy 80 3.2.5 Tính chất đối xứng 81 3.2.6 Tương quan hai tín hiệu 81 3.2.7 Quan hệ Parseval 81 3.2.8 Tích hai dãy 82 3.2.9 Vi phân miền tần số 83 3.2.10 Tính chất đảo biến số 83 3.3 So sánh biến đổi Fourier biến đổi Z 84 3.3.1 Quan hệ biến đổi Fourier biến đổi Z 84 3.3.2 Đánh giá hình học X(ejw) mặt phẳng Z 85 3.4 Biểu diễn hệ thống rời rạc miền tần số liên tục 86 3.4.1 Đáp ứng tần số 86 3.4.2 Các lọc số lý tưởng 87 3.5 Lấy mẫu tín hiệu 91 3.5.1 Định lý lấy mẫu 91 3.5.2 Tần số Nyquist 93 CHƯƠNG 4: BIỂU DIỄN TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC 94 TRONG MIỀN TẦN SỐ RỜI RẠC 95 4.1 Mở đầu 95 4.2 Biến đổi Fourier rời rạc tín hiệu tuần hồn có chu kỳ N 95 4.2.1 Các định nghĩa 95 4.2.2 Các tính chất biến đổi Fourier rời rạc dãy tuần hồn 97 có chu kỳ N 97 4.3 Biến đổi Fourier rời rạc dãy khơng tuần hồn có chiều dài 99 hữu hạn 99 4.3.1 Các định nghĩa 99 4.3.2 Các tính chất biến đổi Fourier rời rạc dãy có chiều 100 dài hữu hạn 100 4.3.3 Khôi phục biến đổi Z biến đổi Fourier từ DFT 102 4.4 Biến đổi nhanh Fourier rời rạc (FFT) 103 4.4.1 Mở đầu 103 4.4.2 Thuật toán FFT số phân chia theo thời gian 106 4.4.3 Thuật toán FFT số phân chia theo tần số 110 4.4.4 Tình FFT ngược 111 CHƯƠNG : TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG RỜI RẠC 1.1 Mở đầu 1.1.1 Phân loại tín hiệu 1.1.1.1 Định nghĩa tín hiệu Tín hiệu biểu diễn vật lý thơng tin biểu tin tức Ví dụ: - Các tín hiệu nhìn thấy sóng ánh sáng mang thông tin tới mắt - Các tín hiệu nghe thấy biến đổi áp suất khơng khí truyền thơng tin tới tai 1.1.1.2 Biểu diễn tốn học tín hiệu Về mặt tốn học, tín hiệu biểu diễn hàm nhiều biến số độc lập Ví dụ : Ta có tín hiệu microphone Sa(t) biểu diễn hình 1.1 Sa(t) t n Hình 1.1 Đồ thị biểu diễn tín hiệu microphone Sa(t) Từ hình 1.1 ta thấy Sa(t) hàm biến số, biến số thời gian t Vì hàm biến nên ta gọi tín hiệu chiều 1.1.1.3 Phân loại tín hiệu Chúng ta chia tín hiệu làm hai nhóm lớn: Tín hiệu liên tục tín hiệu rời rạc 1.1.1.3.1 Định nghĩa tín hiệu liên tục Nếu biến độc lập biến đổi tốn học tín hiệu liên tục, tín hiệu gọi tín hiệu liên tục Như theo định nghĩa tín hiệu liên tục, từ liên tục hiểu liên tục theo biến số Nếu dựa vào hàm số, phân loại tín hiệu liên tục làm hai loại: - Tín hiệu tương tự - Tín hiệu lượng tử hóa *) Tín hiệu gọi tín hiệu tương tự hàm tín hiệu liên tục liên tục *) Tín hiệu gọi tín hiệu lượng tử hóa hàm tín hiệu liên tục rời rạc Mỗi mức lượng tử định giá trị số bit, kết hợp bit có 256 mức hay giá trị Qui ước bit dùng để đánh dấu giá trị âm dương cho mẫu Bảy bít lại biểu diễn cho độ lớn; bit nửa hay nửa dãy, bit thứ hai phần tư hay dưới, bit thứ phần tám hay Ví dụ: Chúng ta có hai tín hiệu liên tục có biến số thời gian t biểu diễn hình 1.2a tín hiệu tương tự hình 1.2b tín hiệu lượng tử hóa xa(t) xa(t) 69 59 49 39 29 19 t t (a) (b) Hình 1.2 Đồ thị biểu diễn tín hiệu tương tự tín hiệu lượng tử hóa 1.1.1.3.2 Định nghĩa tín hiệu rời rạc Nếu tín hiệu biểu diễn hàm biến rời rạc, tín hiệu gọi tín hiệu rời rạc Theo định nghĩa từ rời rạc hiểu rời rạc theo biến số Nếu dựa vào biên độ, phân loại tín hiệu rời rạc làm hai loại : - Tín hiệu lấy mẫu - Tín hiệu số Tín hiệu gọi tín hiệu lấy mẫu hàm tín hiệu rời rạc liên tục (khơng lượng tử hóa) Tín hiệu gọi tín hiệu số hàm tín hiệu rời rạc rời rạc Như tín hiệu số gọi tín hiệu rời rạc hóa biến số biên độ Còn tín hiệu tương tự tín hiệu liên tục biến số biên độ Ví dụ : Chúng ta có hai tín hiệu rời rạc có biến số thời gian t biểu diễn hình 1.3, thời gian t rời rạc hóa với chu kỳ Ts Hình 1.3 (a) tín hiệu lấy mẫu (b) tín hiệu số xd(n.Ts) xs(n.Ts) n.Ts n.Ts (a) (b) Hình 1.3 Đồ thị biểu diễn tín hiệu lấy mẫu tín hiệu số 1.1.2 Xử lý tín hiệu số (DSP- Digital Signal Processing) Ta có sơ đồ tổng quát hệ thống xử lý tín hiệu (theo hình 1.4): Xa(t) Đưa qua LPF S&H ADC Xd(t) Yd(t) LPF Ya(t) DAC DSP Hình 1.4 Sơ đồ tổng quát hệ thống xử lý tín hiệu Trong đó: - LPF: Low Pass Fillter (Bộ lọc thơng thấp) - S&H: Sample And Hold (lấy giữ mẫu) - ADC: Analog Digital Converter (Bộ chuyển đổi tín hiệu tương tự - số) - DAC: Digital Analog Converter (Bộ chuyển đổi tín hiệu sơ – tương tự) * Nhận xét: - Tín hiệu tương tự đầu vào chuyển sang dạng số nhờ hệ biến đổi tương tự - số ADC - Tín hiệu tương tự đầu thiết lập lại nhờ hệ biến đổi số - tương tự DAC Như vậy, tín hiệu biến đổi ADC tín hiệu số Xd(n), tín hiệu hệ thống xử lý tín hiệu số DSP, DSP làm nhiệm vụ xử lý tín hiệu số Xd(n) đưa tín hiệu số Yd(n) 1.2 Tín hiệu rời rạc 1.2.1 Biểu diễn tín hiệu rời rạc Tín hiệu rời rạc có hai loại : - Tín hiệu lấy mẫu, ký hiệu xs(nTs) - Tín hiệu số, ký hiệu xs(nTs) Ký hiệu chung : x(nTs) x(n) x(n) Có ba cách biểu diễn tín hiệu rời rạc hay dùng : - Biểu diễn biểu thức toán học - Biểu diễn đồ thị - Biểu diễn liệt kê phần tử 1.2.1.1 Biểu diễn toán học Biểu diễn toán học với N1 ≤ n ≤ N2 với n < x(n) = Với: n, N1, N2 nguyên (còn giá trị khơng ngun, ta khơng xét) Ví dụ: Hãy cho cách biểu diễn tốn học tín hiệu rời rạc với ≤ n ≤ x(n) = với n lại Ở N1 = 0, N2 = Biểu thức toán học 1.2.1.2 Biểu diễn đồ thị Để tiện minh họa cách trực quan, nhiều trường hợp dùng đồ thị để biểu diễn tín hiệu Ví dụ: Hãy vẽ đồ thị tín hiệu rời rạc ví dụ với ≤ n ≤ x(n) = x(n) với n lại n -1 Hình 1.5 Biểu diễn tín hiệu đồ thị 1.2.1.3 Biểu diễn dãy số Chúng ta biểu diễn cách liệt kê giá trị x(n) thành dãy số sau : x(n)={…, x(n-1), x(n), x(n-1), …} n Để giá trị x(n) vị trí thứ n, ta dùng kí hiệu n , dùng biểu diễn ta khơng x(n) Ví dụ: Biểu diễn dãy sau cách liệt kê phần tử với ≤ n ≤ với n lại x(n) = Giải : x(n) = {…, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0,…} 0 : ngụ ý x0 = 1.2.2 Các tín hiệu rời rạc 1.2.2.1 Dãy xung đơn vị Kí hiệu: δ(n) (n số nguyên ) Trong miền n, dãy xung đơn vị định nghĩa sau : 1 δ (n) = 0 Khi n = Khi n ≠ Ví dụ : Biểu diễn δ(n) δ(n-5) đồ thị Giải : - Với δ(n): - Với δ(n-5): n -2 -1 Hình 1.6 Biểu diễn δ(n) δ(n-5) đồ thị Mở rộng có dãy xung đơn vị δ(n - k) , với k số nguyên dương âm : 1 Khi n = k Khi n ≠ k δ (n − k ) = Trên hình 1.6 đồ thị dãy xung đơn vị δ(n - 5) 1.2.2.2 Dãy nhảy đơn vị Dãy nhảy đơn vị định nghĩa sau miền n : 1 u (n) = 0 Khi n ≥ Khi n < Đồ thị dãy u(n) có dạng hình vẽ sau : u(n) n -1 ∞ Hình 1.7 biểu diễn u(n) đồ thị Tổng quát, ta có: 1 u (n − k ) = 0 Khi n ≥ k Khi n < k 1 u (n + k ) = 0 Khi n ≥ − k Khi n < k 10 +Với n = 1 Ta có: ⇒ ~ x (5) = ~ x2 (5) + ~ x ( 4) + ~ x2 (3) + ~ x ( 2) = + + + = 2 9 1 Vậy ~x (n) = 1, , , , , ( Xét chu kỳ) → 0 4 4 4.2.2.5 Tích hai dãy ~ ~ ~ Giả sử có: x3 (n) = x (n) x (n) , dãy tuần hồn với chu kỳ N Khi ta có: ~ X (k ) = N N −1 ~ ∑X ~ (m) X (k − m) m =0 4.2.2.6 Tương quan tuần hoàn ~ ~ Nếu có hai dãy tuần hồn x1 (n) x (n) có chu kỳ N, hàm tương quan chéo hai dãy tính tốn chu kỳ: ~ N −1 ~ ~ r12 = ∑ x (m) x (m − n) m =0 ~ N −1 ~ N −1 ~ m =0 n =0 ⇔ R12 = ∑ x1 (m).∑ x (m − n).e −j 2π kn N 4.3 Biến đổi Fourier rời rạc dãy khơng tuần hồn có chiều dài hữu hạn 4.3.1 Các định nghĩa Cặp biến đổi Fourier rời rạc (DFT) dãy khơng tuần hồn có chiều dài hữu hạn định nghĩa sau: Biến đổi Fourier thuận: DFT[x(n)] = X (k ) = N −1 ∑ x ( n).e n=0 k≠ 99 − j 2π kn N ≤ k ≤ N −1 Biến đổi Fourier ngược: 2π N − X ( k ).e − j N kn IDFT[X(k)] = x(n) = N ∑ k=0 n≠ n ≤ n ≤ N −1 n≠ Ví dụ: Cho x(n) = ≤ n ≤ N −1 , tìm DFT[x(n)] Giải: Ta có: DFT[x(n)] = X(k) = N −1 ∑ 2ne −j 2π kn N N −1 = ∑ (2.e n=0 −j 2π k N )n = − (2.e n=0 −j − 2.e 2π k N −j )N 2π k N 4.3.2 Các tính chất biến đổi Fourier rời rạc dãy có chiều dài hữu hạn 4.3.2.1 Tính tuyến tính Giả sử ta có hai dãy x1(n) x2(n) có chiều dài N1 N2 x(n) =a.x1(n) + b.x2(n), ta có: X(k) = N −1 ∑ x(n).e −j 2π kn N (với N = max(N1, N2)) n=0 4.3.2.2 Trễ vòng Giả sử ta có: x1(n) = x(n – n0) DFT[x(n)] = X(k)N, N chiều dài x(n) Thì: DFT[x1(n)] = e −j 2π kn N X(k)N Nếu IDFT[X(k)N] = x(n)N DFT[X(k – k0)] = e 1− n 0≤n≤4 n≠ Ví dụ: Cho x(n) = −j 2π kk0 N x ( n) N , tính DFT[x(n - 3)4] = ? Giải: Trước tiên ta tính DFT(x(n))4, sau tính DFT[x(n-3)4] Ta có: X(k)4 = DFT[x(n)4] = N −1 ∑ x(n).e −j 2π kn N n=0 X(0)4 = n 1 ∑ (1 − ) = + + + = n=0 100 X(1)4 = X(2)4 = π 3 n ∑ (1 − ).e − jπn = n=0 X(3)4 = 3π π n −j n −j 1 −j 1 (1 − ).e = + e + e − jπ + e = − j ∑ 4 2 n=0 3π n −j n 1 (1 − ).e = + j ∑ 2 n=0 Áp dụng tính chất trễ ta có: π − j 3k X1(k) = DFT[x(n-3)4] = e ⇒ X1(0) = X(0)4 = π X1(1) = e −j X(k)4 2 X1(2) = e − j 3π X(2)4 = -1( ) = − X1(3) = e −j 9π 2 X(1)4 = j( − j ) = + j 2 2 X(3)4 = -j( + j ) = 1 −j 2 4.3.2.4 Tích chập vòng Tích chập vòng hai dãy khơng tuần hồn x1(n)N x2(n)N có chiều dài hữu hạn N dãy khơng tuần hồn có chiều dài N x(n)N cho quan hệ sau: x(n)N = N −1 ∑ x ( m) N x (n − m) N = x1 (n) N (*) N x (n) N m =0 (*)N tích chập vòng chiều dài N Ngược lại: Nếu x(n)N = x1(n)N (*)N x2(n)N thì: X(k)N = X1(k)N.X2(k)N 4.3.2.5 Quan hệ Parseval Giả sử ta có tín hiệu x(n)N, thì: N −1 ∑ n=0 x ( n) N N −1 N −1 1 = ∑ x ( n ) N x * ( n) N = ∑ x ( n ) N n =0 n =0 N 101 N −1 ∑ X * (− k ) N e k =0 −i 2π kn N = = N −1 N −1 N k =0 n =0 ∑ N X (−k ) = k =0 N −j 2π kn N = n =0 N −1 N ⇒ ∑ x ( n) = N −1 ∑ X * (k ) N ∑ x(n) N e N −1 ∑ X (k ) N −1 ∑ X (k ) N N −1 ∑X * ( k ) N X (− k ) N k =0 k =0 k =0 Như vậy: Năng lượng tín hiệu trung bình cộng bình phương biến đổi Fourier rời rạc 4.3.3 Khôi phục biến đổi Z biến đổi Fourier từ DFT 4.3.3.1 Khơi phục biến đổi Z Giả sử ta có dãy x(n)N có chiều dài hữu hạn N Ta có: X(z) = ∞ ∑ x ( n) N z −n n = −∞ Mà: x(n)N = IDFT[X(k)N] = N ⇒ X ( z) = ∑ [ n = −∞ N ∞ N −1 ∑ X (k ) N e j N −1 ∑ X (k ) N e j 2π kn N ( ≤ n ≤ N −1) k =0 2π kn N ].z −n k =0 = N N −1 N −1 ∑ X (k ) ∑ (e j 2π k N N k =0 z −1 ) n n =0 N j 2π k − e N z −1 N −1 = = ∑ X ( k ) N 2π N k =0 N j k − e N z −1 Vậy: X(z) = − z −N N N −1 ∑ X (k ) N k =0 X (k ) N j 2π k k =0 − e N z −1 N −1 ∑ − z −N j 2π k − e N z −1 (4.4) *) Nhận xét: Ta nhận thấy N giá trị X(k)N mẫu X(z) đánh giá vòng tròn đơn vị điểm rời rạc điểm z = e −j 2π k N N −1 : X ( z) z=e 2π −j k N 2π k Như ta lấy mẫu X(z) N = ∑ x(n) N e −j 2π kn N = X (k ) N n =0 Vậy (4.4) cơng thức biến đổi Z từ N mẫu X(z) vòng tròn đơn vị 102 4.3.3.2 Khơi phục biến đổi Fourier Ta có: X(ejw) = X(z) wN N sin = Vậy: X(e ) = N jw z=e jw = − e − jwn N X (k ) N N −1 ∑ k =0 1− e − j ( w X (k ) N e ∑ w π k =0 sin − k 2 N N −1 sin N −1 ∑ X (k ) N k =0 wN w π sin − k 2 N e j( 2π k − w) N N −1 π + k) N − j ( w N −1 π + k) N (4.5) Biểu thức (4.5) quan hệ cho phép tìm biến đổi Fourier cách nội suy từ giá trị X(k)N 4.4 Biến đổi nhanh Fourier rời rạc (FFT) 4.4.1 Mở đầu Mục đích biến đổi Fourier nhanh để tăng khả tính tốn phép DFT Để phát triển thuật tốn tính DFT với hiệu tính tốn cao, người ta thường chia nhỏ liên tiếp phức tạp DFT N điểm (N độ dài dãy số biểu diễn tín hiệu) thành DFT cấp nhỏ đưa loạt thuật tốn tính có hiệu gọi thuật toán biến đổi Fourier nhanh (FFT – Fast Fourier Transform) Giả sử ta có: N = L.M (L, M số nguyên) Nếu N số ngun tố, ta thêm số mẫu dãy có giá trị khơng để đảm bảo N ln phân tích thành tích hai số ngun Dãy x(n) lưu mảng hai chiều theo cách khác tùy theo việc ánh xạ số n cho chỏ số (l, m) l số hàng ≤ l ≤ L − m số cột ≤ m ≤ M − Giả thiết ta chọn ánh xạ: N = Ml + m (4.6) 103 Điều dẫn đến xếp, hàng chứa M phần tử dãy x(n), hàng thứ hai chứa M phần tử dãy x(n), vậy, minh họa sau (hình 4.1): M L … M-1 X(0) X(1) X(2) … X(M-1) X(M) X(M+1) X(M+2) … X(2M-1) X(2M) X(2M+1) X(2M+2) … X(3M-1) L-1 X((L-1)M) X((L-1)M+1) X((L-1)M+2) … X(LM-1) Hình 4.1 Bảng xếp giá trị phổ rời rạc tín hiệu theo mảng chiều Một xếp tương tự sử dụng để lưu gía trị DFT tính tốn Trong thực tế, việc ánh xạ thực từ số k thành hai số (p, q), ≤ p ≤ L − ; ≤ q ≤ M − Nếu lựa chọn cách ánh xạ: k = Mp+q DFT lưu theo kiểu hàng, hàng chứa M phần tử biến đổi X(k), hàng thứ hai chứa M phần tử tiếp sau, Mặt khác, dùng ánh xạ: k = qL + P DFT lưu theo kiểu cột, L phần tử chứa cột đầu tiên, L phần tử chứa cột Cách xếp sở hình thành biến đổi FFT từ biến đổi DFT Căn vào cách xếp trên, ta giả sử x(n) ánh xạ vào mảng chữ nhật x(l, m) X(k) ánh xạ vào ma trận chữ nhật tương ứng X(p, q) Khi DFT biểu diễn tổng kép phần tử mảng chữ nhật nhân với hệ số pha (chính hệ số WN = e −j 2π N ) tương ứng Khi ta có: M−1 L−1 X( p, q) = ∑∑x(l, m) W kn N m=0 l=0 M−1 L−1 = ∑∑x(l, m) WN m=0 l=0 104 ( Mp+q)(mL+l ) (4.7) ( Mp+q)(mL+l) WN Mà: Với: WN MLmp WN mqL = WN = WN = WN mq Nmp MLmp =e = WM mLq Mpl lq WN WN WN −j mq 2π N m p N , WN = e − j 2π m p = M p l =WN L pl = WL pl M l =0 L −1 M −1 m =0 Do đó: (4.7) ⇔ X ( p, q ) = ∑ WN lq ∑ x(l , m ).WM mq .WL lp (4.8) Biểu thức (4.7) liên quan đến việc tính tốn DFT có chiều dài M L Q trình tính tốn bao gồm ba bước sau: Bước 1: Chúng ta tính L DFT M điểm: F (l , q ) = M −1 ∑ x(l , m ).W mq M ≤ q ≤ M −1 (4.8) m =0 Với hàng l = 0, 1, 2,…, L – Bước 2: Ta tính mảng chữ nhật G(l, q) xác định sau: 0 ≤ l ≤ L − 0 ≤ q ≤ M − G (l , q ) = W N F (l , q ) lq (4.9) Bước 3: Tính tốn M DFT L điểm L −1 X ( p, q ) = ∑ G (l , q )W L (4.10) lp l =0 Với cột q = 0, 1, 2,…, M – mảng G(l, q) Q trình tính tốn phải trải qua bước trên, nhìn qua phức tạp việc tính DFT trực tiếp Tuy nhiên, ta vào đánh giá độ phức tạp thuật toán (4.8) Bước liên quan đến việc tính tốn L biến đổi DFT, DFT có độ lớn có độ lớn M điểm Như vậy, bước cần LM2 phép nhân số phức LM(M -1) phép cộng số phức Bước thứ hai cần LM phép nhân số phức Bước ba cần ML2 phép nhân số phức ML(L - 1) phép cộng số phức Do đó, độ phức tạp q trình tính tốn là: Số phép nhân số phức là: LM2 + LM + ML2 = N(M + L + 1) Số phép cộng số phức : LM(M - 1) + ML(L - 1) = N(M + L - 2) Với cách tính DFT trực tiếp số phép nhân số phức N2 số phép cộng N(N - 1) Trong tính theo FFT số phép nhân cần thực giảm xuống 105 N(M + L +1) số phép cộng N(M + L - 2) Như vậy, khối lượng tính tốn theo FFT giảm nhiều 4.4.2 Thuật toán FFT số phân chia theo thời gian Giả sử tính tốn DFT với số điểm N = 2v phương pháp chia điều kiện bước ứng với biểu thức (4.8), (4.9) (4.10) Chúng ta chọn M = N N L = 2, tức ta chia dãy số liệu N điểm thành hai dãy điểm 2 f1(n) ứng với mẫu chẵn (2n) f2(n) ứng với mẫu lẻ (2n+1).Như ta có: f1(n) = x(2n) f2(n) = x(2n + 1) N −1 ⇒ X (k ) = ∑ x(n ).W N ( N / ) −1 kn ∑ = n=0 = f (m).W N k 2m ( N / )−1 + m =0 ( N / −1) ∑ f (m ).W N k 2m ∑ f (m ).WN k ( m +1) m =0 + WN k m =0 ( N / )−1 ∑ f (m ).W N k 2m m=0 Mà: W N k m = e Nên: X (k ) = N −1 n = 0, 1, , −j 2π k 2m N ( N / )−1 ∑ =e −j 2π km N /2 f (m ).W N / km = WN / + WN m =0 k km ( N / )−1 ∑ f (m ).W N / km m =0 = F1(k) + W N k F2(k) k = 0, 1,…, N-1 (4.11) Trong đó: F1(k), F2(k) DFT N/2 điểm tương ứng với dãy f1(m) f2(m) Vì F1(k) F2(k) tuần hoàn với chu kỳ F1(k) = F1(k + Mà: W N k+ N −j =e N , nên ta có: N N ) F2(k) = F2(k + ) 2 2π N k+ N 2 =e −j 2π k N e − jπ = −e −j Nên: (4.11) ⇔ X (k ) = F1 (k ) + W N k F2 (k ) N k X k + = F1 (k ) − W N F2 (k ) 2 106 2π k N = WN k k = 0,1, , N −1 k = 0,1, , N −1 (4.12) (4.13) 2 N N Để tính tốn F1(k) cần phép nhân số phức cần phép nhân 2 2 cho việc tính F2(k), ngồi để tính tốn W N k F2 (k ) cần N phép cộng số phức Do 2 N N2 N N + phép nhân số phức Như vậy, + = 2 2 đó, việc tính tốn X(k) cần 2 bước ta giảm số phép nhân từ N2 xuống N2 N + , mức giảm 2 xấp xỉ hai lần N lớn Hình 4.2 Bước trong thuật toán chia theo thời gian Đặt: G1(k) = F1(k) G2(k) = W N F2 (k ) k Từ (4.12) (4.13) viết lại sau: X(k) = G1(k) + G2(k) Xk + N = G1(k) – G2(k) 2 k = 0, 1, 2,…, Việc tính tốn minh họa hình 4.1 107 N −1 Quá trình thực hiên việc chia theo thời gian lần, ta lặp lại q trình cho hai dãy f1(n) f2(n) Mỗi dãy f1(n) f2(n) chia nhỏ thành hai dãy N điểm là: V11(n) = f1(2n) n = 0, 1, 2,…, N −1 V12(n) = f1(2n + 1) n = 0, 1, 2,…, N −1 V21(n) = f2(2n) n = 0, 1, 2,…, N −1 V22(n) = f2(2n +1) n = 0, 1, 2,…, N −1 Ta tính toán DFT N N điểm, từ DFT điểm ta tính DFT điểm F1(k) F2(k): F1 (k ) = V11 (k ) + W N V12 (k ) k k = 0,1, 2, , N k F1 k + = V11 (k ) − W N V12 (k ) 4 N −1 k = 0,1, 2, , F2 (k ) = V21 (k ) + W N V22 (k ) k k = 0,1, 2, , N −1 k = 0,1, 2, , N −1 N k F2 k + = V21 (k ) − W N V212 (k ) Trong đó: Vij (k ) = ( N / )−1 ∑ vij (n )W N n =0 N −1 kn 2 N N phép nhân, ta có Vij(k) cần phép 4 4 Mỗi phép tính Vij(k) cần nhân Do việc tính F1(k) F2(k) thực số phức Để tính tốn X(k) từ F1(k) F2(k) ta cần 108 N2 N + phép nhân N phép nhân số phức Do để tính tốn X(k) ta cần N2 + N phép nhân số phức Như số phép nhân lại tiếp tục giảm xuống xấp xỉ hai lần Việc chia dãy số liệu lại tiếp tục lặp lại dãy cuối giảm xuống điểm Với N = 2v , việc chia cso thể thực v = log2 N lần Như tổng số phép nhân số phức giảm xuống N log N Số phép cộng giảm xuống N.log2N Ví dụ: Hãy tính DFT 16 điểm dãy x(n)10 thuật toán FFT số hai phân chia theo thời gian Giải: Để tính DFT 16 điểm, x(n) có 10 mẫu Do vậy, ta cần thêm mẫu không vào cuối dãy x(n)10: {x(0 ) x(1) x(2 ) x(3) x(4 ) x(5) x(6 ) x(7 ) x(8) x(9 ) 0 0 0 } Với M = N 16 = = L = 2, nghĩa mảng x(l, m) có hàng cột sau: 2 x(0 ) x(2 ) x(4 ) x(8) 0 x(1) x(3) x(5) x(9 ) 0 Khi chuyển sang số mảng hai chiều, nhận mảng x(l, m): x(0,0 ) x(0,1) x(0,2 ) x(0,3) x(0,4) x(0,5) x(0,6 ) x(0,7 ) x(1,0 ) x(1,1) x(1,2 ) x(1,3) x(1,4 ) x(1,5) x(1,6 ) x(1,7 ) Mỗi hàng có ba phần tử cuối hang có số l = mẫu chẵn x(2n)16 ; hàng có số l = mẫu lẻ x(2n + 1)16 - Bước 1: Tính DFT điểm ứng với hai hàng nhận mảng F(l, q) F (l , q ) = ∑ x (l , m).W8 mq ≤ q ≤ , ≤ l ≤1 m =0 F (0,0 ) F (0,1) F (0,2) F (0,3) F (0,4 ) F (0,5) F (0,6 ) F (0,7 ) ⇒ F (l , q ) = F (1,0 ) F (1,1) F (1,2 ) F (1,4 ) F (1,4 ) F (1,5) F (1,6 ) F (1,7 ) - Bước 2: Tính mảng G (l , q ) = F (l , q ).W N = F (l , q ).e lq −j 2π lq N 0 ≤ l ≤ 0 ≤ q ≤ G (0,0 ) G (0,1) G (0,2) G (0,3) G (0,4 ) G (0,5) G (0,6 ) G (0,7 ) ⇒ G (l , q ) = G (1,0 ) G (1,1) G (1,2 ) G (1,4 ) G (1,4 ) G (1,5) G (1,6 ) G (1,7 ) 109 - Bước 3: Tính DFT điểm ứng với cột mảng G(l, q) nhận mảng X(p, q): X ( p, q ) = ∑ G (l , q ).W2 lp l =0 X (0,0) X (0,1) X (0,2 ) X (0,3) X (0,4 ) X (0,5) X (0,6) X (0,7 ) ⇒ X ( p, q ) = X (1,0 ) X (1,1) X (1,2 ) X (1,4 ) X (1,4 ) X (1,5) X (1,6 ) X (1,7 ) Cuối ta chuyển mảng X(p, q) thành dãy X(k) xếp theo hàng sau: X (0 ) X (1) X (2 ) X (3) X (4 ) X (5) X (6 ) X (7 ) X (k ) = X (8) X (9 ) X (10 ) X (11) X (12) X (13) X (14 ) X (15) 4.4.3 Thuật toán FFT số phân chia theo tần số Trong thuật toán FFT số phân chia theo thời gian, ta thực lưu dãy tín hiệu đầu vào theo hàng Trong thuật toán phân chia theo tần số này, ta lưu dãy tín hiệu đầu vào theo kiểu cột (M = L = N/2) Để tạo thuật toán này, ta bắt đầu việc tách cơng thức tính DFT thành hai tổng Trong tổng liên quan đến việc tính tổng N/2 điểm số liệu tổng thứ hai liến quan đến việc tính tổng N/2 điểm số liệu lại Do ta nhận được: N −1 X (k ) = ∑ x(n ).W N kn ( N / )−1 = n =0 = ∑ ( N / )−1 ∑ WN ⇒ X (k ) = kn N −1 x(n ).W N kn + WN =e ( N / )−1 ∑ n =0 −j 2π N k / N kn N n= N / N k / ( N / )−1 ∑ n =0 N k / x(n ).W ∑ ( ) + n=0 n =0 Mà: x(n ).W N N kn x n + .W N = e − jπ k = (− 1) (Đặt m = n + N/2) k N kn k x(n ) + (− 1) x n + W N (4.14) Ta thực chia X(k) thành hai dãy, dãy ứng với mẫu chẵn, dãy ứng với mẫu lẻ sau: X (2k ) = ( N / )−1 ∑ n =0 X (2k + 1) = N kn x(n ) + x n + W N / k = 0,1, 2, , ( N / )−1 ∑ n =0 N n kn x(n ) − x n + W N W N / 2 110 N −1 k = 0,1, 2, , N −1 Ở đây: W N = e −j 2π N =e −j Đặt: g1 (n ) = x(n ) + x n + 2π N /2 = WN / N 2 (4.15) N n g (n ) = x(n ) − x n + W N ⇒ X (2k ) = ( N / )−1 ∑ g (n ).W N / n = 0,1, 2, N −1 (4.16) kn n =0 X (2k + 1) = ( N / )−1 ∑ g (n ).W N / kn n =0 Q trình tính tốn lặp lặp lại qua việc chia nhỏ DFT N/2 điểm dãy X(2k) X(2k+1) Toàn trình cần v = log2N bước chia nhỏ Việc tính tốn DFT N điểm qua thuật tốn FFT chia theo tần số cần ( N / ) log2N phép nhân số phức N.log2N phép cộng số phức 4.4.4 Tính FFT ngược N −1 N −1 n =0 n =0 FFT tính dựa cơng thức sau: X (k ) = ∑ x(n ).WN kn = ∑ x(n ).e Biến đổi Fourier nhanh ngược tính theo cơng thức sau: x(n ) = N N −1 ∑ X (k ).e j 2π kn N k =0 111 −j 2π kn N BÀI TẬP CHƯƠNG Bài tập 4.1 Cho dãy tín hiệu tuần hồn với chu kỳ N = sau: n−2 0≤n≤4 1 − ~ x ( n) = n≠ ~ Tìm X ( k ) = DFT [~ x ( n) ] = ? Bài tập 4.2 Cho dãy tín hiệu x1(n) x2(n) tuần hoàn với chu kỳ N = 1 ~ x1 ( n ) = 0 với: n +1 1 − ~ x2 (n ) = 0≤n≤2 n≠ 0≤n≤2 n≠ ~ Tìm vẽ đồ thị ~x (n) = ~x1 (n) * ~x2 (n) () Bài tập 4.3 Cho dãy tín hiệu x1(n) x2(n) khơng tuần hồn với chiều dài N = với: n − x1 ( n ) = 0 n −1 1 − x2 (n ) = 1≤ n ≤ n≠ 0≤n≤3 n≠ Tìm vẽ đồ thị x(n) = x1 (n)(*)8 x2 (n) 112 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Quốc Trung, Xử lý tín hiệu lọc số, Nhà xuất khoa học kỹ thuật , Hà Nội 2003 [2] Quách Tuấn Ngọc, Xử lý tín hiệu số, Nhà xuất giáo dục, Hà Nội 1999 [3] Dương Tử Cường, Xử lý tín hiệu số, Nhà xuất khoa học kỹ thuật, Hà Nội 2001 [4] Alan V Oppenheim, Ronald W Schafer and Jhon R Buck, Discrete Time Signal Processing , Prentice Hall 1999 [5] Vinay K Ingle and Jhon G Proakis Digital Signal Processing, using MATLAB 113 ... phân loại tín hiệu rời rạc làm hai loại : - Tín hiệu lấy mẫu - Tín hiệu số Tín hiệu gọi tín hiệu lấy mẫu hàm tín hiệu rời rạc liên tục (khơng lượng tử hóa) Tín hiệu gọi tín hiệu số hàm tín hiệu rời... - Tín hiệu tương tự đầu thiết lập lại nhờ hệ biến đổi số - tương tự DAC Như vậy, tín hiệu biến đổi ADC tín hiệu số Xd(n), tín hiệu hệ thống xử lý tín hiệu số DSP, DSP làm nhiệm vụ xử lý tín hiệu. .. hiệu số Xd(n) đưa tín hiệu số Yd(n) 1.2 Tín hiệu rời rạc 1.2.1 Biểu diễn tín hiệu rời rạc Tín hiệu rời rạc có hai loại : - Tín hiệu lấy mẫu, ký hiệu xs(nTs) - Tín hiệu số, ký hiệu xs(nTs) Ký hiệu