Bảo mật liệu độ phức tạp thuật toán Chủ đề: Một số vấn đề sở toán học PGS.TS Nguyễn Đình Hân (Mobile: 0915.046.320; Email: han.nguyendinh@hust.edu.vn) Viện Toán ứng dụng Tin học Trường Đại học Bách khoa Hà Nội SAMI-HUST 2019 Bảo mật liệu độ phức tạp thuật toán / 15 Thuật toán Máy Turing Thuật toán Máy Turing Bài toán giải khơng giải Độ phức tạp tính toán Độ phức tạp thời gian đa thức Một số kiến thức sở số học đại số Quan hệ, nửa nhóm, dàn, nhóm, vành, trường trường hữu hạn Các phép tính số học, lý thuyết chia hết, phương trình hệ phương trình nguyên Số nguyên tố thuật toán kiểm định SAMI-HUST 2019 Bảo mật liệu độ phức tạp thuật toán / 15 Ngơn ngữ hình thức Cho Σ bảng hữu hạn chữ Một từ w bảng chữ Σ dãy hữu hạn phần tử Σ w = (a1 , a2 , , an ), ∈ Σ Tập tất từ bảng chữ Σ ký hiệu Σ ∗ trang bị phép nhân (tích) ghép có tính chất kết hợp (a1 , a2 , , an )(b1 , b2 , , bm ) = (a1 , a2 , , an , b1 , b2 , , bm ) Vì vậy, để thuận tiện ta viết w = a1 a2 · · · an thay cho w = (a1 , a2 , , an ) Một phần tử a ∈ Σ gọi chữ cái/kí tự Từ rỗng ký hiệu ε đóng vai trò phần tử đơn vị phép nhân ghép Do đó, tập Σ ∗ có cấu trúc vị nhóm Σ ∗ gọi vị nhóm tự Σ SAMI-HUST 2019 Bảo mật liệu độ phức tạp thuật tốn / 15 Ngơn ngữ hình thức (t) Tập tất từ khác rỗng Σ ký hiệu Σ + Ta có Σ ∗ = Σ + ∪ {ε} Độ dài |w | từ w = a1 a2 · · · an với ∈ Σ n Quy ước |ε| = Mỗi tập Σ ∗ gọi ngơn ngữ Σ Một X -phân tích từ w ∈ Σ ∗ theo X , với X ⊆ Σ ∗ , dãy w = u1 u2 · · · un với u1 , u2 , , un ∈ X , n ≥ SAMI-HUST 2019 Bảo mật liệu độ phức tạp thuật toán / 15 Máy Turing SAMI-HUST 2019 Bảo mật liệu độ phức tạp thuật toán / 15 Máy Turing Định nghĩa 1.1 Một máy Turing năm (K, Σ, δ, s, H), với: − K tập hữu hạn trạng thái; − Σ bảng chữ cái, chứa đựng kí tự khoảng trống/dấu cách kí tự trái , không chứa ký tự ← →; − s ∈ K trạng thái khởi đầu; − H ⊆ K tập trạng thái kết thúc; − δ, hàm chuyển, hàm từ (K − H) × Σ sang K × (Σ ∪ {←, →}) cho: (a) với q ∈ K − H, δ(q, ) = (p, b) b =→ (b) với q ∈ K − H a ∈ Σ, δ(q, a) = (p, b) b = SAMI-HUST 2019 Bảo mật liệu độ phức tạp thuật tốn / 15 Máy Turing (t) Ví dụ 1.1 Cho máy Turing M = (K, Σ, δ, s, {h}), với: K = {q0 , q1 , h}, Σ = {a, , }, s = q0 , δ cho bảng sau: q, q0 q0 q0 q1 q1 q1 SAMI-HUST 2019 σ a a δ(q, σ) (q1 , ) (h, ) (q0 , →) (q0 , a) (q0 , →) (q1 , →) Bảo mật liệu độ phức tạp thuật toán / 15 Máy Turing (t) Định nghĩa 1.2 Một cấu hình (configuration) máy Turing M = (K, Σ, δ, s, H) phần tử K × Σ ∗ × (Σ ∗ (Σ − { }) ∪ {ε}) Chú ý: − Mọi cấu hình giả thiết bắt đầu ký hiệu trái không kết thúc với dấu cách trừ dấu cách ký tự đọc Vì vậy, (q, a, aba), (h, , a) (q, a , ε) cấu hình, (q, baa, a, bc ) (q, aa, ba) khơng phải − Một cấu hình mà thành phần có chứa trạng thái H gọi cấu hình dừng (halted configuration) − Ta qui ước dùng kí hiệu đơn giản để mô tả nội dung băng vào cấu hình Cụ thể, ta viết w au để diễn tả nội dung băng vào cấu hình (q, wa, u) Kí hiệu gạch vị trí đầu đọc Từ đây, ta viết gọn, chẳng hạn (q, w au) thay cho (q, wa, u) SAMI-HUST 2019 Bảo mật liệu độ phức tạp thuật toán / 15 Máy Turing (t) SAMI-HUST 2019 Bảo mật liệu độ phức tạp thuật toán / 15 Máy Turing (t) Định nghĩa 1.3 Cho máy Turing M = (K, Σ, δ, s, H) hai cấu hình M, (q1 , w1 a1 , u1 ) (q2 , w2 a2 , u2 ), với a1 , a2 ∈ Σ Khi đó, ta có (q1 , w1 a1 , u1 ) M (q2 , w2 a2 , u2 ) khi, với b ∈ Σ ∪ {←, →}, δ(q1 , a1 ) = (q2 , b) b ∈ Σ, w1 = w2 , u1 = u2 a2 = b b =←, w1 = w2 a2 và, (a) u2 = a1 u1 a1 = u1 = ε (b) u2 = ε a1 = u1 = ε b =→, w2 = w1 a1 và, (a) u1 = a2 u2 (b) u1 = u2 = ε a2 = SAMI-HUST 2019 Bảo mật liệu độ phức tạp thuật toán 10 / 15 Máy Turing (t) Định nghĩa 1.4 Với máy Turing M bất kỳ, gọi ∗M bao đóng (phản xạ, bắc cầu) M Khi ta nói cấu hình C1 dẫn xuất (gián tiếp) cấu hình C2 C1 ∗M C2 Một phép tính tốn (computation) thực M dãy cấu hình C0 , C1 , , Cn , với n ≥ cho C0 M C1 M C2 M ··· M Cn Ta nói phép tính tốn có độ dài n có n bước ta ký hiệu C1 nM C2 SAMI-HUST 2019 Bảo mật liệu độ phức tạp thuật toán 11 / 15 Máy Turing (t) Ví dụ 1.2 Cho máy Turing M = (K, Σ, δ, s, {h}), với: K = {q0 , q1 , h}, Σ = {a, b, , }, s = q0 , δ cho bảng sau: q, q0 q0 q0 q0 q1 q1 q1 q1 σ a b a b δ(q, σ) (q1 , b) (q1 , a) (h, ) (q0 , →) (q0 , →) (q0 , →) (q0 , →) (q1 , →) (a) Liệt kê bước tính tốn M cấu hình q0 , aabbba? (b) Mơ tả M làm bắt đầu q0 đọc ô băng vào? SAMI-HUST 2019 Bảo mật liệu độ phức tạp thuật toán 12 / 15 Máy Turing (t) Ví dụ 1.3 Cho máy Turing M = (K, Σ, δ, s, {h}), với: K = {q0 , q1 , q2 , h}, Σ = {a, b, , }, s = q0 , δ cho bảng sau: q, q0 q0 q0 q1 q1 q1 q2 q2 q2 σ a b a b a b δ(q, σ) (q1 , ←) (q0 , →) (q0 , →) (q1 , ←) (q2 , →) (q1 , ←) (q2 , →) (q2 , →) (h, ) Lặp lại hai yêu cầu Ví dụ 1.2 với cấu hình ban đầu q0 , abb bb aba? SAMI-HUST 2019 Bảo mật liệu độ phức tạp thuật toán 13 / 15 Máy Turing (t) Bài tập 1.1 Thiết kế máy Turing tìm dấu cách xâu cho trước Bài tập 1.2 Thiết kế máy Turing kiểm tra tính cân xứng từ bảng chữ Σ cho trước Bài tập 1.3 Xây dựng máy Turing kiểm tra xem hai số nhị phân cho trước có khơng SAMI-HUST 2019 Bảo mật liệu độ phức tạp thuật toán 14 / 15 TRÂN TRỌNG CẢM ƠN! SAMI-HUST 2019 Bảo mật liệu độ phức tạp thuật toán 15 / 15 ... / 15 Máy Turing (t) Bài tập 1.1 Thiết kế máy Turing tìm dấu cách xâu cho trước Bài tập 1.2 Thiết kế máy Turing kiểm tra tính cân xứng từ bảng chữ Σ cho trước Bài tập 1.3 Xây dựng máy Turing kiểm... Bảo mật liệu độ phức tạp thuật toán / 15 Máy Turing (t) SAMI-HUST 2019 Bảo mật liệu độ phức tạp thuật toán / 15 Máy Turing (t) Định nghĩa 1.3 Cho máy Turing M = (K, Σ, δ, s, H) hai cấu hình M,... 2019 Bảo mật liệu độ phức tạp thuật toán / 15 Máy Turing SAMI-HUST 2019 Bảo mật liệu độ phức tạp thuật toán / 15 Máy Turing Định nghĩa 1.1 Một máy Turing năm (K, Σ, δ, s, H), với: − K tập hữu hạn