Biên soạn nội dung: Thầy Nguyễn Cao Cường – GV Tuyensinh247.com Ph-ơng pháp giải toán rút gọn biểu thức chứa ... I Rút gọn biểu thức: - Một số đẳng thức hay dùng: x    x 1 x 1 ;   x x 1 x4  x 1 x  x 1 ; x4 x 4   x  ;x   x 2  x    x  3 x x 1   x 2    x 1 x  x 1 A A A A hc   B B B B - Nhí ®ỉi dÊu: Mét số giải mẫu: x x  x 1  Bµi Rót gän biÓu thøc P      :   x x    x 2 x x Bài làm: Đkxđ: x 0; x (Dòng để cách ra, rút gọn Bình luận: Ta nhận thấy toán việc phân xong ghi vào cho đầy đủ) tích mẫu thành nhân tử đơn giản nh-ng phải đổi x 1   x  x 1  P      :   x x    x 2 x x dấu để đ-ợc mẫu chung hợp lí (dòng thứ 2: võa kÕt  x 1 P   x x x phân tích thành nhân tử, có lẽ nên tách làm b-ớc) P x  x 1 x P x P x P    x 2 x 1 x 2 x 1 x 2  :   x 2    : x   x 1    x x        x 2  x x : hợp đổi dấu mẫu đồn thời đổi dấu phân thức vµ  x 2   x 1  x4 x x x x   x 2 x 2   x 4 x 1 x 4 x   x2   x 4  x  :   Bµi 2.Rót gän biĨu thøc P    x    x 1   x Bài giải: - Truy cp trang http://tuyensinh247.com/ ôn luyện thi vào 10 Toán – Văn – Anh tốt nhất! Biên soạn nội dung: Thầy Nguyễn Cao Cường – GV Tuyensinh247.com x   x2   x 4 P  x  :    x    x 1   1 x  x  2 x x 1    4 x x     P :     x 1 x 1 x 1 x 1      P      x   x  x  x  x x 1 : x 1 x 1 x 1   2 x 4 x x x P : x 1 x 1 x 1   2 x P : x 1   Bình luận: toán việc phân tích mẫu dựa vào đẳng thức x x x việc đổi mẫu ngoặc thứ hai tiến hành ®ỉi dÊu mÉu ®ång thêi ®ỉi dÊu tư 4x  x  1 x  1  x  x  1 x  1 P x    x   x  x x Đkxđ: x 0; x 1; x  P  x x 3x  x   x      1 :  x x  x  x      Bµi Rót gän biĨu thøc P   Bài giải P P P P P P P x x 2 x x 2 x  3x  x   x    1 :   x   x  x 2    x 1 x   x 3x  x  :  x  ( x  2)( x  2)   x 2  x      x    3x   x   x   x 2  x 3x  x  x  x  3x  x    x x x 2 x  x 2  x 2  x 2  x 2  :  x 1  x 2  : x : x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x x x x Đkxđ: x 0; x  - Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để ôn luyện thi vào 10 Toán – Văn – Anh tốt nhất! Biên soạn nội dung: Thầy Nguyễn Cao Cường – GV Tuyensinh247.com  x 3 x 2 x 2   x  Bµi Rót gän biĨu thøc P     :      x 2 3 x x 5 x 6   x      Bài giải: Bình luận: Bài toán sử dụng kü thuËt  x 3 x 2 x 2   x  P   :1   việc tách mẫu thành nhân tử kèm theo ®æi  x 2 3 x x5 x 6   x      dÊu mÉu, bên cạnh trình rút gọn tử x 3   x   x  sử dụng đẳng thức quen x x 2 P     :  x  ( x  3).( x  2)   x   thuéc Em h·y t×m xem bình luận x nằm dòng nào? P P P P P ( x 3)( x  3)  ( x  2)( x  2)  x  : ( x  3).( x  2) x 1 x   ( x  4)  x  ( x  3).( x  2) x9 x4 x 2 ( x  3).( x  2) x 3 ( x  3).( x  2) : : x 1 x 1 ( x  1) x 1 x ĐKxđ: x 0; x 4; x  Bµi Rót gän biĨu thøc x 1 x2 x 1 P   x 1 x x 1 x  x 1 P P P P P P P P x 1  ( x  1)( x  1) x2 ( x  1)( x  x  1) x2  x  ( x  1)( x  x  1)   x 1 x  x 1 x 1 B×nh luËn: ỏ toán nhận thấy kỹ thuật: - Phân tích mẫu thành nhân tử rút gọn phân thức (phân thức đầu tiên) - Sử dụng đẳng thức x x x 1 x  x  x  x 1 x  x   ( x  2)  ( x  1)( x  1) ( x  1)( x  x  1) x  x   x   ( x  1) ( x  1)( x  x  1) x 1 x 1 ( x  1)( x  x  1) x x ( x  1)( x  x  1)  x   x 1 ( x  1)( x  x  1) x x x Đkxđ: x 0; x  - Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để ôn luyện thi vào 10 Toán – Văn – Anh tốt nhất! Biên soạn nội dung: Thầy Nguyễn Cao Cường GV Tuyensinh247.com II Các câu hỏi phụ toán rút gọn: Các câu hỏi phụ toán rút gọn đ-ợc tính điểm câu hỏi rút gọn có kết xác Chính việc rút gọn điều phải làm Hy vọng không làm sai câu a Bây tìm hiểu câu hỏi sau câu a dạng nào? Dạng 1:Tính giá trị P biết giá trị x: Nói chung câu hỏi bạn làm đúng, cã thĨ chØ mét sè d¹ng cho cđa x: x 42  x 2   1 ;x     2            1  x          1 ;x     42 42  43   1  2 L-u ý: C©u hỏi cho điểm tối đa kết P đ-ợc khử mẫu trục thức (Túm lại mẫu căn) x biÕt x   x 4 Bµi Tính giá trị P Bài giải: x  42    1 Thay vµo P ta cã: P P     1 1 2 1  3 5 11    25 1 5  4  3   22 22 x Bµi 2.TÝnh giá trị P Bài giải: x 42  2 P P  42   1  1  x 1  1 42 3 11  biÕt x  2 thay vµo P ta cã: 42 3 2            864  Có thể làm đơn giản nhanh hơn, em thử xem! - Truy cp trang http://tuyensinh247.com/ để ơn luyện thi vào 10 Tốn – Văn – Anh tốt nhất! Biên soạn nội dung: Thầy Nguyễn Cao Cường – GV Tuyensinh247.com Bµi TÝnh giá trị P x x biết x Bài giải:   1  thay vµo P ta cã x       2      1   1     P  1 :   2                      1   1  1 1 P  1 :   2  :     2     1  5 1 :  2 5 P P P Bình luận: Đôi cách viết biểu thức quan trọng không ta thấy x có dạng phân thức Chính nên viết theo kiểu Tử : Mẫu để biểu thức không cồng kềnh giúp không bị xo¾n! 5      5 1   55  5  25  5 55 10  5 20 10 Dạng 2:Tìm x biết P = a (a giá trị thực) Bản chất câu hỏi giải ph-ơng trình (chứa căn) Vậy phải ý điều gì: - Qui đồng bỏ mẫu (vì giải ph-ơng trình) có - Đặt x t đừng quên đặt điều kiện cho t - Tìm đ-ợc t thoả mãn điều kiện đắt - Tìm x thông qua t Bµi Cho P  x 1 víi §kx®: x  0; x  1; x  Tìm x biết P x x Bài giải: P x x t Đặt x  x  x  x 1  x 2 t  0; t  1; t    t  3t    3  13 t  =13>0, Ph-¬ng trình có hai nghiệm phân biệt: 13 (loai ) t   3  13 3  13 11  13  x x (tmdk ) 2 11  13 VËy x  Víi  t  Bµi Cho P x Đkxđ: x 0; x T×m x biÕt: P x 4   x 2x Bài giải: - Truy cp trang http://tuyensinh247.com/ để ơn luyện thi vào 10 Tốn – Văn – Anh tốt nhất! Biên soạn nội dung: Thầy Nguyễn Cao Cường – GV Tuyensinh247.com P  x 1 x 4  x   2x    x   2x  x   2x  2x  x   t Đặt x t t  0; t   Pt  2t  t     t   (loai)  Víi t =  x   x  1(tmdk ) D¹ng 3: T×m x biÕt P  a; P  a; P a; P a (a giá trị thực) Bản chất câu hỏi giải bất ph-ơng trình (chứa căn) Vậy phải ý điều gì: - Khi giải bất ph-ơng trình đ-ợc phép bỏ mẫu xác định đ-ợc dấu mẫu chiều bất ph-ơng trình - Nghiệm tìm đ-ợc phải đ-ợc kết hợp với điều kiện đặt Bài 1.Cho P x , Đkxđ: x 0; x  1; x  T×m x biÕt P>1 x Bài giải: x x P 1 x 3 x 3 1   x 2  x 2 x 2  0 1 0  x 2 0  x   x 4 x 2 0  x  KÕt hỵp điều kiện xác định ta có: x Bài 2.Cho P x , Đkxđ: x  0; x  1; x  T×m x biết P P x Bài giải: P P P0 x 1 x 3 0 Ta cã x   x   x    §Ĩ x 1 x 3 0  x 30  x 3 x  0 x Kết hợp điều kiện xác định: x Dạng 4: So sánh P với số a Ph-ơng pháp: Xét hiệu P - a - NÕu P - a >  P >a - NÕu P - a 4 nên 2 x  x 2  x   0; 2  x 2 2  x 2   2  x 2   2 x 2 x 2    x 2  x 2  x 2 8  áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số : x 2  x 2   x   0; x 2 0  8 888  P  16  Pmin  16   x 2  x 2   x 2   x 2 2  x 4  x  16 4    x  16  x  0(l)  x   2  x  Vậy giá trị nhỏ P = 16 x = 16 Dạng 7: Tìm giá trị tham số m để P thoả mãn đẳng thức, bất đẳng thức: x 2x Đkxđ: x  x 2  P x   x  m  2x   x m Tìm m để có giá trị x thoả mãn: Bài Cho P Bài giải P x x  m  2x   x  m      x   2x  m  1   x  1(tmdk )  m 1 x   m 1  1 m   m     m  VËy m < m=3; m = Để có giá trị x thì:  m  m 1  4  - Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để ôn luyện thi vào 10 Toán – Văn – Anh tốt nhất! Biên soạn nội dung: Thầy Nguyễn Cao Cường – GV Tuyensinh247.com 4x Bµi Cho P  Đkxđ: x  : x  ; x  x 3 Tìm m để phương trình P  m  x cú hai nghim phõn bit Bài giải P  m  x   x   m  11 x  3m   1 Đặt t  x t  0; t  2; t  pt trở thành : Pt  t   m  11 t  3m   (2) Để pt(1) có hai nghiệm phân biệt phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt khác    b  0 a Điều xảy khi:  c  a t  2; t   Giải m>29 Đkxđ: x  : x  ; x  x Tìm m để với x > ta cã: x  P x  2m 4x Bài giải (Bản chất tìm m để x>9 tập tập nghiệm BPT trên) Bài Cho P x  P     x   2m    4x  x  2m  1   2m   2m   2m   2m            10  18m Để bpt với x>9 x  2m       2m   2m   2m   x   m  2m      m 10  18m  m   Bµi Cho P   x Đkxđ: x  : x  Tìm m để có x thoả mãn Bài giải   x  P  x  m  1  x  P  x  m  x  x  m     x     m  2  1   x    m 2  (1) Ta cã 1 1  x   x   x     x    (2) 2 2  Tõ (1) vµ (2):  m   m  4 - Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để ơn luyện thi vào 10 Tốn – Văn – Anh tốt nhất! 10 Biên soạn nội dung: Thầy Nguyễn Cao Cường – GV Tuyensinh247.com Rót gän biĨu thøc ®Ị thi (Trích đề thi mơn Tốn vào lớp 10 TP Hà Nội số đề thi vào THPT Chuyên Ngoại Ngữ ĐHQG Hà Nội)   x  x Bµi (2008) P    : x   x  x x a Rút gọn P b.Tính giá trị P x = x x 4   x 1 x 1 x 1 Bµi (2007) P   Bµi (2006) P     a Rót gän P  Bµi (2005) P      13 b T×m x ®Ĩ P  a Rót gän P  a a   1   :   a 1   a  a 1  a 1  a3 a 2 a 2 c Tìm x để P= a 1 P x 4    x x     :   x 2 x x   x x  b Tìm a để b Tính giá trị cđa P biÕt x  a Rót gän P 3 c Tìm m để có x thỏa mãn: P  mx x  2mx   Bµi (2004) P   x   x   x 1  x     :  x  x    x b TÝnh P biÕt x  a Rót gän P 2 c T×m x tháa m·n: P x  x   x   x 8x   x 1    Bµi (2003) P    :   x   2 x 4x   x x a Rút gọn P b Tính giá trị x để P = -1 c Tìm m để với giá trị x > ta có: m x  P  x    Bµi (2002) P   x    x2   x x 4     :  x    x  1  x  a Rót gän P b T×m giá trị x thỏa mãn P < c Tìm giá trị nhỏ P x 4   x 2 x   Bµi (2001) P   :     x x 2 x 2  x x       a Rót gän P b Tính giá trị P biết x c Tìm giá trị n ®Ĩ cã x tháa m·n: x  P  x  n   x       Bµi (2000) P    :    x 1 x  x   x 1 x 1  a Rút gọn P b Tìm x để P > - Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để ôn luyện thi vào 10 Toán – Văn – Anh tốt nhất! 11 Biên soạn nội dung: Thầy Nguyễn Cao Cường – GV Tuyensinh247.com c Tìm số m để có giá trị cña x tháa m·n: P x  m  x  2x  Bµi 10 (1999) P    x 1 a Rót gän P   x 4   : 1   x    x  x 1   b Tìm giá trị nguyên x để P nhận giá trị nguyên d-ơng x x 26 x 19 x x 3   x  x 3 x 1 x 3 a Rót gän P b Tính giá trị P x Bài 11 (1998) P c Tìm giá trị nhỏ P 2a a 2   a a 1 a  a  a 1 a Rót gän P b TÝnh P a   2 x 1  x 1  Bµi 13 (1996) Cho A     :  x  x  1 x  x  x  Bµi 12 (1997) P  a Rót gän A ®Ĩ chøng minh r»ng A = x - x - c T×m GTNN cđa A b Tìm x để A= a a a a   1 :   1 a  a      Bµi 14 (1995) Cho B   a Rót gän B b Tìm a để B < c Tìm a để B nguyên tính B theo a vừa tìm đ-ợc Bµi 15 (1994) Cho P   a b a b a Rót gän P   2 b a a b   ab ba b TÝnh P biÕt a =2, b= Bµi 16 (1993) P  x  x 1 a Rót gän P  x  x 1  x3  x 1 x b Tìm x để P > a b  2  a a b   : ab    ab ab   ab   Bµi 17 (1992) P   a Rót gän P b Cho a  b  Tìm a, b để P đạt GTNN GTNN ? Bài 18 (Ams 2005) Cho P  a Rót gän P x x 1 x x 1 x 1   x x x x x b Tìm x để P  x 1 x   x Bµi 19 (Ams 2004) Cho P        x    x 1  x P 2 a Rót gän P b Tìm x để x Bài 20 (Ams 2003) Cho P  a Rót gän P x2  x 2x  x 2(x  1)   x  x x x b Tìm giá trị nhỏ P c Tìm x để Q x nhận giá trị P nguyên Bài 21 (Ams 2002) Cho P  x 1 x2 x 1   x 1 x x 1 x  x  - Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để ôn luyện thi vào 10 Toán – Văn – Anh tốt nhất! 12 Biên soạn nội dung: Thầy Nguyễn Cao Cường – GV Tuyensinh247.com a Rót gän P b T×m Max Q   x P  x 2 x 3 x 2  x  Bµi 22 (Ams 2001) Cho P      :    x 3   x    x 5 x 6 2 x a Rót gän P b Tìm x để P 2x x x  x x    Bµi 23 (Ams 2000) Cho P  x x x x x a Rót gän P b So s¸nh P với c Với giá trị x làm P cã nghÜa, chøng minh biĨu thøc chØ nhËn ®óng giá trị P nguyên x x x 2   x  Bµi 24 (Ams 1999) Cho P      :    x    x 2 3 x x x đạt giá trÞ nhá nhÊt P  x 1   xy  x xy  x x   Bµi 25 (Ams 1998) Cho P     1 :      xy  xy    xy  1  xy   1 a Rót gän P b Cho Tìm giá trị lớn cđa A x y a Rót gän P b T×m x để P 0, cho hai biểu thức A  x 1 x 1 2 x B   x x x x 1) Tính giá trị biểu thức A x= 64 2) Rút gọn biểu thức B 3) Tìm x để A  B - Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để ôn luyện thi vào 10 Toán – Văn – Anh tốt nhất! 14 Biên soạn nội dung: Thầy Nguyễn Cao Cường – GV Tuyensinh247.com Bµi 40 (HN 2014) : 1) Tính giá trị biểu thức A  x 1 x= x 1  x 1  x2 với x x  0; x    x   x 1  x2 x 2) Cho biểu thức P   a) Chứng minh P  Bµi 41 (HN 2015) : Cho P  x 1 x b) Tìm x để 2P  x  x3 x 1 x  ;Q   x4 x 2 x 2 x  0; x  1) Tính giá trị P x = 2) Rút gọn Q P đạt giá trị nhỏ Q  x x 2 x Bµi 42 (CN 2015) :Cho P     x 2 x x 8  3) Tìm x để biểu thức   . x    Tìm điều kiện x để A    x 2   có nghĩa rút gọn A Bµi 43 Cho:  2x  x 1 2x x  x  x  x  x  A      x 1  x  x x   a T×m ®iỊu kiƯn ®Ĩ A cã nghÜa c Chøng tá r»ng A  Bµi 44.Cho M  b TÝnh x nÕu A 6 bất đẳng thức sai a2  a a2  a  a  a 1 a  a 1 M  a 1 1 Rót gän biĨu thøc: P =  xy x  xy y   xy xy  :    x  xy y  xy  x y     Bµi 45.Cho biĨu thøc: A    Rút gọn A Tìm m để ph-ơng trình A = m - cã nghiƯm x, y tho¶ m·n Bµi 46 Cho biĨu thøc: P  x y 6 1 x : x x x x x  x2 Tìm điều kiện x để P có nghÜa vµ h·y rót gän P P  2x 2 Tìm số nguyên x để giá trị biểu thức Q số nguyên x  x   x x x  x  x   ( x  x )(1  x )    Bµi 47.Cho biĨu thøc: M       x  x x x 1   Tìm giá trị x để M có nghĩa, rút gọn M Tìm giá trị nhỏ biểu thức (2000 - M) x Tìm số nguyên x để giá trị M số nguyên - Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để ôn luyện thi vào 10 Toán – Văn – Anh tốt nhất! 15 Biên soạn nội dung: Thầy Nguyễn Cao Cường – GV Tuyensinh247.com  3x  x   1 Bµi 48.Cho biĨu thøc: P       : x  x  x  x    x 1 a T×m ®iỊu kiƯn cđa x ®Ĩ P cã nghÜa, ®ã rút gọn P b Tìm số tự nhiên x để số tự nhiên? P c Tính giá trị P với x = - Bµi 49.Cho biĨu thøc A  x2 x 1   x x 1 x  x 1 x 1 Tìm x để A có nghĩa Hãy rót gän A TÝnh A víi x = 33 - Chøng minh r»ng A <  2x x  x  x x  x  x 1 x     x 1  2x  x 1 x 1 x x 1  Bµi 50.Cho biĨu thøc: M   a Hãy tìm điều kiện x để biểu thức M cã nghÜa, sau ®ã rót gän M b Víi giá trị x biểu thức M đạt giá trị nhỏ tìm giá trị nhỏ ®ã cña M?  x   x  :  Bµi 51.Cho biĨu thøc: P  1    x 1  x x  x  x 1 1 x     a Tìm điều kiện x để biểu thức P cã nghÜa vµ rót gän biĨu thøc P b Tìm giá trị nguyên x để biểu thức Q = P - x nhận giá trị nguyên 1 1 x 1 1 x   Bµi 52.Cho biÓu thøc: P      x   x  x   x    x2 1   Tìm điều kiện x ®Ĩ biĨu thøc P cã nghÜa vµ rót gän P Tìm x để P 2 Bài 53 cho biÓu thøc A 8 x 23 x  x   23 x  x   x  :2   3 3     x x   x 2 x    Víi x  8; x -8; x  Chøng minh giá trị A không phụ thuộc vào x - Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để ôn luyện thi vào 10 Toán – Văn – Anh tốt nhất! 16 ... luyện thi vào 10 Toán – Văn – Anh tốt nhất! 10 Biên soạn nội dung: Thầy Nguyễn Cao Cường – GV Tuyensinh247.com Rót gän biĨu thøc ®Ị thi (Trích đề thi mơn Tốn vào lớp 10 TP Hà Nội số đề thi vào... http://tuyensinh247.com/ để ơn luyện thi vào 10 Tốn – Văn – Anh tốt nhất! 11 Biên soạn nội dung: Thy Nguyn Cao Cng GV Tuyensinh247.com c Tìm số m để có giá trị x thỏa m·n: P x  m  x  2x  Bµi 10 (1999) P  ... làm đơn giản nhanh hơn, em h·y thö xem! - Truy cập trang http://tuyensinh247.com/ để ôn luyện thi vào 10 Toán – Văn – Anh tốt nhất! Biên soạn nội dung: Thầy Nguyễn Cao Cng GV Tuyensinh247.com Bài